Leggi 0-1, successioni di v.a. stazionarie in senso stretto ed introduzione alla teoria ergodica

Leggi 0-, successioni di v.a. stazionarie in senso stretto ed introduzione alla teoria ergodica Michele Gianfelice a.a. 202-203 Misura sullo spazio delle successioni a valori reali Sia R N l insieme delle successioni a valori reali. Dato un boreliano B 2 B (R n ) ; sia C (B) = f! 2 R N : (! ; ::;! n ) 2 Bg () l insieme cilindrico (cilindro) di base B 2 B (R n ) e C la algebra generata dagli insiemi cilindrici. Teorema (di Carathéodory) Sia un insieme, A un algebra dei suoi sottoinsiemi e (A) la più piccola algebra contenente A: Data 0 una misura additiva su (; A) : Esiste un unica misura su (; (A)) estensione di 0 ; ovvero tale che 8A 2 A; (A) = 0 (A) : Dato uno spazio misurabile (; F) ; indichiamo con P (; F) la collezione delle misure di probabilità su (; F) : Teorema 2 (di Kolmogorov sull estensione di misure su R N ; C ) Sia fp n g n ; P n 2P (R n ; B (R n )) una collezione di misure di probabilità tali che 8n ; B 2 B (R n ) ; P n+ (B R) = P n (B) : (2) Allora 9!P 2P R N ; C tale che se 8n ; B 2 B (R n ) ; P (C (B)) = P n (B) : (3) Dimostrazione: 8n ; B 2 B (R n ) ; assegnamo a P (C (B)) il valore P n (B) : Allora poiché, 8k ; C (B) = f! 2 R N : (! ; ::;! n ) 2 B;! n+ ; ::;! n+k 2 Rg (4) 0 = C @B R {z ::: RA } k volte

per la (2), la de nizione di P (C (B)) è indipendente dalla rappresentazione scelta di C (B) ; infatti P n (B) = P n+ (B R) = ::: = P n+k (B R ::: R) ; k : (5) Sia C R N la collezione di tutti i cilindri C (B) al variare di n e B 2 B (R n ) : È facile vedere che C R N è un algebra. Dato k 2 e A ; ::; A k 2 C R N disgiunti, 9n e B ; ::; B k 2 R n boreliani disgiunti tale che A i = C (B i ) ; i = ; ::; k. Allora,!!!! k[ k[ k[ kx P A i = P C (B i ) = P C B i = P n (B i ) (6) i= = i= kx P (C (B i )) = i= i= kx P (A i ) ; i= ovvero P è nitamente additiva sull algebra C R N : Se P è anche additiva su C R N allora la tesi segue dal teorema precedente. A tal ne è su ciente dimostrare che, per una generica successione di elementi di C R N ; fc (B n )g n tale che C (B n ) # ;; P (C (B n ))! 0: Supponiamo il contrario, ovvero lim n! P (C (B n )) = > 0: Poiché 8n ; B n 2 B (R n ) ; dato n! > 0 esiste A n B n compatto tale che P n (B n na n ) ; allora, 2 n+ P (C (B n ) nc (A n )) = P n (B n na n ) i= : (7) 2n+ Sia C n := T n k= C (A k) e sia D n tale che C n = C (D n ) : Poiché fc (B n )g n è decrescente, si ha nx nx P (C (B n ) nc (D n )) P (C (B n ) nc (A k )) = P (C (B n na k )) (8) k= nx k= 2 k+ = 2 ; ma per ipotesi lim n! P (C (B n )) = > 0 e quindi lim n! P (C (D n )) > 0: Ma ciò 2 contraddice l ipotesi che C (D n ) #?: Infatti, 8n sia x (n) 2 C (D n ) ; allora x (n) ; ::; x (n) n 2 D n : Inoltre, poiché D è compatto, esiste una sottosuccessione fn g di fng tale che x (n )! x 0 2 D : Allo stesso modo è possibile scegliere fn 2 g fn g tale che x (n 2) ; x (n 2) 2! (x 0 ; x 0 2) 2 D 2 : Iterando questa costruzione si ha 8k ; x (n k) ; ::; x (n k) k! x 0 ; ::; xk 0 2 Dk : (9) Considerando la sottosuccessione diagonale fm k g segue che 8i ; x (m k) i! x 0 i e (x 0 ; ::) 2 C (D n ) 8n contrariamente all ipotesi che C (D n ) #?: 2 k=

2 Leggi 0- per successioni di v.a. indipendenti Sia f i g i una successione di v.a. de nita sullo spazio di probabilità (; F; P) e, 8n ; siano F n la algebra generata dalla collezione di v.a. f i g n i=; ovvero quella generata dalla collezione di eventi di F : f! 2 : ( (!) ; ::; n (!)) 2 Bg B 2 B (R n ) ; (0) F n la algebra generata dalla collezione di v.a. f i g i ; ovvero quella generata dalla collezione di eventi di F : f! 2 : n (!) ; n+ (!) ; :: 2 Bg B 2 C : () La algebra T := \ n F n (2) è detta algebra di coda. Ne segue che 8n ; se gli elementi della successione f i g i sono v.a. indipendenti, ogni evento A 2 T è indipendente da f i g n i=: Teorema 3 (Legge 0- di Kolmogorov) Sia f i g i una successione di v.a. indipendenti de nita sullo spazio di probabilità (; F; P) : 8A 2 T ; P (A) può assumere soltanto i valori zero e uno. ovvero Dimostrazione: Sia A 2 T : Allora, A 2 F e pertanto 9A n 2 F n tale che ma allora lim P (A4A n) = 0; (3) n! P (A) = lim n! P (A n ) ; (4) lim P (A \ A n) = P (A) : n! Poiché per ipotesi A 2 T ; A e A n sono indipendenti, 8n ; P (A \ A n ) = P (A) P (A n ) che tende a P 2 (A) per n! : Dunque, vale P (A) = P 2 (A) : Corollario 4 Nelle ipotesi del teorema precedente, una v.a. de nita su (; F; P) e misurabile rispetto a T è degenere, ovvero 9c 2 R : = c P-q.c.. 3

Dimostrazione: Poiché è T -misurabile, 8x 2 R; f! 2 : (!) xg 2 T : Quindi, può assumere soltanto i valori 0 e : Sia Allora, 8 > 0; cioè la tesi. Pf! 2 : (!) xg = F (x) (5) c := inffx 2 R : F (x) = g : (6) Pf! 2 : c < (!) c + g = F (c + ) F (c ) = ; (7) De nizione 5 Un applicazione N 3 n 7! n 2 N è detta permutazione nita se n = n salvo un numero nito di elementi di N: Sia quindi, per ogni permutazione nita ; R N 3 x 7! T x = fx n g n 2 R N : (8) e 8B 2 C T (B) := x 2 R N : T x 2 B : (9) Data := f i g i una successione di v.a. de nite su uno spazio di probabilità (; F; P) ; 8B 2 C; sia A B := f! 2 : (!) 2 Bg ; (20) e, posto T () := f i g i ; sia A T (B) := f! 2 : T () (!) 2 Bg : (2) De nizione 6 Ogni evento A 2 F è detto simmetrico se 9B 2 C tale che A = A B e per ogni permutazione nita ; A B = A T (B) : Teorema 7 (Legge 0- di Hewitt-Savage) Sia := f i g i una successione di v.a.i.i.d.. Ogni evento simmetrico ha probabilità zero o uno. Dimostrazione: Sia A un evento simmetrico e sia quindi B 2 C tale che A = A B : Sia B n 2 B (R n ) tale che, se A n := A C(Bn) = f! 2 : ( (!) ; ::; n (!)) 2 B n g; (22) lim n! P (A4A n ) = 0: Poiché le i sono v.a.i.i.d., per ogni permutazione nita ; P (A n ) = P (C (B n )) = P T() (C (B n )) : (23) 4

Dunque, P (A4A n ) = P (A B 4A n ) = P (B4C (B n )) = P T() (B4C (B n )) (24) Allora, lim n! P implica = P (f! 2 : T () (!) 2 Bg4f! 2 : T () (!) 2 C (B n )g) = P (f! 2 : (!) 2 Bg4f! 2 : T () (!) 2 C (B n )g) = P : A4A T (C(B n)) A4A T (C(B n)) = 0; ovvero lim n! P lim P A n \ A n! T (C(B n)) A T (C(B n)) = P (A) ; il che = P (A) : (25) Scelta la permutazione nita tale che, i = 2n i + per i = ; ::; n e i = i 8i n + ; P A n \ A T (C(B n)) = P f! 2 : ( (!) ; ::; n (!)) 2 B n g \ f! 2 : 2n (!) ; :: n+ (!) 2 B n g ; ma poiché le i sono v.a.i.i.d., P A n \ A T (C(B n)) = P (A n ) P Perciò 8A 2 F simmetrico P (A) = P 2 (A) : A T (C(B n)) = P 2 (A n )! n! P 2 (A) : (26) Osservazione 8 Se f i g i una successione di v.a. indipendenti de nita sullo spazio di probabilità (; F; P) ; sia fs n g n la successione di v.a. tale che 8n ; S n := P n k= n: Allora, se n è la algebra generata dalle v.a. fs m g mn ; ogni evento A 2 T (S) := T n n è invariante per permutazioni nite, quindi, se le i sono v.a.i.i.d., P (A) assume soltanto i valori 0 e : È altrettanto vero che ogni evento A 2 T essendo indipendente dai valori assunti da ; ::; n ; 8n ; è invariante per permutazioni nite. Quindi la Legge 0- di Kolmogorov nel caso di una successione di v.a.i.i.d., risulta essere un corollario di quella di Hewitt-Savage. 5

3 Successioni di v.a. stazionarie (in senso stretto) Sia R N 3 u 7! Su 2 R N l applicazione tale che 8i ; (Su) i = u i+ e 8B 2 C sia S B := fu 2 R N : Su 2 Bg : (27) Dunque, 8n 2; S n B = S S (n ) B : Inoltre, se B 2 C; da (20) segue che, 8n ; A S n B = f! 2 : S n (!) 2 Bg : (28) De nizione 9 Sia = f i g i una successione di v.a. de nita sullo spazio di probabilità (; F; P) : Un evento A 2 F è detto invariante relativamente alla successione se 9B 2 C tale che 8n A := f! 2 : S n (!) 2 Bg : (29) Sia inoltre I la algebra generata dalla collezione di tali insiemi. De nizione 0 Una v.a. de nita sullo spazio di probabilità (; F; P) è detta invariante relativamente alla successione se è I misurabile, ovvero se esiste una v.a. ' de nita su R N ; C tale che = ' = ' S: De nizione Una successione di v.a. = f i g i de nita su (; F; P) è detta stazionaria (in senso stretto, rispetto a P) se 8B 2 C; n P (A B ) = P (A S n B) : De nizione 2 Una successione di v.a. = f i g i de nita su (; F; P) ; stazionaria, è detta ergodica (rispetto a P) se, 8A 2 F invariante rispetto a ; P (A) può assumere solo i valori zero e uno. Proposizione 3 Ogni evento invariante per la successione di v.a. = f i g i de nita su (; F; P) appartiene alla algebra di coda. Dimostrazione: T = T n F n ; ma F n è la algebra generata dalla successione S n quindi T = T n S n F con F F la algebra generata dalla collezione d insiemi fa B g B2C : Poiché se A è invariante, per de nizione 9B 2 C tale che 8n ; A 2 S n F = F n : A = f! 2 : S n 2 Bg; (30) Osservazione 4 Se = f i g i è una successione di v.a.i.i.d., è stazionaria in senso stretto. Quindi, poiché la algebra degli insiemi invarianti è contenuta nella algebra di coda, l ergodicità della successione segue dalla Legge 0- di Kolmogorov. 6

Teorema 5 (Ergodico massimale) Sia = f i g i una successione di v.a. de nite sullo spazio di probabilità (; F; P) stazionaria e tale che 2 L (; F; P) : Sia 8n ; S n := P n k= k e M n := max f0; S ; ::; S n g : Allora, E f!2:mn(!)>0g 0 : (3) Dimostrazione: Poiché 8n sia M n che S n dipendono soltanto dal vettore aleatorio ( ; ::; n ) ; siano M n ; S n variabili aleatorie su R N ; C tali che M n = M n ; S n = S n : Allora, 8 k n; M n S S k S : (32) Perciò Quindi, Allora e + M n S S k S + = S k+ : (33) Mn S = S Mn S : (34) max S ; ::; S n Mn S (35) E f!2:mn(!)>0g E max S ; ::; S n Mn S f!2:mn(!)>0g : (36) Ma Quindi, max S ; ::; S n f!2:mn(!)>0g = M n : (37) E f!2:mn(!)>0g E Mn Mn S f!2:mn(!)>0g E Mn Mn S = 0 (38) poiché dato che è stazionaria d = S: Teorema 6 (Ergodico per successioni di v.a. stazionarie) Sia = f i g i una successione di v.a. de nite sullo spazio di probabilità (; F; P) ergodica rispetto a P; tale che 2 L (; F; P) : Allora, la successione di v.a. Sn n n tale che, 8n ; S n := P n k= k; converge a E [ ] P-q.c.. S Dimostrazione: Siano := lim n n n E [ ji] S e := lim n n n E [ ji] : Poiché è invariante, ovvero è I misurabile, 8 > 0; A := f! 2 : (!) > g è invariante. De niamo 8i i := ( i E [ ji] ) A (39) 7

e poniamo S k := Allora, poiché M n M n+; kx l ; Mn := max f0; S; ::; Sng : (40) l= f! 2 : M n (!) > 0g! 2 : M n+ (!) > 0 ; (4) dunque, lim f! 2 : M n (!) > 0g =! 2 : sup n! n Sn (!) =! 2 : sup > 0 = n n Sn (!) > 0 S n (!)! 2 : sup n n E [ ji] > \ A ma, poiché allora perciò S n (!) sup n n inf sup S n (!) k nk n S n (!)! 2 : sup n n = + E [ ji] ; (42) E [ ji] > A (43) lim f! 2 : M n (!) > 0g = A : (44) n! Inoltre, poiché 2 L (; F; P) ; anche 2 L (; F; P) dato che, E [j j] E [j j] + : Pertanto, per il Teorema ergodico massimale, 8n ; E f!2:m n (!)>0g 0: Dunque, poiché A 2 I; = E [ 0 lim E n! f!2:m n (!)>0g A ] = E [( E [ ji] ) A ] (45) = E [ A E [ A ji]] P (A ) = P (A ) ; ovvero 8 > 0; P (A ) = 0; il che implica 0 P-q.c.. Considerando al posto di ; la successione f i g i si ha che Sn lim + E [ n n ji] = (46) da cui segue 0 P-q.c., cioè 0 P-q.c.. Quindi, 0 0 P-q.c., ovvero ma poiché la successione è ergodica, E [ ji] = E [ ] P-q.c.. S n lim n! n = E [ ji] P-q.c., (47) 8

3. Introduzione alla teoria ergodica De nizione 7 Sia (; F) uno spazio misurabile. Un applicazione T :! è detta misurabile se, 8A 2 F; T A := f! 2 : T! 2 Ag 2 F : (48) De nizione 8 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità. Un applicazione T : preservare la misura se è misurabile e se 8A 2 F;! è detta P (A) = P T A ; (49) ovvero se per ogni v.a. de nita su (; F; P) si ha E [] = E [ T ] : Proposizione 9 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità, una v.a. su di esso de nita e T :! un applicazione che preserva la misura. Ponendo per k = ; := e, 8k 2; k := T k ; la successione di v.a. = f k g k è stazionaria. Dimostrazione: 8B 2 C; A S B = f! 2 : S (!) 2 Bg = f! 2 : (T!) 2 Bg : (50) Pertanto,! 2 A S B () T! 2 A B ; ovvero A S B = T A B : Ma siccome T preserva la misura P (A S B) = P (T A B ) = P (A B ) : Ripetendo questo argomento per A S k B con k 2 si ha la tesi. Proposizione 20 Sia una successione di v.a. stazionaria de nita su uno spazio di probabilità (; X ; Q) : Allora si può costruire uno spazio di probabilità (; F; P) ; una v.a. su di esso de nita e un applicazione T :! che preserva la misura tale che la successione di v.a. ; de nita su (; F; P) come nella proposizione precedente coincide con in distribuzione. Dimostrazione: Poniamo := R N ; F := C; P := Q ; T := S e tale che R N 3 u 7! (u) := u 2 R: Allora 8n e ogni B 2 B (R n ) ; Poiché è stazionaria si ha T C (B) = f! 2 : S! 2 C (B)g = f! 2 : (! 2 ; ::;! n+ ) 2 Bg (5) = f! 2 : (( T ) (!) ; ::; ( T n ) (!)) 2 Bg =! 2 : 2 (!) ; ::; n+ (!) 2 B : P (C (B)) = Q fx 2 : ( (x) ; ::; n (x)) 2 Bg (52) = Q x 2 : 2 (x) ; ::; n+ (x) 2 B = P T C (B) ; 9

ovvero T preserva la misura. Inoltre, siccome 8n e ogni B 2 B (R n ) ; P (C (B)) = P f! 2 : ( (!) ; ::; n (!)) 2 Bg = (53) Q fx 2 : ( (x) ; ::; n (x)) 2 Bg ; d = : Esempio Un esempio di trasformazione che preserva la misura è il usso di fase hamiltoniano che, per il Teorema di Liouville, conserva la misura di Lebesgue nello spazio delle fasi. Teorema 2 (di ricorrenza di Poincaré) Sia (; F; P) uno spazio di probabilità, T :! un applicazione che preserva la misura e A 2 F: Allora, P-q.c. se! 2 A; T n! 2 A per in niti valori di n : Dimostrazione: Sia N 0 (A) := f! 2 A : T n! =2 A; 8n g = \ n An f! 2 A : T n! 2 Ag (54) = An [ n f! 2 :! 2 A; T n! 2 Ag l insieme degli elementi di A la cui immagine sotto le trasformazioni della famiglia ft n g n non appartiene ad A: Siccome 8n ; N 0 (A) \ T n N 0 (A) =?; allora, 8m ; T m N 0 (A) \ T (m+n) N 0 (A) =? : (55) Siccome T preserva la misura ft n N 0 (A)g n è una successione d insiemi disgiunti di uguale misura X P T n N 0 (A) P () = ; (56) n P (N 0 (A)) = P (N 0 (A)) + X n ovvero P (N 0 (A)) = 0: Quindi, per P-quasi ogni! 2 A; T n! 2 A per almeno un n : Questo argomento si può ripetere sostituendo T k A ad A; 8k : Pertanto, poiché posto 8k ; N k (A) := N T k A ; P (N k (A)) = 0; quindi 8! 2 AnN (A) ; dove N (A) := S k0 N k (A) ; 8m ; 9n m tale che (T m ) nm! 2 A: Dunque, T n! 2 A per in niti valori di n : Corollario 22 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità, T :! un applicazione che preserva la misura e una v.a. non negativa. Allora, P-q.c. su f! 2 : (!) > 0g ; (!) + X k T k! = : (57) 0

Dimostrazione: Sia A n :=! 2 : (!) : Allora, per il teorema precedente, P-q.c. n su A n ; (!) + X T k! = ; (58) k quindi anche su S n A n = f! 2 : (!) > 0g :! un applicazione mis- De nizione 23 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T : urabile. Un evento A 2 F è detto invariante per T se T A = A; quasi invariante per T se P (A4T A) = 0: Chiaramente sia la collezione degli eventi invarianti I T che quella degli eventi quasi invarianti IT sono subalgebre di F: In particolare, I T IT F: Lemma 24 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T :! un applicazione che preserva la misura. Se A 2 IT allora 9B 2 I T tale che P (A4B) = 0: Dimostrazione: Sia B := lim n T n A = T S n kn T k A: Allora, T B = B quindi B 2 I T : Inoltre, A4B = A4T A [ ma T preserva la misura, quindi da cui segue che P (A4B) = 0: [ k T k A4T (k+) A! ; (59) P T k A4T (k+) A = P A4T A = 0 (60) De nizione 25 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T :! un applicazione misurabile. Una v.a. è detta invariante per T se è I T -misurabile, ovvero (B (R)) I T ; o, equivalentemente = T: Allo stesso modo si dirà quasi invariante per T se è IT -misurabile ( (B (R)) IT ). De nizione 26 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T :! un applicazione misurabile. Un evento A 2 I T è detto metricamente indecomponibile se non si può rappresentare come unione disgiunta di una coppia d eventi invarianti di W propabilità positiva, ovvero @A ; A 2 2 I T tali che A \ A 2 =?; P (A ) ; P (A 2 ) > 0 e A = A A2 : De nizione 27 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità. Un applicazione T :! che preserva la misura è detta ergodica o metricamente transitiva se 8A 2 I T ; P (A) può assumere soltanto i valori zero e uno.

Proposizione 28 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T :! un applicazione ergodica. Allora ogni evento invariante di probabilità positiva è metricamente indecomponibile se e solo se ha probabilità uno. Dimostrazione: =) T è ergodica, quindi per de nizione ogni evento invariante di probabilità positiva ha probabilità uno. (= Sia A 2 I T tale che P (A) = : Se A non fosse metricamente indecomponibile esisterebbero A ; A 2 2 I T disgiunti tali che P (A ) ; P (A 2 ) > 0 e A = A W A2 : Ma siccome T è ergodica P (A ) = P (A 2 ) = = P (A) ; (6) perciò si avrebbe che = P (A) = P (A ) + P (A 2 ) = 2 : (62) Lemma 29 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T :! un applicazione che preserva la misura. Allora, T è ergodica se e solo se ogni evento quasi invariante ha probabilità zero o uno. Dimostrazione: =) Se T preserva la misura, dal Lemma 24 segue che se A 2 I T allora 9B 2 I T tale che P (A4B) = 0: Inoltre, se T è ergodica, la probabilità di un qualsiasi evento invariante, quindi anche di B; può assumere soltanto i valori zero e uno, dunque lo stesso vale per la probabilità di A: (= Segue dal fatto che I T I T : Teorema 30 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità e T : preserva la misura. Le seguenti a ermazioni sono equivalenti:! un applicazione che. T è ergodica. 2. Ogni v.a. quasi invariante per T è costante P-q.c.. 3. Ogni v.a. invariante per T è costante P-q.c.. 2

Dimostrazione: ) =) 2) Se è quasi invariante, allora 8c 2 R; A c := f! 2 : (!) cg 2 IT ; e siccome T è ergodica P (A c ) può assumere soltanto i valori zero e uno. Posto := sup fc 2 R : P (A c ) = 0g ; siccome A c per c! e A c #? per c! allora jj < : Dunque, P f! 2 : (!) < g = P [ n! 2 : (!)! = 0 : (63) n Allo stesso modo si ha che P f! 2 : (!) > g = 0; dunque P f! 2 : (!) = g = : 2) =) 3) Se è invariante è anche I T -misurabile perché I T I T : 3) =) ) Dato A 2 I T ; allora A è una v.a. invariante per T che per ipotesi è costante P-q.c.. Ma poiché A 2 f0; g ; P (A) può assumero soltanto i valori zero e uno e dunque T è ergodica. De nizione 3 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità. Un applicazione T : preserva la misura è detta mixing se 8A; B 2 F! che lim P A \ T n B = P (A) P (B) : (64) n! Teorema 32 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità. Ogni applicazione T : è ergodica.! mixing Dimostrazione: 8A 2 F; B 2 I T poiché T è mixing, 8n ; si ha P (A \ B) = P A \ T n B = P (A) P (B) (65) che, ponendo A = B; implica P (B) = P 2 (B) ; ovvero che ogni insieme invariante ha probabilità o zero o uno. Teorema 33 (di Birkho -Khinchin) Sia (; F; P) uno spazio di probabilità, T :! un applicazione che preserva la misura e 2 L (; F; P) : Allora, # Xn lim + T k = E [ji T ] P-q.c.. (66) n! n k= Se inoltre T è ergodica E [ji T ] = E [] P-q.c.. 3

Dimostrazione: Ponendo per k = ; := e, 8k 2; k := T k ; per la Proposizione 9, la successione di v.a. = f k g k è stazionaria, quindi la tesi segue dal Teorema ergodico per successioni di v.a. stazionarie. Inoltre, se T è ergodica, dato che E [ji T ] è I T -misurabile è invariante e quindi, per il Teorema 30 P-q.c. costante, ovvero E [ji T ] = E [] P-q.c.. Corollario 34 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità. Un applicazione T :! che preserva la misura è ergodica se e solo se 8A; B 2 F Xn lim P (A \ B) + P A \ T k B # = P (A) P (B) : (67) n! n Dimostrazione: k= =) Se T è ergodica, per il Teorema di Birkho -Khinchin 8B 2 F # # Xn lim B + B T k Xn = lim B + n! n n! n T k B = P (B) P-q.c.. (68) k= Quindi, per il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata, Xn lim P (A \ B) + P A \ T k B # (69) n! n k= # Xn = lim E [ A\B ] + E [ n! n A\T B] k k=!# = E A lim n! n Xn B + T k B = P (A) P (B) : (= Posto A = B 2 I T ; 8k ; si ha A \ T k B = A \ B = B: Quindi, la (67) implica P (B) = P 2 (B) ; cioè che ogni insieme invariante ha probabilità o zero o uno. k= k= Teorema 35 Sia (; F; P) uno spazio di probabilità, T :! un applicazione che preserva la misura e 2 L (; F; P) : Allora, # lim Xn + T k E [ji T ] n! n = 0 : (70) k= Se inoltre T è ergodica E [ji T ] = E [] P-q.c.. 4

Dimostrazione: Siccome 2 L (; F; P) ; 8 > 0; 9M > 0 e una v.a. 2 L (; F; P) tale che j j M < e E j j : Allora, ponendo, per k = ; := ; 8k 2; k := T k e dunque 8n ; S n := P n k= k nonché, de nendo allo stesso modo S n; si ha E S n E [ji T ] n E nx n + T k T k # + (7) k=2 + E S n E [ ji T ] n + E je [ji T ] E [ ji T ]j : S n Per il Teorema di Birkho -Khinchin lim n! n = E [ ji T ] P-q.c. ma, dato che è limitata, per il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata lim E S n n! E [ ji T ] n = 0 : (72) Inoltre, E T k T k come pure je [ji T ] E [ ji T ]j = je [( ) ji T ]j E [j j ji T ] : (73) Pertanto, 8 > 0; E S n n E [ji T ] 2: Se inoltre T è ergodica, E [jit ] = E [] P-q.c.. 5