Riflessioni sulla prova di Matematica Maggio 2016 Nell ambito della rete Dai tre anni all Università il gruppo di matematica del progetto Curriculum Verticale nel suo primo anno di lavoro ha concentrato la sua attività nell analisi delle difficoltà riscontrate all inizio della Scuola Secondaria di secondo grado e confrontandosi sui diversi aspetti delle attività svolte nei tre anni della Scuola secondaria di primo grado. Sia il gruppo di Matematica che il gruppo di Lettere si erano dati come obiettivo la formulazione di una prima prova comune a tutti i ragazzi del terzo anno della Scuola di primo grado da svolgersi a Febbraio per poi predisporne una definitiva per il mese di maggio. Il gruppo di Matematica confrontandosi sulle conoscenze e competenze sviluppate nella Secondaria di primo grado ha ritenuto che fosse necessaria operare una selezione tra di esse considerando i seguenti aspetti: Individuazione delle conoscenze e competenze che siano prerequisito concettuale per lo sviluppo del calcolo algebrico e dell introduzione alla geometrica analitica nel primo biennio delle superiori. Questo ha portato alla formulazione delle domande 1,2,3,6,7,9 della prova Individuazione di situazioni problematiche che facessero riferimento al programma svolto nell anno scolastico appena svolto la cui formulazione non ricalcasse problemi classici svolti durante l anno. In questa direzione sono la formulazione delle domande 4 e 5 della prova. Si è poi ritenuto opportuno l inserimento di una domanda che fosse stata utilizzata in un indagine internazionale, e questo ha portato all inserimento della domanda 8 che è parte delle prove rilasciate dalle prove OCSE-PISA (indagine rivolta ai quindicenni di 86 nazioni) Il compito è stato proposto in 4 Scuole Secondarie di primo grado per un totale di 354 alunni. Al fine di dare una valutazione comparativa dei risultati ottenuti si sono individuate domande relative agli stessi contenuti concettuali utilizzate in ambito nazionale (prove Invalsi) o in ambito internazionale (OCSE-PISA). Questo confronto non è stato però possibile per tutte le domande. I risultati sono sintetizzati nell istogramma qui di seguito riportato:
Riportiamo ora le singole domande della prova costruita dai docenti del gruppo, indicate con la lettera P, e di seguito la domanda con cui è stata confrontata e da un breve commento: P1) Un numero naturale n scomposto in fattori primi è pari a. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) n è divisibile per 16 b) n è divisibile per 6 c) n è divisibile per 35 d) n è divisibile per 0 Invalsi I Secondaria di Primo grado D11 anno 2010 La domanda proposta agli alunni del terzo anno è più complessa di quella dell Invalsi essendo presenti, nella scomposizione in fattori, le potenze ed inoltre la risposta corretta è individuata dal prodotto di due dei fattori. La prova dell Invalsi è rivolta ad alunni del primo anno ma l Invalsi considera corretta la risposta se tutte e quattro le risposte sono corrette. Il risultato riportato nella prova dai ragazzi più grandi è decisamente buono (90,8%) ed evidenzia che la scomposizione in fattori primi ed il suo significato ai fini della divisibilità è una conoscenza ormai ben assimilata (l argomento viene sviluppato tra la prima e seconda media). P2) Individua quale numero scomposto in fattori primi rappresenta il minimo comune multiplo dei seguenti numeri n = 2 4 5 3 7 m = 3 5 a) 2 4 5 2 7 b) 5 2 c) 5 3 d) 2 4 5 3 7 P3) Il risultato di è: a) 5 5 3 6 b) 5 9 16 c) 5 6 3 8 d)5 5 3 8
P4) Un gruppo di amici deve prenotare per il campeggio estivo e, telefonando al camping, viene chiesto loro i metri quadri di terreno che intendono occupare considerando che viene concesso uno spazio aggiuntivo per ogni tenda di 20 m 2. Se il volume della tenda riportato sulla confezione è di 2 m 3 ed è alta 15 dm, quanti metri quadri di terreno gli verranno concessi? a) 4 m b) 24 m 2 c) 4 m 2 d)24 dm 2 Scrivi i calcoli svolti: P5) L attrezzo disegnato accanto si chiama piantatoio ed è utilizzato per eseguire lavori manuali di piantumazione. Calcola la quantità di terra (ps 1,8) che è in grado di spostare se ha una circonferenza massima di 6πcm e può raggiungere una profondità massima nel terreno di 21 cm. a) 113,4 g c) 356,076 g Scrivi i calcoli svolti: b) 197,82 g d) 534,114 g
Invalsi Prova Nazionale (III anno Scuola Secondaria di Primo grado) 2012 Le due domande sono effettivamente paragonabili, in entrambi i casi si deve calcolare un volume ed in entrambi il peso della terra spostata. Nel caso dell Invalsi il volume è leggermente più semplice ma considerando che i ragazzi hanno affrontato i volumi dei solidi proprio nel secondo quadrimestre dell ultimo anno non riteniamo che chiedere il calcolo del volume di un cono sia molto diverso che calcolarlo per un cilindro. I ragazzi coinvolti nel progetto Curricolo verticale sono andati meglio (59,13% ) rispetto ai risultati nazionali dell Invalsi (43,10%) ma il confronto è ancora più soddisfacente se si prende la percentuale di risposte corrette alla seconda domanda dell Invalsi che risulta essere del 32,4%. La seconda domanda è però posta in modo significativamente diverso nelle due prove. Nella prova proposta dal nostro gruppo si indica il peso specifico ed ai ragazzi è stato insegnato che il peso è dato dal prodotto del volume per il peso specifico. La vera difficoltà quindi per loro è riconoscere nell attrezzo proposto un cono, calcolare il raggio del cerchio e riconoscere che la profondità a cui arriva è da considerarsi l altezza del cono. Nell esercizio proposto dall Invalsi non viene dato direttamente il peso specifico ma si parla di densità; poichè si utilizzano le stesse unità di misura (metri cubi) occorreva anche in questo caso fare solamente un prodotto ma l espressione densità e l introduzione di un rapporto hanno
decisamente bloccato i ragazzi che, oltre a rispondere esattamente solo per il 32,4%, per il 29,8% preferiscono non affrontare il quesito. P6) Quale delle seguenti espressioni esprime il perimetro del rettangolo rappresentato? a) b) c) d) Invalsi Prova Nazionale (III anno Scuola Secondaria di Primo grado) 2011 In questo caso la prova dell Invalsi risulta avere una doppia difficoltà: la soluzione del problema in forma letterale e successivamente il calcolo algebrico, mentre la prova proposta dalle nostre insegnanti è solo la scrittura corretta della soluzione del problema ma non il successivo calcolo algebrico. D altra parte il calcolo proposto nella prova Invalsi è un calcolo legato solo ai monomi mentre nella nostra prova vi è una difficoltà legata alla sintassi della scrittura in matematica. Nella nostra prova la percentuale di risposte corrette è dell 88,2% mentre nella prova Invalsi è del 77,2%.
P7) Dato il seguente prodotto: 7x6x30, quale delle seguenti espressioni ne rappresenta il doppio? a) 14x6x15 b) 7x12x30 c) 14x12x60 d) 14x12x30 P8) Un carpentiere ha 32 metri di tavole di legno e vuole fare un recinto a un giardino. Per il recinto prende in considerazione i seguenti progetti. A B C Indica per ciascun progetto se è possibile realizzarlo con 32 metri di tavole. Metti una crocetta sulla risposta che ritieni esatta. Progetto per il recinto Utilizzando questo progetto, si può realizzare il recinto con 32 metri di tavole? Progetto A Progetto B Progetto C SI / NO SI / NO SI / NO OCSE-PISA
L indagine OCSE-PISA è rivolta ad alunni quindicenni sia regolari nel corso degli studi (quindi frequentano un secondo anno di secondaria superiore) sia posticipatari (che sono quindi qualche anno indietro) e non si basa sui programmi svolti nelle scuole dei singoli paesi aderenti all indagine. La domanda che qui è stata utilizzata è considerata a livello 6 di difficoltà (il più alto) nella literacy di matematica. I risultati ottenuti nell indagine internazionale sono stati del 12,3% di risposte tutte e quattro corrette, del 27,9% di tre risposte corrette su quattro. Possiamo immaginare che la risposta maggiormente sbagliata sia stata la C e quindi confronteremo la percentuale complessiva della prova dei ragazzi del progetto con questa. Il nostro gruppo ha scelto di inserire questo quesito eliminando una delle quattro figure perché ben si inserisce nelle competenze da sviluppare nella scuola secondaria di primo grado. I nostri risultati sono suddivisi nelle tre domande ed essendo le tre figure di facilità crescente troviamo via via risultati migliori. Ma già nella prima percentuale la differenza con i risultati della prova OCSE- PISA è notevole essendo per noi la percentuale di risposte esatte più bassa del 64,73%. Una riflessione viene da fare essendo le prove state rilasciate ormai 8 anni fa: in questi otto anni nelle scuole ci si è abituati a una metodologia di lavoro più improntata ad una riflessione sulle conoscenze che si acquisiscono e la grossa differenza dei valori percentuali ottenuti può forse essere così motivata. A conferma di questo possiamo prendere la domanda che l Invalsi propone nella prova Nazionale del 2014: Come si può vedere la difficoltà è analoga a quella del primo schema e qui la percentuale di risposte corrette è del 53%, e corrisponde a quella riportata nell istogramma riassuntivo iniziale.
P9) Indica per la seguente retta la sua equazione tra quelle date: a) b) c) d) Invalsi Prova Nazionale (III anno Scuola Secondaria di Primo grado) 2008
SNV II anno Scuola secondaria superiore 2014 Vengono qui proposte due domande come confronto dei risultati ottenuti dai ragazzi delle nostre scuole, entrambe non sono perfettamente paragonabili all esercizio da noi proposto. La prima, rivolta agli alunni del terzo anno della scuola secondaria di primo grado, è più una prova di lettura del piano cartesiano e di riconoscimento di una legge che lega questi numeri. Era il primo anno che i ragazzi svolgevano una prova di questo tipo e il risultato è quindi relativamente significativo. Comunque la percentuale ottenuta non fu bassa perché è del 70,3%. La seconda domanda che si pone a confronto è rivolta ad alunni del II anno delle scuole superiori e non si deve scegliere tra più risposte ma riconoscere l equazione della retta dalle caratteristiche grafiche. L associazione che è paragonabile all esercizio da noi proposto è la retta F con la seconda equazione e la percentuale di risposte corrette è stata del 30,8%. I ragazzi al nostro quesito hanno risposto per il 66,59% in modo corretto.