Matrici Prof. Walter Pugliese
Le matrici Una matrice è un insieme di numeri reali organizzati in righe e colonne. Se n è il numero delle righe e m e il numero delle colonne si dice che la matrice è di tipo n x m. I numeri che costituiscono una matrice si chiamano elementi e si rappresentano con una lettera minuscola (di solito corrispondente al nome della matrice) munita di un indice costituito da due numeri interi che rappresentano rispettivamente il numero di riga e di colonna dell elemento: A = a $$ a $% a $( a %$ a %% a %) a )$ a )(
Esempio 1: 5 3 0 4 1 A = 2 2 1 2 3 5 0 1 4 3 È una matrice di 3 righe e 4 colonne quindi è di tipo 3 x 4 e si ha per esempio che: Esempio 2: a $$ = 5 a %: = 1 a :% = 0 A = 0 0 0 0 Se tutti gli elementi di una matrice sono uguali a zero, la matrice si dice nulla. Esempio 3: 3 A = 1 2 0 5 B = 1 2 Una matrice può anche avere una sola riga e più colonne oppure una sola colonna e più righe. Matrici di questo tipo si chiamano rispettivamente matrice riga e matrice colonna ; per riferirsi ad esse si usa spesso anche il termine vettore riga o vettore colonna
Matrice quadrata Quando il numero di righe è uguale a quello delle colonne, la matrice si dice quadrata ed il numero delle righe si dice ordine della matrice. Esempio: 1 3 5 A = 2 0 1 È una matrice quadrata di ordine 3. 0 4 7 Gli elementi in cui l indice della riga è uguale della colonna costituiscono la diagonale principale della matrice: nell esempio essi sono gli elementi a $$ ; a %% ; a :: (in rosso). Gli elementi che si trovano sull altra diagonale (0; 0; 5)costituiscono la diagonale secondaria.
Matrice trasposta Se si scambiano le righe di una matrice con le sue colonne si ottiene un altra matrice che si dice trasposta della prima. La trasposta di una matrice A si indica con il simbolo A T. È evidente che se una una matrice A è di tipo n x m, allora A T è di tipo m x n. Esempio: A = 1 5 2 3 4 0 allora A V = 1 2 4 5 3 0
Matrice diagonale e matrice triangolare Una matrice quadrata che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli che si trovano sulla diagonale principale, si dice matrice diagonale 1 0 0 A = 0 5 0 0 0 2 Se sono nulli tutti gli elementi che si trovano al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale, la matrice si dice triangolare A = 1 7 3 0 5 6 0 0 2 e B = 1 0 0 7 5 0 3 6 2 sono matrici triangolari.
Addizione Due matrici A e B si possono sommare solo se sono dello stesso tipo; in questo caso: La matrice somma C = A + B è matrice dello stesso tipo che si ottiene sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici. Esempio: Le matrici A = 3 1 2 5 4 0 e B = 1 4 3 7 2 8 Sono entrambe del tipo 2 x 3, si ha che: C = A + B = 3 + 1 1 + 4 2 3 5 + 7 4 2 0 + 8 = 4 5 5 2 2 8
Sottrazione Chiamiamo opposta di una matrice M la matrice M _ i cui elementi sono gli opposti di quelli di M: Se M = 3 2 5 1 la matrice opposta è M_ = 3 2 5 1 La matrice differenza D = A B è la matrice che si ottiene sommando A con l opposta di B: Siano A = D = A B = 3 1 2 5 4 0 e B = 1 4 3 7 2 8 allora 3 1 1 4 2 + 3 5 7 4 + 2 0 8 = 2 3 1 12 6 8
Prodotto di una matrice per un numero reale Si definisce prodotto di una matrice A per un numero reale h la matrice che ha per elementi quelli di A, ciascuno moltiplicato per h. Esempio: Siano h = 5 e A = 1 0 2 3 1 2 allora h d A = A d h = 10 5 5 0 Viceversa, se tutti gli elementi di una matrice hanno un fattore in comune, questo può essere messo in evidenza: 15 10 A = 4 8 2 6 = 2 d 2 4 1 3
Prodotto tra matrici Affinchè il prodotto tra due matrici A e B possa essere eseguito occorre che il numero di colonne della matrice A sia uguale al numero di righe della matrice B. Si dice in questo caso che le due matrici sono confrontabili. Il prodotto di due matrici confrontabili A e B, la prima di tipo n x p, la seconda di tipo p x m, è una matrice C di tipo n x m nella quale l elemento c ik si ottiene: Si moltiplicano i termini corrispondenti della riga i-esima e della colonna k-esima Si sommano i prodotti ottenuti.
Esempio di prodotto tra matrici
Matrice identica Si dice matrice identica una matrice quadrata di ordine n che ha tutti gli elementi uguali a zero tranne quelli che appartengono alla diagonale principale che sono uguali a 1. La matrice identica rappresenta l elemento neutro della moltiplicazione tra matrici, cioe: A d I = I d A = A ESEMPIO: Consideriamo la matrice A = 2 5 1 0 e la matrice identica I = 3 4 0 1 Si ha: A d I = 2 d 1 5 d 0 2 d 0 5 d 1 3 d 1 + 4 d 0 3 d 0 + 4 d 1 = 2 5 3 4 I d A = 1 d 2 + 0 d 3 1 d 5 + 0 d 4 0 d 2 + 1 d 3 0 d ( 5) + 1 d 4 = 2 5 3 4
CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA Ad ogni matrice quadrata A di ordine n è possibile associare un numero reale che si chiama determinante di A e che si indica con il simbolo det A oppure A Matrice di ordine 1: Il determinante di una matrice di ordine 1 è il numero stesso. Per esempio se A = 3 allora deta = 3 Matrice di ordine 2: Il determinante di una matrice di ordine 2 è la differenza fra il prodotto degli elementi che appartengono alla diagonale principale e il prodotto degli elementi che appartengono alla diagonale secondaria. Per esempio se A = 1 4 allora det A = 1 d 2 3 d 4 = 14 3 2 se B = 0 3 $ 1 allora det A = 0 d ( 1) 3 d $ = : % % %
Matrice di ordine n: Questa regola può essere estesa al calcolo del determinante di una matrice quadrata qualsiasi, anche se, nei nostri esempi, ci limiteremo a matrici di ordine 3 o 4. Diamo prima alcune definizioni: Si chiama minore complementare dell elemento a ik il determinante della matrice che si ottiene da quella considerata sopprimendo la riga i-esima e la colonna k- esima. L elemento a yz si dice di classe pari se i + k è un numero pari, si dice di classe dispari se i + k è un numero dispari. Si chiama complemento algebrico dell elemento a ik, e si indica di solito con il simbolo A yz, il minore complementare di a yz se questo è di classe pari, il suo opposto se a yz è di classe dispari. Regola (teorema di Laplace): Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
Esempio Consideriamo la matrice di ordine 3 A = 2 1 3 0 2 1 1 1 4 Risulterà Elemento allora (avendo Minore scelto la complementare riga 3, più conveniente perché contiene Complemento uno zero) : algebrico a 21 = 0 1 3 1 4 = 1 1 (opposto del minore complementare poiché a 21 è un elemento di classe dispari) a 22 = 2 2 3 1 4 = 11 11 (uguale al minore complementare poiché a 21 è un elemento di classe pari) a 23 = 1 2 1 1 1 = 3 3 (opposto del minore complementare poiché a 21 è un elemento di classe dispari) det A = 0 1 + 2 11 + 1 3 = 0 + 22 3 = 19