MISURE DI RESISTENZA ELETTRICA DEI MATERIALI, IN FUNZIONE DELLA TEMPERATURA Marisa Michelini, Lorenzo Santi Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine La caratterizzazione di come varia la resistività elettrica dei materiali in funzione della loro temperatura fornisce numerosi elementi per comprendere la natura dei materiali stessi e costruire semplici modelli delle loro proprietà elettriche. Per introdurre i concetti necessari a comprendere questa fenomenologia, consideriamo innanzitutto un semplice materiale conduttore, quale il rame. Un modello semiclassico, chiamato di Drude o modello a gas di elettroni liberi, spiega il fenomeno della conduzione elettrica nel seguente modo. Il materiale solido può essere considerato come un reticolo cristallino con gli atomi fissi ai nodi. Gli elettroni di conduzione di ciascun atomo sono liberi di muoversi in questo reticolo, risentendo dell azione degli atomi solo occasionalmente, quando collidono con essi. Questo modello è giustificato dalla struttura a bande energetiche degli elettroni di un solido cristallino: gli elettroni si distribuiscono su livelli energetici molto ravvicinati fra di loro, tanto da formare una distribuzione quasi continua. Questa distribuzione ha degli intervalli di stati non permessi (gap) che separano le fasce di stati permessi (bande). A causa del principio di esclusione di Pauli (che proibisce a due elettroni di occupare lo stesso stato), nello stato fondamentale del sistema, gli elettroni riempiono i livelli energetici di queste bande, a partire da quelle di energia più bassa. In una banda completamente occupata, gli elettroni non possono venire eccitati con processi a bassa energia, poiché, a causa del principio di esclusione, non possono muoversi in un altro stato (occupato) della stessa banda oppure in uno stato di un altra banda (a causa dell altro valore di energia necessario per superare il gap tra le bande). Solo gli elettroni nei livelli della banda ad energia più elevata (se solo parzialmente occupata, banda di conduzione) possono essere influenzati dall esterno nelle situazioni in cui consideriamo il fenomeno di conduzione elettrica e quindi possono contribuirvi. In presenza di un campo elettrico E esterno, questi elettroni tendono ad accelerare, assumendo velocità crescenti nel tempo. Ad intervalli irregolari gli elettroni collidono con i nodi del reticolo cristallino e perdono completamente la velocità aggiuntiva causata dal campo elettrico e poi ritornano ad accelerare. In media, gli elettroni assumono una velocità (chiamata velocità di drift v d ) che, per valori non troppo elevati del campo elettrico, risulta essere proporzionale ad E. Il rapporto = v d / E (chiamato mobilità) è una grandezza che dipende dalla natura degli atomi e dalla temperatura del materiale. Il moto di drift (deriva) degli elettroni viene osservato macroscopicamente in termini della densità di corrente J che esso comporta. (La densità di corrente viene definita come la quantità di carica che attraversa una sezione di area unitaria del conduttore, in un intervallo di tempo unitario). J però in questo modo risulta dipendere dal valore E del campo elettrico applicato: per caratterizzare quantitativamente le proprietà del materiale e non una singola situazione sperimentale, si preferisce far riferimento alla grandezza conducibilità elettrica,definita come rapporto tra la densità di corrente J circolante nel materiale ed il campo elettrico E che la causa, = J/E. è generalmente data dalla combinazione di tre diversi fattori = n q ove n è la densità dei portatori di carica nel materiale (elettroni per il rame), q la carica del singolo portatore e è la mobilità del portatore. Se nel materiale fossero presenti portatori di carica diversi, ognuna contribuente alla conducibilità, la conducibilità complessiva risulta essere la somma dei vari contributi.
Progetto IDIFO - Proposte didattiche sulla fisica moderna 189 Usualmente poi le proprietà di conduzione dei materiali non vengono espresse mediante la conducibilità, bensì il suo inverso, la resistività = 1/. Se vogliamo studiare il comportamento della resistività in funzione della temperatura T del materiale, dobbiamo esaminare come questi tre fattori (n q ) variano in funzione di T. Materiali conduttori In un materiale conduttore, la temperatura T non influenza significativamente né la densità dei portatori di carica, né il valore della loro carica. Solo quindi la mobilità risulta essere influenzabile da T. Per vedere come ciò avviene, riprendiamo il modello di Drude. Supponiamo che in media un elettrone subisca un urto con il reticolo cristallino ogni secondi: allora, l aumento di velocità v max che esso ha subito finito ad un istante immediatamente precedente all urto è v max = q E / m Ove m è la massa dell elettrone (q E / m risulta così l accelerazione dovuta al campo elettrico). Il valore medio della velocità di drift risulta essere metà di v max (essa parte da 0 e cresce linearmente) e quindi La mobilità dell elettrone risulta essere quindi v d = q E / 2m = q / 2m Il parametro che definisce quindi la dipendenza di da T è il tempo medio tra due urti. può essere considerato come il rapporto tra la distanza media percorsa da un portatore di carica tra due urti (libero cammino medio) e la velocità media v term con cui esso si muove ( = / v term ). Alla fine avremo = q / (2m v term ) (V term è la velocità quadratica media del moto termico degli elettroni, che per l ipotesi di campi elettrici E deboli, non risulta essere influenzata da E). In condizioni ordinarie, v term per materiale conduttore non varia significativamente con la temperatura. Infatti, seconda la teoria a bande dei metalli, l energia degli elettroni di conduzione è con buona approssimazione costante e pari alla cosiddetta Energia di Fermi: la variazione di energia dovuto all aumento della temperatura risulta essere assolutamente trascurabile. Per stimare invece, immaginiamo di seguire il moto di un elettrone che subisce N urti, mentre si muove (a zig zag tra un urto e l altro) lungo un percorso di lunghezza L. Se supponiamo che (in media) l elettrone subisce un urto quando arriva a distanza r o minore da un nodo del reticolo, allora il numero N di atomi che provocano le collisioni sarà dato dal volume di un cilindro di raggio r con asse la traiettoria dell elettrone ( r 2 L) per la densità n atomi e quindi = L/N = L /( r 2 L n atomi ) = 1/( r 2 n atomi ) La distanza massima di interazione r dipende dalla temperatura. Gli atomi del reticolo cristallino vibrano attorno alla loro posizione di equilibrio e tanto maggiore è l ampiezza di oscillazione, tanto maggiore è la distanza massima r di interazione. Un semplice modello ad oscillatore armonico mostra che l energia vibrazione E v è proporzionale a r 2. Per il principio di equipartizione dell energia però abbiamo che E v è proporzionale a kt (k costante di Boltzmann) e quindi alla fine risulta 1/T.
190 Capitolo 3. Esperimenti Propagando questa dipendenza dalla temperatura fino alla resistività, otteniamo T I risultati ottenuti in questo modello, che sono solo approssimati per molti materiali e non tengono conto di effetti quantistici significativi, trovano riscontro nell andamento osservato della resistività per il rame. Nella figura seguente è riportata la dipendenza di rame dalla temperatura, così come ricavato da Handbook of Chemistry and Physics (CRC) Le deviazioni a bassa temperatura sono effetti quantomeccanici, non descrivibili con il modello semiclassico che abbiamo utilizzato- Materiali semiconduttori All inizio abbiamo affermato che solo gli elettroni della banda di conduzione contribuiscono, nei metalli, alla conduzione elettrica, mentre quelli della banda immediatamente sottostante (chiamata di valenza) non possono farlo in maniera significativa. Che cosa succede se la banda di conduzione risultasse completamente vuota? Poiché la conducibilità è proporzionale al numero dei portatori, ciò dovrebbe portare ad una conducibilità nulla. In realtà, a causa della eccitazione termica, per temperature assolute non nulle, un piccolo numero di elettroni vengo eccitati dalla banda di valenza a quella di conduzione, generando una piccola conduzione. Inoltre, gli stati vuoti lasciati nella banda di valenza, permettono agli altri elettroni di occuparli in risposta alla sollecitazione di un campo esterno, lasciando a loro volta libero il loro stato di partenza. Questo fenomeno di conduzione può essere modellizzato supponendo che lo stato mancante (lacuna) sia in realtà un portatore di carica con le stesse caratteristiche dell elettrone, ma di carica opposta. In questi materiali quindi la conducibilità elettrica assume la forma = n - q - - + n + q + + (1) (ove i due segni si riferiscono alla conduzioni di elettroni e di lacune, rispettivamente). In condizioni di equilibrio termico, il numero di portatori dei due segni sono legati tra di loro dalla relazione
Progetto IDIFO - Proposte didattiche sulla fisica moderna 191 n - n + e - E/kT (2) ove E è il gap in energia tra la banda di conduzione e quella di valenza. (Questa relazione deriva da una trattazione dell equilibrio termico tra i processi di creazione di coppie elettroni-lacune per eccitazione termica e della loro ricombinazione) Poiché tipicamente E >> kt ( E è dell ordine di qualche elettronvolt, mentre kt è alcuni ordini di grandezza più piccolo), il numero di portatori di carica è estremamente piccolo e la capacità di condurre corrente elettrica dipende in maniera drastica dal valore di E. Per valori di E prossimi o inferiori a 1 ev, la conducibilità elettrica del materiale risulta essere non trascurabile, anche se di svariati ordini di grandezza inferiore a quella dei metalli: tali materiali vengono chiamati semiconduttori. Per valori significativamente superiori, il materiale viene considerato isolante, cioè inadatto alla conduzione elettrica. In un materiale semiconduttore puro, il numero di elettroni di conduzione è uguale a quello delle lacune formatesi, per cui all aumentare della temperatura, entrambi aumentano in maniera esponenziale. Ciò fa aumentare in egual misura la conducibilità: la dipendenza dalla temperatura della mobilità (essenzialmente simile a quella dei conduttori metallici), pur se di tendenza opposta, è più debole e non riesce a contrastare tale crescita. Ne segue che la resistività di un semiconduttore puro (o intrinseco) tende a diminuire con l aumentare della temperatura. La situazione cambia drasticamente nel caso in cui il materiale semiconduttore sia contaminato (drogato) con elementi di valenza chimica diversa. In questo caso si vengono a creare degli stati energetici nella zona di gap tra la banda di conduzione e di valenza. Nel caso sia un drogante donatore di elettroni (cioè ha una valenza superiore al materiale semiconduttore) viene a crearsi un livello supplementare, nella zona del gap, prossimo al limite inferiore alla banda di conduzione. Questi elettroni vengono facilmente eccitati alla banda di conduzione e quindi è possibile ipotizzare che tutti gli elettroni supplementari degli atomi droganti passino siano disponibili al processo di conduzione elettrica. Poiché la relazione (2) vale ancora per questo materiale, ne segue che per densità N don degli atomi droganti sufficientemente elevate (n - N don ) la densità di portatori di carica positivi n + è completamente trascurabile. Il materiale si dice quindi drogato di tipo n, poiché i portatori di maggioranza sono elettroni. In maniera analoga, se viene usato un drogante accettore di elettroni (con valenza inferiore al materiale semiconduttore), si crea una situazione simmetrica, questa volta però con un livello elettronico (vuoto) presso il limite della banda di valenza, che ingenera una maggioranza di portatori di carica positivi (lacune) e quindi il semiconduttore si dice drogato di tipo n. In entrambi i casi, nell espressione (1) della conducibilità sopravvive un solo termine (positivo o negativo a seconda del drogante). Poiché il numero di portatori è circa costante, fissato dalla densità del drogante, il comportamento del semiconduttore è simile a quello di un normale conduttore (a parte il valore estremamente più basso della conducibilità) e la sua dipendenza dalla temperatura deriva unicamente da quella della mobilità. Ne segue che, come per un conduttore metallico, la resistività di un semiconduttore drogato dovrebbe aumentare con l aumentare della temperatura. Quando però, continuando ad aumentare la temperatura, la densità di portatori di minoranza (cioè quelli di segno opposto a quelli di maggioranza) diventa confrontabile con quella del drogante, allora accadono due fenomeni 1) Il contributo dato alla conducibilità dai portatori di minoranza non è più trascurabile 2) La densità dei portatori di maggioranza non è più costante, ma risente dell eccitazione termica di nuove coppie elettroni-lacune. Riassumendo, al di sopra di una certa temperatura di soglia, che dipende dalla concentrazione del drogante, il semiconduttore rincomincia a comportarsi come un semiconduttore intrinseco, e la sua resistività incomincia a diminuire con la temperatura. Nella figura viene mostrato il comportamento di un campione di silicio drogato p, misurato con il dispositivo sperimentale che verrà usato in laboratorio
192 Capitolo 3. Esperimenti Materiali superconduttori Il fenomeno della superconduttività fu scoperto nel 1911 da H. Kamerling Onnes, studiando il comportamento del mercurio solido, a temperature prossime a quelle dell Elio liquido (circa 4K): alla temperatura di 4.2K, il mercurio sembrava diventare un conduttore perfetto (la sua resistività si annullava). Questo risultato era inaspettato: si sapeva che i conduttori hanno una resistenza elettrica che diminuisce con la loro temperatura, ma anche a temperature prossime allo zero assoluto, un campione di rame presenta una resistività non nulla dovuta ad impurità e difetti del materiale. Nel mercurio invece (ed in altri materiali, scoperti successivamente), la resistività cade bruscamente a valori nulli o comunque non rilevabili, non appena il conduttore viene portato ad una temperatura inferiore ad un valore critico (temperatura critica T C ). Questo comportamento di brusca discontinuità, e indice di una transizione di fase per lo stato del materiale e le sue caratteristiche elettriche. Si incominciò a comprendere le ragioni di tale comportamento solo più tardi, quando nel 1933, quando Meissner e Ochsenfeld scoprirono che al di sotto della temperatura critica di transizione alla fase superconduttiva, il materiale immerso in campo magnetico relativamente debole, tende ad annullare il campo magnetico al suo interno, espellendo le linee di campo (effetto Meissner). Questo effetto è dovuto all insorgere di correnti permanenti sulla superficie del materiale superconduttore a causa del campo magnetico esterno, che inducono un ulteriore campo che si oppone ed annulla quello esterno. Per campi magnetici al di sopra di una certa soglia (dipendente dalla temperatura e dalla natura del superconduttore) l effetto Meissner scompare. Il modo con cui avviene permette di classificare i materiali superconduttori in due categorie. Tipo I (tipicamente materiali puri, con temperature critiche estremamente basse). La superconduttività scompare improvvisamente quando il campo magnetico supera un valore critico H c, dipendente dalla temperatura e dal tipo di materiale Tipo II (tipicamente leghe e materiali compositi, con temperature critiche elevate). Per questi materiali, la superconduttività non scompare quando il campo magnetico esterno aumenta ma, al di sopra di un certo valore di soglia H C1, alcune zone del materiale diventano non superconduttive, intrappolando linee di campo (effetto pinning). Queste regioni intrappolate permangono anche quando il campo esterno viene rimosso, mantenendo una sua memoria. Aumentando ulteriormente il campo, fino a superare un secondo valore critico H C2, tutto il materiale diventa non superconduttore.
Progetto IDIFO - Proposte didattiche sulla fisica moderna 193 I materiali di tipo II possono raggiungere temperature critiche di transizione molto più elevate dei materiali puri: ad esempio il materiale semiconduttore che verrà usato in laboratorio, una ceramica di composizione Y Ba2 Cu3 O7 (Ittrio, Bario, Rame ed Ossigeno, abbreviato comunemente in YBCO), raggiunge lo stato superconduttivo a temperature dell ordine di 90K. Tali temperature possono essere facilmente raggiunte in laboratorio usando l azoto liquido (che bolle a pressione atmosferica a 77K) e quindi permettono di effettuare in maniera semplice delle misure di resistività dal comportamento superconduttore a quello normale a temperatura ambiente. In figura è mostrato l esito di una di queste misure Notiamo come ad una temperatura di poco inferiore ai 90K, la resistenza del campione diminuisce in maniera brusca, fino ad annullare completamente la resistenza. Per temperature superiori a quelle di transizione, il materiale si comporta come un normale conduttore, aumentando la resistenza con l aumentare della temperatura. La transizione di fase non è netta, poiché la temperatura critica della miscela dipende fortemente dalla quantità di ossigeno presente nella ceramica: piccole disomogeneità creano una distribuzione di temperature critiche, che si riflettono sulla pendenza del tratto di transizione. La temperatura a cui si incomincia a notare lo scostamento della curva dal comportamento conduttore corrisponde alla temperatura critica di un campione ideale, perfettamente omogeneo.
Università degli Studi di Udine Dipartimento di Fisica M.I.U.R. Ministero dell Istruzione dell Università e della Ricerca PLS Progetto Lauree Scientifiche Progetto IDIFO Proposte didattiche sulla fisica moderna Materiali per studenti Il Progetto IDIFO del Progetto Lauree Scientifiche ha realizzato dal 2006 al 2009, oltre ad un Master biennale per insegnanti in rete telematica, tre Workshop per insegnanti e studenti, Laboratori didattici e sperimentali per studenti, la Prima Scuola Estiva nazionale di Fisica Moderna per studenti (estate 2007). Quest ultima è stata gestita dall Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell Università degli Studi di Udine e ripetuta nell estate 2009. È stata l occasione per preparare materiali per studenti, che mettano a frutto i risultati della ricerca in didattica della fisica per l apprendimento dei concetti più importanti della fisica dell ultimo secolo. Questo volume raccoglie i contributi più significativi alle attività per studenti della scuola estiva, in forma adatta ad essere utilizzati in attività scolastiche o direttamente dai ragazzi in autonomia. Curatore Marisa Michelini, Università degli Studi di Udine Comitato scientifico Compagno Cristiana, Rettore dell Università degli Studi di Udine Colombo Mario, Università degli Studi di Udine Corni Federico, Università degli Studi di Bolzano e Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corvaja Pietro, Direttore del Dottorato di Ricerca in matematica e fisica, Università degli Studi di Udine Fabbro Franco, Preside della Facoltà di Scienze della Formazione, Università degli Studi di Udine Ferraro Speranzina, Direzione Generale dello Studente, MIUR Gervasio Mario, Università degli Studi di Udine Honsell Furio, Sindaco di Udine Marcolini Lorenzo, Segretario Sezione AIF di Udine Michelini Marisa, Università degli Studi di Udine Michelutti Gian Luigi, Università degli Studi di Udine Mossenta Alessandra, Università degli Studi di Udine Pastore Giorgio, Università degli Studi di Trieste Peressi Maria, Università degli Studi di Trieste Piccinini Livio Clemente, Direttore della Scuola Superiore, Università degli Studi di Udine Rocca Filomena, Direzione Generale degli Ordinamenti Scolastici, MIUR Santi Lorenzo, Università degli Studi di Udine Sciarratta Isidoro, Segretario Sezione AIF di Pordenone Stefanel Alberto, Università degli Studi di Udine Tarantino Giovanni, ANSAS Palermo Tasso Carlo, Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali, Università degli Studi di Udine Toppano Elio, Responsabile PLS Matematica, Università degli Studi di Udine Vercellati Stefano, Università degli Studi di Udine Viola Rossana, Università degli Studi di Udine Segreteria redazionale Cristina Cassan Donatella Ceccolin Chiara Geretti IIª Edizione dicembre 2010 IIª Edizione luglio 2011 Copyright Università degli Studi di Udine ISBN 978-88-97311-04-1