Progress along the lines of the Einstein classical program

Andrea Carati Luigi Galgani Progress along the lines of the Einstein classical program An enquiry on the necessity of quantization in light of the modern theory of dynamical systems Anno Accademico 2016 2017

2 Andrea Carati e Luigi Galgani

Preface It is well known that, concerning quantum mechanics ( or QM), Einstein was always dissatisfied with its current interpretation, which he liked to qualify as orthodox". Indeed, along all of his life, starting from the first Solvay Conference of the year 1911, and especially after that of the year 1927 in which the interpretation was fixed, he continued to maintain that it should be possible to implement some kind of classical program", amounting to reproduce the predictions of QM through a theory having a realistic character. What should be meant by realistic" was not complelely clear. It is certain. however, that he would have agreed in qualifying as realistic a theory formulated in terms of orbits satisfying Newton s equations. Such a program was implemented quite recently, as will be illustrated in these notes, in a particular domain, that of the infrared spectra of ionic crystals. Indeed, the infrared spectrum of Lithium Fluoride was reproduced in purely classical terms, in good agreement with the quantum predictions and with experiments. True, this is not yet a spectrum which involves the motions of the electrons, as occurs in the paradigmatic case of the Hydrogen atom. But in any case it is a counterexample to the validity of the dogma no energy levels? no lines!", that in the words of Born reads: The existence of sharp spectral lines and the great stability of atoms are phenomena which from the classical standpoint are perfectly unintelligible" ( Atomic Physics, pag. 103). Thus, at least this counterexample shows that in the problem of the relations between Classical Physics and QM there is still much to be understood. And even more. Because, still in the case of ionic crystals, classical microscopic theory exhibited the existence of a topological phenomenon characterizing polaritons, which could not yet be proven in the frame of QM. Aim of the present notes is to retrace historically, through a study of the relevant original papers, the crucial critical points where classical physics was judged to fail, and the new mechanics was introduced, reconsidering such points in light of the progress made along the lines of the Einstein classical program. Three are the critical points considered. First of all the equipartition principle, which gave origin to the quantization of the harmonic oscillator, with Planck s law in the year 1900. Then the problem of the atomic spectra, which led to he revolution of the years 1925 1927. And finally that of the quantum phenomena that came to light after the work of Bell of the year 1964. These thi

ii Andrea Carati e Luigi Galgani ree subjects, and the corresponding steps performed along the classical program, are discussed in the three parts in which the present notes are subdivided. The progress along the Einstein program was made possible by the new results that became available after the year 1954 in the theory of dynamical systems. A crucial point was realizing that in general one has coexistence of ordered and of chaotic motions. And, furthermore, that this occurs in macroscopic systems too, against the diffuse opinion ( actually, an unfounded prejudice) that chaotic motions only could occur in the latter systems. For example, just by defnition spectral lines do not even show up, in completely chaotic systems. Some symbolic value should perhaps be attributed to the fact that in the same year 1954 one had a turning point in this connection, both at a physical level with the Fermi, Pasta, Ulam (or FPU) work, and at a mathematical level with the Kolmogorov theorem on invariant tori. The second modern" result, also going back to the year 1954, concerns statistical mechanics, and amounts to the Green Kubo methods for Linear Response Theory. This plays a fundamental role, both for the problem of energy equipartition ( the specific heat problem), and for the microscopic definition ( and computation) of atomic spectra. Finally, the third element concerns classical matter radiation interaction. Here one meets with two modern" results. First of all, there is the Wheeler Feynman ( or WF) identity, which was enunciated already in the year 1945, but was proven later, in the year 2003 for a particular model, and in the year 2014 for the general case. The identity plays a fundamental role in eliminating the instability of the Rutherford atom ( falling of the electrons on the nuclei) for a macroscopic number of charges. Then, there is the recognition of the singular perturbation character of the Abraham Lorentz Dirac ( or ALD) equation, which is the one governing the microscopic classical dynamics of a charged particle. It is this singular character that produces the existence of qualitative properties of the type that became familiar after Bell, and are usually considered to be characterisitc of quantum theory, and so unconceivable or unintelligible outside of it. The general conclusion seems to be as follows. In the critical points where QM was introduced, one apparently meets with situations where it is extremely difficult to state which precisely are the predictions of classical physics. QM shows up as a kind of genial invention which goes around such problems, giving clear and appropriate predictions, which however might turn out ( and in some cases were shown) to be compatible with the predictions of classical physics. Perhaps, even the extreme Einstein dream might prove to be true, viz. that QM be nothing but the statement of a theorem within classical physics. Andrea Carati and Luigi Galgani Milano, luglio 2017

Progress along the Einstein programm: Preface iii PS. These pages grew up as notes for a course on the Foundations of Physics. The objective is a critical and historical study of the original papers that gave rise to QM, regarded as inspirations for present research in Physics. As the course is open to undergraduate students, the notes, of a quite provisional character, are kept as much as possible at an elementary level.

iv Andrea Carati e Luigi Galgani

Indice Parte Prima: Planck Einstein e Poincaré, Kubo e Fermi 1 Prefazione alla prima parte............................. 1 1 Fermi, Pasta ed Ulam (FPU), 1954: critica su basi dinamiche del principio di equipartizione 3 1.1 Il lavoro FPU come lavoro di ricerca sulle relazioni tra MQ e fisica classica................................... 3 1.2 Il modello FPU, e i corrispondenti modi normali di oscillazione. 6 1.3 La scoperta di FPU: nonequipartizione dell energia a basse energie secondo la fisica classica, e il problema della caoticità dei moti 9 1.4 Il contributo di Chirikov: la congettura sulla soglia di caoticità al limite termodinamico............................. 13 1.5 La stima della soglia di Chirikov, come problema aperto...... 14 2 Boltzmann e la termodinamica statistica: la crisi del principio di equipartizione 17 2.1 L importanza del principio di equipartizione per il programma riduzionista nelle scienze della natura................... 17 2.2 Le teorie cinetiche e la scoperta di Clausius: l interpretazione meccanicistica della pressione e della temperatura........... 18 2.3 Il procedimento statistico di Boltzmann e la distribuzione di Maxwell Boltzmann.................................... 28 2.4 La distribuzione di Maxwell Boltzmann nel limite del continuo, e il teorema di equipartizione dell energia................ 45 2.5 Boltzmann contro l equpartizione..................... 57 3 Planck e il corpo nero: 19 ottobre e 14 dicembre 1900 59 3.1 Il corpo nero come sistema termodinamico.............. 59 3.2 I lavori di Planck................................ 69 3.3 Deduzione di Planck della legge di Wien................. 70 3.4 La comunicazione del 19 ottobre 1900.................. 79 3.5 La comunicazione del 14 dicembre 1900................. 81 v

vi Andrea Carati e Luigi Galgani 3.6 La seconda teoria" di Planck del 1911, come estremo tentativo di eliminare la quantizzazione e salvare la continuità......... 86 4 Einstein e i quanti, le fluttuazioni di energia, e le statistiche di Bose Einstein e di Fermi Dirac 87 4.1 Introduzione................................... 87 4.2 Il lavoro del 1905, sui quanti del campo elettromagnetico...... 88 4.3 Il lavoro del 1907 sui calori specifici.................... 93 4.4 Einstein e le fluttuazioni di energia, prima conferenza Solvay del 1911, La théorie du rayonnement et les quanta. Tutto va come se" il sistema fosse quantizzato......................... 98 4.5 Il lavoro sulle probabilità di transizione del 1917. Nuova deduzione della legge di Planck.......................... 104 4.6 I lavori di Bose ed Einstein del 1924 1925................ 107 4.7 Una anticipazione del classical program" in relazione al principio di equipartizione............................. 113 5 Poincaré 1912: sulla necessità della quantizzazione. La risposta (euristica) di Nernst, 1916 115 5.1 Introduzione................................... 116 5.2 L argomentazione semplificata: la quantizzazione del singolo oscillatore........................................ 117 5.3 Il lavoro di Poincaré.............................. 119 5.4 Osservazioni sulla necessità della quantizzazione........... 129 5.5 Primi tentativi di sostituire la quantizzazione con l esistenza di una soglia di caoticità: Planck 1911, Einstein Stern 1913, Nernst 1916........................................ 133 6 I tempi di rilassamento in termodinamica e in meccanica statistica. Da Boltzmann e Gibbs a Kubo 141 6.1 Introduzione................................... 141 6.2 Da Boltzmann a Gibbs. La formula di Einstein Boltzmann per il calore specifico................................ 145 6.3 Il processo di misurazione del calore specifico............. 152 6.4 Realizzazione matematica: il modello microscopico......... 153 6.5 Deduzione del secondo principio..................... 157 6.6 Calore specifico e dinamica. La formula alla Kubo e le correlazioni temporali. Generalizzazione della formula di Einstein Boltzmann.................................... 161 6.7 Osservazioni conclusive........................... 162 Parte Seconda: Heisenberg, Born, Dirac e Schrödinger, Wheeler Feynman e Kubo 165 Prefazione alla seconda parte............................ 165

Progress along the Einstein programm: Preface vii 7 Le righe spettrali del Fluoruro di Litio nell infrarosso 169 7.1 L indice di rifrazione secondo la meccanica statistica classica.... 170 7.2 Il modello di cristallo............................. 171 7.3 I risultati delle simulazioni.......................... 173 8 La teoria classica della dispersione della luce 175 8.1 La legge di Snell e l indice di rifrazione.................. 175 8.2 La teoria elettromagnetica della luce................... 182 8.3 La teoria della dispersione di Drude.................... 189 9 Dopo Rutherford: Bohr, la vecchia meccanica quantistica e il principio di corrispondenza 197 9.1 Un breve excursus storico. Da Bohr alla costruzione della MQ.. 197 9.2 Il modello planetario dell atomo, il principio di Rydberg Ritz ed il modello di Bohr............................... 203 9.3 The old quantum mechanics : quantizzazione alla Bohr Sommerfeld ed il principio di corrispondenza di Bohr................ 208 9.4 Il penultimo passo: The formal passage from classical mechanics to a quantum mechanics (Born, 1924)................. 213 10 Heisenberg, 29 luglio 1925 219 10.1 La nuova cinematica di Heisenberg................... 220 10.2 La regola di somma di Heisenberg come legge di quantizzazione per sistemi generici. Estensione di Born e Jordan alla familiare regola di quantizzazione [p, q] = i ħh.................. 225 10.3 Ruolo cinematico della legge di quantizzazione: determinazione degli autovalori delle osservabili, e delle loro rappresentazioni matriciali.................. 234 10.4 Ruolo dinamico della legge di quantizzazione: compatibilità ( formale) tra evoluzione di Heisenberg ed evoluzione classica.... 240 11 Schrödinger, 27 gennaio 1926 249 11.1 Il colpo d ala di Schrödinger: la meccanica ondulatoria e il ruolo degli stati.................................... 249 11.2 La deduzione dell equazione di Schrödinger, e la necessità di ambientarla in ambito complesso..................... 253 11.3 Ritorno alla idee centrale di de Broglie, come contaminazione della formula E = hν di Planck e della relazione massa energia di Einstein.......................... 262 11.4 Ritorno alla idea centrale di Schrödinger. L idea della meccanica ondulatoria", e deduzione della formula per la velocità di fase............ 264 11.5 Altri argomenti: NOTA PER GLI AUTORI............. 271

viii Andrea Carati e Luigi Galgani 12 Interazione classica tra radiazione e materia, parte I. L identità di Wheeler e Feynman e la causalità microscopica 273 12.1 Le equazioni di Maxwell microscopiche, la soluzione di Hertz per il dipolo elettrico, la formula di Larmor per l energia irraggiata, e la forza di reazione di radiazione..................... 274 12.2 I calcoli per la soluzione di Hertz..................... 280 12.3 Modello unidimensionale di dielettrico. Modi normali non irraggianti, Orbite atomiche stabili. L identità di Wheeler e Feynman...................... 286 12.4 Una formulazione generale dell identitè di WF............ 299 12.5 La teoria microscopica dei polaritoni................... 304 13 Interazione classica tra radiazione e materia, parte II. La teoria microscopica di Green Kubo per lo spettro, Kramers Kronig e la causalità macroscopica 305 13.1 Il passaggio dall elettromagnetismo microscopico all elettromagnetismo macroscopico............................ 306 13.2 Il teorema di Green Kubo per la polarizzazione............ 311 13.3 Le relazioni di Kramers Kronig, e la f sum rule.......... 315 13.4 Lo spettro discreto nel caso classico.................... 318 Parte Terza: EPR, Bell e Dirac 325 14 L elettrodinamica classica di Dirac, come teoria a parametri nascosti che viola la vital assumption di Bell 329 14.1 La forza di reazione di radiazione", l equazione di Abraham Lorentz Dirac (ALD) e il suo carattere perturbativo......... 329 14.2 Si apre il vaso di Pandora: il carattere di perturbazione singolare dell equazione di ALD............................ 330 14.3 La prescrizione nonrunaway di Dirac. Analogia con il problema della ricerca degli autovettori........................ 332 14.4 L effetto tunnel. Violazione della vital assumption di Bell...... 336 14.5 Il problema della causalità. Analogia con quello della irreversibilità 338 15 EPR, 1935 341 15.1 La formulazione ortodossa della meccanica quantistica, e il problema dei parametri nascosti........................ 342 15.2 Einstein, Podolski e Rosen (EPR)..................... 345 15.3 La risposta di Bohr. I commenti di Einstein e la sua profonda solitudine a Princeton............................ 350 15.4 The classical program, primo febbraio 1949............... 353

Progress along the Einstein programm: Preface ix 16 BELL, 1964 357 16.1 Il contributo di Bell.............................. 357 16.2 Un divertissement. L analogo delle disuguaglianza di Bell in un gioco del tipo gratta e vinci......................... 364 17 Problemi di carattere generale 367 17.1 Il punto di vista di Accardi. Ruolo delle probabilità condizionate 367 17.2 L esempio delle due fenditure come visto da Accardi......... 371 17.3 Il problema delle due fenditure come discusso da Feynman, e la critica di Koopman............................... 374