MODELLO ELASTICO (Legge di Hooke) σ= Eε E=modulo elastico molla applicazioni determinazione delle tensioni indotte nel terreno calcolo cedimenti MODELLO PLASTICO T N modello plastico perfetto T* non dipende da N τ f = c u Criterio di rottura di Tresca (materiale puramente coesivo) T*= µ N µ = tgϕ τ f = σ tgϕ Introducendo anche la coesione τ f = c +σ tgϕ T.E. applicazioni criteri di rottura carico limite fondazione superficiale carico limite fondazione profonda (palo) spinta su struttura di sostegno stabilità di pendii Criterio di rottura di Coulomb (materiale puramente attritivo) Criterio di rottura di Mohr-Coulomb (materiale attritivo- coesivo)
Tensioni indotte nel terreno L incremento di tensione in un punto, a seguito dell applicazione di un carico sulla superficie del semispazio viene determinato con la soluzione di Bousinessq (1885) L integrazione delle equazione di Bousinessq in alcuni casi particolari permette di trovare soluzioni di tipo generale per - superfici nastriformi - superfici circolari Bulbi di isotensione - superfici rettangolari Carta di Steinbrenner - superfici qualsiasi Carta di Newmark
Bulbi di Isotensione
Carta di Steinbrenner
Esercizio Una fondazione elastica a platea lunga L=24 m e larga B=8 m porta un carico totale di 300 kn/m 2. Calcolare l incremento della tensione verticale ad una profondità Z=8 m sotto il piano di posa, in direzione verticale, in corrispondenza dei seguenti punti: A ) centro della platea B ) punto posto sul prolungamento dell asse maggiore ed a 4 m oltre il lato più corto. 8 A B 24 A ) 4rettangoli 4X12; B ) 2 rettangoli 4X28 2 rettangoli 4x4
A ) 4 Carta di Steinbrenner z z 8 L σ B 4 = = 2 = 3 z = 0 1316 B 4 B q, 12 12 L 2 σ = 4 0, 1316 300 = 0, 5264 300 = 157, 92 kn / m B ) B 4 4 12 12 4 L 28 = = 7 B 4 L' 4 = = 1 B ' 4 z 8 = = 2 B 4 L σ z = (2 0,1368 2 0,084) 300 = 2 300 0,0528 = 600 0,0528 = 31,68 kn/m 2
δ δ δ
CALCOLO DEI CEDIMENTI δ TOT = δ immediato + δ cons. primaria + δ cons. secondaria δ immediato = I w qb E (1-ν 2 ) I w =µ o µ 1 =coefficiente di influenza q= carico uniforme E = modulo elastico del terreno B=dim fondazione (E=E u per terre coesive, E=E per terre granulari) ν = coeff. di Poisson (ν=ν u = 0.5 per terre coesive, ν=ν 0.3 per terre granulari) δ cons. primaria = µ δ ed µ = coefficiente di Skempton & Bjerrum (1957) (dall abaco) δ ed = cedimento edometrico δ cons. secondaria spesso si trascura a meno che non si tratti di argille organiche e torbe
I w =µ o µ 1 =coefficiente di influenza I w dipende dalla: forma della fondazione rigidezza della fondazione dallo spessore dello strato deformabile (H) profondità del piano di posa (D)
Cedimento per consolidazione primaria δ cons. primaria = µ δ ed δ ed = cedimento edometrico δ ed i = ε zi z i Ex: 2 m ε zi = σ i /E ed (utilizzando il modulo edometrico) z α (da Bulbi) σ' =α q Eed z i δi = ( σ' i / Eed i )* z i 1 2 z i 1 Eed 1 3 2 3 Eed 1 6m 5 2 5 Eed 1 8 4 8 Eed 2 12 4 12 Eed 2 16 4 16 Eed 2 18m 20m 19 2 19 Eed 3 = Σδi δed= Σδ (= Σε zi z i )
δ ed = cedimento edometrico δ ed i = ε zi z i ε zi = σ i /E ed ε zi = e/(1+e o ) (muovendosi sulla curva di compressibilità) e e o c s e P e f e o = (γ s W)/(γ w S r ) c c e = e o -e f e f = e o -c s (logσ P - logσ vo )-c c ( logσ vf - log σ P ) σ vo σ P σ vf = σ vo + σ log σ v e f = e o - c s log(σ P /σ vo ) - c c log(σ vf /σ P ) formula generale scala semilog
Coefficiente di Skempton & Bjerrum 1957 (µ) Coefficiente correttivo del cedimento edometrico che dipende da: - spessore dello strato compressibile - geometria della fondazione - tipo di argilla
Esercizio Calcolare i valori delle tensioni verticali indotte nei punti O e P da un carico uniformemente ripartito q=12 t/m 2 su un area rettangolare flessibile di dimensioni 20x30 m 2. Calcolare inoltre il cedimento differenziale fra i punti O e P (E ed = 1000 t/m 2 ). 30 10 Per il punto O: 4 rettangoli 10x15 O P 10 Per il punto P: 2 rettangoli 10x30 15 15 Per il punto O: L=15; B=10; Per il punto P: L=30; B=10; L = 1, 5 B L = 3 B
Fissiamo z = 0; 5; 10; 15; 20; 30 m. z = 0 ; 0, 5 ; 1; 1, 5 ; 2 ; 3 B Dal grafico di Steinbrenner: σ z q z z/b L/B=1,5 L/B=3 0 0 0,25 0,25 5 0,5 0,2378 0,2397 10 1 0,1936 0,2034 15 1,5 0,1451 0,1638 20 2 0,1071 0,1316 30 3 0,0612 0,0860
per O: z σ 0 4 0,25 12 12 t/m 2 5 4 0,2378 12 11,41 t/m 2 10 4 0,1936 12 9,29 t/m 2 15 4 0,1451 12 6,96 t/m 2 20 4 0,1071 12 5,14 t/m 2 30 4 0,0612 12 2,93 t/m 2 12 + 11, 41 = 11, 70 2 11, 41 + 9, 29 = 10, 35 2 9, 29 + 6, 96 = 8, 12 2 6, 96 + 5, 14 = 6, 05 2 5, 14 + 2, 93 = 4, 00 2
per P: z σ 0 2 0,25 12 6 t/m 2 5 2 0,2397 12 5,75 t/m 2 10 2 0,2034 12 4,88 t/m 2 15 2 0,1638 12 3,93 t/m 2 20 2 0,1316 12 3,15 t/m 2 30 2 0,0860 12 2,06 t/m 2 6 + 5, 75 = 5, 87 2 5, 75 + 4, 88 = 5, 31 2 4, 88 + 3, 93 = 4, 40 2 3, 93 + 3, 15 = 3, 54 2 3, 15 + 2, 06 = 2, 61 2
Ora: O P z σ δi z E Ed σ 1 11,70 5,87 5 0,058 0,029 σ 2 10,35 5,31 5 0,051 0,026 σ 3 8,12 4,40 5 0,040 0,022 σ 4 6,05 3,54 5 0,030 0,017 σ 5 4,03 2,61 10 0,040 0,026 TOT. 0,219 0,120 O P = 0,219 0,120 = 0,099 m 10 cm
Esercizio Per il serbatoio a pianta quadrata indicato in figura calcolare il cedimento immediato e quello di consolidazione con il metodo di Skempton e Bjerrum. L=B=7 6 5 Argilla inorganica fortemente O.C. γ=2 t/mc ; Eu =3000 t/mq ; A =0,4 RR= 0,030 z=3,5 z=4,5 D=1 H=7
Calcolo il q netto sul piano di imposta della fondazione: q*= 6x1= 6 t/mq ; σ vo = 2x1 = 2 t/mq; q = 6-2 = 4 t/mq δ immediato = I w qb E (1-ν 2 ) I w =µ o µ 1 =coefficiente di influenza µ o (D/B=0,14)=0,97 µ 1 (H/B=1;quadrato)=0,40 δ im = 4 7 2 0, 97 0, 40 ( 1 0, 5 ) = 0, 0027m = 2, 7 mm 3000
δ cons. primaria = µ δ ed µ = (H/B=1;quadrato;A=0,4)=0,55 Carta di Steinbrenner: calcolo il σ v sotto il piano di imposta per z = 3,5 m (4 rettangoli 3,5X3.5) z 3, 5 L σ = = 1, 0 = 1 z = 0 1752 B 3, 5 B q, σ = 4 0, 1752 4 = 0, 70 4 = 2, 8 t / m v 2 La tensione verticale efficace alla profondità di 4,5 m (3,5 m sotto il piano di imposta) valeva: σ v0 = (σ v0 u)= (γh γ w h )= (2 4,5 1 3,5) = 5,5 t/mq δ ed H = H 0 RR log ' + σ' σ v0 σ v 5,5 + 2, 8 H = 7 0,030 log = 0, 037 m = 5,5 v0 ' 37 mm δ cons. primaria = µ δ ed = 0, 55 37 = 20, 35 mm
Esercizio