RICHIAMI DI ELETTROMAGNETISMO

RICHIAMI DI ELETTROMAGNETISMO Equazioni di Maxwell I fenomeni elettrici e magnetici a livello del mondo macroscopico sono descritti da due campi vettoriali, in generale dipendenti dal tempo, E(x, t), H(x, t), detti rispettivamente campo elettrico e campo magnetico. In assenza di corpi materiali, i campi E(x, t) ed H(x, t) si trovano risolvendo le equazioni di Maxwell nel vuoto div E = 4πρ rot H 1 c E t = 4πj c div H = 0 rot E + 1 H c t = 0 (1) dove c indica la velocita della luce nel vuoto mentre ρ(x, t) e j(x, t) sono rispettivamente la densita di carica e la densita di corrente elettrica. Tali funzioni si suppongono assegnate e sono dette sorgenti. Si osservi che le equazioni per E e H sono accoppiate e quindi costituiscono un unico sistema di equazioni alle derivate parziali lineari nelle due funzioni vettoriali incognite E e H, corrispondenti a sei funzioni scalari. Si puo dimostrare che la soluzione delle equazioni (1) esiste unica una volta assegnate le sorgenti e i campi elettrico e magnetico all istante iniziale. Nelle regioni dello spazio occupate da corpi materiali le equazioni di Maxwell vanno modificate in modo da tenere conto della specifica reazione del materiale all applicazione del campo elettrico e magnetico. In particolare esse si scrivono div D = 4πρ rot H 1 c D t = 4πj c div B = 0 rot E + 1 B c t = 0 (2) Dalle (2) si vede che sono stati introdotti due campi ausiliari D(x, t) e B(x, t) detti rispettivamente induzione elettrica e induzione magnetica. Tali campi sono definiti dalle relazioni D = E + 4πP B = H + 4πM (3) 1

dove P ed M si dicono vettori di polarizzazione elettrica e magnetica rispettivamente. Tali vettori sono diversi da zero solo nella regione dello spazio occupato dai corpi materiali e sono una funzione dei campi elettrico e magnetico P = P (E) M = M(H) (4) Le relazioni (4) si dicono relazioni costitutive e sono caratteristiche del tipo di materiale in considerazione. Esse si determinano sperimentalmente caso per caso e sono quindi da considerarsi assegnate quando si vogliano risolvere le equazioni di Maxwell nei mezzi materiali. In molti casi di interesse risulta che le relazioni costitutive (4) sono relazioni lineari, eventualmente espresse da operatori integrali. E inoltre importante notare che nel passaggio da un mezzo ad un altro le relazioni costitutive cambiano bruscamente e quindi in generale i campi subiscono delle discontinuita. Questo vuol dire che, per risolvere le equazioni (2), e necessario specificare il comportamento dei campi nel passaggio attraverso le superfici di separazione fra due diversi materiali (condizioni al bordo). Infine va osservato che nelle (2) le funzioni ρ e j possono essere sorgenti assegnate oppure possono essere una incognita del problema, come ad esempio nel caso dei conduttori. Le equazioni (2),(3),(4) costituiscono un unico sistema di equazioni accoppiate nelle incognite E,H. Nel caso in cui le relazioni costitutive (4) sono espresse da operatori lineari integrali, tali equazioni sono equazioni integro-differenziali lineari. Si puo allora provare che la soluzione delle equazioni (2),(3), (4) esiste unica una volta assegnate le sorgenti, le condizioni al bordo e i campi elettrico e magnetico all istante iniziale. Elettrostatica Quando le sorgenti, le relazioni costitutive e le condizioni al bordo sono indipendenti dal tempo allora anche le soluzioni delle equazioni di Maxwell E e H sono indipendenti dal tempo. La prima conseguenza e che le equazioni per E e H si disaccoppiano. Dalle (2) si ha infatti div D = 4πρ rot E = 0 (5) rot H = 4πj c div B = 0 (6) 2

Le (5), insieme con la relazione costitutiva P = P (E) e le condizioni al bordo, sono allora le equazioni dell elettrostatica e l incognita e il solo campo elettrostatico E(x). Le (6), insieme con le relazioni costitutive M = M(H) e le condizioni al bordo, sono invece le equazioni della magnetostatica e l incognita e il campo magnetostatico H(x). I problemi dell elettrostatica e della magnetostatica possono quindi essere risolti separatamente. Consideriamo piu in dettaglio il problema dell elettrostatica. Come primo passo specifichiamo le condizioni al bordo soddisfatte dai campi E, D sulla superficie di separazione fra due diversi mezzi materiali. Per fare questo conviene considerare le equazioni (5) in forma integrale. Data una qualunque superficie chiusa e regolare Σ e una qualunque curva chiusa e regolare γ, facendo uso rispettivamente del teorema di Gauss e del teorema di Stokes, dalle (5) si ricava D nds = Q E tdl = 0 (7) Σ dove n e il versore normale esterno a Σ, t il versore tangente a γ e Q e la carica totale contenuta in Σ. Si noti che le equazioni dell elettrostatica scritte nella forma integrale (7) hanno senso anche se E e D ammettono discontinuita, mentre le equazioni in forma differenziale (5) perdono senso nei punti di discontinuita di E e D. A questo punto, scegliendo opportunamente Σ e γ a cavallo della superficie di separazione S fra i due mezzi materiali 1 e 2, si ricavano facilmente le condizioni al bordo su S (vedi per es. Mencuccini-Silvestrini, Fisica II, par. II.1) γ D 1 n = D 2 n + 4πσ E 1 t = E 2 t (8) dove σ e l eventuale densita di carica superficiale libera distribuita su S e A i n,a i t, i = 1, 2 indicano la componente normale e tangente del campo vettoriale A su S calcolate dall interno del mezzo i-esimo. Il secondo passo e specificare come i mezzi materiali reagiscono in presenza di un campo elettrico (relazione costitutiva). A questo proposito risulta sperimentalmente che tutti i mezzi materiali, per quanto riguarda le proprieta elettriche, si dividono in mezzi conduttori e mezzi dielettrici. I conduttori sono caratterizzati dal fatto che il campo elettrico al loro interno e sempre nullo. Questo si spiega col fatto che i conduttori hanno al loro interno un grande numero di cariche elettriche libere di muoversi sotto l azione di un campo elettrico esterno. Tali cariche all equilibrio non si possono disporre nell interno del conduttore, altrimenti produrrebbero un campo elettrico all interno. Quindi esse si dispongono sulla superficie del conduttore e la loro disposizione e tale da rendere nullo il campo elettrico all interno del conduttore. 3

I dielettrici sono invece i mezzi non conduttori e quindi al loro interno il campo elettrico risulta ridotto ma e comunque diverso da zero. Questo si spiega col fatto che non ci sono cariche elettriche che si muovono liberamente nel dielettrico. Al contrario, le cariche presenti sono soggette a forze di richiamo che le costringono a rimanere vicino a configurazioni di equilibrio stabile. La presenza del campo esterno agisce su queste cariche provocando (piccoli) spostamenti dalle configurazioni di equilibrio e tali spostamenti producono a loro volta dentro il dielettrico un campo elettrico indotto che si oppone al campo esterno. Il risultato e che all interno il campo elettrico e ridotto ma non e nullo come invece accade nei conduttori. Elettrostatica dei conduttori Sia C un corpo conduttore, delimitato dalla superficie chiusa S, in presenza di un campo elettrico esterno (per es. il campo prodotto da una carica puntiforme q). Siccome il campo dentro C e nullo allora e nulla anche la sua componente tangenziale su S calcolata dall interno di C. Da (8) risulta allora che il campo elettrico sulla faccia esterna della superficie S del conduttore e diretto lungo la normale a S. Sempre dalla (8) si trova la relazione tra il valore E n del campo sulla faccia esterna di S e la densita di carica σ distribuita sulla superficie S E n = 4πσ (9) Si noti che la distribuzione σ e incognita. Per trovare il campo all esterno del conduttore osserviamo che esso soddisfa le equazioni div E = 0 rot E = 0 (10) Dalla seconda delle (10) risulta che esiste una funzione scalare φ (potenziale elettrostatico) tale che E = grad φ (11) Naturalmente il potenziale φ e definito a meno di una costante. Sostituendo (11) nella prima delle (10) si trova che il potenziale elettrostatico all esterno del conduttore soddisfa l equazione di Laplace φ = 0 (12) 4

All interno del conduttore, per la (11), il potenziale e costante e quindi in particolare e costante sulla superficie S (superficie equipotenziale). Dalla seconda delle (8) si ricava inoltre che il potenziale e continuo ovunque. Dalla (9) infine si trova la relazione tra potenziale e densita di carica φ n = 4πσ (13) Facciamo ora alcuni esempi tipici di problemi di elettrostatica dei conduttori in cui l incognita e naturalmente il potenziale elettrostatico. Trovato il potenziale, si puo quindi determinare il campo elettrico e la densita di carica superficiale da (11),(9). 1. Sono dati dei corpi conduttori C i delimitati dalle superfici S i ed e assegnato il valore V i del potenziale su S i (o meglio V i e la differenza tra il potenziale su S i e il valore del potenziale all infinito, posto convenzionalmente a zero). Per quanto detto sopra si tratta di trovare il potenziale φ soluzione del seguente problema al contorno φ = 0 in R 3 \ C i φ = V i su S i lim φ(x) = 0 (14) 2. Sono dati dei corpi conduttori con potenziale assegnato come prima che sono pero posti in una regione limitata dello spazio Ω delimitata da una superficie conduttrice Σ posta a potenziale zero. Si tratta in questo caso di trovare φ come soluzione del problema φ = 0 in Ω \ C i φ = V i su S i φ = 0 su Σ (15) 3. Sono dati dei corpi conduttori C i delimitati dalle superfici S i ed e assegnato il valore Q i della carica totale su S i. Si tratta ora di trovare φ come soluzione del problema 5

φ = 0 in R 3 \ C i φ = costante su S i φ S i n ds = 4πQ i φ(x) = 0 (16) lim dove il valore della costante e incognito. 4. E dato un corpo conduttore C delimitato dalla superficie S a potenziale zero e immerso in un campo elettrico esterno uniforme E 0 diretto per esempio lungo l asse z. Detto θ l angolo fra l asse z e il vettore x, si tratta di trovare φ come soluzione del problema φ = 0 φ = 0 in R 3 \ C su S lim (φ(x) + E 0 x cos θ) = 0 (17) 5. E dato un corpo conduttore C delimitato dalla superficie S a potenziale zero in presenza di una carica puntiforme q. Detta x 0 la posizione della carica puntiforme, si tratta di trovare φ come soluzione del problema φ = 0 in R 3 \ (C {x 0 }) φ = 0 su S lim 4π x x 0 φ(x) = q x x 0 φ(x) = 0 (18) lim Elettrostatica dei dielettrici Sia ora C un corpo dielettrico nel vuoto, delimitato dalla superficie S, in presenza di un campo elettrico esterno (per es. il campo generato da una carica puntiforme q). 6

Come sappiamo, all interno di C il campo elettrico e ridotto ma non e nullo come invece accade nei conduttori. Supponendo che non ci siano cariche assegnate (ρ = 0), le equazioni per i campi all interno di C si scrivono div D = 0 rot E = 0 (19) D = E + 4πP P = P (E) (20) mentre all esterno di C risulta P = 0 e D = E cosicche valgono le equazioni nel vuoto div E = 0 rot E = 0 (21) Dobbiamo ora specificare la relazione costitutiva P = P (E). Nel caso semplice di dielettrico lineare e isotropo essa si riduce a P (x) = χ(x)e(x) (22) dove χ(x) e una funzione positiva detta suscettivita elettrica che si determina sperimentalmente. Ne segue D(x) = ɛ(x)e(x), ɛ(x) = 1 + 4πχ(x) (23) dove ɛ(x) e una funzione maggiore di uno detta permittivita o costante dielettrica (il caso ɛ = 1 corrisponde al vuoto). Le condizioni al bordo (8) su S si riducono a ɛe 1 n = E 2 n (24) dove 1 indica il mezzo dielettrico e 2 il vuoto. Naturalmente se all esterno di C ci fosse un dielettrico di costante ɛ allora la condizione al bordo sarebbe ɛe 1 n = ɛ E 2 n. Facendo uso delle (19),(21),(23) si possono scrivere le equazioni per il potenziale elettrostatico E = grad φ in R 3 \ S div (ɛ grad φ) = 0 in C φ = 0 in R 3 \ C (25) Inoltre il potenziale φ e continuo ovunque e la sua derivata normale su S, per la (24), soddisfa 7

ɛ φ = φ (26) n 1 n 2 Facciamo ora qualche esempio di problema di elettrostatica dei dielettrici in cui naturalmente l incognita e il potenziale elettrostatico. 1. Sia dato un corpo dielettrico C, delimitato dalla superficie S, di permittivita dielettrica costante ɛ, immerso nel vuoto e soggetto ad un campo esterno uniforme E 0, diretto per esempio lungo l asse z. Detto θ l angolo fra l asse z e il vettore x, si tratta di trovare φ come soluzione del problema φ = 0 in R 3 \ S φ continuo in R 3 ɛ φ = φ su S n 1 n 2 lim (φ(x) + E 0 x cos θ) = 0 (27) 2. Sia dato un corpo dielettrico C, delimitato dalla superficie S, di permittivita dielettrica costante ɛ, immerso nel vuoto e in presenza di una carica puntiforme q. Detta x 0 la posizione della carica puntiforme, si tratta di trovare φ come soluzione del problema φ = 0 in R 3 \ (S {x 0 }) φ continuo in R 3 \ {x 0 } ɛ φ = φ su S n 1 n 2 lim 4π x x 0 φ(x) = q x x 0 φ(x) = 0 (28) lim 8