Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo. Consideriamo il prodotto cartesiano X Y e fis siamo un elemento 1 di X a cui la legge associa un elemento y 1 di Y. Costruiamo la coppia ordinata ( 1,y 1 ) di X Y e ripetiamo il procedimento per ogni elemento di X. Viene identificato un sottoinsieme di X Y che chiamiamo grafico della funzione f. Esempio 1. La legge a ogni numero reale associamo il numero stesso moltiplicato per 3 e sommato a 1. Costruzione (per punti) del grafico. Evidenziare l univocità. Esempio. La legge a ogni numero reale associamo la sua radice quadrata. Costruzione del grafico per punti evidenziando che ci sono numeri reali per i quali la legge non associa nessun reale. Evidenziare l univocità. Esempio 3 La legge a ogni numero associamo i numeri reali che elevati al quadrato sono uguali a non definisce una funzione. Dominio e immagine Consideriamo una funzione f e sia G il suo grafico. Il dominio di f si ottiene considerando l insieme di tutte le prime componenti degli elementi di G, ovvero la proiezione di G su X. Analogamente l immagine di f è costituita dall insieme delle seconde componenti, avvero la proiezione di G su Y. Funzione reale di variabile reale Una funzione è detta reale di variabile reale se ha come insieme di partenza e come insieme di arrivo l insieme R. Una funzione reale di variabile reale ha come grafico un sottoinsieme di R. Un sottoinsieme A di R è il grafico di una funzione se ogni parallela all asse delle ordinate lo interseca al più in un punto. Esempi di funzione Le funzioni costanti La funzione f è detta costante in A se assume lo stesso valore per tutti gli elementi di A. Nel caso in cui A= dom f = R il grafico di una funzione costante y = c è la retta parallela all asse delle ascisse costituita da tutti i punti che hanno ordinata uguale a c. Le funzioni lineari Una funzione lineare ha un equazione del tipo y = m + q. questa funzione, quando il dominio è tutto R, ha come grafico la retta passante per l origine di coefficiente angolare m. Le funzioni di proporzionalità inversa La funzione di proporzionalità inversa può essere scritta nella forma y k =, con k 0. La funzione così definita ha come dominio R {0}. Il suo grafico è rappresentato dall iperbole equilatera che ha come asintoti gli assi coordinati. Le funzioni y = n 1. n positivo e pari. n negativo e pari 3. n positivo e dispari 4. n negativo e dispari Vedi testo per i grafici
La funzione valore assoluto per < 0 = per 0 Per < 0 il grafico della funzione valore assoluto coincide con quello della semiretta di equazione y = - e per 0 con quello della semiretta y = : Trasformazioni del piano e grafici Una trasformazione del piano è una legge che consente ad ogni punto P di R un punto P, anch esso di R ; il punto P viene trasformato nel punto P che ne è l immagine. Una trasformazione è individuata da una legge che ci permette di individuare come si trasformano le coordinate: X = f1( ) Y = f ( ) Osservazione: in questa impostazione è il punto che si muove in un sistema fisso, contrariamente a quanto si considera in geometria a proposito della riduzione in forma canonica delle coniche. È importante ricordare questo (specialmente quando si opera sulle funzioni). Traslazioni La legge delle traslazioni è: Y = y Se consideriamo un grafico G nel piano vediamo che l effetto di una traslazione è quello di spostarlo, come se fosse un oggetto rigido, tutto verso destra di un tratto di lunghezza p (se p è un valore negativo, lo spostamento avviene verso sinistra), mentre l ordinata di ognuno dei suoi punti resta immu tata. Per ottenere una traslazione verso l alto o verso il basso, occorre mantenere invariata l ascissa e variare l ordinata di una quantità positiva o negativa rispettivamente: X = Y = y + p È possibile inoltre combinare una traslazione orizzontale con una verticale, ottenendo una traslazione più generale secondo la legge: Y = y + q Osservazione (da fare solamente se si vede che stanno seguendo, così come quelle seguenti riguardanti i punti fissi). La traslazione è un isometria (conserva le distanze: solo a livello intuitivo). Se p e q non sono entrambi nulli, la traslazione non ha punti fissi (= punti che si trasformano in se stessi). Simmetrie Per ognuna delle seguenti simmetrie fare un esempio della trasformazione di un punto e della trasformazione di un (semplicissimo) grafico. Simmetria rispetto all asse y X = Y = y Sono punti fissi pi punti dell asse delle ordinate. Simmetria rispetto all asse X = Y = y Sono punti fissi i punti dell asse delle ascisse.
Simmetria rispetto all origine X = Y = y L origine è l unico punto fisso. Simmetria rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante X = y Y = Simmetria rispetto alla bisettrice del II e del IV quadrante X = y Y = Trasformazioni e grafici di funzioni Supponiamo di avere una funzione y=f() e di applicare una trasformazione. Consideriamo un esempio: la traslazione generale Y = y + q Per vedere come la trasformazione sulla funzione: ricaviamo e y dalle leggi della trasformazione = X p y = Y q sostituiamo nella funzione ottenendo Y-q = f(x-p) Chiamiamo le nuove variabili X e Y con il vecchio nome e y. Esempio 1 Parabola Traslazione y = X = + 1 Y = y Risolvendo rispetto a e y = X 1 y = Y + Nuova equazione Y + = ( X 1) Y = ( X 1) Definizione di funzione pari e di funzione dispari (vedi testo); esempi.
Esercizio 1 Tra i seguenti sottoinsiemi del piano identificare quali sono il grafico di una funzione. Per essi trovare dominio e immagine.
Esercizio Data la funzione y funzioni traslate. Esercizio 3 Trovare la traslazione che trasforma y Esercizio 4 =, traslarla prima con p = -1 e q = 3 e poi con p = /3 e q = -3/. Disegnare il grafico delle due = in y = + 3 e y = 1. Trovare la traslazione orizzontale che porta il vertice della parabola y Esercizio 5 Data la funzione y all asse y. Esercizio 6 Data la parabola di equazione = in V (-5,0). =, trovare l espressione analitica e disegnare le simmetriche rispetto all origine, all asse e rispettivamente, all asse, all asse y, all origine. Esercizio 7 Il grafico di y y =, trovare l espressione analitica e disegnare la simmetrica rispetto, = 3 + 4 viene trasformato prima con la traslazione all asse y. Stabilire di quale funzione è grafico l insieme ottenuto. X = + Y = y 3 e quindi con la simmetria rispetto Esercizio 8 Trovare, utilizzando le trasformazioni del piano, una funzione quadratica che ha massimo uguale a 3 e punto di massimo uguale a e vale = in = 0. Esercizio 9 Disegnare il grafico della funzione y partire dal grafico di y =. = + 3 + indicando le trasformazioni che consentono di ottenerli a Esercizio 10 Disegnare i grafici delle funzioni y = ( + ) 3 ; y = 1 ( 1) + 3 ; y 1 = ( + ) 5 indicando le trasformazioni da cui si ottengono dai grafici di y = 3 ; y = 1 ; y = 1 5.