VERSO L UNIVERSITÀ L integrale: un solo nome, tanti oggetti

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1 VERSO L UNIVERSITÀ L integrale: un solo nome, tanti oggetti Nomi, simboli e formule Al termine dello studio degli integrali, può valer la pena fare un po d ordine tra i vari concetti incontrati. Abbiamo studiato: -L integrale inde nito, f (x) dx; che è l insieme delle primitive della funzione f, quindi indica un certo insieme di funzioni; -l integrale de nito, b a f (x) dx; che è stato de nito come un opportuno limite di somme, quindi è un numero reale, che può avere il signi cato di area sotto una curva; -la funzione integrale, F (x) = a f (t) dt; cioè la funzione che ad ogni x in un certo intervallo assegna l integrale de nito di f sull intervallo [a; x]; poiché questo integrale, per ogni x ssato, è un numero reale, F risulta e ettivamente una funzione. La parola integrale è legata quindi a 3 tipi di oggetti ben diversi: un insieme di funzioni (integrale inde nito), un numero (integrale de nito), una funzione (funzione integrale). Naturalmente varie relazioni legano tra loro questi concetti, giusti cando così il loro nome simile. Non torniamo ora su queste relazioni. E naturale, comunque, raccomandare di prestare molta attenzione a non confondere questi concetti: nel leggere la pagina di un libro o il testo di un esercizio, osservare attentamente il simbolo usato e fare mente locale al tipo di oggetto che si sta indicando; nello scrivere lo svolgimento di un problema o la risposta a una domanda, cercare con cura il simbolo adatto a seconda di cosa si vuole indicare. Variabili e coerenza delle formule Saper comprendere correttamente una formula che si legge, così come saper scrivere in formule corrette un concetto che si pensa, dipende anche dalla

2 capacità di estrarre a colpo d occhio da una formula certe informazioni formali importanti. Questa attitudine diventa sempre più importante mano a mano che, progredendo nello studio della matematica, si ha a che fare come formule sempre più complesse. Spieghiamoci con degli esempi. Esempio Nella formula s n = i= i 2 ; () il primo membro s n ; con quell indice n posto in basso a destra, ci segnala subito che la formula de nisce una quantità che dipende da n; nell osservare l espressione a secondo membro, che è un po più complessa, cercheremo quindi subito di rintracciare in che senso questa quantità dipende da n (e non da altre variabili, come la i che pure compare in tale espressione). In e etti a secondo membro c è la somma dei termini =i 2 fatta per i da a n; cioè ::: + n 2 e il risultato di questa somma evidentemente dipende da n. Altrettanto evidentemente, il risultato di questa somma non dipende invece da i; che compare nella () come indice di sommatoria. L indice i è, come si usa dire, un indice muto, che ha il ruolo di contatore interno, o se vogliamo serve per scrivere in modo sintetico una certa istruzione: calcola la somma di tutti i termini del tipo =i 2 fatta per i che varia da a n. Naturalmente il risultato non cambierebbe se l istruzione fosse data usando le parole calcola la somma di tutti i termini del tipo =k 2 fatta per k che varia da a n ; perciò la scrittura () ha esattamente lo stesso signi cato di s n = k= k 2 : Esercizio 2 Si osservino le seguenti formule. Trovare quelle in cui c è qualcosa che non va, spiegando che cosa: (a) s n = (d) s n = ix n= kx i= 2 n n 2 (b) s i = 3 i 2 + i (e) s n = ix n= 2 n n + 4 5X i= 3 i 2 + i (c) s i = i= k= 2 i 3i X 3 k (f) s = 2k + : 2

3 Si osservi ora l analogia tra il ruolo dell indice ( muto ) di sommatoria e quello della variabile di integrazione, in un integrale de nito o in una funzione integrale: confronta I = confronta F (x) = e x2 dx con s = t t 2 + dt con s n = X i= k= 3 i 2i + k 2 : La variabile d integrazione è muta come un indice di sommatoria; serve per descrivere sinteticamente un istruzione: Calcola l integrale della funzione f (x) quando la variabile x percorre l intervallo [a; b], e il risultato non cambia se ci esprimiamo dicendo Calcola l integrale della funzione f (t) quando la variabile t percorre l intervallo [a; b]. Notiamo che il simbolo di integrale inde nito, da questo punto di vista, si comporta in modo un po diverso: anche in questo caso occorre che la stessa variabile sia usata in f (x) e in dx, evitando quindi scritture incoerenti R f (x) dt. Tuttavia, anche una volta rispettata questa regola di coerenza, il signi cato dei simboli f (x) dx e f (t) dt non è lo stesso: questi indicano l insieme delle primitive di f, espresse una volta come funzioni di x; una volta come funzioni di t, come mostrano i seguenti esempi: x 2 dx = x3 3 + c tdt = t2 2 + c: (Lo studente ricorderà l importanza che questa distinzione ha quando ad esempio si cerca la primitiva di una funzione col metodo di sostituzione). Esercizio 3 Si osservino le seguenti formule. Trovare quelle in cui c è qualcosa che non va, spiegando che cosa. (Attenzione: non si sta chiedendo di calcolare gli integrali!) (a) F (t) = (d) F (x) = t t (g) F (x) = e u du (b) F (x) = u 2 + cos x dx (e) I = x 2 + cos t dt (h) F (x) = t sin x dx (c) I = x 2 + x t dt (f) I = x 2 + cos x dx (i) I = x 2 + e t t 2 + dt e x x + dx cos x x 2 + dx:

4 Esercizio 4 Si osservino le seguenti espressioni: t kx (a) (cos s) 2 e s 2 n ds (b) (c) n (d) X k= k 2 (k + ) (e) n= e t2 dt (f) p 2 x 3 e x dx 2x x 3 + dx (g) i= a i (h) e t sin tdt: Per ciascuna di queste, dopo aver controllato che è formalmente coerente, si scriva un simbolo opportuno con cui la si potrebbe indicare sinteticamente, per indicare da quali variabili dipende o non dipende. Ad esempio: i 3 si può indicare con s n ; i= t 2 dt si può indicare con F (x) ; e t2 dt si può indicare con I: Le osservazioni fatte n qui non riguardano solo gli integrali e le sommatorie, ma molti altri operatori matematici. Vediamo qualche altro esempio, in modo che lo studente possa esercitare in contesti diversi l attenzione alla coerenza sintattica di una formula. Esempio 5 Ruolo delle variabili nel simbolo di limite. Si osservi che le scritture lim f (x) e lim f (t) x! t! hanno lo stesso signi cato. La variabile x nella prima, t nella seconda, sono mute, cioè giocano un ruolo analogo a quello della variabile di integrazione in un integrale de nito. Si osservi ora l espressione: lim f (t) : t!x Qui la variabile t è muta (potremmo sostituirla in entrambe le occorrenze con u; y; ::: o quello che vogliamo, ma non con x, che in questa formula ha già un altro signi cato!); invece x è una variabile e ettiva, a cui cioè possiamo assegnare valori diversi, ottenendo un diverso valore della quantità lim t!x f (t). 4

5 Esercizio 6 Si osservino le seguenti formule. Trovare quelle in cui c è qualcosa che non va, spiegando che cosa. (Attenzione: non si sta chiedendo di calcolare limiti o altre quantità!) (a) f (x) = lim t! 2 x+t 2 x t (x + x 2 + ) (b) f (x) = lim x! g (x) (c) f (t) = lim g (x) (d) lim x!t2 x! f (t) dt = 3 (e) X lim x!c n= x n n = f (c) (f) lim x! f (x) dx = 2 Esempio 7 Unione e intersezione di insiemi. In molte applicazioni del linguaggio degli insiemi, ad esempio alla geometria o alla probabilità, occorre indicare l unione e l intersezione di un numero qualsiasi di insiemi. Si usano allora scritture con indici del tipo: n[ A i per indicare A [ A 2 [ ::: [ A n, cioè l insieme i= Analogamente, fx : x 2 A o x 2 A 2... o x 2 A n g : n\ A i = A \ A 2 \ ::: \ A n = fx : x 2 A e x 2 A 2... e x 2 A n g : i= Detto a parole: ns A i è l insieme degli elementi che appartengono ad almeno i= T uno degli insiemi A ; A 2 ; :::; A n ; mentre n A i è l insieme degli elementi che appartengono simultaneamente a tutti gli insiemi A ; A 2 ; :::; A n. Per l utilizzo degli indici nei simboli di unione e intersezione valgono le stesse osservazioni fatte a proposito delle sommatorie. Esercizio 8 Indichiamo con E ; E 2 ; :::; E n dei poligoni nel piano, e col simbolo j j l area di. Quindi j j è un numero reale, mentre è un insieme del piano. Di ciascuna delle seguenti relazioni discutere la coerenza sintattica i= 5

6 e la verità o falsità. (a) = j j (d) i= [ i= i= i= [ (b) (e) n[ = i= [ j j i= [ i= i= (c) (f) n[ i= [ i= j j i= [ i= 6

7 SOLUIONI Soluzione dell Esercizio 2. (a) Il secondo membro dipende dalla variabile i (mentre l indice n è muto) quindi andrebbe indicato con s i ; non s n : (b) È coerente. Il secondo membro dipende dalla variabile i (mentre l indice n è muto), e viene indicato con s i : (c) Il secondo membro dipende dalla variabile n (mentre l indice i è muto) quindi andrebbe indicato con s n ; non s i : (d) Il secondo membro dipende dalla variabile k (mentre l indice i è muto) quindi andrebbe indicato con s k ; non s n : (e) Il secondo membro è una costante (l indice i è muto e scorre tra due interi ssati, da a 5), quindi andrebbe indicata con s, non s n. (f) È coerente. Il secondo membro è una costante (l indice k è muto e scorre tra due interi ssati, da a ), ed è indicato correttamente con s, simbolo che non dipende da indici. Soluzione dell Esercizio 3. (a) Coerente. A secondo membro c è una funzione integrale della variabile t (mentre u è la variabile muta, di integrazione), giustamente indicata col simbolo F (t) : (b) Il secondo membro è un integrale de nito, scritto correttamente. Ma non è corrretto chiamarlo F (x) ; perché è un numero e non una funzione di x. (Si può obiettare che esistono anche le funzioni costanti, ma rimane comunque scorretto usare nella stessa formula la stessa variabile con due signi cati diversi: a primo membro come variabile e ettiva e a secondo membro come variabile muta). (c) Coerente. A secondo membro c è un integrale de nito (quindi una costante), giustamente indicato col simbolo I; che non contiene variabili. (d) A secondo membro c è una funzione integrale della variabile t (mentre x è la variabile muta, di integrazione). Quindi andrebbe indicata con F (t) ; non F (x). (e) Nell integrale a secondo membro compare la variabile x nella funzione e la variabile t nel dt. Probabilmente chi ha scritto la formula intendeva indicare l integrale de nito x x 2 + dx: Con questa correzione, è coerente indicare l integrale de nito con I: Se invece si ritiene corretta la formula a secondo membro, signi ca che si sta integrando 7

8 rispetto a t una funzione di x, che quindi (rispetto a t) è una costante, e si porta fuori dall integrale. Si avrebbe allora: x x 2 + dt = x x 2 + dt = x x 2 + : Ma allora non è corretto indicare questa quantità con I; perché è una funzione di x e non una costante. (f) A secondo membro c è una funzione integrale della variabile t (mentre x è la variabile muta, di integrazione). Quindi andrebbe indicata con F (t) ; non col simbolo I che denota una costante. (g) A secondo membro c è l integrale inde nito di una funzione di t; che è una funzione (o meglio una famiglia di funzioni) di t. Perciò a primo membro si dovrebbe scrivere F (t) ; non F (x) : (h) E coerente. A secondo membro c è l integrale inde nito di una funzione di x; che è una funzione (o meglio una famiglia di funzioni) di x, giustamente indicata con F (x) : (i) A secondo membro c è l integrale inde nito di una funzione di x; che è una funzione (o meglio una famiglia di funzioni) di x: Perciò andrebbe indicata con F (x) ; non col simbolo I che indica una costante. Soluzione dell Esercizio 4. (a) F (t). Il secondo membro è una funzione integrale di t, mentre la variabile s è muta. (b) s k. Il secondo membro dipende dalla variabile k; mentre l indice n è muto. (c) I: Il secondo membro è un integrale de nito, quindi una costante. Scegliamo perciò un simbolo non dipendente da variabili. (d) s: Il secondo membro è una somma nita che non dipende da alcuna variabile (l indice k è muto), perciò lo indichiamo con un simbolo di costante. (e) F (t) : Il secondo membro è l integrale de nito di una funzione di t perciò è una famiglia di funzioni di t. (f) F (x) : Il secondo membro è l integrale de nito di una funzione di x perciò è una famiglia di funzioni di x. (g) s n. Il secondo membro è una somma nita che dipende dalla variabile n (mentre l indice i è muto). (h) F (x) : Il secondo membro è una funzione integrale della variabile x, mentre t è variabile muta. Soluzione dell Esercizio 6. 8

9 (a) Coerente. A secondo membro si calcola il limite per t! di una quantità che dipende da x e t. La t è una variabile muta, mentre il risultato del limite dipende da x, cioè è una funzione di x, e difatti a primo membro c è il simbolo f (x) : (b) A secondo membro c è lim x! g (x) che è un numero, non una funzione (la variabile x è muta), mentre a primo membro c è il simbolo f (x) che indica una funzione. Si può obiettare che dopo tutto esistono anche le funzioni costanti, ma sarebbe comunque scorretto usare lo stesso simbolo x a secondo membro come variabile muta e a primo membro come variabile e ettiva. (c) Coerente. A secondo membro c è un limite in cui x è variabile muta, e il risultato dipende da t 2, e quindi da t. Coerentemente, a primo membro c è il simbolo f (t). (d) Coerente. Nell integrale la t è variabile muta; il valore della funzione integrale dipende quindi da x; calcolandone il limite si ottiene una costante, ed il secondo membro è e ettivamente una costante. Si noti che la x a primo membro è variabile muta nel limite (anche se non nell integrale). Il primo membro si potrebbe ad esempio riscrivere lim y! y f (t) dt, oppure lim x! y f (u) du, ma non così: lim f (y) dy: y! (e) Coerente. A primo membro c è una sommatoria, in cui n è indice muto; il valore della sommatoria dipende da x; di questa quantità si calcola poi il limite per x! c. Il risultato dipende da c. Coerentemente, a secondo membro c è f (c). Si noti che x è variabile muta nel limite, mentre n è indice muto nella sommatoria. Ad esempio, il primo membro si può riscrivere lim t!c X n= t n n X, oppure lim x!c (f) A primo membro c è un integrale de nito (in cui la x è variabile muta), che quindi ha un valore costante; non ha senso perciò calcolarne il limite per x! : Di nuovo, si potrebbe obiettare che, dopo tutto, si può calcolare il limite anche di una funzione costante; ma sarebbe comunque sbagliato usare nella stessa formula la variabile x con due signi cati diversi: variabile del limite e variabile muta dell integrale de nito. Soluzione dell Esercizio 8. (a) A primo membro compare l area della somma di insiemi. Non si possono sommare gli insiemi, però: se ne può fare l unione, o l intersezione, ad esempio. Quindi la formula è scorretta. 9 j= x j j.

10 (b) La formula è sintatticamente coerente. A primo membro c è l area dell unione di poligoni. E corretto fare l unione di poligoni; si ottiene un poligono, di cui ha senso calcolare l area, che è un numero reale. Quindi il primo membro ha senso ed è un numero. A secondo membro c è la somma delle aree dei poligoni. Anche questo ha senso, ed è un numero. L uguaglianza è quindi sintatticamente coerente. Chiediamoci ora: è vero che l area dell unione di alcuni poligoni è uguale alla somma delle aree di ciascuno? Non appena due dei poligoni sono anche solo parzialmente sovrapposti, l uguaglianza viene a cadere, in quanto il secondo membro risulta maggiore del primo. Quindi l uguaglianza in generale è falsa. (c) La formula è sintatticamente coerente, come la precedente: ciascun membro indica un numero, tra cui ha senso scrivere una disuguaglianza. Inoltre, questa volta la formula è vera: l area dell unione di alcuni poligoni non supera mai la somma delle aree di tutti i poligoni. (d) Ciascuno dei due membri rappresenta l unione di insiemi, quindi è un insieme. Tra due insiemi non ha senso scrivere il simbolo di minore o uguale : gli insiemi non sono numeri. Quindi la formula è scorretta. (e) La formula è sintatticamente coerente. Ciascuno dei due membri rappresenta un unione di poligoni, quindi è un insieme. Tra due insiemi ha senso scrivere il simbolo di. La formula è anche vera: l unione dei primi poligoni è contenuta nell unione dei primi poligoni. (f) La formula è sintatticamente coerente. Ciascuno dei due membri rappresenta l area di un unione di poligoni, quindi è un numero. Tra due numeri ha senso scrivere il simbolo di. La formula è anche vera. L area dell unione dei primi poligoni non supera l area dell unione dei primi poligoni, perché l unione dei primi è contenuta nell unione dei primi, e l area di una parte non supera l area del tutto.