Ottimo del consumatore a.a. 2008/2009 Dott. Laura Vici Esercitazioni: giovedì 9:00-11:00, Aula A, Via Berti Pichat, 6 Ricevimento: giovedì 13:00-15:00 Dipartimento di Scienze Economiche- Strada Maggiore, 45 Studion. 31 E-mail: laura.vici@unibo.it Home page: http://www2.dse.unibo.it/lvici Esercitazione IV Versione 22/10/2008 OBIETTIVI: dopo un breve ripasso dei concetti di curva di indifferenza, saggio marginale di sostituzione (SMS) e vincolo di bilancio, in questa sezione vengono analizzati i metodi di massimizzazione dell utilità sotto il vincolo di bilancio, tecnica che consente di determinare il paniere ottimale di consumo.
La teoria del consumatore La teoria del consumatore è quella branca dell economica che si occupa di spiegare come i consumatori allocano il proprio reddito per l acquisto di beni e serivizi, in modo da massimizzare la propria utilità. Il problema principale di un consumatore è quello di disporre di un reddito limitato da suddividere tra l acquistodibenidiversi,ossiaperl acquistodelpanieredibeni 1 chegliassicurailmaggiorevantaggio. Pertanto gli elementi da considerare per risolvere il problema del consumatore sono due: - le preferenze del consumatore rispetto ai beni(la funzione di utilità da massimizzare). - la disponibilità finanziaria e i prezzi dei beni(il vincolo di bilancio da rispettare). Assunzioni Il presupposto della teoria del consumatore è che gli individui siano razionali e coerenti. Inoltre, per semplificare lo studio, si suppone implicitamente che il consumatore disponga di completa informazione. Inoltre, la teoria del consumatore si fonda su una serie di assunzioni: Completezza: Le preferenze dei consumatori sono complete se i consumatori sono in grado di confrontare e classificare tutti i possibili panieri, indipendentemente dal prezzo. Ad esempio, dati due panieri A e B, il consumatorepuòpreferireaab(esiindicacona B)oppurepuòpreferireBadA(esiindicacon A B),oessereindifferentetraiduepanieri(esiindicaconA B). Transitività: DatitrepanieriA,BeC,seunconsumatorepreferisceAaBeBaC,allorapreferisceAaC(A B eb C= A C). Non sazietà: Il consumatore preferisce sempre una quantità maggiore a una quantità minore di un bene. Pertanto, anchesedipoco,"più"èsemprepreferitoa"meno". Convessità: Le curve di indifferenza sono convesse. Ciò implica un saggio marginale di sostituzione decrescente (questa ipotesi ci sarà più chiara tra qualche istante). Utilità e funzione di utilità In economia, per rappresentare il livello di soddisfazione di un consumatore si ricorre al concetto di utilità e alla funzione di utilità. Il termine utilità indica quel valore numerico che rappresenta la soddisfazione che il consumatore trae dal consumo di un determinato paniere. Una funzione di utilità è quindi una funzione che assegna a ciascun paniere(,,...,x n )uncertolivellodiutilitàu=f(,,...,x n ). In generale, non esiste un metodo oggettivo per misurare la soddisfazione di un individuo o il livello di benessere che egli trae dal consumo di panieri diversi. L utilità ci consente di classificare i panieri ma non 1 Un paniere dibenièunalista diquantità diuno o più beni. 2
di stimare di quanto uno sia preferito all altro. Per questo motivo, una funzione di utilità che classifica i paniericonsideratiinterminidisoddisfazionedecrescenteèdettafunzione di utilità ordinale. 2 Ciò implica che i valori attribuiti all utilità siano arbitrari e che sia possibile confrontare la soddisfazione a livello individuale ma non interpersonale. Curve di indifferenza e saggio marginale di sostituzione(sms) Ma come rappresentare graficamente le preferenze di un consumatore? Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui sull asse delle ascisse viene rappresentata la quantità di unbene,,mentresull assedelleordinateunaltrobene. Ognipuntosulquadrantepositivorappresenta unpanieredatodallacombinazionediquantitàdeibeni e. Graficamente le preferenze sono rappresentate ricorrendo alle cosiddette curve di indifferenza. Una curva di indifferenza è il luogo geometrico che rappresenta tutte le combinazioni di panieri di beni che offrono al consumatore lo stesso livello di soddisfazione. In tal senso, lungo una curva di indifferenza si individua la misura in cui un individuo è disposto a sostituire un bene con un altro(si veda il saggio marginale di sostituzione), mantenendo costante il livello di utilità. utilità. Ogni paniere di mercato è attraversato da una curva di indifferenza a cui si associa un certo livello di Un insieme di curve di indifferenza è chiamato mappa di indifferenza(figura 1) e individua i) combinazioni di beni che lungo la stessa curva garantiscono la stessa utilità e ii) combinazioni di beni che giacciono su curve di indifferenza diverse e che garantiscono diversa utilità. Una mappa di indifferenza fornisce le stesse informazioni di una funzione di utilità. Le curve di indifferenza quindi permettono di confrontare graficamente panieri diversi guardando a che curva appartiene ciascun paniere. Si tenga presente che: le curve di indifferenza più esterne identificano livelli di utilità più elevati; le curve di indifferenza non si possono intersecare; lecurvediindifferenzahannopendenzanegativa (sené né sono"mali"); 3 le curve di indifferenza sono convesse e, quindi, il saggio marginale di sostituzione è decrescente spostandosilungolacurvadiindifferenzaversodestra. 4 2 Questasicontrapponeallafunzionediutilitàcardinale chemisuradiquantosiaeffettivamentepreferitounpaniererispetto a un altro alternativo. 3 Lapendenzanegativaègiustificatadalfattocheseunmaggiorconsumodiciascunbeneaccrescel utilitàdelconsumatore, il mantenimento di uno stesso livello di utilità richiede che all aumento del consumo di un bene sia associata una riduzione del consumo dell altro bene. 4 Infatti,sel ammontaredelconsumodiun bene,ad esempio,èelevato, ilconsumatoreèdisposto arinunciare agrandi quantità dello stesso bene pur di incrementare anche di poco l ammontare del bene. Al contrario, quando il consumo del bene è ridotto,perincrementare ilconsumodi sièdispostiasacrificaresolouna piccola quantitàdi. 3
U=f(, ) U U 3 U 1 U 2 Figura 1: Mappa di indifferenza Il saggio marginale di sostituzione esprime il grado di sostituibilità tra il consumo di due beni sulla base delle preferenze personali del consumatore. Più precisamente, il saggio marginale di sostituzione(sms) èlaquantitàdiunbeneacuiilconsumatoreèdispostoarinunciareperottenereunaunitàaggiuntivadiun altro bene. Tra due beni, il saggio marginale non può che essere negativo poiché rappresenta la quantità di un bene acuisièdispostiarinunciare ( )peravereunaumentodiun unitàdiunaltrobene erappresenta lapendenzadellacurvadiindifferenzanelpuntoincuivienecalcolato( / ). IlSMSdiminuisceamanoamanochecisispostaversodestralungolacurvadiindifferenza(datal ipotesi di convessità delle curve di indifferenza). Curve di indifferenza speciali Abbiamovistocheseduebenisonosostituti,alloraquandoaumentailprezzodiunbeneaumentalaquantità domandata dell altro bene. Se due beni sono sostituti perfetti, il loro saggio marginale di sostituzione è una costanteelecurvediindifferenzachedescrivonoiltrade-off traiduebenisonolineari(figura2). 4
U 4 U 3 U 2 U 1 Figura 2: Curve di indifferenza di beni sostituti Inoltre abbiamo visto che due beni sono complementari se all aumento del prezzo di un bene diminuisce la quantità domandata dell altro bene. Se due beni sono complementi perfetti, il saggio marginale di sostituzione assume due possibili valori, ossia zero o infinito. Le relative curve di indifferenza formano un angolo retto (Figura3). 4 3 U 4 U 3 2 U 2 1 U 1 0 1 2 3 4 Figura 3: Curve di indifferenza di beni complementari Ineconomiaesistonodeibenicheproduconoeffettinegativieperiqualiunaquantitàminoreèmegliodi una quantità maggiore(i cosiddetti beni negativi o"mali"). Sono esempi di mali l inquinamento, il rumore, ecc. Le relative curve di indifferenza hanno pendenza positiva(figura 4). 5
Figura4: Curvediindifferenzadiunbene( )eun"male"( ) Il vincolo di bilancio Come è già stato detto, per risolvere il problema di ottimo del consumatore è necessario considerare due elementi fondamentali: le preferenze del consumatore(appena trattate) e il vincolo di bilancio. Ilvincolo di bilancioèilvincoloacuièsoggettoilconsumatoredatoilsuoredditolimitato. Consideriamodue beni, e, i rispettivi prezzi, p 1 e p 2, eil redditodel consumatore, R. Il vincolo di bilancio può essere rappresentato da una retta, la cosiddetta retta di bilancio. La retta di bilancio è il luogo geometrico di tutte le combinazioni di e per cui la spesa totale è uguale al reddito. In altri termini, lungo la retta di bilancio si individuano tutti i panieri di beni il cui acquisto esaurisce il reddito del consumatore. Formalmente, p 1 +p 2 =R (1) chepossiamoriscriverecomequantitàdelbene infunzionedelbene : = R p 2 p 1 p 2 (2) ( Scritto in questo modo, si può immediatamente notare che la pendenza della retta di bilancio è pari a p1 p 2 ),ossiailprezzorelativodeiduebeni. Essoindicailtassoacuisipuòsostituireunbeneconunaltro, lasciando invariata la spesa complessiva. Sinotichesetuttoilredditoèdestinatoalconsumodelbene (percui =0)allorailconsumatore puòacquistarer/p 1 unitàdelbene(intercettaorizzontaledellarettadibilancio);setuttoilredditoviene spesoperacquistaresolamenteilbene (quindi =0),allorailconsumatorepuòacquistareR/p 2 unità del bene(intercetta verticale della retta di bilancio). Ovviamente il consumatore può scegliere di consumare qualsiasicombinazioneintermediadeibeni e lungolaretta. Qualsiasipanieresopralarettadibilancio 6
del consumatore non è raggiungibile, mentre ogni paniere sotto la retta di bilancio garantisce un utilità minore di quella garantita dai panieri che rispettano il vincolo di bilancio(non è una scelta razionale). Se si verifica una delle seguenti circostanze, la retta di bilancio si sposta: Un aumento del reddito R(Figura 5a) comporta uno spostamento parallelo verso l esterno del vincolo di bilancio (pertanto l inclinazione del vincolo di bilancio rimane invariato, non essendo cambiati i prezzi dei beni). Unaumentodelprezzodiunbene,adesempiodelbene (Figura5c),aparitàdiredditoedelprezzo dell altrobene,causaunariduzionedelconsumodelbene. Intalcaso,l intercettaorizzontalenonsi modifica(casoincuituttoilredditoèspesonell acquistodelbene ),mentreilvincolodibilanciosi sposta,ruotandoversol internoefacendopernosulpunto(,0). Viceversa,nelcasodiunariduzione del prezzo la retta di bilancio ruota verso l esterno facendo perno sull intercetta orizzontale. Analogamente,unaumentodelprezzodelbene (Figura5b),aparitàdiredditoedelprezzodell altro bene,causaunariduzionedelconsumodelbene. Intalcaso,l intercettaverticalenonsimodifica (casoincuituttoilredditoèspesonell acquistodelbene ),mentreilvincolodibilanciosisposta, ruotando verso l interno e facendo perno sul punto (0, ). Viceversa, nel caso di una riduzione del prezzo la retta di bilancio ruota verso l esterno facendo perno sull intercetta verticale. Rx 2 p 2 + R+ p 1 - p 1 + p 2 - Figura 5: Spostamenti della retta di bilancio dovuti alla variazione del reddito o dei prezzi dei beni La scelta ottima del consumatore Una volta compresi i due elementi che costituiscono il problema del consumatore(le preferenze e il vincolo delle risorse), possiamo ora affrontare come il consumatore sceglie quanto acquistare di ciascun bene. 7
L obiettivo del consumatore è quello di massimizzare l utilità(ossia la soddisfazione che si trae dal consumodiunpaniere),datoilredditodicuidispone. La scelta ottimale deve soddisfare due condizioni: i) il paniere scelto deve giacere sulla retta di bilancio. In altri termini, tutto il reddito disponibile deve essere speso per l acquisto dei beni che costituiscono il paniere ottimale; ii) il consumatore sceglie quella combinazioni di beni che massimizza la propria utilità. Ciò significa che il paniere scelto deve essere posizionato sulla curva di indifferenza più esterna possibile. Mettendo insieme queste due condizioni, si ottiene la soluzione al problema di ottimizzazione del consumatore. Graficamente, ciò corrisponde ad individuare quel punto in cui la curva di indifferenza più esterna tocca la retta di bilancio. In generale, i panieri bilanciati(costituiti da combinazioni di diversi beni) sono preferiti e corrispondono alle cosiddette"soluzioni interne". In tal caso, la curva di indifferenza è tangente alla retta di bilancio, ossia leduecurvehannolastessapendenzaesitoccanoinunsolopunto. U=f(, ) x* 2 E* U 3 U 2 U 1 x* 1 Figura6: Curvediindifferenzadiunbene( )eunmale( ) Dato che la pendenza della retta di bilancio è data dal rapporto tra i prezzi dei due beni con segno negativo( p 1 /p 2 ),mentrelapendenzadellacurvadiindifferenzaèdatadalsaggiomarginaledisostituzione (SMS),lasoddisfazionedelconsumatoreèmassimaquandoilsaggiomarginaledisostituzionetra e invaloreassoluto( SMS x1, )èugualealrapportatraiprezzideiduebeni(p 1 /p 2 ): SMS = p 1 p 2 (3) Ciò corrisponde ad affermare che il beneficio marginale(o utilità marginale) è uguale al costo marginale (rapporto tra i prezzi) associato al consumo di una unità aggiuntiva di bene. 8
L utilità marginale misura la maggior soddisfazione che si trae dal consumo di un unità addizionale di un bene. Se la variazione della quantità del bene è infinitesimale, l utilità marginale corrisponde alla derivata dell utilità complessiva del consumatore rispetto alla quantità del bene. In generale, l utilità marginale è decrescente poiché all aumentare del consumo di un bene, l ulteriore soddisfazione che si trae dal consumo di unità aggiuntive diminuisce. Si dimostra che il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto tra l utilità marginale di e l utilitàmarginaledi. SMS= u = u(, )/ (4) u u(, )/ Quindi, la soddisfazione del consumatore è massima quando SMS= u = p 1 u = p 1 (5) u p 2 u p 2 Fanno eccezione le cosiddette "soluzioni d angolo" in cui la curva di indifferenza più esterna tocca il vincolo di bilancio in una delle sue intercette (ma le due curve non sono tangenti) e il paniere ottimale è costituitodaunsolobene( nelcasoincuilacurvadiindifferenzapiùesternatoccailvincolodibilancio nelpuntodiintercettaorizzontaleo selacurvadiindifferenzapiùesternatoccailvincolodibilancionel puntodiintercettaverticale). IntalcasoilSMSdelconsumatorenonèugualealrapportotraiprezzi(si veda l esercizio 7). Ottimizzazione vincolata Formalmente, il problema del consumatore può essere scritto nel modo seguente: maxu(, ) (6), s.t. p 1 +p 2 =R (7) Per risolvere questo problema di ottimizzazione vincolata si può ricorrere a tre metodi alternativi: il metodo della tangenza, il metodo di sostituzione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. A) Metodo della tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio Abbiamovistoche,datalafunzionediutilitàu(, ),lapendenzadiunasuagenericacurvadiindifferenza è data dal saggio marginale di sostituzione(sms): SMS = u = u(, )/ (8) u u(, )/ 9
La condizione di tangenza tra la retta di bilancio e la curva di indifferenza implica l uguaglianza tra il SMSeilrapportotraiprezzi: u(,) / = p 1 (9) u(, )/ p 2 Attraverso il metodo di tangenza, il problema di ottimo vincolato del consumatore si riduce alla soluzionediunsistemadidueequazioni(la(7)ela(9))indueincognite, e. Risolvendoilsistemadiequazionisiindividuanolescelteottimalidiconsumox 1 ex 2. B) Metodo di sostituzione E possibile risolvere il problema di massimizzazione vincolata esplicitando il vincolo di bilancio rispetto a uno dei due beni, ad esempio, in funzione dell altro bene ( ) e del reddito (R) e successivamente, sostituendo l espressione ottenuta nella funzione obiettivo: ( )= R p 2 p 1 p 2 (10) maxu(, )= max u( ; R p 1 ) (11),, p 2 p 2 Attraversolasostituzionenellafunzionediutilitàdelvincoloscrittoinformaesplicita (,R),siottiene un problema di massimizzazione non vincolata. Pertanto,perrisolveretaleproblema,èsufficientedifferenziarerispettoa eporreilrisultatougualea zero. Risolvendol equazionerispettoa ecombinandolaalvincolodibilanciosiottengonoivaloriottimali deibeni(x 1,x 2). C) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Dato il problema di ottimo vincolato descritto dalla (6), il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sulla costruzione di una funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata Lagrangiana: L=u(, ) λ(p 1 +p 2 R). (12) La nuova variabile λ è chiamata moltiplicatore di Lagrange e moltiplica il vincolo scritto in forma implicita. 5 IlteoremadiLagrangeaffermacheunasceltaottima(x 1,x 2 )devesoddisfareleseguenticondizioni del primo ordine: L = u(x 1,x 2) λp 1 =0 L = u(x 1,x 2 ) λp 2 =0 L λ =p 1x 1+p 2 x 2 R=0 5 IlmoltiplicatorediLagrangeλrappresentalavariazionedell utilitàcheconseguedaunallentamentodelvincolo. Inquesto contesto di massimizzazione dell utilità del consumatore, il moltiplicatore di Lagrange corrisponde all utilità marginale del reddito. 10
Con questo metodo si ottiene un sistema formato da tre equazioni in tre incognite da cui si ricavano i valoriottimalix 1 ex 2. Le curve prezzo-consumo, reddito-consumo e la curva di Engel Unavariazionedelprezzodiunbene,aparitàdiredditoedelprezzodel altrobene,spingeilconsumatorea scegliere un diverso paniere di mercato. Se si uniscono con una linea i panieri che massimizzano l utilità del consumatore in corrispondenza di diversi livelli di prezzo si ottiene la curva di prezzo-consumo, disegnata nelpianocartesiano{, }. Talecurvamostracomecambiailpanierechemassimizzal utilitàalvariare delprezzodiunodeiduebeni. Lostessocomportamento,seriportatonelpianocartesiano{x i,p i }doveiè il beneil cui prezzocambia, individualacurvadi domandadiquel bene. Quindi, lacurva di domanda individuale esprime la relazione tra la quantità di un bene acquistata da un consumatore e il suo prezzo. Una variazione del reddito, mantenendo costanti i prezzi, induce i consumatori a scegliere panieri di mercato differenti. Se si uniscono con una linea tutti i panieri che massimizzano l utilità del consumatore al variare del reddito, si ottiene la curva di reddito-consumo, disegnata nel piano cartesiano {, }. Tale curva mostra come cambia il paniere che massimizza l utilità al variare del reddito del consumatore. Lostessocomportamento,seriportatonelpianocartesiano{x i,r},doveièunodeiduebeniconsiderati, individua la curva di Engel. Pertanto, la curva di Engel esprime la relazione tra la quantità domandata di unbeneeillivellodiredditodelconsumatore. SelacurvadiEngelhapendenzapositiva,ilbeneèunbenenormale(ilconsumatoreaumentailconsumo di quel bene all aumentare del suo reddito). Se ha pendenza negativa è un bene inferiore(all aumentare del reddito, il consumatore riduce il consumo di quel bene). Inoltre,selacurvadiEngelcresceinmanieradecrescente,ilbene è di prima necessità;secrescein manieracrescente ilbene è di lusso. 6 6 Sinotilacorrelazione trala forma delle curvediengeleilvalore dell elasticità della domandaalreddito. 11
prezzo-consumo reddito-consumo p 1 R p 1 R Curva di domanda Curva di Engel Figura 7: Curve di prezzo-consumo, di reddito-consumo, di Engel e di domanda 12
. Esercizi proposti ESERCIZIO1. Siconsideriunconsumatorelecuipreferenzetraduebeni e sonorappresentatedallafunzione diutilitàu(,) =/4 1 x 3/4 2. IlconsumatoredisponediunredditoR=800. Iprezzidimercatodei duebenisono,rispettivamente,p 1 =2ep 2 =4. a) Si determini analiticamente la scelta ottima del consumatore. b) Si rappresenti graficamente il problema. SOLUZIONE: (a) L individuo sceglierà quella combinazione di beni che massimizza la propria utilità, rispettando il vincolo di bilancio a cui è soggetto. In termini più generali, possiamo scrivere il problema del consumatore in questo modo: maxu( ) = /4 x 1 x 3/4 2 2 s.t. 800 = 2 +4 Come abbiamo visto, il problema può essere risolto in tre modi: (a1) Metodo di sostituzione Possiamoesplicitare dalvincolodibilancioesostituire l espressione cosìottenutanellafunzioneobiettivo da massimizzare, in modo da trasformare il problema da ottimo vincolato a ottimo libero: = 1 4 800 2 4 =200 1 2 u(, ) = /4 1 x 3/4 2 u( )=/4 1 (200 1 2 ) 3/4 Otteniamounafunzionediutilitàinunasolavariabile. Pertrovareilvaloredi chemassimizzala funzione di utilità dati i prezzi dei due beni e il reddito, dobbiamo calcolare la derivata prima e porla uguale a zero: du = 1 dx 4 x 3/4 1 (200 1 1 2 ) 3/4 + 3 ( 1 ) /4 1 (200 1 4 2 2 ) 1/4 =0 Siottienex 1 =100. Perdeterminarelaquantitàottimaledi possiamosostituire nelvincolodibilancio,datiiprezzie ilredditodelconsumatore. Daciòsiricavax 2=150. 13
Ne consegue che il paniere ottimale che massimizza l utilità del consumatore contiene 100 unità del bene e150unitàdelbene. 7 (a2) UguaglianzatraSMSerapportotraiprezzi Per applicare questo metodo è necessario seguire tre fasi: I) Determinare il SMS (pendenza della curva di indifferenza in valore assoluto). In valore assoluto, il saggiomarginaledisostituzionetraduebenièparialrapportotraleutilitàmarginali: 8 SMS = u(, )/ u(, )/ = 1 4 x( 3/4) 1 x 3/4 2 3 4 x1/4 1 x ( 1/4) 2 = 1 3 II) Determinare il rapporto tra i prezzi(pendenza del vincolo di bilancio in valore assoluto): p 1 p 2 = 2 4 III) Uguagliare SMS e rapporto tra i prezzi (condizione di ottimo o di tangenza - questa uguaglianza impone che nel punto di ottimo la curva d indifferenza più esterna sia tangente al vincolo di bilancio, ossia che le due curve abbiano la medesima pendenza): SMS = p 1 1 = 2 p 2 3 4 IV)Mettereasistemailvincolodibilancioconl equazionecheuguagliailsmseilrapportotraiprezzi erisolvereilsistemadidueequazioniindueincognite. Inquestomodosiottengonolequantitàdeibeni che compongono il paniere ottimale. { 1 3 = 2 { 4 800=2 +4 (a3) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange = 3 2 800=2 +4 ( 3 2 x ) x { 1 =100 1 x 2=150 Questo metodo richiede che venga impostata una particolare funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata Lagrangiana. Questa funzione fonde in un unica formula il vincolo di bilancio scritto in forma implicita e la funzione da massimizzare(o minimizzare): L = u( ) λ[p 1 +p 2 R] L = /4 1 x 3/4 2 λ[2 +4 800] 7 Per verificare che il paniere effettivamente massimizzi e non minimizzi l utilità del consumatore è necessario ricorrerealladerivatasecondadellafunzionediutilitàrispettoa. Seladerivataseconda d2 u 0allorasihaun d 1 massimo. Nel caso in questione, la derivata seconda assume sempre segno negativo e quindi il paniere trovato è un massimo. Verificatelo! { [ } d 2 u 3 = d 16 x (7/4) 1 (200 1 1) 3/4 + 3 16 x (7/4) 1 (200 1 1) 3/4 + 3 64 x1/4 1 (200 1 1) ]<0 5/4 1 8 Si ricordi che l utilità marginale di un bene è data dalla derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla quantità del bene considerato. 14
Per risolvere il problema è necessario determinare le cosiddette condizioni del primo ordine (note anche come F.O.C.oC.P.O.), ossiacalcolare lederivateparzialidellalagrangianarispettoa,,λeporle uguale a zero: L = 0 1 4 x( 3/4) 1 x 3/4 2 2λ=0 L = 0 3 4 x1/4 1 x ( 1/4) 2 4λ=0 L λ = 0 2+4 800=0 Esplicitando λ dalle prime due condizioni del primo ordine e combinando le due equazioni, si ottiene un unicaequazioneindueincognite( e ). L =0 λ= 1 8 x 3/4 1 x 3/4 2 L =0 λ= 3 16 x1/4 1 x 1/4 2 1 8 x 3/4 1 x 3/4 2 = 3 16 x1/4 1 x 1/4 2 = 3 2 Successivamente, mettendo a sistema la relazione così ottenuta con il vincolo di bilancio, è possibile determinareivaloriottimalidix 1 ex 2. { = 3 2 x { 1 x 1 =100 800=2 +4 x 2=150 (b) Graficamente, il problema può essere così raffigurato U= 1/4 3/4 150 E* U 3 U 2 SMS= 1/3 ( / ) U 1 100 Figura ES1 1/2 ESERCIZIO2. Unconsumatorehafunzionediutilitàu(,) = convincolodibilanciop 1 +p 2 =m. Si chiede di determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni, sapendo che m=10000 euro,p 1 =40ep 2 =80. (A.M.) 15
Utilizzando le regole delle derivate parziali, otteniamo per prima cosa il SMS, dato da: SMS= u(, )/ u(, )/ =. Dalla condizione di tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio troviamo: = p 1 p 2 = 40 80 = 1 2 (13) Possiamo quindi costruire un sistema tra (13) ed il vincolo di bilancio, che, sostituendo gli opportuni valori numerici,diventa40 +80 =10000: = 1 x 1 2 40 +80 =10000 { x2 = 1 2 80 =10000 = = { = 1 2 40 +40 =10000 { x 2 =62.5 x 1=125 Lasceltaottimaledelconsumodeiduebenicorrispondequindiax 1 =125ex 2 =62.5. ESERCIZIO3. Datalafunzionediutilitàu(,) = 1,calcolareladomandaottimaledeiduebenisapendoche l individuodispone di unredditomonetario m=3600 eche p 1 =30ep 2 =60. (A.M.) -Soluzione: x 1=80,x 2=20. ESERCIZIO4. Data la funzione di utilità u(, ) = 2, determinare le funzioni di domanda ottimale sapendo chem=80euro,p 1 =20ep 2 =10. (A.M.)-Soluzione: x 1 =2,x 2 =4. ESERCIZIO5. Lafunzionediutilitàdiunconsumatoreèdatadau(, )=x α 1 α 2 convincolodibilanciop 1 + p 2 =m. Determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni. Quale proprietà delle funzioni Cobb-Douglas possibile utilizzare? (A.M.) In questo caso è possibile sfruttare le proprietà delle funzioni di utilità Cobb-Douglas con esponenti la cuisommaèuno. Ilconsumatoredecidequindidiallocareunafrazionefissadelsuoredditoalconsumo dei due beni, e tale frazione è data proprio dagli esponenti della funzione di utilità. La soluzione è quindi data da x 1=a m p 1 e x 2=(1 a) m p 2 ESERCIZIO 6. Curve di Engel LepreferenzediMariosonoespressedallaseguentefunzionediutilità:u(, )=. Iprezzidei duebeniammontanorispettivamenteap 1 =5ep 2 =10. 16
a)sidetermininolecurvediengelperiduebeni. b) e sonobeninormalioinferiori? SOLUZIONE: Una curva di Engel è una funzione che mette in relazione il consumo di un singolo bene con il reddito a disposizione del consumatore. In particolare, essa indica come varia la quantità domandata al variare del reddito,datiiprezzip 1 ep 2 : = f(r) = g(r) In questo caso, le variabili da considerare non sono più quantità e prezzo ma quantità e reddito. Per determinare e disegnare le curve di Engel è necessario imporre la condizione di ottimo del consumatore ( SMS =p 1 /p 2 ) e metterla a sistema con il vincolo di bilancio. L unica differenza rispetto ai casi trattati in precedenza è che, in questo contesto, il reddito rimane incognito(non è specificato numericamente, essendo unavariabile). = 5 10 5 +10 =R Dallaprimaequazionesiricavailvaloredi infunzionedi (o,alternativamentedi infunzionedi ) elosisostituiscenelvincolodibilancio,inmododaottenereun equazioneincuicompaionounicamente e R(oalternativamente,ivaloridi er). = 1 x 1 2 5 +10 =R = Da questo sistema si possono ricavare le curve di Engel: { x1 = R 10 = R 20 { x1 =2 20 =R Poichè entrambe le funzioni sono lineari e crescenti in R, i beni sono normali: al crescere del reddito aumenta la quantità domandata. 17
R 100 75 50 25 0 0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 Figura ES6 x ESERCIZIO 7. Funzione di utilità lineare e beni sostituti (L.V.) Pino consuma i beni e e dispone di un reddito di R = 100. Le sue preferenze sono descritte dallaseguentefunzionediutilità: u(, )=2 +8. Ilprezzodimercatodelbene ammontaa p 2 =8. a)sideterminiilsmsesispieghilarelazionecheintercorretraiduebeni. b)cosasuccedesep 1 =4 c)cosasuccedesep 1 =2 d)cosasuccedesep 1 =1 SOLUZIONE: a) Per conoscere la natura di e è necessario capire quale tipo di preferenze sia associato alla curva d indifferenzadelconsumatore. Esplicitandolafunzionediutilitàrispettoa,siricavalamappadellecurve d indifferenza: = 1 8 u(, ) 1 4. In questo caso, l insieme delle rette aventi inclinazione pari a 1 4 rappresenta, in corrispondenza dei diversi valori della funzione di utilitàu(, ), la mappa delle curve d indifferenza e i beni in questione sono beni sostituti. Per definire la domanda di e bisogna fare attenzione perché, in generale, con funzioni di utilità lineari e beni perfetti sostituti si presentano soluzioni d angolo. Infatti, la condizione di tangenza è generalmente violata poiché il SMS, ossia la pendenza della curva di indifferenza, è costante ed è raro che coincida con la pendenza del vincolo di bilancio, p 1 /p 2. Il questo caso, il saggio marginale di sostituzione 18
ammontaasms= 1 4.9 Ciòsignificacheilnostroconsumatore,qualechesiaillivellodiconsumo,èdisposto ascambiareun unitàdelbene perunquartounitàdi. Dettoinaltritermini,ilconsumatoreèindifferente tra il consumo di 1 unità di e il consumo 4 unità di. Il rapporto tra i prezzi p 1 /p 2 rappresenta la pendenza del vincolo di bilancio. Pertanto, se il vincolo di bilancio è più ripido delle curve di indifferenza ( p 1 /p 2 > SMS ), allora Pino sceglieràdiconsumaresolo (l intercettaverticaleèilpuntocheappartienealvincolodibilanciochetocca la curva di indifferenza più esterna e quindi garantisce l utilità maggiore nel rispetto del vincolo di bilancio). Se, invece, il vincolo di bilancio è meno ripido delle curve di indifferenza ( p 1 /p 2 < SMS ), allora il consumatore preferirà consumare solo perché l intercetta orizzontale è quel punto appartenente al vincolo di bilanciochetoccalacurvadiindifferenzapiùesterna. Intalcaso,Pinovalutapiùilbene rispettoaquanto viene valutato dal mercato e quindi acquisterà solo tal bene, nel rispetto del reddito disponibile. Infine, se la pendenza della curva di indifferenza e del vincolo di bilancio sono identiche, le due rette coincidono. In tal caso si sovrappongono ed esistono infiniti punti di ottimo(tutti i punti sulla retta di bilancio). Pertanto, in presenza di funzioni di utilità lineari, la funzione di domanda dei beni si può desumere a seconda dellarelazionetrasms ep 1 /p 2. Se p 1 /p 2 < SMS vieneacquistatosoloilbene ; Se p 1 /p 2 > SMS vieneacquistatosoloilbene ; Se p 1 /p 2 = SMS tuttiipuntisullarettadibilanciosonosoluzionidiottimo. Nel caso specifico: b) p 1 /p 2 = 4 8 > SMS = 1 4 =0; =12,5 c) p 1 /p 2 = 2 8 = SMS = 1 4 tuttelecombinazionidi, chegiaccionosulvincolodibilancio d) p 1 /p 2 = 1 8 < SMS = 1 4 =100; =0 9 Potetecalcolareilsaggiomarginaledisostituzionemettendoarapportol utilitàmarginaledi el utilitàmarginaledix 2. 19
u(, )=a +b Figura ES7 ESERCIZIO 8. Funzioni maxmin e beni complementari Unindividuodisponedellaseguentefunzionediutilitàu(, )=min{2, }. a) Si disegni la mappa delle curve di indifferenza e si descrivano le caratteristiche di questa struttura delle preferenze. b) Si determini la scelta ottimale quando i prezzi e il reddito destinato all acquisto di questi due beni sono,rispettivamente,p 1 =p 2 =5eR=100. c)comevarialasceltaottimasep 2 =5,aparitàdituttoilresto? d)cosasuccedeseu(, )=min{, }? SOLUZIONE: a) La funzione d utilità assegnata dice che, data una qualunque combinazione dei due beni, ciò che è rilevante èilrapporto1:2deiduebeni: avereadesempio =2e =4dàalconsumatorelastessautilitàdiavere =2e =10. Sitrattadunquedibeniperfettamentecomplementari. Tipicoesempioèlabicicletta( ) eleruote( ). Graficamente le curve d indifferenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indifferenza(più schiacciate verticalmente). Un qualsiasi altro punto comporterebbe l acquisto di unità del bene inutili(ad esempio non serve acquistare 4 ruote e 1 bicicletta!). Per il consumatore è quindi ottimale collocarsi lungo la retta =2 ; tutti gli altri punti contengono quantità inutili di o di. Nel punto d angolo la funzione di utilità non è derivabile e non possiamo utilizzare la condizione usuale di ottimo data dalla tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio. 20
b)perstabilirelasceltaottimale,accantoallacondizionediottimo2 = dobbiamoconsiderareilvincolo dibilancioche,datoilcasospecifico,èparia: 5 +5 =100. Ponendoasistemaledueequazionisiricava x 1= 20 3 ex 2= 40 3. c) Se il prezzo di è pari a2, a parità di struttura delle preferenze, il punto di ottimo dato da2 = rimarràinvariatomailnuovovincolosarà:5 +2 =100. Daciòsiricavax 1= 100 9 ex 2= 200 9. Sinoti comeunadiminuzionedelprezzodi determiniunamaggioredomandaottimaledientrambiibeni(perché sono complementari). d)lafunzioned utilitàassegnata,u(, )=min{, },diceche,dataunaqualunquecombinazionedei duebeni,ciòcheèrilevanteèlaquantitàminimatraidue: avereadesempio = =2dàalconsumatore lastessautilitàdiavere =2e =50. Sitrattadunquedibeniperfettamentecomplementari. Graficamente le curve d indifferenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indifferenza(della bisettrice del primo quadrante nel caso specifico). Un qualsiasi altro punto comporterebbe l acquisto di unità del bene inutili(ad esempio non serve acquistare 12 scarpe sinistre e 2 destre!). I consumatori danno uguale peso ad entrambi i beni(es. scarpa destra e scarpa sinistra). =2 = Figura ES8 ESERCIZIO 9 Effetti di una variazione di prezzo sulla domanda (A.M.) Lafunzionedidomandadibenzinadiunconsumatoreèpariax b =1000+ m 10p b conm=15000. Il prezzo iniziale è pari a p b = 1 al litro, ma, a fronte di un rincaro esso aumenta fino a p b = 1,2 al litro. Trovate la variazione complessiva della domanda dovuta all aumento del prezzo. Che tipo di bene stiamo considerando? SOLUZIONE: Per prima cosa possiamo calcolare il valore della domanda iniziale e quello della domanda finale: x b =1000+ 15000 =2500litri (14) 10 1 21
x b=1000+ 15000 =2250litri (15) 10 1,2 Dalla differenza tra(15) e(14) si ottiene la variazione complessiva della domanda causata dalla variazione di prezzo: x b =x b x b = 250litri Ilbeneinquestioneèordinarioperchéladomandaècalataafrontediunaumentodelprezzo. ALTRI ESERCIZI Esercizi 1-4 e 13-16, capitolo V(C.L.). 22