Laurea Triennale in Matematica, Università Sapienza Corso di Probabilità 2 A.A. 2010/2011 Prova scritta 10 giugno 2011 Soluzione degli esercizi

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1 Laurea Triennale in Matematica, Uniersità Saienza Corso di Probabilità A.A. 00/0 Proa scritta 0 giugno 0 Soluzione degli esercizi Esercizio. Un modello di cellulare iene enduto con una batteria istallata ed una batteria di risera. Si suone che i temi di durata delle batterie - misurati in ore - sono ariabili aleatorie indiendenti, con distribuzione G(; 0:000). Si indichi con T il temo di funzionamento - misurato in ore - realizzato dalle batterie del cellulare, resuonendo che, esaurita la rima batteria, essa enga subito sostituita con la seconda (che, no al momento dell istallazione, iene conserata in modo da rimanere raticamente nuoa). a) Calcolare P ft > 0:000g b) Consideriamo 00 esemlari di tale modello ed indichiamo con M la roorzione di quelli er cui tali temi comlessii di funzionamento suerino la quota di 0:000 ore. Calcolare l arossimazione gaussiana er la robabilità : P f0:8 < M < 0:94g: Soluzione a) Indicando con X ; X i temi di durata delle due batterie, si ha che T X + X segue una distribuzione gamma G(4; 0:000). Dunque T ha la stessa distribuzione di robabilità di T 4, temo di attesa no al quarto arrio in un rocesso di Poisson di intensità 0:000 e ossiamo scriere, er ogni t > 0, P ft > tg P ft 4 > tg P fn t < 4g X P fn t kg k0 X e t (t) k k! : k0 In articolare, er t 0000, si ha t e P ft > 0000g e :5 4 6: ' 0:857 b) La ariabile aleatoria M ha alore atteso 0:857, arianza ( ) 00 0:005 e scarto standard 0:005 0:05:

2 Infatti essa si uò edere dunque come M S doe S 00 P 00 j Y j, Y ; Y,... essendo ariabili aleatorie binarie, con E (Y j ) e V ar (Y j ) ( ). Scrieremo allora M 0: :05 Z ed arossimiamo la distribuzione di robabilità della ariabile standardizzata Z con la distribuzione gaussiana standard N (0; ). Otteniamo quindi P f0:8 < M < 0:94g P f0:8 < 0: :05 Z < 0:94g P f 0:057 0:05 < Z < 0:057 0:057 0:05 g ' 0:05 (: 68 6) 0:948 0:896: Esercizio. Consideriamo tre ariabili aleatorie X ; X ; X i.i.d. con distribuzione gaussiana N 0; e oniamo V X + X ; W X + X : a) Qual è la funzione di densità marginale f V di V? Dimostrare l esattezza della risosta data calcolando f V in termini di conoluzione fra le funzioni di densità di X e X b) Determinare la funzione di densità congiunta f X;V;W (; ; w) er la terna (X ; V; W ) c) Calcolare il coe ciente di correlazione (V; W ) d) Qual è la funzione di densità congiunta f V;W della coia (V; W )? Dimostrare l esattezza della risosta data calcolando f V;W quale marginale della densità f X;V;W ottenuta nel recedente unto b). Soluzione a) V segue una distribuzione gaussiana N 0; e la sua funzione di densità è f V () exf 4 g: Possiamo, in articolare, dimostrarlo come segue (eslicitando tuti i dettagli dei ari assaggi): f V () Z + exf x g exf ( x) gdx Z + exf (x x)g exf gdx

3 Z exf + g exf (x x)gdx Z exf + g exf x x) + g exf 4 4 gdx exf g exf Z + 4 )g exf (x ) gdx exf g exf Z + 4 )g exf (x ) gdx exf Z + 4 gg exf (x ) gdx exf 4 g: b) Per determinare la funzione di densità congiunta f X;V;W (; ; w) della terna (X ; V; W ) consideriamo la trasformazione la cui inersa è X X V X + X W X + X ; X V X X X X W X : Il modulo del determinante jacobiano di tale trasformazione inersa è quindi uguale ad. Dunque f X;V;W (; ; w) f X;X ;X (; ; w ) c) exf exf h + ( ) + (w ) i g + + w ( + w) g: (V; W ) Co (X + X ; X + X )

4 Co (X ; X + X ) + Co (X ; X + X ) V ar (X ) d) V e W hanno alori attesi uguali a 0, arianze uguali a e coe ciente di correlazione (V; W ). Inoltre, essendo la terna (X ; V; W ) ottenuta attraerso una trasformazione lineare inertibile a artire dalla terna (X ; X ; X ) (doe X ; X ; X sono gaussiane indiendenti), la distribuzione congiunta della coia (V; W ) è una gaussiana bidimensionale; iù recisamente dorà essere N 0; 0; ; ;. Possiamo cioè a ermare che la funzione di densità congiunta f V;W di (V; W ) dee essere data da f V;W (; w) exf w + w g: L esercizio richiede comunque di eri care la alidità di tale uguaglianza calcolando f V;W quale marginale della densità tri-dimensionale calcolata nel recedente unto b). A tale roosito, ossiamo scriere f V;W (; w) Z + exf + + w ( + w) gd exf + w Z + g exf exf + w g exf exf " Z + + w ( + w) exf # g Z + + w w w exf + w " ( + w) gd ( + w) ( + w) + 9 exf Z + g w exf + w w g: exf g Esercizio. 6 alline numerate (da a 6) sono inizialmente distribuite fra due urne A e B. A ciascun asso n (n ; ; :::) iene scelto a caso un numero comreso fra e 6 e la corrisondente allina iene estratta dall urna in cui attualmente si troa. Questa iene oi rimessa nella stessa urna o sostata all altra urna con robabilità e q, risettiamente. Indichiamo con X n il numero di alline che si troano nell urna A al asso n. fx n g n0;;::: de nisce così una catena di Marko omogenea (modello modi cato dell urna di Ehrenfest), con sazio degli stati E : f0; ; :::; 6g. # ( + w) gd exf ( + w) gd 9 ( + w) gd 4

5 a) Determinare la matrice delle robabilità di transizione ad un asso er la catena b) Calcolare la distribuzione inariante, motiandone esistenza ed unicità c) La catena è reersibile risetto a tale distribuzione? d) Siegare quale di erenza sussiste fra il caso 0 ed il caso > 0 (facoltatio). Soluzione a) In qualunque stato si troi la catena, è uguale a la robabilità di restare, in un asso, nello stato stesso. A artire dallo stato 0 l unica ossibile transizione è erso lo stato ; e ciò aiene con robabilità q. Analogamente, oltre che restare nello stato 6, l unica ossibile transizione a artire dallo stato 6 è erso lo stato 5; e ciò aiene con robabilità q. Da uno stato i (con i ; ; ::; 5) la catena, oltre che restare nello stesso stato con robabilità, uò aere una transizione erso lo stato (i ) - e ciò aiene con robabilità q i 6 - oure erso lo stato (i + ) - e ciò aiene con robabilità q 6 i 6. b) L esistenza di una distribuzione inariante è garantita dal fatto che lo sazio degli stati ha cardinalità nita. Partendo da un qualunque stato, qualunque altro stato uò essere raggiunto in un massimo di sei assi. Dunque la catena è irriducibile e la distribuzione inariante è unica. Notiamo iù recisamente a questo roosito che, er qualunque coia di stati, la robabilità di transizione in sei assi è strettamente ositia. Dunque la catena è anche regolare. In irtù del recedente unto a), le equazioni cui tale distribuzione dee obbedire sono q 6 + q + q 0 + q + q q 4 + q q 5 + q q 4 + q q 5 5

6 Si ottiene facilmente la soluzione 6 0 ; 5 0 ; 0 0 ; ; ; 6 0 Imonendo la condizione di normalizzazione si ottiene 0 64 e dunque 6X i ; i ; 5 64 ; 0 64 ; ; ; 6 64 : Si otrebbe anche notare (si eda iù aanti) che tale distribuzione di robabilità coincide con la distribuzione binomiale b(6; ): 64 6 e tutti i numeratori sono dei coe cienti binomiali della forma 6 i. c) La catena è reersibile; sono infatti soddisfatte le equazioni del bilancio dettagliato. Essendo la catena regolare, la distribuzione inariante dee aere anche il signi cato di distribuzione di equilibrio ed è intuitio che, nella resente situazione, la distribuzione di equilibrio debba aunto coincidre con la b(6; ). A questo unto, un raido controllo ermette di eri care la alidità delle equazioni del bilancio dettagliato e ciò dà dunque la conferma rigorosa che sia b(6; ) la distribuzione inariante. d) E immediato rileare che la distribuzione inariante non diende dal alore di. Nel caso > 0, come detto sora, la catena è erò regolare, mentre nel caso 0 tale rorietà iene a cadere, ur se la catena resta irriducibile. 6