www.maefilia.i SESSIONE SUPPLETIVA - 26 PROBLEMA 2 Fissao k R, la funzione g k :R R è così definia: g k = e kx2. Si indica con Γ k il suo grafico, in un riferimeno caresiano Oxy. ) Descrivi, a seconda delle possibili scele di k R, l andameno della funzione g k. y = g k = e kx2 La funzione è definia su uo l asse reale per ogni valore di k, è sempre pari ed è sempre posiiva; per ogni k risula y() =. Disinguiamo ora i segueni casi: k = : la funzione divena la rea di equazione y =. k > : lim x ± e kx2 = + asinoo orizzonale y=. k < : lim x ± e kx2 = + ; non c è asinoo obliquo perché la funzione non è un infinio del primo ordine. Sudio della derivaa prima y = xe kx2 Se k > : y > per x < : la funzione è crescene per x< e decrescene per x>; x= è puno di massimo relaivo (e assoluo) con ordinaa y=. Se k < : y > per x > : la funzione è crescene per x> e decrescene per x<; x= è puno di minimo relaivo (e assoluo) con ordinaa y=. Sudio della derivaa seconda y = [e kx2 + x( xe kx2 )] = e kx2 ( x 2 ) Suppleiva 26 - Problema 2 / 5 www.maefilia.i
Se k > : y > se x 2 <, x 2 > : x < Quindi il grafico volge la concavià verso l alo se x < se < x < ; x = ± or x > or x > e verso il basso sono puni di flesso, con ordinaa y = e k( ) = e Se k < : y > se x 2 > : sempre verificao. Quindi il grafico volge sempre la concavià verso l alo; non ci sono flessi. Rappreseniamo nello sesso piano caresiano le funzioni per k=, k > (per comodià posiamo k =.5), e k < (per esempio k =.5): 2) Deermina per quali k R il grafico Γ k possiede puni di flesso e dimosra che, in ali casi, le ordinae dei puni di flesso non dipendono dal valore di k e che le ree angeni nei puni di flesso, qualunque sia k, passano ue per il puno T = (; 2 e ). Abbiamo già dimosrao nel puno precedene che il grafico possiede puni di flesso per k > : F = (± ; ) e, come si vede, l ordinaa è indipendene da k. e y = g k = e kx2 e y = xe kx2 con k >. Suppleiva 26 - Problema 2 2/ 5 www.maefilia.i
La angene in F = ( ; e y ( ) = (). e = e ) ha coefficiene angolare: Tangene in F : y = e (x + ) e se x = oeniamo y = 2 : la rea passa quindi e e per T per ogni k. La angene in F 2 = ( ; e y ( ) = ( ). e = e ) ha coefficiene angolare: Tangene in F 2 : y = e (x ) e se x = oeniamo y = 2 : la rea passa e e quindi per T per ogni k. Assumi nel seguio k >. Sia S k la regione di piano compresa ra l asse x e Γ k. 3) Prova che esise un unico reangolo R k di area massima, ra quelli inscrii in S k e aveni un lao sull asse x, e che ale reangolo ha ra i suoi verici i puni di flesso di Γ k. È possibile scegliere k in modo che ale reangolo R k sia un quadrao? Sia B i verice del reangolo siuao nel primo quadrane; le sue coordinae sono: B = (x; e kx2 ), con x. L area del reangolo è daa da: Area(ABCD) = 2x e kx2 ; ale area è massima quando lo è la funzione: Suppleiva 26 - Problema 2 3/ 5 www.maefilia.i
y = x e kx2, con x e k > Sudiamo la derivaa prima: y = e kx2 x 2 e kx2 se e kx2 ( x 2 ), x 2, x 2 Quindi y se x, quindi per x. Quindi la funzione è crescene per x < massimo relaivo (e assoluo). Perano: e decrescene per x > Il reangolo di area massima si oiene per x = : quindi x = è puno di, che coincide con l ascissa del flesso del primo quadrane; daa la simmeria del grafico il reangolo di area massima ha un alro verice nel flesso del secondo quadrane. Il reangolo di area massima è un quadrao se: 2x = e kx2, quindi se: 2 = e, 2 k = e, k = 2e. Il reangolo di area massima è un quadrao se k = 2e. 4) Poso G() = 2π x e x2 dx, deermina il valore di lim + G(), e inerprea il risulao in ermini geomerici. In base al meodo dei gusci cilindrici, G() = 2π x e x2 dx rappresena il volume del solido oenuo dalla roazione della regione di piano compresa fra il grafico della curva di equazione y = e x2, l asse delle x, l asse delle y e la rea di equazione x =. Suppleiva 26 - Problema 2 4/ 5 www.maefilia.i
Risula: G() = 2π x e x2 dx Perano: lim G() = lim π( + + e 2 ) = π = π 2x e x2 dx = π [e x2 ] = π (e 2 ) Il risulao del limie rappresena il volume del solido oenuo dalla roazione complea aorno all asse y della regione di piano compresa fra il grafico della curva di equazione y = e x2, l asse delle y e l asse delle x. Noa Approfondimeno sui gusci cilindrici : hp://www.maefilia.i/argomen/gusci-cilindrici/meodo-gusci-cilindrici.pdf Con la collaborazione di Angela Sanamaria Suppleiva 26 - Problema 2 5/ 5 www.maefilia.i