Laboratorio di Algoritmi

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1 Laboratorio di Algoritmi Progetto Fabbrica (gennaio 2019) Nota: La scadenza del progetto è fissata per lunedì 21 gennaio compreso. Nota: Si consiglia di consultare sulla pagina web il documento che riporta le avvertenze utili per lo svolgimento del progetto. Si consiglia anche di verificare di tanto in tanto gli aggiornamenti a questo documento, che potrà essere aggiornato con la correzione di eventuali errori e le risposte ai dubbi degli studenti. Il problema Una fabbrica produce serramenti metallici a partire da lamiere di vari spessori e materiali. I pezzi che produce sono molto variegati, spesso unici. Il progetto si concentra sulla prima fase della produzione, cioè il taglio dei pezzi dalle lamiere. Una volta tagliati, i pezzi vengono raccolti in un magazzino, prima di passare alle fasi successive, di piega e di assemblaggio, che non ci interessano qui. Nel seguito, quindi, con produzione intenderemo solo la fase di taglio. Sono dati: un orizzonte temporale in cui la produzione si deve svolgere; un elenco di macchine disponibili; un elenco di pezzi da produrre. L orizzonte temporale è un insieme di giorni, rappresentati da numeri interi consecutivi, da 1 a T. L elenco delle macchine specifica per ogni macchina: la velocità di taglio, che dipende dallo spessore della lamiera (per semplicità, non dipende invece dal materiale), ed è calcolata in millimetri al secondo come descritto nel seguito; il tempo di attività durante il quale è attiva in ciascun giorno dell orizzonte, espresso in secondi (zero se la macchina non è attiva). L elenco dei pezzi specifica per ogni pezzo: il materiale di cui è composto; lo spessore della lamiera con cui va prodotto, espresso in millimetri; il perimetro di taglio, che comprende anche eventuali buchi interni, espresso in millimetri; la release date, cioè l indice intero del giorno prima del quale non può essere tagliato; la deadline, cioè l indice intero del giorno dopo il quale non può essere tagliato; un sottoinsieme di macchine che lo possono produrre. Bisogna definire il piano di produzione della fabbrica, cioè indicare per ogni pezzo se viene prodotto (l elenco dei pezzi potrebbe eccedere la capacità della fabbrica), in quale giorno (non importa l ora) e su quale macchina. L obiettivo è massimizzare il numero di pezzi prodotti, perché questo riduce la domanda rimasta insoddisfatta (cioè soddisfatta in ritardo o ricorrendo a produzione in outsourcing). L obiettivo verrà perseguito in modo euristico, cioè senza garanzia di ottimalità, con gli algoritmi descritti nel seguito. 1

2 Il progetto Il progetto richiede anzi tutto di caricare da un file di testo i dati sull orizzonte temporale, le macchine disponibili e i pezzi da produrre. Il file comincia con il numero di giorni T dell orizzonte temporale, seguito dalla parola chiave giorni. Ad esempio: 3 giorni indica che l orizzonte temporale si compone dei giorni 1, 2 e 3. Quindi, il file riporta le informazioni sulle macchine, cominciando con il numero delle macchine disponibili, seguito dalla parola chiave macchine. Ciascuna delle righe seguenti fornisce le informazioni associate ad una macchina: 1. l indice numerico m, crescente da da 1 al numero delle macchine; 2. il coefficiente r m (espresso in mm 2 /sec) che, diviso per lo spessore della lamiera in millimetri, fornisce la velocità di taglio della macchina m in millimetri al secondo; 3. il tempo di attività d mg della macchina m in ciascun giorno g dell orizzonte temporale, espresso in secondi. L indice m e il tempo di attività d mg sono numeri interi, il coefficiente r m è un numero frazionario. Ad esempio: 2 macchine indica che la macchina 1 taglia alla velocità di 53.4/s millimetri al secondo, dove s è lo spessore in millimetri della lamiera (dunque 53.4 mm/sec per lamiere spesse un millimetro, 26.7 mm/sec per lamiere spesse due millimetri, ecc... ), che è attiva per 180 secondi nel giorno 1, non è attiva nel giorno 2 e infine è attiva per 500 secondi nel giorno 3. Analogamente, la macchina 2 taglia alla velocità di 36.6/s millimetri al secondo, è attiva per 400 secondi nel giorno 1, per 200 secondi nel giorno 2 e non è attiva nel giorno 3. Seguono le informazioni sui pezzi, che cominciano con il numero dei pezzi da produrre, seguito dalla parola chiave pezzi. Ciascuna delle righe seguenti fornisce le informazioni associate ad un pezzo: 1. l indice numerico p crescente da 1 al numero dei pezzi; 2. il materiale, che può essere bronzo, ferro o alluminio; 3. lo spessore s p ; 4. il perimetro complessivo p p ; 5. gli indici della release date e della deadline; 6. la lista degli indici delle macchine che possono produrre il pezzo, ordinata per valori crescenti 1 Ad esempio: 10 pezzi 1 bronzo Per non impazzire a contare gli indici, consiglio di caricare la riga in una stringa s e poi applicare iterativamente l istruzione sscanf(s,"%d%[^\0]",&m,s); che legge il primo numero nella variabile m e lo cancella dalla stringa, fermandosi non appena l istruzione restituisce un valore diverso da 2. In alternativa, ci si può addentrare nell uso dell istruzione strtok. 2

3 2 bronzo ferro alluminio bronzo ferro bronzo ferro alluminio ferro indica che il pezzo 1 è fatto di bronzo, ha uno spessore di 6 mm, un perimetro di 669 mm, deve essere prodotto non prima del giorno 1 e non più tardi del giorno 2 e può essere prodotto solo sulla macchina 1. Per fare un altro esempio, il pezzo 6 è fatto di ferro, ha uno spessore di 5 mm, un perimetro di mm, deve essere prodotto non prima del giorno 2 e non più tardi del giorno 3 e può essere prodotto su entrambe le macchine disponibili. Non ci sono garanzie che le macchine compatibili con un pezzo siano disponibili nell intervallo di tempo in cui esso è producibile, né che la capacità produttiva delle macchine sia sufficiente per tutti i pezzi. Infatti, il primo obiettivo del problema è massimizzare il numero dei pezzi prodotti. Il fattore che limita la produzione è il tempo impiegato a tagliare i pezzi. Per semplicità, si ignora qualsiasi operazione che non sia il puro e semplice taglio delle lamiere (ad esempio, il carico e lo scarico delle lamiere, i movimenti a vuoto della testina di taglio, l ingresso della testina nella lamiera al principio e l uscita alla fine del taglio di ogni singolo pezzo. In questo modo, il tempo di taglio di un pezzo è dato dalla formula pp s p t pm = dove t pm è il tempo di taglio del pezzo p sulla macchina m (espresso in secondi), p p e s p sono il perimetro e lo spessore del pezzo p (espressi in millimetri) e r m è il coefficiente della macchina m (espresso in mm 2 /sec). Il tempo viene arrotondato all intero superiore per sicurezza e per semplicità. A questo punto, è possibile costruire un grafo che descriva la relazione fra domanda e offerta di produzione: i vertici del grafo rappresentano: 1. i pezzi da produrre; r m 2. le coppie (macchina, giorno) disponibili, cioè tali che la macchina sia attiva nel giorno, che nel seguito saranno indicate come slot; i lati del grafo rappresentano le compatibilità fra un pezzo e una coppia (macchina, giorno): indicando che la macchina può produrre il pezzo e che il giorno appartiene all intervallo di produzione del pezzo. Si richiede di stampare a video, riga per riga, le seguenti informazioni sul grafo: il numero di vertici totale, seguito dalla parola chiave vertici; il numero di vertici che rappresentano pezzi, seguito dalla parola chiave pezzi; l elenco di tali vertici, ordinato per grado crescente (a parità di grado, si sommino i tempi t pm associati ai lati incidenti in ogni vertice, e si ordinino i vertici per tempo totale decrescente); il numero di vertici che rappresentano slot, seguito dalla parola chiave slot; 3

4 l elenco di tali vertici, ordinato per tempo di attività decrescente (si tratta del tempo, fornito nei dati, durante il quale la macchina è attiva nel giorno), nel formato: indice pezzo grado t pm il numero di lati, seguito dalla parola chiave lati; l elenco dei lati, ordinato per tempo di taglio, nel formato: indice pezzo indice macchina indice giorno t pm Siccome i lati associati allo stesso pezzo e alla stessa macchina, ma a giorni diversi, hanno lo stesso tempo di taglio, si usi l indice del giorno come criterio secondario di ordinamento. Quindi i lati associati allo stesso pezzo e macchina saranno consecutivi e ordinati per giorno crescente. A questo punto, si procede ad assegnare i pezzi agli slot in base alla seguente procedura. Si considerino i pezzi in ordine di grado crescente e tempo totale decrescente (la logica è che i primi pezzi sono quelli più critici, dato che hanno meno slot disponibili e richiedono più tempo per essere prodotti). Scorrendo i pezzi in tale ordine, si assegni il pezzo corrente allo slot con esso compatibile che abbia il massimo tempo di attività residuo. Questo è inizialmente pari il tempo di attività fornito nei dati, ma viene diminuito ogni volta che si un pezzo viene assegnato allo slot di una quantità pari al tempo t pm richiesto dal pezzo stesso. Se il tempo residuo non è sufficiente a produrre il pezzo, si passa allo slot compatibile seguente. Se nessuno slot ha tempo residuo sufficiente, si marca il pezzo come scartato. Al termine, si stampi a video la soluzione del problema, riga per riga, nel seguente formato: il numero dei pezzi scartati, seguito dalla parola chiave pezzi scartati; l elenco degli slot (macchina, giorno), ordinati prima per macchina e poi per giorno 2, riportando l indice della macchina, seguito dall indice del giorno, dal tempo residuo di attività espresso in secondi e dall elenco dei pezzi assegnati allo slot, ordinati per indici crescenti. Infine, si affronti il problema di assegnare i pezzi agli slot con la seguente procedura alternativa. Si considerino gli slot in ordine di tempo di attività decrescente (quello fornito nei dati, dato che nessun pezzo è ancora stato assegnato allo slot corrente). Per ciascuno, si risolva in modo esatto con la programmazione dinamica il problema di zaino per il quale gli oggetti sono i pezzi compatibili con lo slot, i loro volumi sono i tempi di taglio t pm e la capacità dello zaino è il tempo di attivitià dello slot. Risolto il problema, si assegnino allo slot tutti i pezzi inseriti nello zaino. Tali pezzi, ovviamente, non sono più disponibili per gli slot successivi. Al termine, si stampi a video la nuova soluzione del problema, nel formato sopra descritto. Esempio 14 vertici 10 pezzi Trattandosi di elenco degli slot, non si devono stampare le coppie (macchina, giorno) per le quali la macchina non è attiva nel giorno indicato. 4

5 lati pezzi scartati pezzi scartati Chiarimenti In questa sezione saranno riportate le risposte a domande e dubbi. 5