FREQUENZA TEORICA E FREQUENZA PERCENTUALE Lezione n. 13 Finalità: Enunciare le definizioni maturate attraverso l esercitazione pratica. Sistematizzare concetti e definizioni Metodo: Sperimentazione pratica e compilazione delle schede. Lettura delle OSSERVAZIONI Materiali didattici: Schede di gruppo e dadi, schede individuali. Lavorare in gruppo sulla statistica Si è proposto alla classe un lavoro di gruppo su PROBABILITÀ E STATISTI- CA per correlare i due argomenti. Nella prima parte si è considerato il lancio di due dadi e si è riportato l ortogramma della probabilità teorica dell evento somma di due dadi indicando i valori, espressi in percentuale, delle probabilità di ogni risultato, come nel grafico seguente elaborato dalla classe, con l aiuto dell insegnante: % risultati Di seguito si è proposto l esercizio pratico del lancio di due dadi, invi- 120
tando i ragazzi a riportare la raccolta dei risultati ed il valore di tutti i tipi di frequenza studiati in tabelle opportunamente preparate. Con questa scheda si è proposto alla classe di percorrere tutti i passi per la costruzione di una statistica tranne la rappresentazione delle informazioni, che è stata svolta in una lezione successiva nel laboratorio di informatica. Dopo l esercizio pratico e la compilazione della scheda si è chiesto di calcolare alla lavagna il valore della moda, della mediana e della media aritmetica della situazione considerata. Da questo discorso si è preso spunto per introdurre le percentuali. Si è partiti dall esempio dei saldi di fine stagione e dai cartelli esposti nelle vetrine dei negozi per capire il valore di quei numeri caratterizzati dal segno %. L insegnante, dopo aver ascoltato le supposizioni errate degli alunni perché frutto di sola fantasia, ha fatto notare che una percentuale può essere risolta impostando una proporzione. Così i ragazzi, ritornando all esempio dei dadi, hanno calcolato la frequenza percentuale di tutti i possibili risultati ottenuti dalla somma di questi due, impostando di volta in volta le proporzioni. Questo lavoro è stato entusiasmante per i ragazzi che finalmente hanno capito come assegnare un significato critico a qualcosa di cui spesso hanno sentito parlare. Si è poi proposto un lavoro di gruppo per favorire il confronto tra gli alunni. Ancora una volta i ragazzi sono stati divisi in modo casuale attraverso l estrazione delle carte napoletane. Dalla correzione di tale esercizio si è osservato che i ragazzi hanno sbagliato solo nell assegnare il valore alla frequenza teorica. Il motivo di questo errore è stato quello di considerarla rispetto ai casi favorevoli ottenuti nelle prove pratiche e non in funzione della regola teorica. Infine la compilazione delle tabelle ha permesso di confrontare i risultati ottenuti dai vari gruppi, favorendo così la discussione. Osservazioni critiche Dopo la compilazione e la correzione della scheda, grazie ai dati ricavati, si sono potuti paragonare i valori della frequenza osservata con quelli teorici. Infatti alla lavagna si sono riportati i valori dell evento Ei = somma di due dadi con i=1,2,,12 ottenuti dai vari gruppi ed il rispettivo valore teorico, poi si sono confrontati. Da ciò si è evinto che la frequenza osservata ha 121
122 fornito informazioni poco diverse da quelle ricavate con la frequenza teorica. Questo ha fatto notare che nell esperienza pratica le cose non si sono realizzate esattamente come nel calcolo teorico, ma, quando si è fatto tendere all infinito la serie di prove, si è potuto notare che i due valori sono coincisi. Si è così enunciata la regola dei grandi numeri. Infine si sono lette e commentate le OSSERVAZIONI, nelle quali si sono riportate le definizioni di frequenza assoluta, relativa, percentuale, teorica e di probabilità statistica.
Scheda n. 11 Probabilità e statistica Riprendiamo in considerazione il lancio di due dadi e consideriamo l evento: somma dei due dadi. L analisi della probabilità teorica di ottenere un certo risultato, ha permesso di trovare questi risultati: 0 p (1)= = 0 = 0%; 1 2 p (2)= = 0,027 = 2,8% circa; 2 1 2 p (3)= = = 0,05 = 5,6% circa; 18 3 1 2 p (4)= = = 0,083 = 8,3% circa; 12 4 1 2 p (5)= = = 0,1 = 11,1% circa; 9 5 2 p (6)= = 0,138 = 13,9% circa; 6 1 2 p (7)= = = 0,16 = 16,7% circa; 6 5 2 p (8)= = 0,138 = 13,9% circa; 4 1 2 p (9)= = = 0,1 = 11,1% circa; 9 3 1 2 p (10)= = = 0,083 = 8,3% circa; 12 2 1 2 p (11)= = = 0,05 = 5,6% circa; 18 1 2 p (12)= = 0,027 = 2% circa; In questo elenco p( ) indica il valore teorico della probabilità di avere come risultato del lancio di due dadi. Riportiamo i risultati in un ortogramma: 123
Prova a lanciare per 5 volte due dadi e raccogli i risultati della loro somma nella seguente tabella: LANCIO DEI DADI 1 2 3 4 5 CONTEGGIO DEI RISULTATI 1 ragazzo 2 ragazzo 3 ragazzo somma dei due dadi somma dei due dadi somma dei due dadi In seguito ai risultati ottenuti sopra compila la seguente tabella: RISULTATO SOMMA DADI 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N di volte Calcola il valore delle seguenti frequenze: RISULTATO SOMMA DEI DUE DADI 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Frequenza assoluta CONTEGGIO DEI RISULTATI Frequenza assoluta Frequenza assoluta Frequenza assoluta 124
Rappresenta graficamente, con un ortogramma, i risultati della tabella; poi confronta l ortogramma ottenuto con quello iniziale, che cosa noti? Osservazioni n. 5 Definiamo frequenza assoluta il numero di casi rilevati in relazione a un certo fenomeno o situazione. Ad esempio, lanciando sessanta volte i dadi si è ottenuto il risultato 5 sette volte: 7 è la frequenza assoluta del risultato 5. Definiamo frequenza relativa il numero di casi rilevati, in relazione a un certo fenomeno o situazione, che presentano una certa proprietà in rapporto alla totalità dei casi considerati. Nel nostro esempio il risultato 5 si è ottenuto sette volte su sessanta lanci, cioè la frequenza relativa del risultato 5 è stata 7/60. Definiamo frequenza percentuale l espressione sotto forma percentuale del rapporto rilevato con la frequenza relativa. Nel nostro esempio la frequenza relativa era 7/60, cioè in percentuale 11,7% circa. Definiamo frequenza teorica l espressione della probabilità calcolata logicamente, cioè il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di tutti i casi possibili, quando questi possono essere considerati equipossibili. Ad esempio, nel lancio di due dadi la frequenza teorica che esca 5 come risultato della somma dei due dadi è 4/ = 1/9 = 11,1% circa. REGOLA La probabilità statistica è data dal rapporto rilevato sperimentalmente tra il numero di prove favorevoli e la totalità delle prove ripetute. REGOLA: Legge dei grandi numeri La legge dei grandi numeri afferma che al crescere delle prove ripetute il valore della probabilità statistica si avvicina progressivamente al valore della probabilità calcolata teoricamente. 125
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