CIRCUITI LOGICI COMBINATORI. Generalità Si parla di circuito logico combinatorio quando il valore dell uscita dipende in ogni istante soltanto dalla combinazione dei valori d ingresso. In logica combinatoria la soluzione di un problema avviene attraverso una serie di passi basati su processi di analisi e sintesi circuitale. Per analisi di un circuito combinatorio si intende l individuazione del comportamento logico di un circuito già noto; in definitiva, l analisi permette di passare dal problema logico alla tavola della verità. Per sintesi di un circuito combinatorio si intende il procedimento che permette di trovare la funzione di commutazione e lo schema circuitale a partire dalla tavola della verità. Qui ci soffermiamo sul procedimento di sintesi, cioè sulla determinazione delle funzioni di commutazione ed in particolare sulla loro minimizzazione. Di seguito è riportato un diagramma di flusso che descrive la successione di operazioni che descrivono la sintesi di un problema. Procedimento di sintesi Dalla tavola della verità si ricavano tante funzioni di commutazione quante sono le variabili di uscita Le funzioni di commutazione vengono minimizzate con uno dei seguenti procedimenti forma 2 forma Mappe canonica: canonica: di somma dei prodotto dei Karnaugh mintermini maxtermini e minimizzazione Regole dell algebra di Boole Dalle funzioni di commutazione minimizzate o ottimizzate per precisi obiettivi, si ricava lo schema che permette di simulare il problema e la sua soluzione mediante segnali elettrici.
.. La minimizzazione delle funzioni di commutazione La minimizzazione o semplificazione delle funzioni di commutazione consente di realizzare lo schema circuitale, utilizzando un numero limitato di porte logiche. La minimizzazione può essere realizzata perseguendo obiettivi diversi: Impiego del minor numero possibile di porte, indipendentemente dal loro tipo: questo modo di minimizzazione dà luogo allo schema circuitale più semplice e si ottiene applicando le regole dell algebra di Boole alle funzioni di commutazione. Impiego di porte di tipo omogeneo: se si considera che gli integrati commerciali contengono in genere numerose porte dello stesso tipo, la minimizzazione impiegante poche porte di tipo diverso può non risultare conveniente in termini pratici. Si sottolinea che nella realizzazione del circuito risulta più economico il massimo utilizzo degli integrati, ovvero la soluzione con porte omogenee, anche se non minimizzate come quantità. Per ottenere questo obiettivo le regole dell algebra di Boole risultano di applicazione abbastanza complessa; uno strumento più efficace è costituito dalle mappe di Karnaugh. Se le porte desiderate sono soltanto NAND o solo NOR, si ricorre alla decomposizione funzionale. 2. Le forme canoniche della funzione di commutazione Si definiscono forme canoniche le funzioni di commutazione ottenute per mezzo della tavola della verità. a forma canonica: somma dei mintermini La funzione di commutazione è formata dalla somma logica di tanti prodotti logici quanti sono gli stati degli ingressi che danno uscita ; ciascuno di tali prodotti, detto mintermine, ha come fattori le variabili d ingresso che nella riga hanno valore ed i negati di quelli che hanno valore. 2 a forma canonica: prodotto dei maxtermini La funzione di commutazione è formata dal prodotto logico di tanti fattori quanti sono gli stati degli ingressi che danno uscita ; ciascuno di tali fattori, detto maxtermine, è formato dalla somma logica delle variabili di ingresso che nella riga hanno valore ed i negati di quelle che hanno valore. E semplice far notare che la a forma canonica porta ad una funzione di commutazione formata da tante AND quanti sono i mintermini ed una OR con tanti ingressi quanti sono i mintermini. E semplice far notare che la 2 a forma canonica porta ad una funzione di commutazione formata da tante OR quanti sono i maxtermini ed una AND con tanti ingressi quanti sono i maxtermini. Un altro aspetto da mettere in evidenza è che per le due forme canoniche vale il principio della dualità qualora si sostituisca somma con prodotto e con ; ne segue che le due funzioni canoniche ottenute con le due forme sono equivalenti. 2.. Minimizzazione delle forme canoniche Le forme canoniche non forniscono la funzione di commutazione minimizzata; si può giungere alla semplificazione utilizzando le regole dell algebra di Boole ed i teoremi di De Morgan. Analizziamo i metodi di minimizzazione utili per l impiego a) del numero minimo di porte; b) di porte di tipo omogeneo. a) Minimizzazione con il minor numero di porte 2
Le tecniche di semplificazione più efficaci sono: - Poiché A + A = (teorema dei complementi), è possibile utilizzare l uguaglianza per introdurre in uno o più addendi della forma canonica una variabile mancante, utile a successivi raccoglimenti. - È possibile aumentare il numero e modificare la struttura dei termini della forma canonica, utilizzando le seguenti uguaglianze: A + A = A (teorema dei complementi), A A = A (duale del teorema dei complementi), A + A B = A (teorema dell assorbimento) Esempio : Consideriamo il caso di una variabile dipendente Y e di tre variabili indipendenti A, B e C legate tra di loro dalla seguente tavola della verità: Se vogliamo esprimere la funzione nella prima forma canonica, ossia in somma dei mintermini, dobbiamo considerare tutte quelle righe in cui la variabile Y assume il valore ed otteniamo i seguenti mintermini: A B C Y m = A B C m 2 = A B C m 3 = A B C m 4 = A B C L espressione della variabile Y è, dunque, data da: Y = A B C + A B C + A B C + A B C Se volessimo implementare l espressione booleana della Y avremmo una rete logica formata da 4 porte AND a 3 ingressi (una per ogni mintermine), una porta OR a 4 ingressi (relativamente alla somma dei mintermini) sostituita nella figura da 2 porte OR (una a 3 ingressi ed una a 2 ingressi disposte in successione) e 3 porte NOT (figura ). FIGURA Proviamo a semplificare l espressione della Y servendoci dei teoremi e delle regole dell algebra di Boole (semplificazione analitica). 3
Se aggiungiamo all espressione altri due addendi A B C, il suo valore non cambia per il teorema dei termini uguali (A + A = A). Quindi. Y = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Raccogliendo, si ha: Y = BC( A + A) + AC( B + B) + AB( C + C) Per il teorema dei complementi (A + A = ) ciascun termine in parentesi è uguale a e qundi la funzione minimizzata risulta essere: Y = BC + AC + AB Quest ultima espressione viene implementata da 3 porte AND a 2 ingressi e una porta OR a 3 ingressi(figura 2). E evidente la maggior semplicità del circuito di figura 2. FIGURA 2 b) Minimizzazione con porte omogenee (decomposizione funzionale) La decomposizione funzionale è un metodo di minimizzazione che si applica con l obiettivo di realizzare uno schema circuitale utilizzando soltanto un tipo di porta logica. In particolare, si possono risolvere le funzioni di commutazione con l obiettivo di usare soltanto porte NAND o soltanto porte NOR, che per questa caratteristica vengono definite operatori universali. La complessità del circuito, in questo caso, aumenta di poco o nulla. Analizziamo la decomposizione con l operatore NAND, considerando duale quella con l operatore NOR. I passi che portano alla minimizzazione sono: - Si realizza la funzione di commutazione nella a forma canonica; - Si esprime la funzione in forma doppiamente negata (equivalente alla data); - Si applica il teorema di De Morgan. Considerando l esempio, partiamo dalla funzione di commutazione espressa nella a forma canonica Y = BC + AC + AB; operiamo la decomposizione funzionale traducendo la funzione con solo porte NAND: - Esprimendo la funzione in forma doppiamente negata si ottiene: Y = BC + AC + AB - Applicando il teorema di De Morgan si ottiene: Y = BC AC AB. Lo schema circuitale utilizzando solo porte NAND è riportato in figura 3. 4
FIGURA 3 In modo analogo si procede quando si considera la 2 a forma canonica e si vogliono utilizzare solo porte NOR. 3. Le Mappe di Karnaugh Per semplificare una funzione booleana si possono seguire due metodi: uno di tipo algebrico, precedente trattato, oppure uno di tipo grafico. Il primo si serve di teoremi e postulati dell algebra di Boole; esso richiede una notevole esperienza da parte del progettista ed è comunque applicabile a funzioni non molto complesse e con poche variabili. Il secondo, di tipo grafico, basato sulle mappe di Karnaugh, è utilizzabile anche per funzioni di una certa complessità e si applica a funzioni dipendenti al massimo da 6 variabili. Quest ultimo metodo non ha bisogno delle abilità prima menzionate in quanto si realizza con la sistematica applicazione di alcune regole ben definite. La mappa di Karnaugh costituisce un metodo grafico per la minimizzazione delle funzioni di commutazione, basato sull uguaglianza: A B C + A B C = A B ( C + C) = A B L uguaglianza richiamata consente di ridurre il numero delle variabili allo stato diretto e a quello negato, presenti in due mintermini aventi gli altri fattori eguali tra loro, ovvero sfrutta il teorema dei complementi secondo cui la somma tra una variabile e la sua negata ha valore unitario: A + A=. 3.. Costruzione delle mappe di Karnaugh Per costruire una mappa di Karnaugh a partire dalla tavola della verità, occorre applicare alcune regole:. una mappa è un diagramma contenente tante caselle (o celle) quante sono le configurazioni possibili delle variabili indipendenti della funzione; se n sono le variabili d ingresso della funzione, la mappa conterrà 2 n celle; 2. ciascuna casella è individuabile tramite una riga e una colonna, ove la riga e la colonna riportano gli stati delle variabili che hanno determinato quella uscita; 3. su ogni lato della mappa possono essere riportate soltanto due variabili d ingresso. Questa regola unita alla precedente porta a concludere che una mappa può contenere al massimo funzioni di 4 variabili; per un numero superiore di variabili si realizzano insiemi di mappe. Ad esempio, con 5 variabili, si realizza una mappa delle uscite relativa a 4 variabili quando la 5 a ha valore ed un altra delle uscite relative alle stesse variabili quando la 5 a ha valore, e così via. 5
4. riportando i valori delle variabili d ingresso sui lati della mappa, occorre che nel passaggio da una casella a quella adiacente cambi di stato soltanto una variabile e, in particolare i bit adiacenti rimangano invariati. Pertanto, nelle righe o colonne con due variabili la progressione è: E opportuno, a questo punto, fornire dei disegni di mappe di Karnaugh per far vedere come si costruiscono a seconda del numero di variabili e per sottolineare che tra due celle adiacenti cambia solo un bit (figura 4). Inoltre, proprio come conseguenza della regola 4, la mappa può essere vista come chiusa su se stessa, ripetendosi in maniera ciclica. A\B A\BC AB\CD Nel caso delle funzioni a 3 variabili si può costruire la mappa in 2 modi diversi, equivalenti, di seguito riportati: A\BC AB\C FIGURA 4 Subito dopo, si passa al riempimento di una mappa di Karnaugh partendo dalla tavola della verità di una funzione e proponendo un esempio del tipo rappresentato in figura 5. Nel caso di funzioni a 3 e 4 variabili si possono presentare degli esempi di tavole della verità e relative mappe di Karnaugh (figura 6a - 6b). 6
A B Y A\B FIGURA 5 A B C Y A\BC a) A B C D Y AB\CD b) FIGURA 6 E importante far notare come ogni casella della mappa corrisponda al numero di riga della relativa tavola; ciò è messo in evidenza in figura 7 dove sono riportate mappe di Karnaugh per 7
funzioni a 2, 3, e 4 variabili con a fianco le relative tavole di verità per verifica; all interno delle singole caselle è indicato il numero di riga di tavola corrispondente. Riga A B 2 3 a) A\B 2 3 Riga A B C 2 3 4 5 6 7 b) A\BC 3 2 4 5 7 6 Nel caso di funzioni a 4 variabili, in maniera del tutto analoga ai casi precedenti, le caselle della mappa di Karnaugh corrispondono al numero di riga nella maniera riportata in figura 7c. Tale esercizio può anche essere eseguito da coloro che con i precedenti esempi hanno preso dimestichezza con le mappe di Karnaugh. CD AB\ 3 2 4 5 7 6 2 3 5 4 8 9 c) FIGURA 7 Ancora, prima di passare alla fase successiva, cioè alla minimizzazione di una funzione di commutazione mediante mappa di Karnaugh, è opportuno proporre alcuni esercizi che prevedano 8
il riempimento della mappa a partire dalla funzione logica anziché dalla tavola della verità e facendo vedere che la mappa di Karnaugh altro non è che un modo diverso di rappresentare la tavola della verità o la funzione logica (figura 8). Esempio: F = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD AB\CD 9 FIGURA 8 A questo punto si propongono agli studenti esercizi assegnando le funzioni logiche e facendo loro determinare tavola della verità e mappa di Karnaugh. 3.2. Minimizzazione mediante le mappe Le mappe di Karnaugh, utilizzate nel modo ottimale, consentono di minimizzare le funzioni di commutazione, in modo da ottenere schemi circuitali realizzati con il numero minimo di porte omogenee. Costruita la mappa, per ricavare la funzione di commutazione minimizzata, relativa ad una sola uscita del sistema, ci si avvale delle seguenti regole: a) per ottenere la funzione di commutazione semplificata dalla mappa di Karnaugh, occorre individuare i raggruppamenti di nelle caselle adiacenti della mappa, fino a collocare ogni in un raggruppamento (un può far parte di più raggruppamenti). Poiché le mappe si possono vedere come chiuse su se stesse, sono adiacenti anche le caselle poste lungo i bordi, pertanto è possibile individuare raggruppamenti tra caselle poste lungo il bordo destro e quello sinistro, oppure lungo il bordo superiore e quello inferiore, cioè considerando tutti i possibili modi in cui la mappa può richiudersi su se stessa; b) un raggruppamento può essere un quadrato o un rettangolo con i lati formati da un numero di caselle pari ad una potenza di 2 (,2,4), fino al numero delle variabili di ingresso. Le proprietà dei raggruppamenti sono: - un raggruppamento di lato contiene tutte le variabili; - una coppia di, orizzontale o verticale, produce un mintermine in cui manca la variabile che ha cambiato di stato nel raggruppamento; - un quartetto di, orizzontale o verticale e di forma 4x oppure 2x2, produce un mintermine da cui risultano eliminate le due variabili che cambiano di stato nel raggruppamento; - un ottetto di, in un qualsiasi verso e di qualsiasi forma, produce un mintermine in cui risulta presente l unica variabile che non cambia di stato. c) La funzione di commutazione è costituita da tanti mintermini quanti sono i raggruppamenti; ciascun mintermine è formato dal prodotto delle variabili che nel passaggio da una casella all altra del raggruppamento, mantengono lo stato, per i negati di quelle che mantengono lo stato ; d) Le variabili che cambiano di stato nel passaggio tra caselle adiacenti non vengono prese in considerazione;
e) La semplificazione è tanto migliore quanto minore è il numero di raggruppamenti e maggiore la dimensione del singolo raggruppamento; f) Le condizioni di indifferenza: vengono definite in questo modo: le combinazioni delle variabili d ingresso che non danno luogo ad uscita determinata per il problema in esame. In questo caso, anziché lasciare libera la corrispondente casella della mappa, è possibile porvi un simbolo (per esempio *) che assume valore di nella ricerca dei raggruppamenti, in modo da migliorare la minimizzazione. 4. Esempi Prima di passare ad esercizi completi in cui, assegnata la funzione di commutazione, si invita lo studente a semplificarla facendo uso della mappa di Karnaugh, si propongono degli esempi ci mappe con evidenziati i possibili raggruppamenti che si possono creare. AB\CD F = AC + AB A C AB FIGURA AB\CD AB BC F = AB + BC FIGURA
Si presentano esempi che possano evidenziare la sfericità delle mappe di Karnaugh: B D AB\CD BD F = BD + BD FIGURA 2 AB\CD F = BD FIGURA 3 E bene anche riportare un esempio sulle condizioni di indifferenza: AB\ CD X X AB F = AB FIGURA 4
Ultimata la presentazione dell argomento, si può operare un confronto tra metodo di minimizzazione algebrico e grafico. A tale proposito si riprende l esempio in in cui era stata minimizzata la funzione Y = A B C + A B C + A B C + A B C utilizzando i teoremi dell algebra booleana e ottenendo la funzione semplificata Y = BC + AC + AB. Si nota che si ottiene lo stesso risultato con la mappa di Karnaugh: AB\C BC AB AC Y = BC + AC + AB FIGURA 5 Un ulteriore esercizio completa la trattazione: si assegna una funzione logica e la si semplifica tramite la mappa di Karnaugh; quindi, si passa allo schema circuitale della rete combinatoria e, come ultimo passaggio, si implementa il circuito in logica NAND. Si considera la funzione: Y = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD Si costruisce la mappa di Karnaugh CD AB\ FIGURA 6 La funzione minimizzata è Y = BD + CD + BCD Applicando le formule di De Morgan si ha: Y = BD CD B C D Il circuito può, quindi, essere implementato in logica NAND, come riportato in figura. 2
3 FIGURA 7