Logica Matematica PreCorso 2013/14 Antonio Caruso 1 1 Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio de Giorgi, Palazzo Fiorini, Lecce. 13 settembre 2013
Outline 1 Logica Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni 2 Logica Matematica Logica Proposizionale Logica dei Predicati
Logica..Studio del ragionamento 1 La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia, storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico per studiare il ragionamento umano.
Logica..Studio del ragionamento 1 La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia, storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico per studiare il ragionamento umano. 2 Il ragionamento matematico è stato storicamente considerato come la forma di ragionamento più astratta, e più avanzata.
Logica..Studio del ragionamento 1 La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia, storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico per studiare il ragionamento umano. 2 Il ragionamento matematico è stato storicamente considerato come la forma di ragionamento più astratta, e più avanzata. 3 Possiamo far risalire la disciplina fin al periodo ellenico, a partire già dai Sofisti, e poi con Platone, e Aristotele, passando da Epimenide, Zenone, Crisippo, etc.
Logica..Studio del ragionamento 1 La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia, storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico per studiare il ragionamento umano. 2 Il ragionamento matematico è stato storicamente considerato come la forma di ragionamento più astratta, e più avanzata. 3 Possiamo far risalire la disciplina fin al periodo ellenico, a partire già dai Sofisti, e poi con Platone, e Aristotele, passando da Epimenide, Zenone, Crisippo, etc. 4 La logica matematica si occupa nello specifico dei ragionamenti che vengono usati quando facciamo matematica.
Outline 1 Logica Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni 2 Logica Matematica Logica Proposizionale Logica dei Predicati
Dialettica Dialettica: Scuola Greca dei Sofisti. Costruire conversazioni, usando l arte della Retorica: Gorgia, Protagora. Fortemente criticati da Platone. In particolare: Nei loro dialoghi non usavano il principio di non contraddizione. Paradossi: Un ragionamento apparentemente corretto che in realtà nasconde appunto un paradosso, una conclusione che va contro l opinione comune. I più famosi:
Dialettica Dialettica: Scuola Greca dei Sofisti. Costruire conversazioni, usando l arte della Retorica: Gorgia, Protagora. Fortemente criticati da Platone. In particolare: Nei loro dialoghi non usavano il principio di non contraddizione. Paradossi: Un ragionamento apparentemente corretto che in realtà nasconde appunto un paradosso, una conclusione che va contro l opinione comune. I più famosi: Mentitore: Io sto Mentendo! Achille e la Tartaruga. (Epimenide) (Zenone)
Epimenide: Mentitore Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase: I cretesi sono bugiardi. Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa?
Epimenide: Mentitore Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase: I cretesi sono bugiardi. Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa? Vera?
Epimenide: Mentitore Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase: I cretesi sono bugiardi. Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa? Vera? Epimenide è un Cretese, quindi dice la falsità, quindi non è vero che (tutti) i cretesi sono bugiardi. Quindi la frase è falsa.
Epimenide: Mentitore Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase: I cretesi sono bugiardi. Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa? Vera? Epimenide è un Cretese, quindi dice la falsità, quindi non è vero che (tutti) i cretesi sono bugiardi. Quindi la frase è falsa. Perche ci sembra un paradosso?
Epimenide: Mentitore Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase: I cretesi sono bugiardi. Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa? Vera? Epimenide è un Cretese, quindi dice la falsità, quindi non è vero che (tutti) i cretesi sono bugiardi. Quindi la frase è falsa. Perche ci sembra un paradosso? Se è falsa, allora qualche cretese dice la verità (ogni tanto), non è detto che sia Epimenide, e non è detto che lo faccia parlando dei cretesi. Quindi la frase può essere falsa. Ma il paradosso è molto vicino.
Il paradosso: Io sto Mentendo. Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo. Vera? Falsa? Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo. Vera? Falsa? Il Paradosso del Mentitore La frase è molto particolare: contiene un affermazione, su se stessa, una forma di anello circolare, un auto-riferimento.
Il paradosso: Io sto Mentendo. Vera? Falsa? Il Paradosso del Mentitore La frase è molto particolare: contiene un affermazione, su se stessa, una forma di anello circolare, un auto-riferimento. L anello può essere composto da più di una frase: Socrate: Platone mente. Platone: Socrate dice il falso.
Il paradosso: Io sto Mentendo. Vera? Falsa? Il Paradosso del Mentitore La frase è molto particolare: contiene un affermazione, su se stessa, una forma di anello circolare, un auto-riferimento. L anello può essere composto da più di una frase: Socrate: Platone mente. Platone: Socrate dice il falso. La frase seguente è falsa La frase precedente è vera Il problema quindi non è nell auto-referenzialità. Distingure tra linguaggio e meta-linguaggio. Tarski (1936): La verità è definibile solo nel metalinguaggio. Io (linguaggio) sto mentendo (meta-linguaggio)
Zenone: Achille e la Tartaruga Zenone: Il movimento non esiste. Achille e la Tartaruga: se la tartaruga parte con un vantaggio, achille non potrà mai raggiungerla. Pertanto essi in realtà non si muovono. Il problema del e cosi via....
Dimostrazioni Problema Fondamentale: Come fare quando qualcosa ci sembra vero, per convire qualcuno che non ha la nostra intuizione? Risposta: Costruire una Dimostrazione. La matematica è costruire dimostrazioni. Ma cos è esattamente una dimostrazione? Quando una dimostrazione è corretta? La Logica Matematica fornisce gli strumenti per rispondere a queste domande.
Logica La logica è essenzialmente un linguaggio, con una sintassi ed una semantica. La sintassi consiste nelle regole con cui costruire formule ben formate, la semantica invece specifica il senso di una formula, ed in particolare il suo valore di verità.
Logica La logica è essenzialmente un linguaggio, con una sintassi ed una semantica. La sintassi consiste nelle regole con cui costruire formule ben formate, la semantica invece specifica il senso di una formula, ed in particolare il suo valore di verità. Esempio: frasi come Esistono interi che non sono la somma di due quadrati. Per ogni intero n positivo, la somma degli interi minori o uguali ad n è n(n+1)/2.. La logica matematica è parte della matematica, ed è anche una meta-disciplina, studia cioè i metodi e le regole con cui si fa matematica. Oltre a essere fondante per la matematica, la logica ha molte applicazioni in campi come l informatica: nella progettazione di computer, nello sviluppo dei linguaggi di programmazione, nell intelligenza artificiale.
Logica Matematica Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per stabile quando un ragionamento matematico è corretto. Tali ragionamenti sono chiamati generalmente dimostrazioni.
Logica Matematica Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per stabile quando un ragionamento matematico è corretto. Tali ragionamenti sono chiamati generalmente dimostrazioni. Se un ragionamento, una dimostrazione, è corretta, essa costituisce quello che in matematica è detto un Teorema. Fare matematica consiste essenzialmente nel creare/scoprire nuovi Teoremi a partire da ciò che già sappiamo essere vero.
Logica Matematica Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per stabile quando un ragionamento matematico è corretto. Tali ragionamenti sono chiamati generalmente dimostrazioni. Se un ragionamento, una dimostrazione, è corretta, essa costituisce quello che in matematica è detto un Teorema. Fare matematica consiste essenzialmente nel creare/scoprire nuovi Teoremi a partire da ciò che già sappiamo essere vero. Notare che per imparare la matematica, non basta, leggere un elenco dei Teoremi già dimostrati, ma piuttosto, avere la capacità di ricostruire/riscoprire le loro dimostrazioni, cioè essere capaci di dimostrare tali verità allorquando qualcuno lo richieda.
Logica Matematica Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per stabile quando un ragionamento matematico è corretto. Tali ragionamenti sono chiamati generalmente dimostrazioni. Se un ragionamento, una dimostrazione, è corretta, essa costituisce quello che in matematica è detto un Teorema. Fare matematica consiste essenzialmente nel creare/scoprire nuovi Teoremi a partire da ciò che già sappiamo essere vero. Notare che per imparare la matematica, non basta, leggere un elenco dei Teoremi già dimostrati, ma piuttosto, avere la capacità di ricostruire/riscoprire le loro dimostrazioni, cioè essere capaci di dimostrare tali verità allorquando qualcuno lo richieda.
La Logica è fatta dai Logici 1849 - George Boole. Unifica da Aristotele a Crisippo. 1879 - Gottlob Frege - Inizio della Logica Moderna. Calcolo dei Predicati. 1920 - Post - Completezza della logica proposizionale. 1921 - Wittgenstein (uso delle Tavole di Verità) 1930-31 - Kurt Goedel - Completezza della logica Predicativa Incompletezza dell Aritmentica. 1936 - Alan Turing - Decidibilità. Computabilità, Funzioni Ricorsive. Macchina di Turing.
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Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica Proposizioni: Una Proposizione è una frase dichiarativa (una frase che esprime lo stato di alcuni fatti), che è VERA oppure FALSA.
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica Proposizioni: Una Proposizione è una frase dichiarativa (una frase che esprime lo stato di alcuni fatti), che è VERA oppure FALSA. Le Proposizioni sono generalmente semplici (atomiche), esempi: Roma è la capitale d Italia. 1 + 1 = 2. Lecce è un regione della Francia.
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica Proposizioni: Una Proposizione è una frase dichiarativa (una frase che esprime lo stato di alcuni fatti), che è VERA oppure FALSA. Le Proposizioni sono generalmente semplici (atomiche), esempi: Roma è la capitale d Italia. 1 + 1 = 2. Lecce è un regione della Francia. Esempi di frasi che NON sono proposizioni sono: Che tempo fa? Leggi attentamente sotto.. x + 1 = 2.
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica L area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa 2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica L area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa 2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc). Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici.
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica L area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa 2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc). Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici. I connettivi più importanti sono: la congiunzione e, la disgiunzione o, la negazione non, e l implicazione se,...,allora....
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica L area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa 2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc). Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici. I connettivi più importanti sono: la congiunzione e, la disgiunzione o, la negazione non, e l implicazione se,...,allora.... Poichè le singole proposizioni non sono particolarmente importanti, possiamo evitare di scriverle per esteso, indicandole con delle lettere dell alfabeto come p, q, r, s,....
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica L area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa 2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc). Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici. I connettivi più importanti sono: la congiunzione e, la disgiunzione o, la negazione non, e l implicazione se,...,allora.... Poichè le singole proposizioni non sono particolarmente importanti, possiamo evitare di scriverle per esteso, indicandole con delle lettere dell alfabeto come p, q, r, s,.... Indichiamo inoltre i valori di verità/falsità con le lettere T (True, Vero), e F (False, Falso).
Calcolo Proposizionale..un modo elegante per fare l analisi logica L area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa 2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc). Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici. I connettivi più importanti sono: la congiunzione e, la disgiunzione o, la negazione non, e l implicazione se,...,allora.... Poichè le singole proposizioni non sono particolarmente importanti, possiamo evitare di scriverle per esteso, indicandole con delle lettere dell alfabeto come p, q, r, s,.... Indichiamo inoltre i valori di verità/falsità con le lettere T (True, Vero), e F (False, Falso).
Calcolo Proposizionale Proposizioni Composte Adesso vediamo come formare formule proposizionali, a partire da proposizioni atomiche: Negazione Sia p una proposizione, la negazione di p, si scrive: p (oppure p) è la proposizione: Non p. Il valore di verità della negazione è ovviamente l opposto di quello p. Se p = Oggi è Venerdi, p = Oggi NON è Venerdi. Se p = Oggi sono caduti almeno 10 cm di pioggia, p = non è vero che oggi sono caduti almeno 10cm di pioggia, o riformulando meglio Oggi sono caduti meno di 10cm di pioggia. Notiamo che qualunque sia p, p = p. Esempio: se Non è vero che non è vero che oggi è Venerdi, allora Non è vero che oggi non è Venerdi quindi Oggi è Venerdi.
Calcolo Proposizionale Tabelle di Verità Un modo compatto e molto importante per definire un connettivo, o come vedremo, verificare una formula proposizionale è tramite le tabelle di verità: Tabella di Verità della Negazione: p p T F F T Possiamo usare le tabelle di verità per verificare l equivalenza tra due formule: p p p T F T F T F La negazione è un connettivo UNARIO, nel senso che si applica su una singola proposizione, adesso introduciamo dei connettivi BINARI, la congiunzione (AND), la disgiunzione (OR), e altri..
Siano p e q proposizioni: Calcolo Proposizionale Congiunzione e Disgiunzione La congiunzione è la proposizione: p q da leggersi come p e q, o AND logico. La disgiunzione è la proposizione: p q da leggersi come p o q, o OR logico. Tabella di Verità della Congiunzione e Disgiunzione: p q p q T T T T F F F T F F F F p q p q T T T T F T F T T F F F La congiunzione è vera solo quando entrambe p e q sono vere, falsa in tutti gli altri casi. La disgiunzione è vera se una tra p o q (o entrambe) sono vere.
L implicazione Logica Implicazione (o Proposizione Condizionale) Siano p, q proposizioni, l implicazione tra esse è la proposizione p q. E si legge, p implica q, p è chiamata ipotesi (o premessa) e q è chiamata la tesi (o conseguenza) dell implicazione. Tabella di Verità dell Implicazione: p q p q T T T T F F F T T F F T Notiamo che l implicazione è sempre vera se l ipotesi è falsa. Se assumiamo in partenza qualcosa di falso, allora possiamo implicare a partire da quell ipotesi, qualunque cosa: Esempio: Se gli asini volano, tutti i presenti sono belli, ricchi e potenti.
Implicazione L implicazione (o proposizione condizionale), ha un ruolo fondamentale nel ragionamento matematico, per questo motivo la frase p q, può essere epressa in molti modi, in ambito discorsivo: se p, allora q. p implica q. Se p, q. p solo se q. p è condizione sufficiente per q. una condizione sufficiente per q è p. q è necessario per p. una condizione necessaria per p è q. q se p q ogniqualvolta che p. q segue da p q p.
Implicazione ContraNominale, Inversa, Opposta A partire dall implicazione p q, possiamo formare altre proposizioni, alcune sono molto importanti, e hanno nomi specifici: La proposizione conversa q p. La proposizione contropositiva (o contronominale) è q p. La proposizione inversa è p q. Quando due formule (proposizione composte) hanno sempre lo stesso valore di verità, dichiamo che essere sono equivalenti. Vediamo che tra le formule sopra solo la contropositiva è equivalente all implicazione originaria. Infatti essa è falsa solo quando p è falsa e q è vera. Cioè quando p è vera e q è falsa, come nell implicazione. La proposizione q p è vera quando q è falsa e p è vera, diversamente da p q. La stessa cosa vale per l inversa. Quindi l inversa e la conversa non sono equivalenti all implicazione.
Implicazione Esempio: Consideriamo la seguente implicazione: La squadra di casa vince, ogni qualvolta piove. Allora, la frase è della forma q ogni qualvolta p, quindi l implicazione è se p allora q, con p = piove, e q = la squadra di casa vince. La contropositiva (logicamente equivalente) è la frase: se la squadra di casa perde allora non piove Invece l inversa e la conversa (non equivalenti) sono: (Conversa) (q p) (Inversa) ( p q) se la squadra di casa vince allora piove. se non piove allora la squadra di casa perde.
Coimplicazione Adesso introduciamo un connettivo, che è vero solo quando due proposizioni hanno lo stesso valore di verità: Coimplicazione Siano p, q proposizioni, la proposizione p q, si legge, p se e solo se q, o coimplicazione tra p e q. La formula p q è vera quando p e q hanno gli stessi valori di verità, falsa in ogni altro caso. La formula si legge anche nei seguenti modi: p è condizione necessaria e sufficiente per q. se p allora q, e viceversa p se e solo se q. Notiamo che la semantica di questo connettivo si riduce alla formula (p q) (q p), cioè, il connettivo è un abbreviazione per la doppia implicazione.
Formule Complesse Tavole di Verità A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r, s,..., i connettivi visti,,,,, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente complesse.
Formule Complesse Tavole di Verità A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r, s,..., i connettivi visti,,,,, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente complesse. Notiamo che le formule (p q), p q non sono equivalenti, in particolare quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l ordine di valutazione degli operatori dentro una formula complessa.
Formule Complesse Tavole di Verità A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r, s,..., i connettivi visti,,,,, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente complesse. Notiamo che le formule (p q), p q non sono equivalenti, in particolare quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l ordine di valutazione degli operatori dentro una formula complessa. Possiamo ridurre il numero di parentesi semplificare la lettura delle formule, assegnamo una precedenza agli operatori: la negazione ha priorità su tutti gli altri operatori quindi p q = ( p) q (p q).
Formule Complesse Tavole di Verità A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r, s,..., i connettivi visti,,,,, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente complesse. Notiamo che le formule (p q), p q non sono equivalenti, in particolare quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l ordine di valutazione degli operatori dentro una formula complessa. Possiamo ridurre il numero di parentesi semplificare la lettura delle formule, assegnamo una precedenza agli operatori: la negazione ha priorità su tutti gli altri operatori quindi p q = ( p) q (p q). Subito dopo la negazione, vengono gli operatori di congiunzione e disgiunzione,, ed infine le implicazioni,.
Formule Complesse Tavole di Verità A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r, s,..., i connettivi visti,,,,, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente complesse. Notiamo che le formule (p q), p q non sono equivalenti, in particolare quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l ordine di valutazione degli operatori dentro una formula complessa. Possiamo ridurre il numero di parentesi semplificare la lettura delle formule, assegnamo una precedenza agli operatori: la negazione ha priorità su tutti gli altri operatori quindi p q = ( p) q (p q). Subito dopo la negazione, vengono gli operatori di congiunzione e disgiunzione,, ed infine le implicazioni,. Quindi si ha: ( p q) r p s (( p) q) r ( p) s. Inoltre, AND ed OR associano a sinistra: p q s ((p q) s).
Formule Complesse Valutazione Per capire il significato (semantica) di una formula complessa possiamo costruire la sua tabella di verità, ad esempio se Si ha la seguente tavola: F (p q) (p q) p q q (p q) (p q) (p q) (p q) T T F T T T T F T T F F F T F F F T F F T T F F
Formule Complesse Valutazione Per capire il significato (semantica) di una formula complessa possiamo costruire la sua tabella di verità, ad esempio se Si ha la seguente tavola: F (p q) (p q) p q q (p q) (p q) (p q) (p q) T T F T T T T F T T F F F T F F F T F F T T F F Sembra comodo. Ma solo se il numero di simboli proposizionali è piccolo, quante righe contiene infatti una tabella per una formula con un numero generico n di variabili proposizionali?
Formule Complesse Valutazione Per capire il significato (semantica) di una formula complessa possiamo costruire la sua tabella di verità, ad esempio se Si ha la seguente tavola: F (p q) (p q) p q q (p q) (p q) (p q) (p q) T T F T T T T F T T F F F T F F F T F F T T F F Sembra comodo. Ma solo se il numero di simboli proposizionali è piccolo, quante righe contiene infatti una tabella per una formula con un numero generico n di variabili proposizionali? (tantissime: 2 n )
Dall Italiano alle Formule Possiamo usare il calcolo proposizionale per analizzare il senso di alcune frasi, esempio: Potete accedere ad Internet solo dall Università solo se siete studenti di Matematica oppure se non siete una matricola. Potremmo pensare a questa come una singola proposizione, ma ha più senso, provare a costruire una formula, a partire dalle proposizioni più semplici. Gli atomi sono: i = Puoi accedere ad Internet dall Università. s = Tu sei uno studente di Matematica. m = Tu sei una matricola. Allora la frase sopra può essere rappresentata dalla proposizione composta: i (s m)
Esercizio Siano p,q le seguenti proposizioni: p: Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end q: Ho vinto un premio milionario
Esercizio Siano p,q le seguenti proposizioni: p: Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end q: Ho vinto un premio milionario Esprimere in linguaggio naturale le seguenti proposizioni composte: p p q p q p q p q p q p q p (p q)
Esercizio Siano p,q le seguenti proposizioni: p: Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end q: Ho vinto un premio milionario Esprimere in linguaggio naturale le seguenti proposizioni composte: p p q p q p q p q p q p q p (p q) L affermazione Questa frase è falsa è una proposizione?
Esercizio Siano p,q le seguenti proposizioni: p: Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end q: Ho vinto un premio milionario Esprimere in linguaggio naturale le seguenti proposizioni composte: p p q p q p q p q p q p q p (p q) L affermazione Questa frase è falsa è una proposizione? Un antica leggenda siciliana dice che il barbiere di un lontano villaggio, raggiungibile solo dopo aver viaggiato a lungo attraverso sentieri pericolosi, fa la barba solo alle persone che non fanno si sbarbano da soli. Può esistere un barbiere siffatto?
Circuiti Digitali Combinatorici Se al posto dei valori di verità T, F, usiamo i valori 1, 0 allora possiamo applicare esattamente gli stessi operatori, OR, AND, XOR, NOT, e otteniamo quella che si chiama logica della commutazione digitale. Se assumiamo che queste operazioni base siano fatte da opportuni circuiti digitali, allora possiamo costruire un circuito più complesso a partire dalla combinazione delle porte elementari.
Tautologie, Contraddizioni Consideriamo una formula generica composta A, cosa possiamo dire su A, rispetto alle proposizioni che la compongono? Tautologie e Contraddizioni Se una formula composta A è sempre vera, per qualunque valore di verità delle sue variabili proposizionali (atomi), essa è una Tautologia, diremo anche che A è valida. Se invece essa è sempre falsa allora è una Contraddizione, diremo anche che A è insoddisfacibile. Esempi: la formula p p è una tautologia, la formula p p è una contraddizione.
Tautologie, Contraddizioni Consideriamo una formula generica composta A, cosa possiamo dire su A, rispetto alle proposizioni che la compongono? Tautologie e Contraddizioni Se una formula composta A è sempre vera, per qualunque valore di verità delle sue variabili proposizionali (atomi), essa è una Tautologia, diremo anche che A è valida. Se invece essa è sempre falsa allora è una Contraddizione, diremo anche che A è insoddisfacibile. Esempi: la formula p p è una tautologia, la formula p p è una contraddizione. Esercizio: Usare le tabelle di verità per verificare che (p (p q)) q è una tautologia.
Formule Equivalenti Una volta introdotto il concetto di tautologia, consideriamo l insieme di tutte le formule proposizionali con proposizioni atomiche p, q, r,..; date due formule, definiamo una relazione di equivalenza tra esse: Equivalenza Logica Le proposizioni p, q sono logicamente equivalenti quando la formula p q è una tautologia. La relazione è indicata in questo modo: p q. Esempio: Dimostrare le seguenti relazioni di equivalenza dette Leggi di De Morgan (p q) p q (1) (p q) p q (2)
Formule Equivalenti Una volta introdotto il concetto di tautologia, consideriamo l insieme di tutte le formule proposizionali con proposizioni atomiche p, q, r,..; date due formule, definiamo una relazione di equivalenza tra esse: Equivalenza Logica Le proposizioni p, q sono logicamente equivalenti quando la formula p q è una tautologia. La relazione è indicata in questo modo: p q. Esempio: Dimostrare le seguenti relazioni di equivalenza dette Leggi di De Morgan (p q) p q (1) (p q) p q (2) Mostrare che p q p q.
Equivalenze Logiche Equivalenza Nome p F p p T p Leggi d identità p T T p F F Dominazione p p p p p p Idenpotenza p q q p p q q p Commutatività (p q) r p (q r) Associative (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) Distributività p (q r) (p q) (p r) p p F p p T Negazione ( p) p Doppia Negazione (p q) p q (p q) p q De Morgan p (p q) p p (p q) p Assorbimento
Equivalenze Logiche Equivalenza Nome p F p p T p Leggi d identità p T T p F F Dominazione p p p p p p Idenpotenza p q q p p q q p Commutatività (p q) r p (q r) Associative (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) Distributività p (q r) (p q) (p r) p p F p p T Negazione ( p) p Doppia Negazione (p q) p q (p q) p q De Morgan p (p q) p p (p q) p Assorbimento
Outline 1 Logica Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni 2 Logica Matematica Logica Proposizionale Logica dei Predicati
Limiti del Calcolo Proposizionale Supponiamo di conoscere che Ogni computer connesso al dipartimento funziona correttamente. E che MATH3 è un computer del dipartimento, allora vorremmo poter dedurre che MATH3 funziona correttamente.
Limiti del Calcolo Proposizionale Supponiamo di conoscere che Ogni computer connesso al dipartimento funziona correttamente. E che MATH3 è un computer del dipartimento, allora vorremmo poter dedurre che MATH3 funziona correttamente. Inoltre, se Giorgio è una matricola di Matemetica, allora è chiaro che esiste una matricola nel corso di Matematica.
Limiti del Calcolo Proposizionale Supponiamo di conoscere che Ogni computer connesso al dipartimento funziona correttamente. E che MATH3 è un computer del dipartimento, allora vorremmo poter dedurre che MATH3 funziona correttamente. Inoltre, se Giorgio è una matricola di Matemetica, allora è chiaro che esiste una matricola nel corso di Matematica. Queste deduzioni non sono possibili nella logica proposizionale. Il Calcolo dei Predicati sopperisce a questo limite, estendendo il calcolo proposizionale, e aumentando (di molto) il potere espressivo della logica associata.