Determination of dynamic soil properties through propagation of Rayleigh waves

Determination of dynamic soil properties through propagation of Rayleigh waves Ing. Vitantonio Roma Dipartimento Ingegneria Strutturale e Geotecnica Politecnico di Torino 20 Luglio 2001

Schema della prova sperimentale Source Receivers D x x Tecnica non invasiva: misure eseguite sulla superficie libera

Modello Geometria Comportamento meccanico Onde di Rayleigh Fenomeno di Dispersione e Attenuazione delle onde Inversion Problem Rigidezza Damping Ratio Spessori Risposta Sperimentale Risposta Teorica Confronto e Soluzione Ottimale

Modello del Sistema z r Vs * i, Vp * i, h i, ρ i Linear visco-elastic, homogeneous, isotropic horizontal layers Half-space 4 n + 3 parameters

Fenomeno di Dispersione La forma d onda totale cambia durante la propagazione

Fenomeno di Dispersione Perturbazione u( x, t) = A( x, t) e iφ ( x, t) Fase φ( x, t) = ω( cx t) Velocità di Fase ω c = = c(ω) k c( ω) = cos tan te c( ω) cos tan te No dispersione dispersione

Fenomeno di Dispersione Velocità di fase c Curva di Dispersione Frequenza (Hz)

Fenomeno di Dispersione Circular frequency ω Curva di Dispersione P β ω U ( ω ) = = tan( β ) k δ ω c( ω ) = = tan( δ k ) Velocità di Gruppo U Wave number k Velocità di fase c

Dispersione Normale Dispersione Inversa x group x crest x crest x group

Onde di Rayleigh Onde cilindriche viaggiano sulla superficie del semispazio Le due componenti del moto formano una ellisse nel piano verticale In un semispazio omogeneo sono non dispersive In un semispazio stratificato sono dispersive

Onde di Rayleigh Informazioni sugli strati interessati nella propagazione

Dispersione delle Onde di Rayleigh in un mezzo stratificato Stiffness Matrix Method (See for example Kausel, Roesset 1981) 1) Equilibrium of forces at the interfaces 2) Continuity of displacements at the interfaces 3) Radiation condition at infinite depth and stress-free conditions at the surface F = [S] X det[s] = 0 Dynamic equilibrium of the global system Free vibrations of the system R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = i i i i 0 Rayleigh dispersion relation

Dispersione delle Onde di Rayleigh in un mezzo stratificato For a fixed frequency f several wavenumbers may exist and for a fixed wavenumber k several frequencies may exist Example Case E Layer h (m) Vp (m/s) R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = Vs (m/s) Mass density (kg/m 3 ) 1 5 1500 1000 1800 i i i i 0 0 5 500 1000 Vs (m/s) 2 5 750 500 1800 10 Half-space 1500 1000 1800 Z (m)

Modi di propagazione di Rayleigh 150 Rayleigh modes Frequency (Hz) 100 50 R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = i (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (o) 4th mode i i i 0 0 0 0.5 1 1.5 2 Wavenumber (1/m)

1000 Modi di propagazione di Rayleigh Theoretical Rayleigh modes for site E 900 800 Phase velocity (m/s) 700 600 500 400 300 (.) 1st mode (star) 2nd mode 200 (+) 3rd mode 100 (o) 4th mode 0 0 50 100 150 Frequency (Hz)

Ricerca degli zeri della Relazione di Dispersione di Rayleigh f=115hz Programma di Hisada R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = i i i i 0

Jumps Problem Layer h (m) Vp (m/s) Esempio Case B Vs (m/s) Mass density (kg/m 3 ) 1 5 700 400 1800 2 5 500 300 1800 0 5 10 Vs (m/s) 300 400 450 Half-space 800 450 1800 Z (m)

Jumps Problem Salto 1 Salto 2

Jumps Problem f=115hz Discontinuità nella funzione di Rayleigh

Jumps Problem I modi di Rayleigh non sono discontinui

Risposta Sperimentale del Sistema Deve rappresentare il più possibile le caratteristiche geometrico-meccaniche del sistema Spostamenti nello spazio-tempo Spostamenti spettrali in f-k Relazione di Dispersione

Risposta Sperimentale del Sistema Metodo SASW standard Metodo F-K

Risposta Sperimentale del Sistema Metodo F-K Attivo Source Receivers D x x n ricevitori (max 24) disposti lungo una retta passante per la sorgente Metodo F-K Passivo Main Energy Source 16 Sensor Circular Array Additional Sources

Metodo F-K Attivo 2D Fourier Transformation Relazione di Dispersione delle onde di Rayleigh max 0 0 2 ) ( k f f c = π Picco dello Spettro a frequenza costante Apparent Phase Velocity McMechan and Yedlin(1981) ( ) = dk d e k R k N t x u t kx i ω ω ω ω ) ( ), ( ), (, ( ) = = ), ( ), ( ), (, ω ω ω ω ω k R k N dk d e e t x u k u ikx t i Spostamenti k max

Risposta Sperimentale del Sistema Normalized Power 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f=costante Metodo F-K Attivo 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Wavenumber (rad/m) Curva di Dispersione Apparente più regolare Intervallo di frequenze più esteso alle basse frequenze Non indispensabile mediare su diverse configurazioni

Risposta Teorica del Sistema Esistono più rami teorici della curva di Dispersione delle onde di Rayleigh (Modi di Rayleigh), ma una sola curva apparente o effettiva sperimentale. Come fare un confronto tra risposta sperimentale e risposta teorica ai fini di un processo di Inversione? Sistemi Normalmente dispersivi e Inversamente dispersivi Occorre considerare la Sovrapposizione dei modi di Rayleigh Importanza relativa dei diversi modi di Rayleigh Coerenza tra prova sperimentale e simulazione teorica

Sistemi Normalmente dispersivi 800 700 600 Velocità di fase (m/s) Profilo di Rigidezza G 500 400 300 200 Cresce con z Z (m) 100 Frequenza (Hz) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 La curva di Dispersione sperimentale coincide con il modo fondamentale della Relazione di Dispersione teorica di Rayleigh I modi superiori sono trascurabili

1200 Sistemi Inversamente dispersivi Velocità di fase (m/s) Profilo di Rigidezza 1000 800 0 G 600 (.) 1st mode 400 (star) 2nd mode (+) 3rd mode (o) effective dispersion curve 200 (<) 4th mode Frequenza (Hz) 0 0 50 100 150 Z (m) Tutti i modi di Rayleigh assumono importanza e la curva di dispersione sperimentale non coincide con nessuno dei modi teorici.occorre costruire una curva di Dispersione teorica Apparente o Effettiva da confrontare con la curva sperimentale.

Risposta Teorica del Sistema Simulazione della prova SASW standard a 2 ricevitori dal dominio spazio-tempo Metodo della Velocità di fase Effettiva (Lai, 1998) Simulazione della prova f-k ad n ricevitori dal dominio spazio-tempo: occorre caratterizzare la sorgente e richiede troppo tempo durante la simulazione

Effective Phase Velocity (Lai) Processo di media Procedure Sperimentale e Teorica diverse Valori a diverse distanze

Risposta Teorica del Sistema Simulazione della metodo f-k sperimentale ad n ricevitori dal dominio spazio-frequenza ( ) ( ) = + = M j r j k i e j z r A z r 1,,,, u β ϕ ω β ω β Spazio-frequenza Spazio-numero d onda ( ) k,ω u Metodo f-k Teorico (Roma et al., 2001) Configurazione dei ricevitori identica nel test sperimentale e nella simulazione teorica

Confronto fra Curve Teoriche

Metodo F-K Teorico Example Case E Layer h (m) Vp (m/s) Vs (m/s) Mass density (kg/m 3 ) 1 5 1500 1000 1800 0 5 500 1000 Vs (m/s) 2 5 750 500 1800 10 Half-space 1500 1000 1800 Z (m)

1200 Theoretical Rayleigh modes and Effective dispersion curve at site E 1000 Phase velocity (m/s) 800 600 400 (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (o) effective dispersion curve 200 (<) 4th mode 0 0 50 100 150 Frequency (Hz)

150 Theoretical Rayleigh modes and Effective dispersion curve at site E Frequency (Hz) 100 50 (o) effective dispersion curve (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (<) 4th mode 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Wavenumber (1/m)

Frequencies and Wavenumbers of Resonance in Layered Media for Traveling Rayleigh Waves 1 Frequencies of resonance at site E normalized spectrum of vertical displacements 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (<) 4th mode 0 0 50 100 150 Frequency (Hz)

Sensitivity analysis of a simple system Single layer over a Half-space F z iωt Far Field:Rayleigh Waves = F 0 e Vs, h i i,ν, i ρ i r z Half-space

Magnitude of the Spectrum of each mode Normalized spectrum of vertical displacements on the surface 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Frequencies of Resonance for travelling Rayleigh waves h1=15m, Vs1=400m/s, Vp=1.5Vs 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequency (Hz) (.) 1st mode (+) 2nd mode (>) 3rd mode (star) 4thmode (o) 5th mode

Sensitivity Analysis Resonant frequencies for Rayleigh modes(h1=25m,vsinf=1000m/s) Resonant frequencies for Rayleigh modes(vs1=600m/s,vsinf=1000m/s) Resonant frequency (Hz) 60 50 40 30 20 10 0 Vs1=200m/s Vs1=400m/s 0 2 4 6 Rayleigh modes f*h1/vsinf 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 5 10 15 20 25 30 thicknesses h1 (m) mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 Dependence of resonant frequency from Vs1(h1=25m) 7 x 10-6 Fundamental mode for different stiffness ratios Resonant frequency (Hz) 100 80 60 40 20 0 0 200 400 600 800 1000 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Spectrum of vertical displacements (m) 6 5 4 3 2 1 h1=25m, Vs1=400m/s, Vp=1.5Vs (.) Vsinf=1.25Vs1 (+) Vsinf=2Vs1 (>) Vsinf=2.5Vs1 (star) Vsinf=4Vs1 (o) Vsinf=5Vs1 (diamond) Vsinf=10Vs1 Shear wave velocity Vs1 (m/s) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequency (Hz)

Frequencies and Wavenumbers of Resonance for a layer over a half-space f R( j) ( A + Bj) Vs 1 h1 V = λ f k 2 π R( j) ( A + Bj) h1 Vs V j 1

Analogy with Shear waves f Shear( j) = ( 0.25 + 0.5 j) Vs 1 h1 j=generic mode of propagation h Free surface S Rigid bedrock f Rayleigh( j) ( 0.09 + 0.65 j) Vs 1 h1

Analogy with Shear waves Rayleigh and Shear Frequencies of Resonance Frequency (Hz) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Rayleigh Shear 0 1 2 3 4 5 6 Mode of propagation

Risposta Teorica del Sistema Vantaggi del metodo f-k Teorico Coerenza tra prova Sperimentale e simulazione Teorica Non occorre caratterizzare la sorgente nel dominio spaziotempo Non occorre passare dal dominio spazio-tempo: risparmio di tempo computazionale nel processo di Inversione Codice di calcolo che fornisce la Funzione di Trasferimento del Sistema Importanza relativa dei diversi modi di Rayleigh

Mezzi debolmente dissipativi : Inversione Disaccoppiata di G e D Condizione di mezzo debolmente dissipativo D 10% Inversione Non Lineare del profilo di rigidezza G(z) Ipotesi di elasticità Inversione Lineare del profilo di Smorzamento D(z)

Processo di Inversione Prova Sperimentale Confronto Relazione di Dispersione Sperimentale-Teorica Ipotesi iniziale sui Parametri geometricomeccanici Simulazione Teorica Variazione dei Parametri NO Minimizzare la distanza fra le due risposte? SI FINE

Processo di Inversione Variabili Indipendenti Velocità delle onde di Taglio e Spessori degli strati Funzione Obiettivo Distanza tra Risposta Sperimentale e Risposta Teorica Vincoli Velocità positivi e spessori superiori ad un valore limite inferiore Massima Profondità raggiungibile

Processo di Inversione Funzione Obiettivo P( h, vs i j, R) = ( N ) cexp erimental c f theoretical ( h f i, vs j ) f = 1 2 + vincoli 2 {(min( 1,0 } M P1 = R h i )) i= 1 P P M = + R i= 1 ( min(, ) 1 2 vs j 0 M = R min h i h i= 1 { } 2 3 max, 0 2 R=penalty parameter

Ottimizzazione Non Lineare Variazione dei Parametri Nuova Configurazione alla iterazione k Direzione della variazione x k = x k 1 + α s k Configurazione precedente k-1 Intensità della variazione x = n ( Vs, Vs,.., Vs,.., Vs, h, h,.. h,.. h ) 1 2 i n 1 2 i 1

Processo di Inversione Ottimizzazione Multi-dimensionale Scelta della Direzione S della Variazione Definisce il tipo di Algoritmo x k = x k 1 + α s k Ottimizzazione Mono-dimensionale Line Search

Ottimizzazione Non Lineare Algoritmo di Davidon-Fletcher-Powell B k +1 = B k + p p k T k p q T k k T B q qk B q B q k k T k k k k Appartiene alla classe dei Metodi Quasi-Newton Si basa su informazioni del primo ordine: Gradiente della Funzione Obiettivo calcolato ad ogni iterazione Converge almeno ad un minimo locale o ad un flesso locale

Analisi di Sensitività Layer number Thickness (h) [m] Shear velocity (vs)[m/s] 1 2 100 2 5 200 3 7 350 Half space - 600 Frequency (Hz)

Variano Spessori e Velocità Layer number h [m] h[m] Vs[m/s] Vs[m/s] 1 2.3 4.2 90 100 2 4.6 14.7 240 235 3 6.8 2.5 330 330 Half space - 650 610 Variazioni < 20% Funzione Obiettivo 7 10 5 450

Variano Spessori e Velocità Obiettivo 25 iterazioni

Variano Spessori e Velocità Layer number h [m] h[m] Vs[m/s] Vs[m/s] 1 1.2 2.9 100 100 2 2.0 9.8 300 295 3 2.0 2.3 400 399 Half space - 600 600 Funzione Obiettivo 7 10 5 450 12 iterazioni L Inversione contemporanea di Velocità e Spessori porta a soluzioni poco attendibili a causa della presenza di minimi locali della Funzione Obiettivo bel Dominio delle variabili

Piccole variazioni di velocità spostano il Minimo Layer number Thickness (h) [m] Shear velocity (vs)[m/s] 1 X 100 2 Y 220 (+20) 3 7 330 ( 20) Half space - 600

Piccole variazioni degli Spessori non spostano il Minimo Layer number Thickness (h) [m] Shear velocity (vs)[m/s] 1 1.2 100 2 6.8 X 3 9.3 350 Half space - Y Obiettivo Vs2=200 Vs4=600

Inversione delle Velocità Layer number h [m] Vs[m/s] Vs[m/s] 1 2 50 99 2 5 180 202 3 7 400 351 Half space - 750 598 Funzione Obiettivo 4.3 10 5 18 20 iterazioni L Inversione delle Velocità agli Spessori esatti è corretta

Inversione delle Velocità

Mezzo Inversamente Dispersivo 6 iterazioni

Mezzo Inversamente Dispersivo Layer number h [m] Vs[m/s] Vs[m/s] 1 5 700 610 2 5 500 400 Half space - 800 780 Funzione Obiettivo 1.02 10 5 1200 6 iterazioni Convergenza ad un minimo locale molto prossimo al minimo globale: soluzione accettabile

Risposta Teorica del Sistema Inversion of an artificial case Shear velocity Vs (m/s) 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Depth (m) True profile Last iteration First iteration

Esistenza di Minimi Locali Algoritmo di Ottimizzazione Locale: la Soluzione Finale dipende dalla Configurazione Iniziale

Layer h [m] Poisson Vs[m/s] 1 2 0.2 182 2 1.5 0.45 135 3 1.5 0.45 175 4 3 0.45 195 5 3 0.45 178 6 3 0.45 175 7 4 0.45 205 8 5.5 0.45 267 9 5 0.45 290 10 6 0.45 345 11 6 0.45 390 Half space - 0.45 431 Sito alluvionale, Inversamente dispersivo Wolf River (USA)

Wolf River (USA) 500 450 400 350 300 Curve di Dispersione (.) Risposta sperimentale (o) Risposta teorica 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequenza(Hz)

Wolf River (USA) Numero d onda (1/m) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 Curve di Dispersione (.) Risposta sperimentale (o) Risposta teorica 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequenza(Hz)

Wolf River (USA) Numero d onda (1/m) 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 (o) Rayleigh modes Frequency Spectrum (o) Risposta sperimentale 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequenza(Hz)

Wolf River (USA) 1 Spettro Normalizzato 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequenza(Hz)

Verzuolo Layer h [m] Poisson Vs[m/s] Vs[m/s] 1 0.5 0.2 950 950 2 1.5 0.2 300 289 3 3.0 0.2 400 380 4 3.0 0.45 600 592 5 2.5 0.45 700 700 6 2.5 0.45 900 900 Half space - 1100 1100

Verzuolo

Damping Ratio Profile (Rix et al.2000) ( ) ( ) [ ] ( ) ), ( ), ( 1,,,,, u ω ψ ω ω β ϕ ω ω ω r t i e r u M j r j k t i e j z A r t z r = = + = Spostamenti Teorici [Aki and Richards(1980), Lai(1998)] r e r G F r u ) ( ), ( ), ( ω α ω ω = Geometric and MaterialDamping Coefficiente di Attenuazione + = i s N i i s R i s i p R i p R D V c V k V c V c,,, 2 ) ( ω ω α Lai (1998) Nota da Vs profile

Damping Ratio Profile Spostamenti Sperimentali acc( r, ω) u( r, ω) = 2 ω C( ω) Calibration factor Coherence function Errore nelle misurazioni Matrice W dei pesi Standard deviation σ

Damping Ratio Profile Spostamenti Sperimentali Spostamenti Teorici Regression Analysis Coefficiente di Attenuazione α Sperimentale

+ = i s n i i s R i s i p R i p R D V c V k V c V c,,, 2 ) ( ω ω α [ ] exp D = α M [m x 1] [n x 1] x n] [m = m=frequenze n=strati Constrained Linear Inverse Algorithm (Constable,1987) Obiettivo=Smoothness ( ) = = n i i s i D s D R 2 2 1,, Vincolo= distanza Damping Ratio Profile D M W W za dis ] ][ [ ] [ tan = α

Damping Ratio Profile Metodo dei moltiplicatori di Lagrange [ M ] D = αexp D inverted Confronto Attenuazione sperimentale e teorica α theo = [ M ] Dinverted

Mud A Isola artificiale realizzata sul fiume Mississipi 400 350 300 250 200 150 100 50 Frequenza(Hz) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Mud A Spostamenti Sperimentali (o) e Teorici (.)

Mud A Curva di Attenuazione Sperimentale

Mud A Damping Profile 2 4 6 8 10 12 Z (m) 14 0.5 1 1.5 (%)

Conclusioni Nuova Procedura di simulazione Teorica della Risposta del Sistema (Roma,2001) Tiene in conto la sovrapposizione dei Modi superiori di Rayleigh quindi è applicabile ai sistemi inversamente dispersivi Non occorre caratterizzare la sorgente Trasforma dal dominio spazio-frequenza al dominio numero d onda frequenza con risparmio di tempo computazionale

Conclusioni Importanza relativa dei diversi Modi di Rayleigh Frequenze e Numeri d onda di Risonanza di un mezzo stratificato attraversato da onde Rayleigh Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio

Conclusioni Procedura di Inversione Disaccoppiata dei Profili di Rigidezza e di Smorzamento Algoritmo di Ottimizzazione DFP Quasi- Newton Inversione delle sole Velocità sia per sistemi normalmente dispersivi che inversamente dispersivi Applicazioni reali Esistenza di Minimi locali

Conclusioni Inversione del Profilo di Smorzamento Valutazione della curve di Attenuazione sperimentale e teorica Applicazione a casi reali

Conclusioni Importanza relativa dei diversi Modi di Rayleigh Frequenze e Numeri d onda di Risonanza di un mezzo stratificato attraversato da onde Rayleigh Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Procedura di Inversione Disaccoppiata dei Profili di Rigidezza e di Smorzamento