VETTORI. & Definizioni e terminologia & Componenti cartesiane di un vettore nel piano e nello spazio

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1 VETTORI & Definizioni e terminologia & Comonenti cartesiane di un ettore nel iano e nello sazio & Le oerazioni algebriche con i ettori & Prodotto scalare tra due ettori & Prodotto ettoriale tra due ettori

2 Definizioni e terminologia 1 In questo caitolo studieremo i ettori, oggetti che lo studente conosce già, almeno negli asetti basilari, ad esemio er le innumereoli ali- Introduzione cazioni in fisica. Doo aer introdotto dierse imortanti definizioni, imareremo a calcolare le comonenti cartesiane di un ettore e le sue comonenti risetto a una determinata retta. Affronteremo quindi l algebra dei ettori, introducendo le dierse oerazioni e le relatie rorietà: la somma di ettori, il rodotto di un ettore er uno scalare, cioè er un numero, che non a confuso con il rodotto scalare tra due ettori, e infine il rodotto ettoriale tra ettori. Grandezze scalari e grandezze ettoriali Come saiamo, i sono delle grandezze, come la lunghezza di un segmento, la massa di un coro, un interallo di temo, l energia, ecc., che risultano comletamente definite quando se ne conosce la misura risetto a una refissata unità: esse sono indiiduabili er mezzo di un numero, detto scalare; tali grandezze sono erciò dette grandezze scalari. Vi sono inece delle grandezze, come uno sostamento, una elocità, una forza, ecc., che non sono raresentabili da un solo numero, ma da un numero, da una direzione e da un erso. Per esemio, quando si uole indiiduare lo sostamento effettuato da un unto mobile A, non basta conoscere il numero di metri ercorsi da A, ma occorre saere anche la direzione lungo la quale si è mosso e, su tale direzione, il erso di ercorrenza. L ente che indiidua contemoraneamente tutte queste grandezze è detto ettore e erciò le grandezze di questo tio sono dette grandezze ettoriali. TEORIA ALGEBRA LINEARE Definizione di ettore 3 Per raresentare geometricamente un ettore si ricorre di solito a un segmento orientato, aente direzione e erso uguali a quelle del ettore da raresentare e lunghezza che, risetto a una refissata unità, ha misura uguale alla misura della grandezza ettoriale da raresentare. È erciò eidente che due segmenti orientati aenti uguali lunghezza, direzione e erso deono raresentare un medesimo ettore. Per tale motio, rima di definire con maggiore rigore il concetto di ettore, remettiamo la seguente definizione. D Se AB e CD sono segmenti orientati aralleli, congruenti ed equiersi, si dice che essi sono equiollenti. Si coniene inoltre che tutti i segmenti nulli, ossia quelli aenti il rimo e il secondo estremo coincidenti, siano tra loro equiollenti. La relazione di equiollenza tra segmenti orientati, com è facile erificare, gode delle rorietà: a) riflessia: ogni segmento orientato è equiollente a se stesso; b) simmetrica: seab è equiollente a CD, allora CD è equiollente ad AB; c) transitia: se due segmenti orientati sono equiollenti a un terzo, essi sono equiollenti tra loro. L equiollenza è dunque una relazione d equialenza definita nell insieme dei segmenti orientati di un iano o dello sazio. ƒ D Sia AB un segmento orientato dal unto A al unto B. Si chiama ettore AB l insieme di tutti i segmenti orientati (di un iano refissato o dello sazio) equiollenti ad AB.

3 3 ƒ Più recisamente, otremmo dire che il ettore AB è la classe di equialenza, modulo la relazione di equiollenza, cui aartiene il segmento orientato AB. In altre arole, se AB e CD sono due segmenti aralleli, congruenti ed equiersi, ossia equiollenti, essi definiscono lo stesso ettore e ossiamo quindi scriere ƒ ƒ AB ¼ CD Un ettore si uò raresentare mediante un segmento orientato, il cui erso sarà indicato da una ƒ freccia, come nella figura 1, doe è raresentato il ettore AB. Naturalmente lo stesso ettore uò essere raresentato da qualunque altro segmento orientato equiollente ad AB. Per indicare un ettore senza fare riferimento agli estremi di un articolare segmento orientato, useremo una lettera minuscola, in corsio, con una freccia soraosta, ad esemio. Nella figura 1, er esemio, è raresentato il ettore ƒ ƒ ¼ AB. Inoltre il ettore AB uò anche essere indicato Figura 1 con il simbolo B A (si legge B meno A). Consideriamo in un iano, su cui sia stato fissato un riferimento cartesiano, i unti Að 1 ; 3Þ, Bð ; 1Þ, Cð 4 ; 1Þ, Dð 1 ; 3Þ. Come si uò facilmente erificare, i segmenti orientati AB ƒ ƒ e CD sono equiollenti e erciò si uò scriere AB ¼ CD (fig. ). Figura 4 La definizione di ettore aena data uò essere comresa iù facilmente se si osserano alcune analogie con la definizione di numero razionale. Osserazione Ricordiamo che la relazione raresentare lo stesso quoto, definita nell insieme delle frazioni, è anch essa, come la relazione di equiollenza tra segmenti orientati, riflessia, simmetrica e transitia: è, cioè, una relazione di equialenza. L insieme di tutte le frazioni aenti lo stesso alore di una frazione data costituisce un nuoo ente, detto numero razionale. Allo stesso modo, l insieme di tutti i segmenti orientati equiollenti a un dato segmento orientato costituisce un 3 nuoo ente, detto ettore. Scriendo 4 ¼ non facciamo che asserire che le frazioni e identificano lo stesso numero razionale; analogamente, se AB e CD sono segmenti orientati equiollenti, scriendo AB ¼ CD affermiamo che questi due segmenti identificano uno stesso ettore. ƒ ƒ Abbiamo detto che un ettore è costituito da una classe di equialenza di segmenti orientati equiollenti. Raresentando un ettore con un articolare segmento della classe, fissiamo un unto di alicazione (l estremo iniziale del segmento), ma scegliendo un segmento dierso della stessa classe cambierà il unto di alicazione. Sottolineiamo quindi che un ettore non è incolato al suo unto di alicazione. Modulo di un ettore. Vettore nullo. Versore 5 D Si dice modulo di un ettore ƒ ¼ AB la misura della lunghezza del segmento AB risetto a una refissata unità di misura. Il modulo del ettore ƒ ¼ AB si indica indifferentemente con uno dei seguenti simboli j ƒ j; ; jab j; jb Aj Vettori TEORIA

4 4 Osseriamo che, in base alla definizione data, il modulo di un ettore è semre un numero reale non negatio, cioè è 0. È anche eidente che uò risultare ¼ 0 solo se il ettore ƒ ¼ AB è raresentato da un segmento di lunghezza nulla: ciò uò accadere se e solo se i due estremi A e B coincidono. Poiché sièconenuto di considerare equiollenti tutti i segmenti nulli (aragrafo 3), essi definiscono un unico ettore, detto ettore nullo. ƒ Il ettore nullo si indica con 0 e si ha erciò 0 ¼ AA, er qualsiasi unto A. D Un ettore di modulo unitario, diretto e orientato come un dato ettore,èdetto ersore del ettore. Comonente di un ettore secondo una retta 6 Sia ƒ ¼ AB un ettore e sia r una retta orientata (figura 3, tenendo resente che AB e r non sono necessariamente comlanari). Consideriamo un segmento orientato A 1 B 1, equiollente ad AB, aente il rimo estremo A 1 sulla retta r: sarà ƒ ƒƒ ¼ AB ¼ A1 B 1. Sia B la roiezione ortogonale di B ƒƒ 1 su r. Il ettore A 1 B, che ha la stessa direzione di r, èdetto ettore comonente di secondo la retta r. ƒƒ Se è l angolo formato da A 1 B 1 con la direzione ositia della retta r, il modulo del ettore A 1 B sarà uguale a j cos j. ƒƒ Il numero r ¼ cos ð1þ TEORIA ALGEBRA LINEARE è detto comonente di secondo r. Figura 3 È eidente che, essendo semre ositio er un ettore non nullo, r sarà ositio quando è acuto e sarà negatio quando è ottuso; r sarà nullo quando ¼ 90. Notiamo che se s è una retta orientata arallela ed equiersa a r, essendo in tale caso r ¼ cos r e s ¼ cos s, con r ¼ s, si arà s ¼ r Infine, chiameremo comonente di un ettore risetto a un ettore w, la comonente di secondo una qualsiasi retta arallela al ettore w e aente lo stesso orientamento. Oiamente, se è l angolo conesso formato da e w, la comonente di risetto a w è data ancora dalla (1). Sia un ettore di modulo ¼ ffiffiffi 3, che forma con la direzione ositia della retta orientata r un angolo di 150. La comonente di secondo r sarà allora r ¼ cos 150 ¼ ffiffiffi 3 3 ¼ 3 ƒ Osserazione. D ora in oi chiameremo angolo formato da un ettore AB con una retta orientata r l angolo conesso formato da r e da un segmento orientato A 1 B 1, equiollente ad AB e aente l estremo A 1 su r. Analogamente, si uò definire l angolo formato da due ettori come l angolo formato dal rimo ettore con una retta orientata, arallela ed equiersa al secondo ettore e assante er il rimo estremo del rimo ettore. Si noti che tale definizione è alida anche se i due ettori sono raresentati da segmenti orientati non comlanari.

5 x B x A ¼ x D x C ^ y B y A ¼ y D y C Figura 5 5 Comonenti cartesiane di un ettore nel iano e nello sazio Comonenti cartesiane di un ettore nel iano 7 Sia un refissato iano su cui sia fissato un riferimento cartesiano. Consideriamo l insieme dei ettori del iano, ossia i ettori raresentati da segmenti orientati che giacciono su tale iano. D Si dicono comonenti cartesiane del ettore, e si indicano con x e y, le comonenti di secondo, risettiamente, l asse x e l asse y. Se è ƒ ¼ AB e se i segmenti A1 B 1 e A B sono, risettiamente, le roiezioni del segmento orientato ƒƒ ƒƒ AB sull asse delle x e sull asse delle y, èfacile rendersi conto (fig. 4) che i ettori A 1 B 1 e A B sono, ƒ risettiamente, i ettori comonenti del ettore AB secondo l asse delle ascisse e secondo l asse delle ordinate; si ha quindi x ¼ x B x A ; y ¼ y B y A ð1þ Figura 4 Per identificare un ettore mediante le sue comonenti cartesiane, scrieremo anche ¼ðx ; y Þ Infine, si coniene che il ettore nullo abbia le comonenti cartesiane entrambe nulle 0 ¼ð0 ; 0Þ Sia ƒ ¼ AB, doe Að ; 1Þ; Bð 3 ; 3Þ. Determiniamo le comonenti cartesiane del ettore (fig. 4). Alicando le (1) si ha x ¼ 3 ¼ 5; y ¼ 3 1 ¼ Possiamo quindi scriere ¼ð 5 ; Þ. Vettori 8 È imortante osserare Osserazione che le comonenti cartesiane di un ettore non diendono dalla scelta del segmento che raresenta. Infatti, come si otrebbe dimostrare con semlici considerazioni di geometria elementare, due segmenti orientati AB e CD, sono equiollenti se e soltanto se (fig. 5) TEORIA

6 6 La definizione di comonenti cartesiane data rima è erciò indiendente dal segmento orientato scelto er raresentare ƒ ƒ. D altra arte, se i ettori AB e CD hanno le stesse comonenti, er quanto detto sora, AB e CD sono equiollenti, erciò ƒ ƒ AB ¼ CD. Dunque un ettore uò essere identificato mediante le sue comonenti cartesiane. Se ¼ð x ; y Þ è un ettore noto mediante le sue comonenti, è facile determinare un segmento orientato che lo raresenti. Se indichiamo con O l origine degli assi cartesiani e con P il unto di coordinate ƒ ð x ; y Þ, si ha che le comonenti di OP coincidono con quelle di, erciò ƒ ¼ OP (fig. 6). Figura 6 TEORIA ALGEBRA LINEARE 7 1 Sono dati i unti Að1 ; Þ, Bð3 ; 1Þ, C ; 7 11, D ; 5. Doo aer erificato che i segmenti orientati AB e CD sono equiollenti, calcolare le comonenti cartesiane dei ettori ƒ ƒ AB e CD. Calcoliamo i coefficienti angolari m AB e m CD delle rette AB e CD. Si ha che m AB ¼ y B y A x B x A ¼ ¼ 1 ; m CD ¼ y D y C x D x C ¼ ¼ 1 Dunque, oiché m AB ¼ m CD, i due segmenti sono aralleli. Calcoliamo ora le misure dei due segmenti sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ƒ jab j¼ ð3 1Þ þð1 Þ ¼ ffiffiffi ƒ 11 5 ; jcdj¼ 7 5 þ 7 ¼ ffiffiffi 5 I due segmenti erciò sono congruenti. Poiché, com è facile constatare, il erso da A a B del rimo segmento è concorde con il erso da C a D del secondo segmento, i due segmenti sono anche equiersi. ƒ ƒ Possiamo erciò concludere che essi sono equiollenti e quindi si ha AB ¼ CD. ƒ Calcoliamo le comonenti cartesiane di AB. Esse sono x B x A ¼ 3 1 ¼ ; y B y A ¼ 1 ¼ 1 Le comonenti cartesiane di CD ƒ sono x D x C ¼ 11 7 ¼ ; y D y C ¼ 5 7 ¼ 1 ƒ ƒ Com è oio, le comonenti di AB e CD coincidono, erciò ossiamo scriere ƒ ƒ AB ¼ CD ¼ð ; 1Þ Raresentare con un segmento orientato il ettore di comonenti ð 3 ; Þ. Sia Pð 3 ; Þ e Oð0 ; 0Þ. Siha ƒ ¼ OP (fig. 7). Figura 7

7 7 Modulo e direzione di un ettore 9 Sia ƒ ¼ AB un ettore di un iano (fig. 8). Per determinare il modulo di, ossiamo ricorrere alla formula della distanza tra due unti nel iano cartesiano: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ðx B x A Þ þðy B y A Þ ðþ Ricordando che le comonenti di sono x ¼ x B x A ; y ¼ y B y A si ottiene, sostituendo queste nella () ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y ð3þ Questa formula ci consente di calcolare il modulo di un ettore di cui siano note le comonenti cartesiane. Figura 8 Per determinare l angolo orientato formato dal ettore con la direzione ositia dell asse delle ascisse, che coneniamo essere comreso tra 0 e, osseriamo ancora la figura 8, da cui, ricordando la definizione di coseno e seno dell angolo orientato, deduciamo che cos ¼ x sen ¼ y ð4þ L angolo ci ermette di indiiduare la direzione e il erso del ettore. Viceersa, se del ettore sono noti il modulo e l angolo da esso formato con la direzione ositia dell asse delle x, dalle (4) ossiamo calcolarne le comonenti: x ¼ cos y ¼ sen ð5þ Infine, osseriamo che le (4) non sono alicabili quando è ¼ 0. Perciò si coniene di lasciare indeterminati direzione e erso del ettore nullo. 1 Determinare il modulo del ettore ¼ð 3 ; 3 Þ e l angolo da esso formato con la direzione ositia dell asse delle x. Dalla (3) si ha ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ 3 ¼ ffiffiffi 3. 8 cos ¼ 3 ffiffiffi 3 >< ¼ 3 Dalle (4) si ottiene 3 sen ¼ ffiffiffi ¼ 1 ¼ 150 >: 3 Determinare un ettore w di modulo w ¼ 5, arallelo ed equierso al ettore ¼ð1 ; Þ. Poiché i due ettori w e formano con la direzione ositia dell asse delle ascisse lo stesso angolo, dalle (4) otteniamo Vettori TEORIA cos ¼ w x w ¼ x ; sen ¼ w y w ¼ y qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Poiché è ¼ 1 þð Þ ¼ ffiffiffi w x 5,sihache 5 ¼ 1 w y ffiffiffi ; 5 5 ¼ ffiffiffi ; da cui si ricaa w x ¼ ffiffiffi 5, 5 w y ¼ ffiffiffi 5. Perciò il ettore cercato è ffiffiffi w ¼ð 5 ; 5 Þ.

8 8 3 Determinare le comonenti del ettore di modulo 5 ffiffiffi, saendo che forma, con la direzione ositia dell asse delle x, un angolo di 5 (fig. 9). Alicando le (5) si ha x ¼ 5 ffiffiffi cos 5 ¼ 5 ffiffiffi ¼ 5 y ¼ 5 ffiffiffi sen 5 ¼ 5 ffiffiffi ¼ 5 Perciò ¼ð 5 ; 5Þ. Figura 9 Comonenti cartesiane del ersore di un ettore dato 10 Se ¼ð x ; y Þ è un ettore del iano xoy, che forma un angolo con la direzione ositia dell asse delle x, il suo ersore w sarà un ettore di modulo unitario, che forma con l asse orientato delle x lo stesso angolo. Perciò, alicando le (5) del aragrafo recedente con w ¼ 1, otteniamo Per le (4) del aragrafo recedente, alicate al ettore,siha w x ¼ cos ; w y ¼ sen ð6þ x ¼ cos ; y ¼ sen e quindi, confrontando le (6) con le (7), ossiamo concludere che ð7þ TEORIA ALGEBRA LINEARE w x ¼ x ; w y ¼ y cioè: le comonenti cartesiane del ersore di un ettore dato sono uguali al raorto tra le comonenti cartesiane omonime di tale ettore e il suo modulo. 1 Determinare le comonenti cartesiane del ersore del ettore ¼ð4 ; 3Þ. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Si ha ¼ 4 þð 3Þ ¼ 5. Perciò il ersore di 4 ha er comonenti 5 ; 3. 5 Un ettore ha modulo ¼ 13 e il suo ersore è w ¼ comonenti di. Conoscendo le comonenti cartesiane del ersore, si conosce cos ¼ 5 13 Dalle (5) si ha quindi x ¼ 13 5 ¼ 5 y ¼ ¼ 1 Otteniamo così ¼ð 5 ; 1Þ. ð8þ 5 13 ; 1. Determinare le 13 e sen ¼ Comonenti cartesiane di un ettore nello sazio 11 Le considerazioni solte nei aragrafi recedenti, dal 7 al 10, er i ettori in un iano, si ossono facilmente estendere ai ettori nello sazio, in cui sia refissato un riferimento cartesiano. Naturalmente, er indiiduare un ettore nello sazio sono necessarie tre comonenti: ¼ð x ; y ; z Þ.

9 9 Riassumiamo i rinciali risultati, lasciando al lettore il comito di comletare le dimostrazioni. a) Comonenti cartesiane. Se ƒ ¼ AB è un ettore dello sazio, le sue comonenti cartesiane saranno x ¼ x B x A ; y ¼ y B y A ; z ¼ z B z A ossia ¼ðxB x A ; y B y A ; z B z A Þ b) Modulo. Seè ¼ð x ; y ; z Þ, il modulo di qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi è ¼ x þ y þ z. c) Versore di un dato ettore. Detto w il ersore di un ettore ¼ð x ; y ; z Þ,siha x w ¼ ; y ; z ð9þ 1 Determinare le comonenti e il modulo del ettore ƒ ¼ AB, essendo Að 3 ; 5 ; Þ e Bð 5 ; 8 ; 1Þ. Si ha x ¼ 5 ð 3Þ ¼ ; y ¼ 8 5 ¼ 3; z ¼ 1 ¼ 1. Perciò è qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ð ; 3 ; 1Þ e inoltre ¼ ð Þ þ 3 þð 1Þ ¼ ffiffiffiffiffi 14. Determinare un ettore di modulo 15, arallelo ed equierso al ettore ¼ð4 ; 1 ; Þ Dai dati del roblema, detto u il ettore da determinare, si ha qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ 15 e ¼ 4 þð 1Þ þð ffiffiffi Þ ¼ 5 Inoltre essendo u e aralleli ed equiersi, er la (9) aremo x ¼ u x u ; y ¼ u y u ; z ¼ u z 4 cioè u 5 ¼ u x 15 ; 1 5 ¼ u y 15 ; 5 da cui u x ¼ 1; u y ¼ 3; u z ¼ 6 ffiffiffi Pertanto il ettore cercato è u ¼ð1 ; 3 ; 6 ffiffiffi Þ. 3 Determinare il ersore w del ettore ¼ð ffiffiffi ffiffiffi ; 5 ; 3Þ. Poiché è ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 5 þ 9 ¼ 4, il ersore di risulta w ¼ 4 ; 5 4 ; 3 4 ¼ u z 15 Vettori Le oerazioni algebriche con i ettori 1 Dati due ettori Somma 0 e 00, è semre ossibile raresentarli mediante due segmenti orientati in modo che il secondo estremo del rimo segmento coincida con il rimo estremo del secondo (fig. 10) 0 ƒ ¼ AB ; 00 ƒ ¼ BC Figura 10 TEORIA

10 10 Resta così definito un terzo ettore ƒ ¼ AC, che diende da 0 e 00 e che si dice somma dei due ettori dati ¼ 0 þ 00 Come ossiamo osserare dalla figura 10, er fare la somma di due ettori dati, 0 e 00, ossiamo alicare la seguente regola del arallelogrammo: raresentiamo i due ettori mediante due segmenti orientati aenti la stessa origine A 0 ƒ ¼ AB ; 00 ¼ ƒ AD TEORIA ALGEBRA LINEARE Comletiamo quindi il arallelogrammo indiiduato dai due segmenti AB e AD. La diagonale AC del arallelogrammo ABCD raresenta il ettore somma ¼ 0 þ 00. Se 0 e 00 sono due ettori del iano noti mediante le loro comonenti cartesiane (fig. 11), saiamo che è ossibile raresentarli con due segmenti orientati 0 ƒ ¼ OA e 00 ƒ ¼ OC aenti il rimo estremo nell origine degli assi cartesiani, doe Að 0 x ; 0 00 yþ e Cð x ; 00 yþ. Per determinare le comonenti x e y del ettore somma, calcoliamo 0 þ 00 Figura 11 con la regola del arallelogrammo. Poiché OA e CB sono segmenti aralleli e congruenti, saranno congruenti anche le loro roiezioni sull asse delle ascisse: OA 1 ffi C 1 B 1. Perciò (fig. 11) OB 1 ¼ OC 1 þ C 1 B 1 ffi OC 1 þ OA 1 x ¼ 0 x þ 00 x Analogamente si uò dimostrare che y ¼ 0 y þ 00 y. Dunque si ha che ð 0 x ; 0 00 yþþðx ; 00 y Þ¼ð0 x þ 00 x ; 0 y þ 00 y Þ (1) Conclusioni del tutto analoghe si ottengono anche nel caso in cui 0 e 00 siano ettori dello sazio ð 0 x ; 0 y ; 0 00 zþþðx ; 00 y ; 00 z Þ¼ð 0 x þ 00 x ; 0 y þ 00 y ; 0 z þ 00 z Þ Riassumendo: le comonenti cartesiane della somma di due ettori (del iano o dello sazio) sono la somma delle comonenti corrisondenti dei due ettori dati. Infine, rileiamo che, come il lettore uò facilmente erificare, la somma di un qualsiasi ettore con il ettore nullo è uguale al ettore dato: þ 0 ¼ Dunque, il ettore nullo non muta i ettori con cui iene sommato: esso è l elemento neutro risetto alla somma tra ettori. Osserazione. In fisica la somma di due o iù ettori che raresentano delle forze è detta risultante. L alicazione di due o iù forze a un unto materiale roduce lo stesso effetto dell alicazione, a quel unto, di una sola forza, uguale alla risultante delle forze date. È eidente che, considerando la risultante anziché le singole forze, risulta noteolmente semlificato lo studio di molte situazioni. ðþ

11 e 00 sono due ettori del iano. È 0 ¼ð1 ; 3 Þ, mentre 00 ha modulo ffiffiffi 3 e forma con la direzione ositia dell asse delle x un angolo di 150. Determinare modulo, direzione e erso di ¼ 0 þ 00 : Calcoliamo er rima cosa le comonenti di 00.Siha 00 x ¼ ffiffiffi 3 cos 150 ¼ 3; 00 y ¼ ffiffiffi 3 sen 150 ¼ ffiffiffi 3 e quindi 00 ¼ð 3 ; 3 Þ. Perciò ¼ 0 þ 00 ¼ð1 3 ; 3 þ 3 Þ¼ð ; 3 Þ: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dunque ¼ ð Þ þð ffiffiffi 3 Þ ¼ 4. Per determinare direzione e erso di, calcoliamo l angolo da esso formato con il semiasse ositio delle ascisse; si ha cos ¼ 4 ¼ 1 e sen ¼ 3 3 ¼ 4. Quindi è ¼ 10. Siano 0 ¼ð 5 ; 3 ; 1Þ e 00 ¼ð3 ; 1 ; 1Þ. Determinare un ettore tale che þ 0 ¼ 00 Si arà x þð 5Þ ¼3, y þ 3 ¼ 1, z þð 1Þ ¼ 1, da cui x ¼ 8, y ¼ 4, z ¼ 0. Il ettore cercato è erciò ¼ð8 ; 4 ; 0Þ. Modulo della somma di due ettori 13 Se e w sono due ettori le cui rette formano tra loro un angolo conesso, èossibile calcolare il modulo della loro somma. Siano (fig. 1) ƒ ¼ AB; ƒ w ¼ AD; þ ƒ w ¼ AC ð3þ doe AC è la diagonale del arallelogrammo indiiduato dai segmenti AB e AD. Detto l angolo A b BC, essendo e angoli coniugati interni formati da rette arallele tagliate da una trasersale, si ha ¼ 180. Alicando il teorema di Carnot al triangolo ABC, si ottiene AC ¼ AB þ BC AB BC cos Figura 1 da cui, essendo cos ¼ cosð180 Þ ¼ cos, BC ffi AD, si ha, tenendo resente le (3), cioè j þ w j ¼ þ w þ w cos j þ w j¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ w þ w cos 1 I ettori a e b formano un angolo di 45 e i loro moduli sono a ¼ 3, b ¼ ffiffiffi. Calcolare il modulo della loro somma. Alicando la (4), si ha subito j a þ b j ¼ 3 þð Þ þ 3 cos 45 ¼ 9 þ þ 6 ffiffiffi ¼ 17 Perciò j a þ b j¼ ffiffiffiffiffi 17. ð4þ Vettori TEORIA

12 1 Due ettori e w hanno modulo, risettiamente, ¼ ffiffiffi 3, w ¼ 7 e il modulo della loro ffiffiffiffiffi somma è 73. Determinare l angolo formato da e w. ffiffi Dalla (4) si ha 73 ¼ ffiffiffi 3 þ 7 þ 3 7 cos, da cui si ricaa 73 5 cos ¼ 14 ffiffiffi 3 cos ¼ ¼ 30 3 Prodotto di un ettore er uno scalare 14 Sia un ettore e un numero reale (cioè uno scalare; si eda il aragrafo ). D Definiamo rodotto del ettore er lo scalare, e lo indichiamo con, il ettore che ha la stessa direzione di, er modulo jj e er erso quello di o quello oosto, secondo che sia ositio o negatio. Sia ƒ ¼ OP un ettore del iano xoy e 0 ¼ ƒ ¼ OQ. Suosto >0, si arà, in base alla definizione aena data, 0 ¼ ð5þ Dette H e K, risettiamente, le roiezioni ortogonali sull asse delle x dei unti P e Q (fig. 13), i due triangoli rettangoli OHP e OKQ risultano simili e quindi OK OQ ¼ OH OP 0 x 0 ¼ x Da quest ultima uguaglianza, tenendo conto della (5), si ottiene TEORIA ALGEBRA LINEARE Analogamente, sarà 0 x ¼ x 0 x ¼ x KQ OQ ¼ HP OP 0 y ¼ y Figura 13 Il lettore uò dimostrare, er esercizio, che le relazioni ricaate sono alide anche nel caso in cui sia <0. Se fosse ¼ 0, il ettore, doendo aere modulo nullo, coinciderebbe con il ettore nullo. Le conclusioni ottenute si ossono estendere anche ai ettori nello sazio.

13 13 Possiamo erciò affermare che le comonenti del rodotto di un ettore er uno scalare sono uguali alle comonenti di moltilicate er ð x ; y Þ¼ð x ; y Þ ð x ; y ; z Þ¼ð x ; y ; z Þ ð6þ Sia un ettore e w il suo ersore. Le relazioni tra le comonenti di un ettore e quelle del suo ersore (aragrafi 10 e 11) si ossono così riscriere x w ¼ ; y ¼ 1 ð x ; y Þ¼ 1 ¼ w Quindi il ersore di un ettore dato si ottiene moltilicando questo er il reciroco del suo modulo e quindi, ogni ettore è uguale al rodotto del suo modulo er il suo ersore. 1 Sia ¼ 3 ; 7 ; Si ha ¼ 5 4. Determinare il ettore. ¼ 3 ; ð Þð 7Þ ; ð Þ ; 14 ; 5 Sia ¼ð ffiffiffi ffiffi 5 ; 5 ; 10 Þ. Determinare il ersore w di ed esrimere quindi come rodotto del suo ersore er uno scalare. Si ha ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ 5 þ 10 ¼ ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi 40 ¼ 10. Perciò ffiffi 1 w ¼ 5 ¼ ffiffiffiffiffi 5 ; 10 ffiffiffiffiffi 10 ; 10 ffiffiffiffiffi ffiffi w ¼ 10 4 ; 10 ; 1 4 Si arà quindi ¼ w ¼ ffiffiffiffiffi ffiffi 10 4 ; 10 ; 1, ritroando così 4 ffiffiffi ¼ð 5 ; 5 ; 1 0Þ. Prorietà delle oerazioni con i ettori 15 Le oerazioni fin qui definite godono delle seguenti rorietà. Siano u ; ; w tre ettori qualsiasi e ; due generici numeri reali: 1. rorietà commutatia della somma u þ ¼ þ u. rorietà associatia della somma u þð þ w Þ¼ðu þ Þþw 3. rorietà associatia del rodotto di un ettore er uno scalare ðþ ¼ ð Þ 4. rorietà distributia del rodotto della somma di scalari er un ettore ð þ Þ ¼ þ 5. rorietà distributia del rodotto di uno scalare er la somma di ettori ð u þ Þ¼ u þ Vettori TEORIA

14 14 Tali rorietà si ossono facilmente dimostrare ricorrendo alle comonenti cartesiane dei ettori. In tal modo esse diengono delle immediate conseguenze delle rorietà delle oerazioni tra numeri reali. Dimostriamo, a titolo di esemio, l ultima delle rorietà enunciate, er i ettori di un iano. Siano u ¼ðu x ; u y Þ e ¼ð x ; y Þ.Èallora u þ ¼ðux þ x ; u y þ y Þ ð u þ Þ¼ððu x þ x Þ ; ðu y þ y ÞÞ cioè D altra arte si ha da cui ð u þ Þ¼ðu x þ x ; u y þ y Þ u ¼ðu x ; u y Þ e ¼ð x ; y Þ u þ ¼ðu x þ x ; u y þ y Þ ð7þ ð8þ Confrontando la (7) con la (8), otteniamo ð u þ Þ¼ u þ c::d: Verificare che ½ð 0 þ 00 Þþ 0 Š¼ðð þ ÞÞ 0 þðþ 00 Si ha infatti, er le rorietà 5e1, ½ð 0 þ 00 Þþ 0 Š¼ð 0 þ 00 þ 0 Þ¼ð 0 þ 0 þ 00 Þ Per la rorietà simmetrica dell uguaglianza alicata alla rorietà 4, si ha TEORIA ALGEBRA LINEARE ð 0 þ 0 þ 00 Þ¼½ð þ Þ 0 þ 00 Š Infine, ancora er la rorietà 5 e er la 3, letta da destra erso sinistra, si ha ½ð þ Þ 0 þ 00 Š¼½ð þ Þ 0 Šþð 00 Þ¼ðð þ ÞÞ 0 þðþ 00 Per la rorietà transitia dell uguaglianza, concludiamo che è e la relazione data risulta così erificata. ½ð 0 þ 00 Þþ 0 Š¼ðð þ ÞÞ 0 þðþ 00 Possiamo concludere che se dobbiamo sommare iù ettori dati, alicando successiamente la regola del arallelogrammo, er ottenere il ettore somma basta riortare dall estremo del rimo ettore un segmento equiollente al secondo, dall estremo del ettore così ottenuto un segmento equiollente al terzo e così ia fino a esaurire tutti i ettori dati. A questo unto, congiungendo l origine del rimo ettore dato con l estremo dell ultimo ettore ottenuto, otteniamo il ettore risultante richiesto. Osserazione sulle rorietà commutatia e associatia della somma 16 Notiamo che, grazie alla rorietà associatia, ossiamo indicare la somma di tre o iù ettori senza far uso di arentesi: in irtù di tale rorietà non è ericolo di ambiguità. Inoltre, er la rorietà commutatia, ossiamo mutare a nostro iacere l ordine dei ettori da sommare, senza influire sul risultato. Perciò la somma di un numero qualsiasi di ettori si uò eseguire considerando i ettori da sommare in qualunque ordine e associandoli in qualunque modo.

15 15 Osseriamo che la situazione è del tutto analoga a quella che si resenta con le oerazioni aritmetiche di somma e rodotto. Inoltre, come si uò facilmente erificare, le comonenti della somma di iù ettori sono la somma delle comonenti corrisondenti di ciascun ettore. Figura 14 Infine, olendo raresentare geometricamente la somma di iù ettori, si uò facilmente generalizzare il rocedimento descritto all inizio del aragrafo 1 (si eda la figura 14 dalla quale si uò anche constatare che ale, er la somma di ettori, la rorietà commutatia: ¼ 1 þ þ 3 þ 4 ¼ ¼ 3 þ 4 þ þ 1 ). Siano 1 ¼ð 3 ; 5Þ, ¼ð ; 1Þ, 3 ¼ð1 ; 6Þ, 4 ¼ð ; 0Þ. Calcolare ¼ 1 þ þ 3 þ 4. Si ha ¼ 1 þ þ 3 þ 4 ¼ð 3 þ1þ ; þ 0Þ ¼ð ; Þ Verificare oi sia algebricamente, sia graficamente che, er esemio, come è stato fatto nella figura 14, si ha 1 þ þ 3 þ 4 ¼ 3 þ 4 þ þ 1 Vettore oosto 17 D Chiamiamo ettore oosto di un ettore, e lo indichiamo con, il ettore che ha modulo e direzione uguali a quelli di, ma erso oosto (fig. 15). Se ƒ ¼ OA e ƒ ¼ OB,èoio che il unto B sarà il simmetrico, risetto a O, del unto A. Perciò le comonenti di sono ooste alle corrisondenti comonenti di. In articolare, se ¼ð x ; y Þ è un ettore del iano, si ha ¼ð x ; y Þ mentre, se ¼ð x ; y ; z Þ è un ettore dello sazio, si ha ¼ð x ; y ; z Þ ð9þ Figura 15 È immediato erificare che la somma di un ettore con il suo oosto è il ettore nullo þð Þ¼0 ð11þ Infine, osseriamo che l oosto del ettore nullo è il ettore nullo stesso 0 ¼ 0 ð10þ Vettori TEORIA

16 16 Differenza di ettori 18 D La differenza tra due ettori è la somma del rimo con l oosto del secondo 0 00 ¼ 0 þð 00 Þ ð1þ Se 0 e 00 sono esressi mediante le loro comonenti cartesiane, la loro differenza è un ettore le cui comonenti sono le differenze delle comonenti corrisondenti di 0 e 00 : Infatti dalla (1), tenendo conto della (9), si ha 0 00 ¼ð 0 x ; yþþð x ; y Þ cioè 0 00 ¼ð 0 00 x x ; 0 00 y y Þ Analogamente si ha, se 0 e 00 sono ettori dello sazio, 0 00 ¼ð 0 00 x x ; 0 00 y y ; 0 00 z z Þ Se è ¼ 0 00, tenendo conto della (1) e sommando oi a entrambi i membri il ettore 00, otteniamo ¼ 0 þð 00 Þ þ 00 ¼ 0 þð 00 Þþ 00 ossia, er la (11) e ricordando che il ettore nullo è l elemento neutro risetto alla somma, otteniamo þ 00 ¼ 0 þ 0 þ 00 ¼ 0 ð13þ TEORIA ALGEBRA LINEARE La (13) si uò così interretare: la differenza di due ettori è un ettore che, sommato al secondo, dà come risultato il rimo ettore. Questa considerazione ci ermette un altra costruzione del ettore ¼ Siano 0 ƒ ¼ OA e 00 ƒ ¼ OB (fig. 16) i due ettori di cui si dee determinare la differenza. Congiungiamo B con A e consideriamo il ettore ƒ BA : esso risulta la differenza dei due ettori 0 e 00. ƒ Infatti, com è eidente, la somma del ettore OB con il ettore ƒ ƒ BA dà il ettore OA (cioè ƒ ƒ ƒ OB þ BA ¼ OA) e quindi si ha ƒ ƒ ƒ OA OB ¼ BA 0 00 ¼ ƒ BA Figura 16 1 Siano 0 ¼ð 5 ; 3 ; 0Þ ; 00 ¼ð 1 ; 3 ; Þ. Determinare Si ha 0 00 ¼ð 5 ð 1Þ ; 3 3 ; 0 ð ÞÞ cioè 0 00 ¼ð 4 ; 0 ; Þ. Sia 0 ¼ð15 ; 3Þ e 00 ¼ð3 ; 8Þ. Determinare un ettore tale che 0 ¼ 00. Si arà 15 x ¼ 3 e 3 y ¼ 8 da cui x ¼ 1 e y ¼ 31. Il ettore cercato è erciò ¼ð1 ; 31Þ.

17 17 Versori fondamentali 19 Vogliamo introdurre un utile strumento er la raresentazione dei ettori: i ersori fondamentali. Limitiamoci darima a considerare i ettori di un iano, in cui sia refissato un riferimento cartesiano. Sia x un ersore aente la stessa direzione e lo stesso erso dell asse delle ascisse e y un ersore aente la stessa direzione e lo stesso erso dell asse delle ordinate (fig. 17). Com è oio, adoerando le comonenti cartesiane di x e y risulta x ¼ð1 ; 0Þ; y ¼ð0 ; 1Þ ð14þ I ersori x e y così definiti si chiamano ersori fondamentali del iano. Sia ¼ð x ; y Þ un qualsiasi ettore del iano e siano x ¼ð x ; 0Þ, y ¼ð0 ; y Þ i ettori comonenti di secondo, risettiamente, l asse x e l asse y. Osseriamo che è ¼ x þ y; infatti, er quanto isto nel aragrafo 1 a roosito delle comonenti cartesiane della somma di due ettori, si uò scriere x þ y ¼ð x ; 0Þþð0 ; y Þ¼ð x þ 0 ; 0 þ y Þ¼ð x ; y Þ¼ Figura 17 Figura 18 Quindi, essendo ¼ x þ y,siha ¼ðx ; 0Þþð0 ; y Þ¼ð x 1 ; x 0Þþð y 0 ; y 1Þ e, er la (6), letta da destra erso sinistra, risulta quindi Vettori ¼ x ð1 ; 0Þþ y ð0 ; 1Þ e cioè, er le (14), ¼ x x þ y y ð15þ Consideriamo ora i ettori dello sazio. Fissato un riferimento cartesiano nello sazio, siano x e y due ersori definiti come nel caso recedente e sia z un ersore aente la stessa direzione e lo stesso erso dell asse z (fig. 18). Utilizzando le comonenti cartesiane di x ; y ; z,siha TEORIA x ¼ð1 ; 0 ; 0Þ; y ¼ð0 ; 1 ; 0Þ; z ¼ð0 ; 0 ; 1Þ ð16þ I ersori x, y, z così definiti si chiamano ersori fondamentali dello sazio.

18 18 Sia ora ¼ð x ; y ; z Þ un qualsiasi ettore dello sazio. Si ha che cioè ¼ðx ; y ; z Þ¼ð x ; 0 ; 0Þþð0 ; y ; 0Þþð0 ; 0 ; z Þ¼ ¼ x ð1 ; 0 ; 0Þþ y ð0 ; 1 ; 0Þþ z ð0 ; 0 ; 1Þ ¼ x x þ y y þ z z ¼ x x þ y y þ z z ð17þ La (15) e la (17) si ossono così esrimere: qualsiasi ettore uò essere esresso come combinazione lineare dei ersori fondamentali. Si noti che, grazie all introduzione dei ersori fondamentali, l esressione (17) uò essere utilizzata er indicare un generico ettore, senza secificare se si tratta di un ettore del iano o dello sazio: basterà ricordare che se è un ettore del iano sarà necessariamente z ¼ 0. 1 Esrimere ciascuno dei ettori 1 ¼ð5 ; 3Þ; ¼ð 3 ; 1Þ; 3 ¼ð0 ; 6Þ; 4 ¼ð ffiffiffi ; 0Þ come combinazione lineare dei ersori fondamentali. Si ha 1 ¼ 5 x þ 3 y ; ¼ 3 x þ y ; 3 ¼ 6 y ; 4 ¼ ffiffiffi x TEORIA ALGEBRA LINEARE Esrimere i ettori 1 ¼ð3 ; 5 ; ffiffiffi 5 Þ; ¼ð0 ; 3 ; Þ; 3 ¼ð0 ; 6 ; 0Þ come combinazione lineare dei ersori fondamentali. Si ha 1 ¼ 3 x 5 y ffiffiffi 5 z ; ¼ 3 y þ z ; 3 ¼ 6 y 3 Siano u ¼ x þ y 3 z ; ¼ 5 x y ; w ¼ y þ 6 z. Calcolare u 3 þ w Si ha u 3 þ w ¼ ð x þ y 3 z Þ 3ð5 x y Þþ y þ 6 z ¼ ¼ x þ 4 y 6 z 15 x þ 3 y þ y þ 6 z ¼ 17 x þ 9 y Si noti che nell esemio 3 i calcoli sono stati solti alicando le stesse regole dell ordinario calcolo letterale. Grazie ai ersori fondamentali, un esressione ettoriale, ossia un esressione in cui siano indicate le oerazioni di somma e differenza tra ettori e il rodotto di un ettore er uno scalare, uò essere trattata con le note tecniche del calcolo letterale. Prodotto scalare tra due ettori 0 Vogliamo ora definire il rodotto scalare tra due ettori; esso differisce sostanzialmente dalle oerazioni fin qui incontrate. Si tratta infatti di Definizione di rodotto scalare un oerazione il cui risultato non aartiene all insieme dei ettori, ma è un numero reale. Il rodotto scalare, quindi, non è un oerazione interna nell insieme dei ettori.

19 19 D Si dice rodotto scalare di due ettori ; w e si indica con w (si legge scalare w ) il numero reale che si ottiene moltilicando il rodotto dei moduli dei due ettori er il coseno dell angolo conesso da essi formato w ¼ w cos ð1þ Si noti che in alcuni testi il rodotto scalare tra e w è indicato con w. Poiché è w cos ¼ ðw cos Þ ¼wð cos Þ, ricordando quanto detto nel aragrafo 6, si otrà anche dire che il rodotto scalare di due ettori è uguale al rodotto del modulo di uno di essi er la comonente dell altro ettore risetto al rimo. Osserando la (1), ossiamo affermare quanto segue. Il rodotto scalare di due ettori non nulli è ositio se e solo se l angolo da essi formato è acuto (infatti è in tal caso cos >0). Il rodotto scalare tra due ettori non nulli è negatio se e solo se l angolo da essi formato è ottuso (erché allora si ha cos <0). Il rodotto scalare tra due ettori non nulli è nullo se e solo se i due ettori sono erendicolari (è infatti ¼ 90 e quindi cos ¼ 0). Inoltre il rodotto scalare tra due ettori aralleli ed equiersi è uguale al rodotto dei loro moduli. Infatti in tal caso si ha ¼ 0, cioè cos ¼ 1, e quindi w cos ¼ w. In articolare il rodotto scalare di un ettore er se stesso è il quadrato del suo modulo ¼ Concludiamo osserando che, essendo 1 cos 1, dalla (1) si ha w w w La rima uguaglianza, w ¼ w, uò alere solo se cos ¼ 1 ¼ 180, cioè se i due ettori hanno direzioni arallele e ersi oosti. La seconda uguaglianza, w ¼ w, uò alere solo se cos ¼ 1 ¼ 0, cioè se i due ettori sono aralleli ed equiersi. 1 I ettori e w formano un angolo di 60 ed è ¼ ; w ¼ 3. Calcolare il loro rodotto scalare. Si ha w ¼ 3 cos 60 ¼ 3 1 ¼ 3. I due ettori e w hanno moduli, risettiamente, 9. Determinare l angolo da essi formato. Dalla (1) si ha cos ¼ w, cioè cos ¼ w 9 3 ¼ e 3 e il loro rodotto scalare ale Ricordando che er angolo tra due ettori si intende l angolo conesso formato dalle loro rette, si ha ¼ 150. Vettori TEORIA Osserazione. Il rodotto scalare ha noteoli alicazioni in fisica. Accenniamo a una tra le iù imortanti: il laoro comiuto da una forza F, quando il suo unto d alicazione subisce uno sostamento S,èdato dal rodotto scalare F S.

20 0 Prorietà del rodotto scalare 1 Il rodotto scalare tra ettori gode delle seguenti rorietà. Siano a ; b ; c tre ettori quasiasi e un numero reale; si ha che 1. a b ¼ b a (rorietà commutatia). ð a þ b Þ c ¼ a c þ b c (rorietà distributia) 3. ð a Þ b ¼ a ð b Þ¼ð a b Þ La rorietà commutatia discende immediatamente dalla definizione. Dimostriamo la rorietà distributia lasciando la dimostrazione della terza rorietà come esercizio er il lettore. Indichiamo con a c, b c ; ða þ bþ c, risettiamente, le comonenti dei ettori a, b, a þ b, risetto al ettore c. Si deduce allora, esaminando la figura 19, che è ða þ bþ c ¼ a c þ b c ðþ Ricordando che il rodotto scalare tra due ettori è il rodotto del modulo di uno dei due ettori er la comonente dell altro ettore risetto al rimo, si ha ð a þ b Þ c ¼ c ða þ bþ c ¼ða þ bþ c c da cui, er la (), è ð a þ b Þ c ¼ða c þ b c Þc ¼ a c c þ b c c ¼ a c þ b c Figura 19 TEORIA ALGEBRA LINEARE e quindi ð a þ b Þ c ¼ a c þ b c Osseriamo che, er la rorietà commutatia, la rorietà distributia si uò riformulare così c ða þ b Þ¼ c a þ c b Infine, la terza rorietà si uò generalizzare così ð a Þð b Þ¼½ a ð b ÞŠ ¼ ð a b Þ Si noti che le rorietà e 3 consentono di ridurre il rodotto scalare tra due esressioni ettoriali a una somma di rodotti scalari. Per esemio ð a þ b Þð c þ d Þ¼ a ð c þ d Þþ b ð c þ d Þ¼ ¼ ð a c Þþð a d Þþð b c Þþð b d Þ c::d: Esressione cartesiana del rodotto scalare Siano a e b due ettori dello sazio che, er quanto detto nel aragrafo 19, ossiamo esrimere come combinazione lineare dei ersori fondamentali x, y, z a ¼ ax x þ a y y þ a z z ; b ¼ b x x þ b y y þ b z z

21 1 Eseguiamo il rodotto scalare dei due ettori; ricordando le rorietà del rodotto scalare, aremo a b ¼ðax x þ a y y þ a z z Þðb x x þ b y y þ b z z Þ¼ ¼ a x b x x x þ a x b y x y þ a x b z x z þ a y b x y x þ þ a y b y y y þ a y b z y z þ a z b x z x þ a z b y z y þ a z b z z z ð3þ Ma si ha x y ¼ y z ¼ z x ¼ 0 ðerché ettori erendicolari cos ¼ 0Þ x x ¼ y y ¼ z z ¼ 1 ðerché ettori aralleli ed equiersi di modulo 1 cos ¼ 1Þ Quindi la (3) dienta a b ¼ ax b x þ a y b y þ a z b z ð4þ La (4) ci ermette di concludere che il rodotto scalare tra due ettori è la somma dei rodotti delle loro comonenti cartesiane corrisondenti. Naturalmente, se a e b sono ettori di un iano refissato, cioè a z ¼ 0eb z ¼ 0, essendo a ¼ ax x þ a y y ; b ¼ b x x þ b y y la (4) si riduce a a b ¼ ax b x þ a y b y ð5þ 1 Verificare che sono erendicolari i ettori ¼ x þ y z e w ¼ 3 x y þ z Ricordando che, er quanto detto nel aragrafo 0, due ettori sono erendicolari se e solo se il loro rodotto scalare è nullo, si dee calcolare w. Si ha che è w ¼ 3 þ ð Þþð 1Þ ¼ 0. Si deduce che e w sono erendicolari. Calcolare la comonente del ettore a ¼ 9 x þ 3 ffiffiffi 3 y risetto al ettore b ¼ð 6 þ Þ x þð 6 Þ y Detto l angolo conesso formato dai due ettori e detta a b la comonente di a risetto al ettore b,siha a b ¼ a cos ð6þ Poiché cos ¼ a b ab, si ha dunque, sostituendo nella (6), a b ¼ a b b Essendo qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a b ¼ 9ð 6 þ Þþ3 3 ð 6 Þ¼ 1 6 e b ¼ ð 6 þ Þ þð 6 Þ ¼ 4; Vettori TEORIA si ha quindi a b ¼ 1 ffiffiffi 6 ¼ 3 ffiffiffi 6 4

22 Prodotto ettoriale tra due ettori TEORIA ALGEBRA LINEARE 3 D Siano a e b due ettori, nel iano o nello sazio che formano un Definizione di rodotto angolo. Si dice rodotto ettoriale tra i due ettori a e b, e si indica con ettoriale a b (tale scrittura si legge a ettore b ), il ettore c così definito: 1) c ha modulo c ¼ ab sen ; ) la direzione di c è erendicolare sia al ettore a sia al ettore b ; 3) il erso di c è definito nel modo seguente (regola della ite). Si immagini una ite destrorsa che si aiti ruotando nello stesso senso della rotazione che il ettore a dee comiere er assumere la stessa direzione di b, descriendo l angolo conesso. Il erso di c è quello secondo cui tale ite aanza. Occorre tenere resente che su alcuni testi il rodotto ettoriale tra a e b uò essere indicato con a ^ b. Per comrendere meglio questa definizione, raresentiamo i due ettori mediante due segmenti orientati ƒ ƒ a ¼ OA e b ¼ OB, aenti il rimo estremo in comune. Se tali segmenti si troano su una stessa retta, aendosi ¼ 0 oure ¼ 180 e quindi sen ¼ 0, il ettore c ¼ a b arà modulo c ¼ 0. In questo caso, dunque, a b è il ettore nullo (aragrafo 5), di cui non Figura 0 ha senso definire direzione e erso. Se inece OA e OB non si troano sulla stessa retta, i unti O, A e B non sono allineati, erciò er essi assa uno e un solo iano. La direzione di c ¼ a b è quella erendicolare a tale iano (fig. 0). Per indiiduare il erso di c si uò anche ricorrere alla regola della mano destra: il erso di c è quello indicato dal medio di tale mano quando il ollice indica il ettore a e l indice il ettore b eil medio è disosto erendicolarmente al iano della mano stessa. Osserazione. Il rodotto ettoriale ha delle noteoli alicazioni in fisica. Accenniamone due tra le iù imortanti. Se O e A sono due unti e F è una forza alicata nel unto A, ilmomento di tale forza risetto a O ƒ è dato dal rodotto ettoriale OA F (fig. 1). Se una articella dotata di carica elettrica q si muoe con elocità in un camo magnetico B,sudi essa agisce una forza F ¼ q B (fig. ). Figura 1 Figura

23 3 Prorietà del rodotto ettoriale 4 Il rodotto ettoriale gode delle seguenti rorietà. Se a ; b ; c sono tre ettori qualsiasi e è uno scalare, si ha che 1. a b ¼ ðb a Þ (rorietà anticommutatia). a ðb þ c Þ¼ a b þ a c (rorietà distributia) 3. ð a Þ b ¼ a ð b Þ¼ð a b Þ Il rodotto ettoriale non gode della rorietà associatia, cioè, in generale ð a b Þ c 6¼ a ðb c Þ Osserazioni sul rodotto ettoriale 5 1. Se i ettori a e b sono aralleli è sen ¼ 0, come si è già detto nel aragrafo 3, e quindi si ha a b ¼ 0. In articolare, il rodotto ettoriale di un ettore er se stesso è semre il ettore nullo a a ¼ 0. Il modulo del rodotto ettoriale c ¼ a b di due ettori non uò suerare il rodotto dei moduli dei due ettori. Infatti, essendo, er 0 180,0 sen 1, si ha ab sen ab e quindi c ab Il segno di uguaglianza in tale relazione ale se e solo se sen ¼ 1 ¼ 90. Il modulo del rodotto ettoriale di due ettori è uguale al rodotto dei loro moduli se e solo se i due ettori sono ortogonali. Il rodotto ettoriale di due ersori tra loro erendicolari è un terzo ersore, erendicolare a entrambi. 3. Per definizione, il rodotto ettoriale tra due ettori è, esso stesso, un ettore. Contrariamente al rodotto scalare, il rodotto ettoriale è dunque un oerazione interna nell insieme dei ettori dello sazio. Se inece ci limitiamo a considerare l insieme dei ettori di un refissato iano xoy, il rodotto ettoriale è semre definito, ma non è un ettore di tale iano; dunque, nell insieme dei ettori di un iano, l oerazione di rodotto ettoriale non è un oerazione interna. Esressione cartesiana del rodotto ettoriale 6 Se x, y, z sono i ersori fondamentali nello sazio, in base alla definizione di rodotto ettoriale e all osserazione n. 3 del aragrafo recedente, si ha x y ¼ z ; y z ¼ x ; z x ¼ y ð1þ y x ¼ z ; z y ¼ x ; x z ¼ y ðþ x x ¼ y y ¼ z z ¼ 0 ð3þ Notiamo che, in ciascuna delle uguaglianze (1), i tre ersori fondamentali sono disosti in ordine alfabetico ðxyzþ o in ermutazioni cicliche di tale ordine (yzx o zxy). Questa osserazione è utile er ricordare le (1) e, di conseguenza, le (), che da quelle discendono er la rorietà anticommutatia. Siano ora a ¼ ax x þ a y y þ a z z ; b ¼ b x x þ b y y þ b z z due ettori qualsiasi. Vettori TEORIA

24 4 Tenendo resenti le (1), le (), le (3) e la rorietà del aragrafo 4, l esressione cartesiana del rodotto ettoriale è a b ¼ðax x þ a y y þ a z z Þðb x x þ b y y þ b z z Þ¼ ¼ða y b z a z b y Þ x þða z b x a x b z Þ y þða x b y a y b x Þ z : ð4þ Tale formula ci ermette di determinare le comonenti cartesiane del rodotto ettoriale di due ettori di cui sono note le comonenti cartesiane. Si noti che se i due ettori a e b sono aralleli al iano xy, si arà a z ¼ b z ¼ 0 e quindi la (4) assumerà la forma a b ¼ðax b y a y b x Þ z che raresenta un ettore arallelo all asse z. 1 Siano a ¼ x y þ 3 z ; b ¼ 3 x y þ z. Doo aer calcolato il rodotto ettoriale c ¼ a b, erificare che a) il ettore c è erendicolare ad a ea b ; b) il modulo di c è ab sen, essendo l angolo, da determinarsi, formato dai due ettori a e b. Alicando la (4), si ha subito c ¼ x 13 y 5 z ð5þ TEORIA ALGEBRA LINEARE a) Calcoliamo i due seguenti rodotti scalari: a c ¼ 1 þð 1Þð 13Þþ3ð 5Þ ¼0 b c ¼ð 3Þ1þð 1Þð 13Þþð 5Þ ¼0 Dunque, ricordando che due ettori non nulli sono erendicolari se e solo se il loro rodotto scalare è zero, c risulta erendicolare sia ad a sia a b. b) Determiniamo l angolo formato dai due ettori a e b.ècos ¼ a b : ab Essendo a b ¼ 1; a ¼ ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi 14 ; b ¼ 14,siha cos ¼ 1 14 ¼ arc cos 1 14 Osseriamo che essendo a b ¼ 1 > 0, è un angolo acuto e quindi risulta sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi sen ¼ 1 ¼ Dalla (5) si ha c ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi 195 ed è ab sen ¼ ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi ffiffi ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi L uguaglianza c ¼ ab sen è erciò erificata.

25 5 Dati i ettori a e b, erificare che a b risulta semre erendicolare ad a. È sufficiente mostrare che il rodotto scalare tra a b e a è nullo. Utilizziamo la (4) er calcolare a b, che oi moltilicheremo scalarmente er a, ottenendo ð a b Þ a ¼ða y b z a z b y Þa x þða z b x a x b z Þa y þða x b y a y b x Þa z ¼ ¼ a x a y b z a x b y a z þ b x a y a z a x a y b z þ a x b y a z b x a y a z ¼ 0 Il lettore uò erificare, er esercizio, che è anche ð a b Þ b ¼ 0 e concludere così che a b è erendicolare anche a b. Esressione matriciale del rodotto ettoriale 7 Utilizzando il linguaggio matriciale, l esressione cartesiana del rodotto ettoriale uò essere osta in forma di determinante: x a x b x a b ¼ y ay b y ð6þ z az b z Infatti, siluando formalmente tale determinante, ad esemio con la regola di Sarrus illustrata nel aragrafo 14 del caitolo sulle matrici, otteniamo x ax b x y ay b y ¼ a y b z x þ a x b y z þ a z b x y a y b x z a x b z y a z b y x ¼ z az b z ¼ a y b z a z b y Þ x þ a z b x a x b z Þ y þ a x b y a y b x z Osseriamo che quello che figura nell esressione recedente è un determinante solo in senso formale: infatti gli elementi della rima colonna sono ettori, non numeri. Ciò non toglie che, se si silua tale determinante seguendo le regole note, si ottiene un esressione che raresenta un ettore e tale ettore coincide con il rodotto ettoriale dei due ettori dati; ossiamo quindi affermare che ale la (6). Calcoliamo il rodotto ettoriale dei seguenti ettori: x y þ 3 z ; x þ 3 y 4 z Detti 1 e risettiamente il rimo e il secondo ettore, utilizzando la notazione matriciale ossiamo scriere x x ¼ y 3 ¼ 8 x þ 3 z þ 3 y z 9 x þ 4 y ¼ x þ y þ z z 3 4 Vettori TEORIA