Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell Automazione, a.a. 2009/10 Prova scritta del 21/7/2010

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1 Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell Automazione, a.a. 009/0 Prova scritta del /7/00 Nota. E obbligatorio sia scegliere le risoste (numeriche, o le formule nali a seconda del caso) negli aositi sazi, sia dare la risoluzione er esteso sul foglio a arte. Esercizio. Un albergatore ha 0 camere. Quelle numerate da a 0 sono camere doie, le altre singole. Alloggia ogni cliente (o coia) nel tio di camera desiderato, ma er il resto sceglie a caso il numero della camera. i) Un giorno che ha tre doie e due singole occuate, che robabilità c è che esse siano le numero 8, 9, 0,,? 5400 ii) In un eriodo di bassa stagione le camere doie sono oco richieste; ogni giorno l albergatore riceve al massimo una richiesta di camera doia e ciò avviene in media un giorno su due. Calcolare la robabilità che la camera numero uno resti vuota er 0 giorni consecutivi, a artire da un certo giorno ssato, venendo occuata l undicesimo giorno. 0:099 Esercizio. Un sistema di trasmissione di segnali, rearato er un emergenza, risulta estremamente rumoroso. Esso deve solo inviare due tii diversi di lettere, che indichiamo con 0 ed. Ma 0 viene ricevuto come 0 solo il 70% delle volte (le altre è ricevuto ), ed analogamente viene ricevuto come solo il 70% delle volte (le altre è ricevuto 0). In media, i messaggi inviati contengono un ugual numero di 0 ed. i) Se non si oera alcuna forma di codi ca e si sedisce un messaggio comosto da una lettera, che robabilità c è di riceverlo correttamente? 0:7 ii) Vista l imortanza vitale dei messaggi, si decide di limitare l errore sedendo er 5 volte consecutive ogni singola lettera che si vuole inviare. Il ricevente, sa che si oera in questo modo, quindi rende grui di 5 simboli ricevuti e decide che si è sedita la lettera che vede iù volte, in ciascun gruo. Se viene sedito 0 (con questa frase intendiamo che vengono

2 inviati 5 zeri), che robabilità c è, ora, di sbagliare, cioè di decidere che il mittente voleva sedire? Dare un valore arossimato. Esercizio. Si consideri la funzione f (x) = C jxj e x, con > 0 arametro reale e C constante, diendente da, da determinare. i) Calcolare C in modo che f sia una densità di robabilità. C = ii) Detta X una v.a. con densità f, calcolare la funzione di riartizione F X (x) di X, er x < 0, e oi trovare la funzione di riartizione F Y (y) della v.a. Y = ex X, er y (0; ). F Y (y) = e log y iii) Calcolare E [jxj], dove X è una v.a. con densità f. r 4 Esercizio 4. Consideriamo la catena0di Markov su E = f; ; g asociata 0 alla seguente matrice di transizione P A, con 0 0. a) Determinare er quali valori di la catena è irriducibile e er quali valori di è regolare. b) Determinare, svolgendo il minimo numero di calcoli, tutte le robabilità invarianti della catena data. Il risultato trovato diende da? c) Determinare er quali valori di ci sono robabilità invarianti reversibili. d) Dare una stima er n grande della robabilità che la catena sia nello stato al temo n + e nello stato al temo n.

3 Soluzioni Esercizio. i) La robabilità dell evento descritto è il raorto tra i casi favorevoli ed i casi ossibili. Il numeratore è. Il denominatore è il numero di modi in cui si ossono occuare tre doie e due singole. Questo è (er ragionamenti elementari sulle binomiali oure ricordando l iergeometrica) ari a 0 0 = Quindi la robabilità richiesta vale ii) La robabilità che in un giorno generico venga scelta la camera numero è. Infatti 0 P (cam) = P (camjunadoia) P (unadoia) + P (camjnessunadoia) P (nessunadoia) = = 0 : Detto T il rimo giorno (oggi è in giorno ) in cui viene occuata la camera, vale P (T = k) = 9 k (T è una v.a. geometrica), quindi P (T = ) = 0 0 = 0:099: Esercizio. lettera è i) La robabilità di ricevere correttamente una singola P (corr) = P (sed = 0; ric = 0) + P (sed = ; ric = ) = P (ric = 0jsed = 0) P (sed = 0) + P (ric = jsed = ) P (sed = ) = 0:7 0:5 + 0:7 0:5 = 0:7: ii) Se viene sedito 0, il ricevente ottiene 5 simboli, ciascuno che ha robabilità 0.7 si essere uno 0. Indichiamo con X i, i = ; :::; 5, la v.a. che vale 0 se il carattere i-esimo ricevuto è 0, se è. E una Bernoulli di arametro = 0:. La somma S = X + ::: + X 5 è il numero di uni ricevuti. Il ricevente decide che il mittente ha sedito (quindi sbaglia) se S > 5. In altre arole, la robabilità di sbagliare è P (S > 5). La v.a. S è una B (5; 0:), quindi si otrebbe calcolare P (S > 5) usando le binomiali, ma il calcolo è troo lungo senza un ausilio di calcolo (non revisto er la rova d esame, e comunque il cui merito è da attribuirsi ai rogrammatori del software, non allo studente). Ad ogni modo, a titolo di confronto numerico, usando le robabilità binomiali si ha X5 5 P (S > 5) = 0: k 0:7 5 k = 0:006: k k=6

4 Usiamo invece l arossimazione gaussiana, aresa nel corso, che ermette di ottenere un ottimo risultato con calcoli elementari: X + ::: + X 5 5 0: 5 5 0: P (S > 5) = P (X + ::: + X 5 > 5) = P > 5 0: 0:7 5 0: 0: : 5 0: 0:7 = (:964) = 0:9984 = 0:006: Tuttavia, otevamo anche dire che P (S > 5) = P (S 6) = P X + ::: + X 5 5 0: 5 0: 0: : 5 0: 0: : 5 0: 0:7 = (:69) = 0:9995 = 0:0005: Quindi, se vogliamo usare la correzione di continuità, scegliamo il valore intermedio: 5:5 5 0: = (:68) = 0:999 = 0:0009: 5 0: 0:7 [In questo esemio la correzione di continuità non migliora il rimo dei due risultati, migliora solo il secondo; questo uò accadere quando sono in gioco robabilità molto iccole e l arossimazione è iù delicata.] Esercizio. i) Vale Z C jxj e x dx = C Z da cui C = (v.a. esonenziali). ii) 0 xe x dx y = x dy = xdx = C Z 0 e y dy F X (x) = P (X x) = = Z Z x x e y dy = jtj e t dt = Z x e y x = e x : te t dt y = t dy = tdt = Z x e y dy F Y (y) = P (Y y) = P (X log y) = F X (log y) = e log y : 4

5 iii) dove = dove Z N (0; ) E [jxj] = Z = Z x e = = Z jxj e x dx = x e x dx x dx = E Z = r = 4 : Esercizio 4. a) Se 6= 0 e 6=, certamente e intercomunicano, e intercomunicano, e intercomunicano erché tutte le robabilità di assaggio in un asso da uno stato all altro sono diverse da zero. Quindi er 6= 0 e 6= la catena data è irriducibile, ed è anche regolare visto che 6= 0. Per 0= la catena è ancora irriducibile, erché dallo studio della 0 0 matrice P A, si vede che tutti gli stati intercomunicano (in 0 0 due assi al massimo) 0 ed è regolare(di nuovo, P 6= 0). Per = 0 la matrice 0 0 P diviene P A, quindi la catena è ancora irriducibile (tutti 0 0 gli stati 0 comunicano fra loro 0 in uno o due assi) ma non è regolare, infatti P0 0 0 A, P0 0 0 A e oi si ricomincia. Ogni otenza di P 0 ha sei elementi nulli. b) Nel resente esercizio non è necessario imostare e risolvere il sistema erché la matrice data è bistocastica er ogni [0; ], quindi la distribuzione invariante risulta essere quella uniforme v = ; ;. La metodologia che si usa solitamente er determinare 8 la distribuzione invariante orterebbe alla risoluzione del sistema v + v + ( )v = v ( )v + v = v >< ( >: )v + v, = v v + v + v = 5

6 da cui di nuovo, con un o di fatica, v =. Il risultato non diende ; ; da (erché la matrice P è semre bistocastica), ed è semre unico (erche la catena data è semre irriducibile). c) Si deve veri care che v i ij = v j ji er ogni coia di indici i, j, Poiché v i = er ogni i, la relazione v i ij = v j ji diviene ij = ji, da cui ij = ji, cioè la matrice P deve essere simmetrica. Per ottenere questa rorietà, bisogna imorre =, che ha er soluzione = che è un valore accettabile. d) Si deve calcolare P(X n+ = ; X n = ). Tale robabilità uò essere scritta come P(X n+ = jx n = )P(X n = ) = P(X n = ) = P(X n = ) (indico con l elemento che sta nella rima riga e nella seconda colonna della matrice P, che vale ). A questo unto si sfrutta il risultato ricavato al unto b), cioè P(X n = ) er n grande (è il signi cato della distribuzione invariante che deriva dal teorema ergodico). Mettendo insieme questi due risultati, si ha P(X n+ = ; X n = ) 6. 6