x =12ξ +1, y =3ξ, z = 4ξ +3, ξ R, Poichè R 0,èdefinito l asse centrale a del sistema di vettori applicati

Transcript

1 . Esercizio sui vettori applicati In una terna cartesiana ortogonale destra O si considera il sistema S di vettori applicati: P, v P, v P 3, v 3 P 4, v 4 con: Determinare del sistema S: P 0,, v ê +ê ê 3 P,, 3 v ê 4ê +ê 3 P 3,, v 3 3ê +6ê 3ê 3 P 4 3, 5, v 4 ê ê +ê 3. a l asse centrale, se definito, verificando il risultato; b ilcentro, se definito; c ilmomento rispetto all asse r di equazione parametrica x ξ +, y 3ξ, z 4ξ +3, ξ R, orientato secondo le ξ decrescenti. Soluzione a Asse centrale Risultante 4 R v i ê +ê ê 3 +ê 4ê +ê 3 + i + 3ê +6ê 3ê 3 +ê ê +ê 3 ê + ê ê 3 Poicè R 0,èdefinito l asse centrale a del sistema di vettori applicati. Momento risultante in O 4 M O P i O v i i ê ê 3 ê +ê ê ê +ê +3ê 3 ê 4ê +ê ê ê +ê 3 3ê +6ê 3ê ê 5ê +ê 3 ê ê +ê ê +ê ê 3 +4ê +0ê +6ê ê ê 8 ê 3 + ê ê ê 3 0 ê ê 4 ê 3. Stefano Siboni

2 Prodotto vettoriale R M O / R Si a: R M O ê +ê ê 3 0 ê ê 4 ê ê 4 ê 8 ê 3, per cui: R M O 30 ê 4 ê 8 ê 3 30 ê 4 ê 8 ê 3 R ê 4ê 3ê 3 Asse centrale L asse centrale èilluogo dei punti A individuati dai vettori posizione: A O R M O R + α R α R. Sostituendo le espressioni precedentemente ricavate si ottiene allora: A O 5ê 4ê 3ê 3 + α ê +ê ê 3 5 αê αê + 3 αê 3 α R e l equazione parametrica dell asse centrale a assume la forma: x 5 α y 4+α α R. z 3 α Verifica ce la retta ottenuta è effettivamente l asse centrale Basta verificare, come da definizione, ce rispetto ad un punto qualsiasi di a il momento risultante di S risulta parallelo a R. Un punto C dell asse centrale si ottiene ponendo α nella relativa parametrizzazione: C O 5ê 4ê 3ê 3 per cui il momento risultante in C del sistema di vettori applicati diventa: 4 M C P i C v i i 5ê +3ê +ê 3 ê +ê ê ê +5ê +6ê 3 ê 4ê +ê ê +ê +5ê 3 3ê +6ê 3ê ê ê +5ê 3 ê ê +ê 3 Stefano Siboni

3 ê +3ê +3ê 3 +34ê +6ê ê ê 6ê +4ê 3 +9ê 3ê 5 ê 3 0 e, in quanto nullo, è certamente parallelo ad R. b Centro I vettori applicati di cui si compone il sistema S sono tutti fra loro paralleli: v ê +ê ê 3 v f v v ê 4ê +ê 3 v f v v 3 3ê +6ê 3ê 3 3 v f 3 v v 4 ê ê +ê 3 v f 4 v con R 0edicoefficientif,f,f 3,f 4 dati da: f f f 3 3 f 4. Il centro C del sistema di vettori applicati paralleli di risultante non nullo èperciò individuato da: C O 4 f i i 4 f i P i O i ê ê 3 ê +ê +3ê ê ê +ê ê 5ê +ê 3 ê ê 3 +4ê ê 6ê 3 + 6ê 6ê +6ê 3 3ê +5ê ê 3 5ê 4ê 3ê 3 Si osservi ce l asse centrale èesprimibile nella forma A O C O + α R 5ê 4ê 3ê 3 + α ê +ê ê 3 5 αê + 4+αê + 3 αê 3 α R. c Momento rispetto all asse r La parametrizzazione dell asse r èdatada: P ξ O ξ +ê +3ξ ê + 4ξ +3ê 3 ξ R con la derivata prima P ξ ê +3ê 4ê 3. Stefano Siboni 3

4 Ricordando ce l asse deve intendersi orientato nel senso delle ξ decrescenti, il versore direttore di r risulta allora ˆτ P ξ P ξ ê +3ê 4ê 3 ê +3ê 4ê 3 ê +3ê 4ê ê +3ê 4ê 3 3 Un punto B della retta orientata si ricava dalla parametrizzazione ponendo per esempio ξ 0 lascelta più semplice B O P 0 O ê +3ê 3 Il momento risultante rispetto a B èimmediatamente deducibile da M O,giàcalcolato, per mezzo della formula del cambiamento del polo: M B M O +O B R M O + R B O 0ê ê 4 ê ê ê 4 ê 3 +6ê +ê ê 3 6ê 6 ê 3. Il momento risultante rispetto all asse r vale pertanto: M r M Bˆτ M B ˆτ 6ê 6 ê 3 ê 3ê +4ê Stefano Siboni 4

5 . Esercizio sull oscillatore armonico smorzato Un punto materiale P di massa m 5èvincolato a scorrere senza attrito lungo l asse orizzontale Ox Oê di una terna inerziale O.Unamolla ideale di costante elastica k congiunge P con l origine O. Sul punto agisce inoltre una forza F βê P βp, con β costante positiva. Determinare del sistema: a le equazioni pure del moto; b i valori della costante β per iquali i moti sono oscillatori smorzati; c per β, la posizione e la velocità dip all istante t 5π/4 qualorasi abbia P 0 O 3ê e P 0 0all istante t 0. Soluzione a Equazioni pure del moto L assenza di attrito assicura ce l equazione pura delmotosiottiene proiettando lungo la direzione tangente ê l equazione tratta dal postulato delle reazioni vincolari: m P kp O+βê P βp + m g + Φ essendo m g il peso e Φ lareazione vincolare. Moltiplicando scalarmentemembroamembro l equazione per il versore direttore ê dell asse orizzontale Ox si ottiene allora: m P ê kp O ê +βê P ê βp ê + m g ê + Φ ê epoicè P O x ê l equazione pura del moto si riduce a P ẋ ê P ẍ ê m g ê 0 Φ ê 0 mẍ kx βẋ ossia a 5ẍ + βẋ +x 0,. ce è l equazione differenziale del moto di un oscillatore armonico smorzato unidimensionale con costante difrizioneβ>0. b Valori di β corrispondenti ai moti oscillatori smorzati La condizione necessaria e sufficiente per i moti oscillatori smorzati èceildiscriminante dell equazione caratteristica associata alla. sia negativo. Nella fattispecie, si a 5λ + βλ + 0 β 4 5 β 40 < 0 equindi i valori riciesti della costante β sono: 0 <β< 40. Stefano Siboni 5

6 c Posizione e velocità dip all istante t 5π/4 per assegnate condizioni iniziali Per β l equazione pura del moto. diventa 5ẍ +ẋ +x 0 con l equazione caratteristica 5λ +λ + 0 di radici complesse coniugate: λ,λ ± ± 36 ± 6i ± 3 5 i. La soluzione generale dell equazione del moto si scrive dunque: 3 3 xt c e t/5 cos 5 t + c e t/5 sin 5 t t R con la derivata prima ẋt c e t/5 [ 5 cos 3 5 t 3 5 sin 3 5 t ] + c e t/5 [ 5 sin 3 5 t cos 3 5 t ] t R in termini delle costanti reali arbitrarie c e c,cevanno determinate sulla base delle condizioni iniziali. In questo caso l ipotesi P 0 O 3ê P0 0 implica ce debba aversi x0 3 ẋ0 0 per cui: 3x0 c 0ẋ0 5 c c equindi: c 3 c. La soluzione del problema di Caucy è dunque 3 3 xt 3e t/5 cos 5 t + e t/5 sin 5 t t R con la derivata prima ẋt 3e t/5 [ 5 cos 3 5 t 3 5 sin 3 5 t ] + e t/5 [ 5 sin 3 5 t cos 3 5 t ] t R. All istante t 5π/4 siainfine: 5π 3 x 3e 3π/4 5 3 cos π + e 3π/4 sin e 3π/4 cos 4 π + e 3π/4 sin 4 π e 5π ẋ 4 e 3π/4 [3 5 4 π 3e 3π/4 + e 3π/4 4 e 3π/4 [ 3e 3π/4 9 5 cos 4 π 3 9 ] [ 5 sin 4 π + e 3π/4 9 5 sin 4 π ] 5 cos 4 π ] [ e 3π/ ] e 3π/4. 5 Stefano Siboni 6

7 3. Esercizio sul punto vincolato ad una curva piana Un punto materiale pesante P, dimassa m, èvincolato a scorrere lungo la curva di equazione: y +4x x /4,, x posta nel piano coordinatooxy il cui asse Oy èdiretto verticalmente verso l alto. Determinare: a l equazione pura del moto e le relative configurazioni di equilibrio nell ipotesi di curva liscia; b gli equilibri supponendo ce la curva abbia un coefficiente di attrito radente statico µ s 0.3. Soluzione a Equazione del moto ed equilibri in assenza di attrito La parametrizzazione del punto P si esprime naturalmente in termini dell ascissa x: P x O x ê + x +4x ê x 4, con derivate prima e seconda: P x ê + x +4 ê P x x 3 ê 3. definite nello stesso intervallo di x. L equazione pura del moto si ricava proiettando lungo la direzione tangente P x ilpostulato delle reazioni vincolari: ossia Si a allora: m P mg ê + Φ mẍp x +mẋ P x mg ê + Φ. mẍp x P x +mẋ P x P x mg ê P x+ Φ P x equindi, per l ipotesi di vincolo liscio, mẍ P x + mẋ P x P x mg ê P x vale a dire, in virtù delle 3., [ mẍ + ] x +4 + mẋ x 3 x +4 mg x +4 x 4,. Gli equilibri corrispondono alle soluzioni statice, costanti, della precedente equazione pura: 0 mg x +4 x 4, esiriducono alla sola posizione x / l altra radice x / èesterna all intervallo di definizione dell ascissa. Stefano Siboni 7

8 b Equilibri in presenza di attrito Se la curva vincolare presenta un coefficiente di attrito radente statico µ s,lacondizione di equilibrio per il punto pesante vincolato al grafico di una funzione y fx, essendo Oy l asse verticale, assume la forma ben nota f x µ s ; la pendenza della retta tangente al grafico della curva vincolare nel punto di equilibrio non deve deve discostarsi da 0 per più diµ s.nella fattispecie si a la condizione, da soddisfare in x /4,, ossia la doppia diseguaglianza x +4 µ s µ s x +4 µ s ce moltiplicata per la quantità positiva x si riduce a µ s x 4x µ s x ed equivale al sistema di disequazioni: µ s x 4x 4x µ s x ovvero a 4 + µ s x 4 µ s x. 3. Ricordando ce nelcaso considerato è µ s < comeavviene tipicamente il sistema 3. si può esprimere nella forma equivalente x 4+µ s x 4 µ s dalla quale si deduce, escludendo i valori negativi di x, 4+µs x x 4 µs. Stefano Siboni 8

9 Le ascisse dei punti di equlibrio sono perciò tutteesolequellecesoddisfano la doppia diseguaglianza x 4+µs 4 µs purcè ricomprese nell intervallo /4 <x<. Per µ s 0.3 sia 4.3 x 3.7 ossia, approssimativamente, x Si osservi ce le soluzioni sono tutte accettabili, in quanto contenute nell intervallo /4,. Gli equilibri costituiscono un intorno dell equilibrio x 0.5 giàcalcolato in assenza di attrito, come evidenziato nella figura seguente Stefano Siboni 9

10 4. Esercizio sul punto materiale vincolato a una curva non piana In una terna cartesiana ortogonale Oxyz, conl asse Oz diretto verticalmente verso l alto, un punto materiale pesante P di massa m èvincolato ascorrere lungo la curva E di equazione parametrica: x R cos ξ y R sin ξ z π ξ ξ R dove R e sono due lungezze caratteristice èfacile verificare ce la curva in questione è un elica cilindrica con asse di simmetria Oz, raggio R epasso. Una molla ideale di costante elastica k congiunge P con l origine O della terna di riferimento. Si ciede di determinare: a l equazione pura del moto nell ipotesi ce la curva sia liscia; b gli equilibri e la soluzione generale dell equazione del moto sempre nell ipotesi di curva liscia; c gli equilibri in presenza di attrito, ipotizzando un coefficiente di attrito radente statico costante µ s lungo l intera curva; d l ascissa curvilinea della curva a partire dal punto ξ 0eiltriedro di Frenet della curva vincolare. Soluzione a Equazione pura del moto nel casodivincolo liscio La curva vincolare E è descritta dalla parametrizzazione P ξ O R cos ξ ê + R sin ξ ê + π ξ ê 3 ξ R Stefano Siboni 0

11 con derivata prima ederivataseconda P ξ R sin ξ ê + R cos ξ ê + π ê3 P ξ R cos ξ ê R sin ξ ê. Il postulato delle reazioni vincolari permette di scrivere l equazione ovvero, essendo P ξp ξ+ ξ P ξ, m P mg ê 3 k[p ξ O]+ Φ m ξp ξ+m ξ P ξ mg ê 3 k[p ξ O]+ Φ. L equazione pura del moto si ottiene proiettando la relazione precedente lungo la direzione P ξ tangente al vincolo: m ξp ξ + m ξ P ξ P ξ mg ê 3 P ξ k[p ξ O] P ξ 4. in virtù della condizione di vincolo liscio Φ P ξ 0. Osservato ce P ξ ece mentre P ξ P ξ R cos ξ R sin ξ+ R sin ξr cos ξ 0 mg ê 3 P ξ mg π e k[p ξ O] P ξ [ k R cos ξ ê + R sin ξ ê + ] π ξ ê 3 [ k R cos ξ R sin ξ+rsin ξrcos ξ + π ξ π l equazione 4. si riduce a: [ R sin ξ ê + R cos ξ ê + ] k ξ, π ê3 ] m ξ mg π k 4π ξ cioè m ξ + k ξ mg π. 4. b Equilibri e soluzione generale nel caso di vincolo liscio Stefano Siboni

12 Nell ipotesi di vincolo liscio, le posizioni di equilibrio vengono ricavate come soluzioni statice costanti dell equazione del moto 4.. Si a allora k 4π ξ mg π equindi l unica posizione di equilibrio individuata da ξ mg π k mg π k. La soluzione generale dell equazione 4. si può ricavarefacilmente introducendo il cambiamento di variabile: ξ ζ π mg k in virtù delqualel equazione del moto diventa m ζ + k 4π ζ 0 ed èriconoscibile come l equazione di un oscillatore armonico semplice unidimensionale di pulsazione ω k m in modo ce la soluzione generale risulta della forma ζt c cosωt+c sinωt t R con c e c costanti reali arbitrarie. Nella variabile ξ la soluzione generale si scrive pertanto: ξt c cosωt+c sinωt π mg t R. k Essa descrive un moto armonico semplice di pulsazione ω eampiezza e fase arbitrarie, centrato sulla posizione di equilibrio ξ πmg/k. c Equilibri in presenza di attrito µ s costante Per lo stato di quiete in una posizione di equilibrio del sistema, il postulato delle reazioni vincolari prescrive la condizione: 0 mg ê 3 k[p ξ O]+ Φ dalla quale si ricava la reazione vincolare occorrente a realizzare lo stato di quiete in questione: Φ mg ê 3 + k[p ξ O] mg ê 3 + k R cos ξ ê + R sin ξ ê + π ξ ê 3 krcos ξ ê + krsin ξ ê + π ξ ê 3. Stefano Siboni

13 Di questa reazione vincolare si devono determinare la componente tangente e ortogonale alla curva vincolare, per poi fare uso della legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico. Il versore tangente alla curva in un punto generico di questa èdatoda ˆτξ P ξ P ξ R sin ξ ê + R cos ξ ê + π ê3 per cui Φ ˆτ π ξ π elacomponentetangente alla curva della reazione vincolare vale Φ ˆτ ˆτ π ξ π R sin ξ ê + R cos ξ ê + π ê3. La componente ortogonale alla curva èquella residua Φ Φ ˆτ ˆτ krcos ξ ê + krsin ξ ê + π ξ π ce separando i vettori componenti diventa: Φ Φ ˆτ ˆτ + + krcos ξ + krsin ξ π ξ ê 3 R sin ξ ê + R cos ξ ê + π ê3 π ξ π ξ π ξ π ξ π R sin ξ ê + π R cos ξ ê + ê 3 Stefano Siboni 3

14 equindi: Φ Φ ˆτ ˆτ + + krcos ξ + krsin ξ π ξ π ξ π ξ R ê 3. π R sin ξ ê + π Il modulo quadrato della componente ortogonale di Φdiventaallora: Φ Φ ˆτ ˆτ k R cos ξ + π ξ k R sin ξ + + π ξ π ξ R 4 esisemplifica in R sin ξ R cos ξ R cos ξ ê + +krcos ξ π ξ krsin ξ π R sin ξ + π ξ π R cos ξ + Φ Φ ˆτ ˆτ k R + k R + π ξ π ξ R R. + π ξ R 4 In modo analogo viene calcolato il modulo quadrato della componente di Φtangente al vincolo: Φ ˆτ ˆτ Φ ˆτ π ξ. Stefano Siboni 4

15 La legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico porge cosìlacondizione di equilibrio: Φ ˆτ ˆτ µ s Φ Φ ˆτ ˆτ ce equivale a Φ ˆτ ˆτ µ s Φ Φ ˆτ ˆτ equindi a π ξ µ s k R + π ξ R. 4.3 Eliminando i denominatori, la diseguaglianza precedente si riduce a π ξ µ s R eriportati a primo membro i termini in ξ diventa Si devono distinguere due casi: π ξ µ sr [k R + + ] π ξ µ sr k. 4.4 i se / µ sr, vale a dire µ s /πr la condizione 4.4 risulta sempre soddisfatta, essendo negativo o nullo il primo membro e positivo il secondo, per cui tutte le configurazioni del sistema sono di equilibrio. Da notare ce la condizione ricorre per tutti i valori sufficientemente elevati del coefficiente diattrito radente statico; ii se viceversa è / >µ s R,ossiaµ s </πr, l equilibrio ricorre per tutti i valori del parametro ξ tali ce µ sr k π ξ 4π µ sr ovvero, equivalentemente, k mg + π ξ µ s Rk 4π µ sr. 4.5 Stefano Siboni 5

16 Come ci si aspetta, la disequazione 4.5 rappresenta un intorno della configurazione ξ πmg/k, l unico equilibrio ammesso dal sistema nel caso di curva E liscia per il quale il primo membro di 4.5 si annulla. d Ascissa curvilinea e triedro di Frenet Come esercizio puramente geometrico, calcoliamo l ascissa curvilinea di E apartiredal punto ξ 0,lacurvaturael espressione del triedro di Frenet, cioè deiversoritangente, normale e binormale in funzione del parametro ξ R. Ascissa curvilinea a partire da ξ 0 L ascissa curvilinea lungo E apartiredal punto ξ 0èdata, per definizione, dall integrale sξ ξ 0 P ξ dξ ξ 0 dξ ξ. Esiste quindi una relazione di semplice proporzionalità diretta fra l ascissa curvilinea ed il parametro ξ. Versore tangente a E in P ξ Il versore tangente alla curva in un generico punto P ξ di questa è già stato calcolato in precedenza. Si riciama qui di seguito il risultato: ˆτξ P ξ P ξ R sin ξ ê + R cos ξ ê + π ê3. Versore normale a E in P ξ La curvatura /ρ ed il versore normale ˆn sono dafiniti dalla relazione Nella fattispecie si a: dˆτ ds ρ ˆn. per cui: dˆτ ds dˆτ P ξ dξ ξ R ρξ R R cos ξ ê R sin ξ ê cos ξ ê sin ξ ê e ˆnξ cos ξ ê sin ξ ê. Stefano Siboni 6

17 Si osservi ce il versore normale punta verso l asse del cilindro di giacitura dell elica; più precisamente verso il centro della circonferenza ottenuta sezionando il cilindro con un piano passante per P ξ edortogonale all asse del cilindro stesso. Versore binormale a E in P ξ La definizione del versore binormale porge l espressione: R sin ξ ê + R cos ξ ê + ˆbξ ˆτξ ˆnξ π ê3 R sin ξ Rcos ξ /π cos ξ sin ξ 0 cos ξ ê sin ξ ê π sin ξ ê π cos ξ ê + R ê 3. Stefano Siboni 7