Le equazioni parametriche di una curva

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1 A Le equazioni arameriche di una curva Immaginiamo un uno che si muove in un sisema di riferimeno caresiano; a sua osizione è individuaa, isane doo isane, da una coia di coordinae ðx, yþ ciascuna dee quai diende da emo. Per esemio, se i uno P si muove ungo a inea raresenaa in figura 1, a isane 0 ascissa di P è x 0 ¼ x ð 0 Þ e a sua ordinaa è y 0 ¼ y ð 0 Þ; a isane 1 ascissa P è x 1 ¼ x ð 1 Þ e a sua ordinaa è y 1 ¼ y ð 1 Þ, e così vi In casi come queso ascissa e ordinaa di un uno che aariene a una curva sono dae in funzione di un aramero. I moo di una aina che viene anciaa con una cera veocià è un esemio di un moo di queso io; se a veocià di ancio è di 4m=s ed ha un incinazione di 30 riseo aa inea orizzonae (figura a), i moo ungo asse x è reiineo uniforme con veocià v x ¼ v cos 30 ¼ 3 m/s, queo ungo asse y è uniformemene acceerao con acceerazione g ¼ 9,m/s e veocià iniziae v y ¼ v sin 30 ¼ m/s. Se i sisema di riferimeno è fissao come in figura b: i moo in orizzonae è descrio daa egge x ¼ v x cioè x ¼ 3 i moo in vericae è descrio daa egge Figura 1 Figura y ¼ v y 1 g cioè y ¼ 4,9 La osizione de uno P ne iano dove avviene i moo è quindi descria da enrambe e equazioni conemoraneamene, cioè da sisema: ( x ¼ 3 y ¼ 4,9 Moi fenomeni, er essere descrii in modo comeo, hanno bisogno di una raresenazione agebrica di queso io ne quae e coordinae di un uno diendono enrambe da uno sesso aramero. In generae, ossiamo dire che: fissao un sisema di riferimeno caresiano, equazione di una curva si uò esrimere in forma aramerica mediane i sisema di equazioni x ¼ x ðþ y ¼ y ðþ dove e funzioni x ðþey ðþesrimono e coordinae di un uno P dea curva in funzione di. Vediamo come si ossono esrimere in forma aramerica e equazioni dei rinciai uoghi di uni. Le equazioni arameriche di una rea Saiamo che equazione di una rea che assa er due uni assegnai di coordinae ðx 1, y 1 Þ e ðx, y Þ ha a forma x x 1 ¼ y y 1 x x 1 y y 1 Funzioni goniomeriche e formue

2 che, se oniamo x x 1 ¼ e y y 1 ¼, ossiamo scrivere in queso modo x x 1 ¼ y y 1 Se ora indichiamo con i vaore comune dee due esressioni, se oniamo cioè x x 1 oeniamo e equazioni arameriche dea re x ¼ þ x 1 y ¼ þ y 1 ¼ e y y 1 ¼, Per esemio, a rea che assa er i uni Að1, Þ e Bð 3, 0Þ, ha equazione: considerando A come rimo uno e B come secondo ¼ x x 1 ¼ 3 1 ¼ 4 ¼ y y 1 ¼ 0 þ ¼ considerando B come rimo uno e A come secondo x ¼ 4 3 ¼ 1 þ 3 ¼ 4 ¼ 0¼ y ¼ Le equazioni arameriche di una conica x ¼ 4 þ 1 y ¼ Le equazioni arameriche di una rea non sono definie in modo unico erché basa rendere i uni in ordine inverso oure scegiere ari due uni dea rea er oenere equazioni diverse. n La circonferenza Consideriamo a circonferenza di raggio r avene cenro ne origine di un sisema di assi caresiani orogonai (figura 3). Le coordinae di un uno P dea circonferenza, indicando con angoo orienao che a semirea OP forma con i semiasse osiivo dee ascisse, sono dae dae reazioni x ¼ r cos con ½0, Þ y ¼ r sin Quese dunque sono e equazioni arameriche di una circonferenza avene cenro ne origine; se i cenro è un uno di coordinae ða, bþ, basa aicare ae recedeni equazioni a rasazione di veore ~v ða, bþ oenendo x ¼ a þ r cos y ¼ b þ r sin Per esemio, a circonferenza di cenro C 1,1 e raggio r ¼ 3 ha equazioni arameriche < x ¼ 1 þ 3cos : y ¼ 1 þ 3 sin Figura 3 n La araboa Per scrivere e equazioni arameriche di una araboa basa orre uguae a a variabie indiendene de equazione; abbiamo così: se a araboa ha asse di simmeria araeo a asse y y ¼ a þ b þ c x ¼ a þ b þ c se a araboa ha asse di simmeria araeo a asse x y ¼ Funzioni goniomeriche e formue

3 n L eisse La cosruzione di un eisse uò essere faa con riga e comasso disegnando due circonferenze concenriche aveni come raggi i semiassi de eisse (figura 4); una semirea s uscene da origine (cenro comune dee due circonferenze) e inerseca in A e B. Tracciaa da A a araea a asse x eda B a araea a asse y, i oro uno di inersezione P aariene a eisse. Indicao con angoo formao da semiasse osiivo dee ascisse con a semirea s, i uni A e B hanno coordinae Figura 4 Aðb cos, b sin Þ Bða cos, a sin Þ I uno P ha a sessa ascissa di B e a sessa ordinaa di A: x ¼ a cos con ½0, Þ y ¼ b sin A variare di, quese equazioni descrivono eisse. Per esemio, eisse di semiassi a ¼ 3eb¼ ha equazione aramerica: ( x ¼ 3 cos y ¼ sin n L ierboe Si dimosra che e equazioni arameriche di un ierboe sono: < x ¼ a cos con ½0, Þ ^ 6¼ :, 3 y ¼ b an dove a è i semiasse rasverso e b queo non rasverso. Per esemio, ierboe di semiasse rasverso a ¼ 1e semiasse non rasverso b ¼ 3 ha equazione aramerica: x ¼ 1 cos y ¼ 3 an I esemio. Scriviamo e equazioni arameriche dea rea di coefficiene angoare che assa er i uno Að3, 1Þ. Osserviamo che, avendo oso x x 1 ¼ e y y 1 ¼, i coefficiene angoare dea rea è rorio i raoro ; ossiamo quindi orre ¼ e ¼ 1 (oure ¼ 4e ¼ e così via, in modo che i raoro sia semre ) e scrivere equazione dea rea: þ 3 y ¼ 1 II esemio. Deerminiamo a forma aramerica de equazione dea circonferenza che ha equazione caresiana x þ y x þ 6y þ ¼ 0. Troviamo innanzi uo cenro e raggio dea circonferenza: Cð1, 3Þ, r ¼ 1 ffi 4 þ 36 ¼. ( x ¼ 1 þ cos L equazione in forma aramerica è quindi y ¼ 3þ sin Funzioni goniomeriche e formue

4 III esemio. x ¼ cos Una conica ha equazioni arameriche ; doo averne individuao i io, scriviamo a sua equazione y ¼ sin caresian La forma de equazione suggerisce che si raa di una eisse di semiassi a ¼ eb ¼ 1. La sua equazione caresiana è quindi x 4 þ y ¼ 1. IV esemio. < x ¼ 1 Una curva ha equazione aramerica : y ¼ 1 equazione caresian ; scriviamo a sua Figura 5 Dobbiamo eiminare i aramero dae due equazioni; ricaviamo aora esressione di daa rima equazione e sosiuiamo nea seconda: ¼ x þ 1 quindi y ¼ x þ 1 Si raa di una funzione omografica avene er asinoi asse dee ascisse e a rea di equazione x ¼ 1(figura 5). ESERCIZI 1 La rea che assa er i uni di coordinae ð1, 1Þe ð, 3Þ ha equazione (sono ossibii iù aernaive): x ¼ x ¼ þ x ¼ 1 þ þ 1 c. d. y ¼ 3 4 y ¼ 3 4 y ¼ 1þ4 y ¼ 4 1 La circonferenza che ha cenro ne origine e raggio 3 ha equazione aramerica: x ¼ 9 cos x ¼ 3 cos x ¼ 3 sin x ¼ cos c. d. y ¼ 9 sin y ¼ 3 sin y ¼ 3 cos y ¼ sin 3 Cosruisci er uni e curve che hanno e segueni equazioni arameriche e riconoscine i io x ¼ 3 y ¼ y ¼ 3 þ 1 4 Scrivi equazione caresiana dee ree di equazioni arameriche x ¼ 1 < y ¼ 3 : y ¼ 3 þ Scrivi una ossibie equazione aramerica dea rea x þ y ¼ 0. 6 Scrivi un equazione aramerica dea rea che assa er i uni Að1, 3Þ e Bð, 5Þ: ½3x y 1 ¼ 0; x 3y þ 4 ¼ 0Š y ¼ þ þ 1 y ¼ 3 Funzioni goniomeriche e formue

5 7 Trova e coordinae de uno di inersezione dea rea di equazione caresiana x 3y ¼ 5 con a rea x ¼ 3 di equazione aramerica. 5 y ¼ 1 þ 7, 5 7 Scrivi equazione aramerica dea rea che assa er Að0, 1Þ ed è araea a quea di equazione caresiana y ¼ 3x 5. (Suggerimeno: ricorda che m ¼ 4y 4x ¼ ) y ¼ 3 þ 1 9 Scrivi equazione aramerica dea rea che assa er Að, 7Þ ed è erendicoare aa biserice de secondo e quaro quadrane. þ y ¼ þ 7 10 Trova e coordinae dei uni di inersezione fra a circonferenza avene cenro ne origine e raggio e a x ¼ rea di equazione aramerica. ½ð, 0Þ; ð0, ÞŠ y ¼ ð 1Þ x ¼ 4 cos 11 Daa a curva di equazione aramerica, riconoscine i io e scrivi a sua equazione in y ¼ 3 sin coordinae caresiane. x 16 þ y 9 ¼ 1 < x ¼ 5 1 Daa a curva di equazione aramerica cos, riconoscine i io e scrivi a sua equazione in : coordinae caresiane. y ¼ 3 an x 5 y 9 ¼ 1 13 Scrivi equazione aramerica de eisse con cenro ne origine di semiassi a ¼ 6eb¼4. x ¼ 6 cos y ¼ 4 sin 14 Scrivi equazione aramerica dea circonferenza avene cenro ne origine e raggio 6. Successivamene rova e coordinae dei uni di inersezione con a rea y ¼. 3, Scrivi equazione aramerica dea circonferenza avene cenro ne uno Cð1, 4Þ e raggio 5. Trova oi a unghezza dea corda inerceaa su asse dee ascisse. x ¼ 1 þ 5 cos ;6 y ¼ 4 þ 5 sin 16 Scrivi equazione aramerica de ierboe equiaera riferia agi asinoi che ha verice in V 6, 6. ( 3 4 y ¼ Scrivi equazione caresiana dee curve che hanno e segueni equazioni arameriche. þ 1 ( < þ 1 : 1 y ¼ y ¼ y ¼ x 3 x 6 ; y ¼ x 1 x 5 1 þ 3 x ¼ 4 7 y ¼ 1 y ¼ 7 ½y ¼ x 6x þ ; xy ¼ 4Š Funzioni goniomeriche e formue

6 19 x ¼ 1 ð Þ 1 þ y ¼ 1 þ x ¼ 1 1 þ y ¼ þ 1 y ¼ x 4 ; y ¼ 1 x 0 x ¼ 1 þ 1 y ¼ 4 1 x ¼ 1 y ¼ 1 y ¼ x ; xy ¼ x ¼ cos y ¼ sin x ¼ 1 þ sin y ¼ þ cos x 4 þ y ¼ 1; x þ y x 4y þ 4 ¼ 0 Funzioni goniomeriche e formue