OTTOBRE 00 www.risk.net Risk Italia CURRENCIES INTEREST RATES EQUITIES COMMODITIES CREDIT RISK ITALIA VOL / NO OTTOBRE 00 L'attività in prodotti derivati di BancoPosta Intervista con Stefano Calderano, responsabile dei prodotti retail Il nuovo CFO del Comune di Roma Eventi estremi e basket di insolvenze Il futuro dei CDO in Italia Nubi su Basilea II La gestione del rischio in UBM Il rischio e le misure di probabilità
Approfondimenti l Derivati creditizi Eventi estremi e basket di insolvenze Parallelamente alla crescita dei mercati dei CDO sintetici e dei basket default swaps, si assiste all affermazione delle funzioni di copula (che collegano le distribuzioni delle perdite di portafoglio di riferimento con le correlazioni delle attività sottostanti) quale approccio di pricing prevalente fra i modelli alla Merton. Tuttavia, è ancora acceso il dibattito sul tipo di copula da utilizzare. Nel primo di due articoli tematici, Roy Mashal e Marco Naldi affermano che, nel caso di piccoli basket, le copula t-student rappresentano un metodo essenziale per comprendere nel calcolo il rischio di eventi estremi La valutazione dei derivati creditizi su più controparti dipende in modo fondamentale da una corretta specificazione del modello della struttura di dipendenza delle insolvenze. Diverse strutture di dipendenza possono produrre diverse distribuzioni dell insolvenza, che a loro volta influiscono sulla valutazione di prodotti quali le tranches di CDO e i basket default swaps. Diversi modelli si basano sull idea di Merton (1974) secondo cui l insolvenza si manifesta quando il valore delle attività di un impresa risulta inferiore a quello delle sue passività. Un estensione abbastanza diretta di questo concetto al caso multivariato suggerisce che la struttura di dipendenza delle insolvenze è determinata dalla distribuzione congiunta dei rendimenti delle attività. Molti modelli di portafoglio esistenti assumono implicitamente che la distribuzione congiunta dei rendimenti sia normale, anche se ciò è incompatibile con quanto indicato dai dati. Le insolvenze congiunte si verificano più spesso di quanto non preveda la distribuzione gaussiana. Basandosi sulle idee introdotte da Li (000) e Frey, McNeil e Nyfeler (001), questo articolo presenta un modello di pricing mediante simulazione che rende conto degli eventi estremi. Dopo aver descritto le proprietà della simulazione, analizziamo il modo in cui il modello viene reso operativo, in particolare con la stima dei parametri relativi alla probabilità di eventi estremi. Di recente, diversi articoli hanno evidenziato l inadeguatezza dell assunto gaussiano, ma poco è stato ancora detto sul modo in cui una distribuzione più realistica potrebbe influire sulla valutazione di derivati creditizi su più controparti. In questo articolo, quantifichiamo l impatto di un modello che tenga conto degli eventi estremi, concentrandoci sui basket default swap, poiché la valutazione di tali contratti è particolarmente sensibile alla struttura di dipendenza delle insolvenze. In un nth-to-default basket swap, due controparti definiscono una scadenza e un insieme di titoli di riferimento e stipulano un contratto in virtù del quale il fornitore di protezione (il protection seller ) riceve periodicamente un premio (anche detto basket spread ) da colui che acquista la protezione (il protection buyer ). In cambio, il fornitore di protezione è pronto a corrispondere alla controparte il valore alla pari meno il valore di recupero dell n-esima entità insolvente nel caso in cui l evento creditizio si verifichi prima della scadenza convenuta (vedi figura 1). I più diffusi contratti di protezione sono quelli first e second-to-default. Correlazione fra probabilità di insolvenza e distribuzione dei rendimenti La correlazione tra probabilità di insolvenza misura la tendenza di due crediti a entrare assieme in stato di insolvenza su un dato orizzonte temporale. Formalmente viene definita come la correlazione tra due variabili casuali che indicano l insolvenza, ossia: p p p AB A B ρ D = pa( 1 pa) pb 1 pb dove p A e p B sono le probabilità di insolvenza marginali dei crediti A e B, e p AB è la probabilità di insolvenza congiunta. Ovviamente, p A, p B e p AB fanno sempre riferimento a un orizzonte dato. Si noti inoltre che la correlazione di insolvenza aumenta in modo lineare con la probabilità congiunta di insolvenza ed è uguale a zero se i due eventi di insolvenza sono indipendenti. Le correlazioni di insolvenza rappresentano un elemento fondamentale nella valutazione dei derivati creditizi su basket di più entità. Purtroppo la stima diretta delle probabilità congiunte di insolvenza, e quindi delle correlazioni, è resa molto difficile dalla scarsità di dati sulle insolvenze. Per ovviare a tale problema, i ricercatori hanno sviluppato dei metodi alternativi per calibrare la frequenza delle insolvenze congiunte nei modelli di valutazione. 1. Nth-to-default basket swap Protection buyer Paga un premio Paga all'n-esima insolvenza A,B,C, A, B, C Entità di riferimento Protection seller (1) 38 RISK ITALIA OTTOBRE 00 WWW.RISK.NET
. Rendimenti mensili standardizzati Wal-Mart 4 3 1 0 1 3 4 4 3 1 0 1 3 4 Honeywell A. Dipendenza di coda (λ) ν\r 0.5 0 0.3 0.5 0.9 1 3 0,057 0,1161 0,161 0,315 0,6701 1 10 0,0001 0,0068 0,0331 0,0819 0,467 1 15 0,0000 0,0010 0,0097 0,0346 0,374 1 0 0,0000 0,000 0,009 0,0151 0,3051 1 0 0 0 0 0 1 3. Correlazione fra attività e correlazione fra insolvenze Correlazione insolvenze 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0 ν = 3 ν = 10 ν = 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Correlazione attività Un modo per simulare le insolvenze correlate si basa sull uso di funzioni di copula. In linea generale, tali funzioni sono utilizzate per collegare le funzioni di distribuzione marginale e congiunta. In un autorevole articolo, Li (000) utilizza una copula gaussiana per ottenere la distribuzione congiunta dei momenti di insolvenza e mostra come usarla per costruire un efficiente simulazione del time-to-default. Questa procedura è estremamente utile per la valutazione dei derivati creditizi multi-issuer, in quanto consente di estrarre le probabilità di insolvenza marginale (nell ipotesi di neutralità al rischio) dai prodotti liquidi su un debitore singolo, per poi valutare i contratti su più entità simulando momenti di insolvenza correlati. Per illustrare il modello di Li, si consideri uno scenario semplice con due titoli A e B, i cui tempi di insolvenza T A e T B hanno funzioni di distribuzione marginale F A e F B. La distribuzione congiunta che correla T A e T B nel rispetto delle rispettive marginali può essere ottenuta mediante una copula bivariata normale: = ( ) ( ) 1 1 F ( x, y)= P T < x, T < y Φ Φ F x, Φ F y N A B, r A B dove φ,r denota una distribuzione normale bivariata standard con correlazione r, e φ è una distribuzione normale standard monovariata. È relativamente semplice verificare che questa distribuzione congiunta è del tutto legittima e rispetta le marginali da cui siamo partiti. Si noti che se limitiamo l attenzione alla diagonale x = y, la funzione di distribuzione nell equazione () può essere reinterpretata nel contesto di un modello strutturale in cui: l insolvenza del titolo A è causata dal fatto che il rendimento dell attività finanziaria a distribuzione normale scende al di sotto della soglia φ -1 (F A ( )) (e analogamente per il titolo B); il parametro r rappresenta la correlazione fra i rendimenti delle attività congiuntamente normali degli obligor. In altri termini, la scelta di una copula per i tempi di survival può essere considerata come un particolare assunto di distribuzione relativamente ai rendimenti delle attività. Di conseguenza, è possibile utilizzare le serie dei rendimenti azionari di mercato per calcolare variabili proxy ragionevoli dei parametri (come r nell equazione ()). Secondo Nyfeler (000) e Frey e McNeil (001), alcuni dei modelli di credito più utilizzati sul mercato sono di fatto equivalenti a quello caratterizzato dalla funzione di distribuzione in (). 1 L assunto della normalità dei rendimenti delle attività, tuttavia, non è certamente privo di conseguenze, poiché una distribuzione normale multivariata non consente il verificarsi di eventi estremi congiunti con la stessa frequenza suggerita dai dati. La figura indica la diffusione bivariata dei rendimenti azionari standardizzati usando sette anni di dati mensili (agosto 1994 luglio 001). Nella misura in cui i rendimenti azionari sono presi quali proxy dei rendimenti delle attività finanziarie, questa figura evidenzia il problema principale dell assunto gaussiano. Secondo una distribuzione normale, le realizzazioni congiunte più estreme di questo diagramma si verificano con una probabilità pari a circa uno su 100.000. Tuttavia li osserviamo in un campione di 84 punti. La capacità di una distribuzione multivariata di includere eventi estremi congiunti può essere collegata al concetto di dipendenza di coda. Formalmente, per due variabili casuali X e Y con distribuzioni marginali F X e F Y, la misura di dipendenza della coda (inferiore) può essere definita come: ( Y X ) 1 1 λ : = lim PY< F ( u) X< F ( u) + u 0 In forma più esplicita, λ misura la probabilità che Y si realizzi nella coda della sua distribuzione quando ciò è già accaduto per X. Il problema è che, in una distribuzione normale multivariata, λ è uguale a zero per tutte le r < 1. Analogamente lo scarso spessore delle code di una distribuzione di probabilità multivariata normale implica una massa di probabilità molto limitata sugli eventi estremi congiunti. Per valutare l impatto della dipendenza di coda sulla determinazione dei prezzi, usiamo una generalizzazione del modello descritto dall equazione (). Più specificatamente, colleghiamo le distribuzioni marginali dei 1 Due modelli di credito a più controparti sono considerati equivalenti se gli indicatori di insolvenza associati hanno uguale distribuzione. Ciò implica che le rispettive distribuzioni di insolvenza sono uguali. () (3) WWW.RISK.NET OTTOBRE 00 RISK ITALIA 39
Approfondimenti l Derivati creditizi momenti di insolvenza mediante una copula t-student. Proseguendo con l esempio a due variabili, simuliamo i momenti di insolvenza T A e T B usando la distribuzione congiunta: = ( ) ( ) 1 1 F ( x, y)= P T < x, T < y t t F x, t F y t A B, ν, r ν A ν B dove t, v,r è una distribuzione standard bivariata con v gradi di libertà e correlazione r, mentre t v è una distribuzione t-student standard univariata con v gradi di libertà. La scelta di una copula t-student per i momenti di insolvenza è coerente con l assunto secondo cui i rendimenti delle attività seguono una distribuzione t-student multivariata. Poiché due variabili con distribuzione congiunta t, v hanno una distribuzione marginale t v, possiamo considerare t v 1 (F A ( )) e t v -1 (F B ( )) come le soglie di insolvenza, e t, v,r come la distribuzione congiunta dei rendimenti delle attività. 3 Nella prossima sezione, ci avvaliamo di questa interpretazione per la stima dei parametri. In Lindskog (000), Frey e McNeil (001) e Schonbucher e Schubert (001) e in altri studi sono analizzate forme alternative di dipendenza fra cui le copula di Clayton e Gumbel. Tali funzioni consentono di congiungere in modo corretto le distribuzioni marginali dei tempi di insolvenza e di introdurre le dipendenze di coda. In questo articolo, usiamo il modello dell equazione (4) per tre ragioni principali. Primo, riteniamo che la distribuzione t-student sia un modello ragionevole dei rendimenti della attività, soprattutto in virtù della sua capacità di avere code pesanti. In uno studio fondamentale, Blattberg e Gonedes (1974) dimostrano che una distribuzione t-student con un numero contenuto di gradi di libertà (10 o meno) offre una rappresentazione adeguata del comportamento univariato della maggior parte dei rendimenti delle azioni del Dow Jones Industrial Average. Secondo, l uso di una copula t-student consente una simulazione molto efficiente dei tempi di survival. Terzo, la distribuzione t-student costituisce una generalizzazione diretta della distribuzione normale, nel senso che la normale multivariata è contenuta, quale caso limite, in una t multivariata. Nella prossima sezione, utilizziamo questo rapporto lasciando che siano i dati a scegliere l elemento più adeguato di una famiglia parametrizzata di distribuzioni. Rispetto a una distribuzione normale standard, una distribuzione t- Student standard presenta un parametro aggiuntivo, ovvero il numero di gradi di libertà. A misura che tale numero tende all infinito, la distribuzione t-student tende alla distribuzione normale, ovvero non presenta alcuna dipendenza di coda. Dato un numero finito di gradi di libertà, tuttavia, tale distribuzione consente realizzazioni estreme congiunte. Per illustrare questo punto si consideri una t-student standard bivariata con correlazione r e v gradi di libertà. Il valore di λ per tale distribuzione può essere indicata come uguale a: λ= t + 1 v+ 1 1 r 1 + > 0 r < 1 r v, (4) (5) B. Esempi di basket Basket Entità di riferimento 1 Fleet Boston, AT&T, IBM, Eastman Kodak Honeywell, BellSouth, Wal-Mart, First Data 3 Insieme delle entità dei basket 1 e 4. Basket 1: funzione di log-verosimiglianza Valore funzione di verosimiglianza Valore funzione di verosimiglianza 365 360 355 350 345 340 370 367 364 361 358 355 Stima di massima verosimiglianza ν = 9 Test di verosimiglianza con ipotesi nulla=normalità p-value = 1,33 10 4 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 7 9 Gradi di libertà 5. Basket : funzione di log-verosimiglianza Stima di massima verosimiglianza ν = 7 Test di verosimiglianza con ipotesi nulla=normalità p-value =,34 10 5 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 7 9 Gradi di libertà dove t v denota una distribuzione t-student univariata con v gradi di libertà. Si noti tuttavia che il numero di altre distribuzioni congiunte con funzione di copula t- Student è infinitamente grande (cfr. Mashal e Naldi, 00, per ulteriori dettagli). 3 Una distribuzione standard t-student m-dimensionale con v gradi di libertà e matrice di correlazione S ha una densità data da: t m, ν, Σ m + ν 1 m+ ν Γ det Σ ( ) x Σ x ( x)= + 1 ( ) ν m 1 ν, x R Γ νπ dove Γ indica la funzione gamma. m La tabella A presenta i valori di λ per una t-student standard bivariata in funzione del coefficiente di correlazione r e dei gradi di libertà v. L ultima riga fa riferimento al caso v=, in cui la distribuzione è normale. Per capire meglio il significato delle cifre, si consideri il caso in cui la distribuzione è caratterizzata da 10 gradi di libertà e da una correlazione del 30%. In tale scenario, sapendo che il rendimento del primo credito ha avuto una realizzazione estremamente negativa ci lascia con una probabilità del 3,31% che anche il rendimento del secondo credito abbia una realizzazione altrettanto negativa. La previsione sarebbe molto diversa con una distribuzione congiunta normale e nell ultima sezione di questo articolo cercheremo di quantificare l impatto di tale differenza sulla determinazione del prezzo. Il rapporto fra la dipendenza di coda dei rendimenti delle attività e la 40 RISK ITALIA OTTOBRE 00 WWW.RISK.NET
6. Basket 3: funzione di log-verosimiglianza 760 T = ( ) Lv, Σ; R log tmv,, Σ Rt t= 1 (6) Valore funzione di verosimiglianza 755 750 745 740 735 730 75 Stima di massima verosimiglianza ν = 9 Test di verosimiglianza con ipotesi nulla=normalità p-value = 5,55 10 9 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 7 9 Gradi di libertà C. Valutazione di default basket a tre anni (al luglio 001): distribuzione normale (N) e t-student (t) Basket Premio (std err) First-to-default Second-to-default 1 N 36 (0,8%) 9 (0,75%) t 4 (0,6%) 36 (0,67%) Diff 5% 4% N 140 (0,34%) 1 (1,15%) t 19 (0,35%) 19 (0,9%) Diff 8% 58% 3 N 350 (0,9%) 64 (0,71%) t 316 (0,31%) 76 (0,66%) Diff 10% 19% dipendenza di eventi di insolvenza è indicata nella figura 3. Usando un orizzonte a cinque anni e due titoli di credito i cui momenti di insolvenza sono distribuiti in modo esponenziale con tassi di rischio (hazard rates) annuali dell 1%, la figura raffronta una copula normale e una copula t- Student con tre e dieci gradi di libertà. La dipendenza di coda aumenta la correlazione di insolvenza per qualsiasi valore di correlazione dei rendimenti. In particolare, si noti che anche quando i rendimenti non sono correlati (indipendenza lineare), la dipendenza di coda può produrre una significativa correlazione di insolvenza. Stime e test Per simulare i tempi di insolvenza a partire dalla distribuzione congiunta specificata dall equazione (4), è necessario stimare i parametri. Usando delle serie storiche di rendimenti azionari quali variabili proxy dei rendimenti delle attività, possiamo stimare questi parametri con il metodo di massima verosimiglianza. Inoltre, poiché una distribuzione t-student multivariata tende alla distribuzione normale all aumentare dei gradi di libertà (ovvero, F t F N a misura che v ), l assunto di normalità è di fatto compreso nel nostro quadro analitico quale caso speciale. Possiamo pertanto compiere il test di verosimiglianza per l ipotesi nulla in cui la distribuzione congiunta dei rendimenti è normale. Per l analisi in questa sezione e nella successiva, consideriamo i basket descritti nella tabella B. Usando sette anni di rendimenti azionari mensili nel periodo agosto 1994-luglio 001 (R = (R 1, R,..., R T ), R i R m, e T= 84), costruiamo la funzione di verosimiglianza del campione come: dove m è il numero di crediti di riferimento, e t m,v,σ è la densità di una t m-dimensionale con v gradi di libertà e correlazione Σ. 4 Stimiamo allora i parametri come: ( v, Σ) = argmax L( v, Σ; R) ML v, Σ e testiamo l ipotesi nulla di normalità usando il rapporto di verosimiglianza: () Lv= ln ~ Chi 1 Lv ML in cui Chi (1) indica una distribuzione chi-quadrato con un grado di libertà. 5 Le figure 4 6 indicano la verosimiglianze per i nostri tre panieri in funzione dei gradi di libertà. Le stime di massima verosimiglianza indicate sono rispettivamente nove, sette e nove e indicano una significativa quantità di dipendenza di coda nei dati. A conferma dell inadeguatezza della distribuzione normale, le figure riportano anche i valori p dei test di verosimiglianza per l ipotesi nulla di normalità. La normalità può quindi essere respinta con una probabilità infinitesimale di compiere un errore. Tale risultato non è confermato solo per gli esempi scelti, poiché abbiamo ottenuto risultati analoghi in decine di altri portafogli. Impatto della dipendenza di coda sulla valutazione dei basket L inclusione degli eventi estremi ha conseguenze significative per la valutazione dei basket default swaps. A parità di tutte le altre condizioni, la simulazione delle insolvenze mediante una funzione di copula con fat tails aumenta la probabilità di insolvenze congiunte e, quindi, le correlazioni di insolvenza come definite nella equazione (1). Il segno della relazione fra premi ( basket spread ) e correlazioni di insolvenza, tuttavia, dipende dall ordine del basket. Il valore della protezione first-to-default è sempre monotona decrescente nelle correlazioni di insolvenza. Pertanto, quando consentiamo eventi estremi congiunti, la protezione first-to-default diventa chiaramente meno costosa. Il valore della protezione second-to-default non è necessariamente monotona nelle correlazioni di insolvenza. Al contrario, tende ad aumentare a un massimo per poi diminuire. L ubicazione del punto di svolta dipende da tutti i parametri e, in particolare, dal numero di entità nel basket. Se il numero è basso, la protezione second-to-default è generalmente crescente nelle correlazioni di insolvenza sulla maggior parte del dominio. Intuitivamente, con poche entità in portafoglio, l evento che almeno due di esse risultino insolventi diventa più probabile a misura che aumentiamo la tendenza al manifestarsi di un insolvenza congiunta. Tali rapporti qualitativi sono coerenti con i risultati della tabella C, dove raffrontiamo la valutazione dei first- e second-to-default swap usando una 4 Si noti che la fattorizzazione in (6) assume implicitamente che il vettore dei rendimenti sia serialmente indipendente e distribuito in modo identico. In linea di principio si potrebbe usare una fattorizzazione condizionata e modellare una struttura di dipendenza time-varying, ma ciò ne complicherebbe in misura significativa la realizzazione. 5 Cfr. Johnson e Kotz (197) per maggiori dettagli sulla distribuzione t-student multivariata. Un algoritmo semplice per il calcolo della stima di massima verosimiglianza di Σ per un dato valore di v si trova in Bouye et al. (000). Il test di verosimiglianza è svolto per n =10.000. (7) (8) WWW.RISK.NET OTTOBRE 00 RISK ITALIA 41
Approfondimenti l Derivati creditizi funzione di copula normale e una copula t-student per i tempi di insolvenza. I nomi di riferimento dei basket sono riportati nella tabella B. Si assume che le distribuzioni marginali dei tempi di insolvenza abbiano hazard rates deterministici, regionalmente piatti e quasi costanti, calibrati sul mercato dei credit default swap su un unica entità. Tutte le operazioni hanno una scadenza uguale a tre anni e i prezzi sono stati determinati usando le informazioni (curva Libor, hazard rates impliciti nei dati di mercato, parametri stimati della copula t-student) disponibili alla fine di luglio 001. I premi sono in punti base e gli errori standard degli stimatori Monte Carlo (in percentuale del premio) sono riportati fra parentesi. Conclusioni Le differenze di prezzo sopra indicate suggeriscono come il fatto di respingere l assunto di dipendenza gaussiana abbia un impatto significativo sulla valutazione dei default basket. Con l aumentare della liquidità dei basket swap e di altri strumenti creditizi su più controparti, gli operatori saranno costretti a tenere conto di queste differenze valutando attentamente la scelta fra metodi di valutazione alternativi. Il quadro utilizzato in questo articolo offre due importanti vantaggi. Primo, generalizzando la struttura di dipendenza gaussiana in modo parametrico e utilizzando la stima di massima verosimiglianza, consentiamo ai dati disponibili di scegliere la quantità di dipendenza di coda più adeguata alla simulazione delle insolvenze correlate. Secondo, i vantaggi di una struttura di dipendenza più realistica hanno un prezzo relativamente contenuto. Dal punto di vista computazionale, l uso di una funzione di copula t-student per la stima di massima verosimiglianza e della simulazione del time-to-default comporta un aggravio molto contenuto rispetto a quello di una copula normale. Roy Mashal sta conseguendo il dottorato di ricerca presso la Columbia Business School e Marco Naldi è vicepresidente per la quantitative credit research presso Lehman Brothers. Gli autori desiderano ringraziare Arthur Berd, Mark Broadie, Paul Glasserman, Hua He, Prafulla Nabar, Dominic O Kane, Lutz Schloegl e due referee anonimi per i commenti e i suggerimenti. Blattberg R and N Gonedes, 1974 A comparison of the stable and student distributions as statistical models for stock prices Journal of Business 47, pages 44 80 Bouye E, V Durrleman, A Nikeghbali, G Riboulet and T Roncalli, 000 Copulas for finance Working paper, Groupe de Recerche Operationnelle, Credit Lyonnais, Paris Frey R and A McNeil, 001 Modelling dependent defaults Working paper, Swiss Federal Institute of Technology Frey R, A McNeil and M Nyfeler, 001 Copulas and credit models Risk October, pages 111 114 Johnson N and S Kotz, 197 Continuous multivariate distributions Wiley, New York BIBLIOGRAFIA Li D, 000 On default correlation: a copula function approach Journal of Fixed Income 9, March, pages 43 54 Lindskog F, 000 Modelling dependence with copulas and applications to risk management Master thesis, Swiss Federal Institute of Technology Mashal R and M Naldi, 00 Pricing multi-name credit derivatives: a heavy-tailed hybrid approach Working paper, Graduate School of Business, Columbia University Merton R, 1974 On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates Journal of Finance 9, May, pages 449 470 Nyfeler M, 000 Modelling dependencies in credit risk management Diploma thesis, Swiss Federal Institute of Technology Schonbucher P and D Schubert, 001 Copula-dependent default risk in intensity models Working paper, department of statistics, Bonn University Response Form Hedge Funds World Italy 00 Fax to: +44 (0)0 74 1508 3 6 December 00, Hotel Principe di Savoia, Milan, Italy The Italian event for investors and hedge fund managers The Italian hedge funds market is already worth over 800 million and is estimated to be worth 1 billion in 005. Hedge Funds World Italy is where investors and hedge fund managers come together to discuss and exploit the Italian hedge fund opportunity. Top level speakers include: Arpad Busson, Chairman, EIM Andrea Nasce, CEO, Ersel Hedge Alberto Conca, Fund Manager, Kairos Partners Guido Ravenna, Head of Investments, Intesa BCI Private Enrico Ugolini, Head of Investments, Banca Steinhauslin & Co Mario Bortoli, CIO, San Paolo IMI Alternative Investments Capitalise on the Italian hedge fund opportunity now. Sponsors: o Yes! I am interested in attending the conference. Please send me the conference agenda. o Yes! Please contact me about sponsorship and exhibition opportunities. Event code 1000 Name:... Job Title:... Company:... Address:......... Official publication: Media partners: Organised by: Tel:... Fax:... For sponsorship and exhibition opportunities, contact Stefan Nilsson, Project Director at stefan.nilsson@terrapinn.com or tel: +44 0 787 5997 Email:... TRT www.hedgefundsworld.com