CP110 Probabilità: Esonero 1

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1 Diartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Cauto , II semestre 12 arile, 2011 CP110 Probabilità: Esonero 1 Cognome Nome Matricola Firma Nota: 1. L unica cosa che si uo usare durante l esame è una enna o una matita. Tutto il resto (calcolatrice, libri, aunti, altri fogli di carta,... ) deve essere messo da arte. 2. Risoste imlicite sotto forma di coefficienti binomiali, otenze, esonenziali ecc. sono benvenute. Mostrate in dettaglio il vostro lavoro. 3. Non arlate durante l esame. Coiare o far coiare non è tollerabile. 4. Scrivete il vostro nome su ogni agina. In caso di utilizzo di iu agine er un singolo esercizio indicare chiaramente l ordine. 5. Il unteggio massimo er ogni esercizio è indicato nel testo. Notare che già con quattro esercizi risolti correttamente si arriva al trenta. Buon lavoro! esercizio totale unti su

2 1. (8 ts) Si consideri la asseggiata aleatoria con robabilità di sostarsi a destra e robabilità 1 di sostarsi a sinistra. Sia S n la osizione doo n assi, con osizione iniziale S 0 = 0. (a) Calcolare il valore atteso e la varianza di S n. (b) Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria X = ( ) 1 Sn. Soluzione: Siano X i v.a. di Bernoulli () indiendenti. Allora S n = n i=1 (2X i 1). Quindi S n = 2B n n dove B n è la v.a. binomiale (n, ). Allora E[S n ] = 2E[B n ] n = n(2 1). Inoltre Var[X] = 4Var[B n ] = 4n(1 ). Calcoliamo [ (1 ) ] [ Sn (1 ) ] 2Bn n ( 1 ) [ ne (1 ) ] 2Bn E[X] = E = E = Si ha [ (1 ) ] 2Bn n ( ) n E = k (1 ) n k( 1 k k=0 n ( ) n (1 = (1 ) n k k=0 ) 2k ) k = (1 ) n ( ) n ( 1 ) n. = In conlcusione [ (1 ) ] Sn ( 1 ) n ( 1 ) n E[X] = E = = 1.

3 2. (8 ts) Un urna contiene inizialmente 2 alline rosse e 3 alline blu. A ogni asso, una allina viene estratta a caso. Se è rossa viene rimessa dentro l urna insieme a altre 2 alline rosse; se è blu viene rimessa dentro insieme a altre 3 alline blu. Calcolare (a) La robabilità di estrarre una allina rossa al secondo asso. (b) La robabilità di avere estratto una allina rossa al rimo asso saendo che la allina estratta al secondo asso è blu. Soluzione: Poniamo r = 2 e b = 3. Sia A l evento di aver estratto una allina rossa alla rima estrazione, E l evento di estrarre una allina rossa alla seconda estrazione. Allora P (A) = r/(r + b), e P (E A) = 2r/(2r + b). Inoltre P (A c ) = b/(r + b) e P (E A c ) = r/(r + 2b). Per risondere al unto (a) calcoliamo: P (E) = P (E A)P (A) + P (E A c )P (A c ) = Per il unto (b) osserviamo che 2r 2r + b r r + b + r r + 2b b r + b = P (A E c ) = P (Ec A)P (A) P (E c ) = b 2r + b r r + b 1 1 P (E) = = 8 29.

4 3. (7 ts) n ersone vanno a cena. Diciamo che la cena e k-bilanciata se in ogni sottoinsieme di k ersone tra le n ci sono almeno due ersone che si conoscono tra loro e almeno due ersone che non si conoscono tra loro. E noto che non è ossibile organizzare una cena tra 6 ersone che sia 3-bilanciata. Utilizzare il metodo robabilistico er dimostrare che invece è ossibile organizzare una cena tra 6 ersone che sia 4-bilanciata. Soluzione: Possiamo vedere 6 ersone come i vertici di un grafo comleto i cui lati sono colorati di bianco se due ersone non si conoscono, di nero se si conoscono. Ci sono ( 6 2) = 15 lati nel grafo comleto con 6 vertici. Dobbiamo dimostrare che esiste una colorazione dei 15 lati tale che nessun ( sottografo comleto di 4 vertici è tutto bianco oure tutto nero. Notiamo che ci sono 6 ) 4 = 15 sottografi comleti. A questo fine utilizziamo il metodo robabilistico, che consiste nel colorare a caso ogni lato di bianco o di nero indiendentemente dagli altri. Poniamo n = 6, k = 4, m = ( n k) = 15. Numeriamo i sottografi da 1 a m e oniamo Ei, i = 1,..., m er l evento che il sottografo i è tutto bianco oure tutto nero. Ci sono ( k 2) lati nel sottografo i. Per l indiendenza si ha P (E i ) = 2 (k 2)+1. Ora ossiamo stimare la robabilità che uno dei sottografi sia monocromatico con P ( i=1 E i ) m P (E i ) = m2 (k 2)+1, i=1 dove abbiamo usato la nota disuguaglianza er l unione di eventi. Osserviamo che er n = 6, k = 4, m = 15 si ha P ( i=1 E i ) < 1. Quindi si ha robabilità ositiva er l evento desiderato che nessun sottografo sia monocromatico. Ciò mostra che esiste la ossibilità che un gruo di 6 ersone si 4-bilanciato.

5 4. (8 ts) A ogni unità di temo indiendentemente si lanciano due monete. Sia X il rimo temo al quale si ha testa in almeno una delle due monete, e sia Y il rimo temo al quale si ha testa in tutte e due le monete. Trovare (a) i valro attesi E[X] e E[Y ]. (b) P (Y > 2 X = 2). (c) P (X = Y ) Soluzione: Osserviamo che X è una v.a. geometrica di arametro X = 1 P (nessuna testa) = 3/4, mentre Y è una v.a. geometrica di arametro Y = P (due teste) = 1/4. Ricordando che la geometrica di arametro ha media 1/ si ha E[X] = 4/3, E[Y ] = 4. la robabilità P (Y > 2 X = 2) si uò calcolare come P (Y > 2 X = 2) = P ({Y > 2} {X = 2}). P (X = 2) Ora, P (X = 2) = (1 X ) X = 3/16. L evento {Y > 2} {X = 2} consiste nell evento che il rimo lancio risulta nessuna testa e il secondo lancio risulta una sola testa. Poiché P (una sola testa) = 1/2 er l indiendenza si ha Quindi P (Y > 2 X = 2) = 2/3. Scriviamo P ({Y > 2} {X = 2}) = (1 X ) 1 2 = 1 8 P (X = Y ) = P ({Y = k} {X = k}). k=1 L evento {Y = k} {X = k} consiste nell evento nessuna testa nei rimi k 1 lanci, e due teste nel k-esimo lancio. Allora P ({Y = k} {X = k}) = (1 X ) k 1 Y In conclusione, P (X = Y ) = Y k=1 (1 X ) k 1 = Y = 1 X 3.

6 5. (7 ts) Suoniamo che l 1% dei soldatini rodotti da un fabbrica sia inutilizzabile a causa di un difetto. Un bambino acquista 200 soldatini. (a) Calcolare il numero medio di soldatini utilizzabili. (b) Tramite l arossimazione oissoniana, calcolare la robablità che il numero di soldatini utilizzabili sia almeno 198. Soluzione: Il valore atteso del numero di soldatini inutilizzabili è = 2, quindi ne restano in media 198 utilizzabili. Sia X il numero di quelli difettosi. Allora X è arossimata da una v.a. di Poisson di arametro λ = E[X] = 2. Per averne almeno 198 utilizzabili, si deve avere X 2, e con l arossimazione oissoniana si ha P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = e 2 ( /2! ) = 5e 2.

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