Risposte ai primi 14 quesiti

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1 U.M.I. - I. T. C. G. Pitagora - Calvosa Castrovillari OLIMPIADI DI MATEMATICA DISTRETTO DI COSENZA Gara a squadre del 24 Febbraio 2011 Istruzioni 1) La prova consiste di 17 problemi divisi in 3 gruppi. 2) Nei quesiti dal numero 1 al numero 12 sono proposte 5 possibili risposte, indicate con le lettere A, B, C, D, E. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. 3) I problemi 13 e 14 richiedono una risposta che è data da un numero intero che va indicato nelle relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema privo di risposta vale 1 punto. 4) I problemi 15, 16 e 17 richiedono, invece, una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 10. 5) Il file-soluzioni va inviato entro 15 minuti dalla fine del tempo concesso. Avete 2 ore di tempo. Buon Lavoro! SQUADRA: SCUOLA Indirizzo: Città: CAPITANO: Nome Cognome Nome e Cognome degli altri Componenti la squadra: 1) 2) 3) 4) Risposte ai primi 14 quesiti A E B E A D D A D C B A PUNTEGGIO (da riempirsi a cura del responsabile) Valutazione esercizi da 1 a 14 esatte senza risposta Valutazione esercizio n.15 Valutazione esercizio n.16 Valutazione esercizio n.17 PUNTEGGIO TOTALE

2 Problemi a risposta multipla 5 punti 1. E assegnato l insieme A= 1,2,3, 4, 5,6,7,8,9 formato dai numeri interi da 1 a 9. Quanti gruppi di cinque cifre si possono formare partendo da essi in modo che le prime due siano pari e le altre tre dispari, senza ripetizioni? Risposta (A). L insieme contiene 5 numeri dispari e 4 numeri pari. La sequenza PPDDD è data dal prodotto delle disposizioni semplici di classe 2 su 4 oggetti D 4,2 per le disposizioni semplici di classe 3 su 5 oggetti D 5,3 ed è D 4,2 D 5,3 = = Mario e Luigi fanno il seguente gioco: Mario, per primo, sceglie un numero intero da 1 a 11 estremi inclusi. Luigi vi aggiunge un altro numero sempre compreso tra 1 e 11 e così via. Vince chi dei due per primo riesce a totalizzare esattamente 128. Mario sceglie 8 al primo colpo, Luigi sceglie k. Quale numero deve aggiungere Mario per essere sicuro di vincere sempre. Risposta (E). Mario ha scelto 8 perché sa che 120 = , per cui qualunque numero k scelga Luigi da 1 a 11, estremi inclusi, a Mario basterà aggiungere il suo complemento rispetto a 12, cioè 12-k per essere certo che la somma crescerà di 12 e che in 21 colpi arriverà a Quante sono le coppie di interi positivi ed con << tali che la loro media aritmetica sia uguale alla loro media geometrica più 2? Risposta (B). Il testo del problema equivale all equazione = +2,ovvero = 4. Estraendo la radice e scartando l equazione con - 2 perché n < m, si ha =2+. Tornando ad elevare al quadrato, otteniamo che è razionale e dunque è un quadrato perfetto, visto che già sappiamo che è intero. Dall ultima equazione vediamo che anche deve essere intero. Pertanto possiamo scrivere = a 2 ed = a e il numero di soluzioni sarà dato dal numero di valori di a per cui a 2 < (a+2) 2 < 10 6 che è Quante sono le soluzioni intere non negative della disequazione: Risposta (E). Consideriamo l equazione =8. Il massimo valore che una delle quattro incognite può assumere, essendo al quadrato, è 2. Pertanto gli unici valori interi non negativi da valutare sono 0, 1, 2. Trovare le soluzioni dell equazione equivale a vedere in quanti modi si ottiene somma 8 con i 3 numeri. Essi sono dati dalle combinazioni con ripetizione di classe 3 su 8 : = = Le misure dell altezza di un triangolo isoscele e del raggio della circonferenza in esso inscritta sono, rispettivamente, h ed.quanto misura la base BC del triangolo? (). Il raggio OK è perpendicolare alla tangente in K; i triangoli AHC ed AOK, rettangoli in H e K rispettivamente, hanno l angolo in comune e quindi sono simili. Perciò vale la proporzione: HC: OK = AC : AO. Ponendo =, = y e sostituendo, si ha: x : r = y : (h - r) e anche x 2 : r 2 = y 2 : (h - r) 2. A Permutando i medi si ottiene: = :(h ), invertendo : =(h ) : e scomponendo si ha: ( ): =(h ) :. Dal triangolo rettangolo AHC K si ricava =h e sostituendo nella relazione precedente si ha O h = (h 2h) : da cui = e quindi = Evidentemente deve essere h 2h>0 ed essendo r il raggio della circonferenza inscritta (h>2) ciò è vero. B H C 6. Data l equazione: 2 3( ) 6 a radici reali, e, quanto vale R se + + vale? Risposta (D). + + = (++) - 2(+ + ) ma ++= e ++ = sostituendo si ha : = da cui 12+20=0 quindi = 10 e = Da un mazzo di 52 carte si estraggono 5 carte di seguito senza riporle nel mazzo. Qual è la probabilità di fare un poker di assi (4 assi e una carta di valore diverso) oppure un full (3 carte di un valore e 2 di un altro, diverso dal precedente)? Risposta (). Poiché i due eventi sono incompatibili basta sommare le 2 probabilità: = (poker d assi) =, = + = Estrarre le carte una per volta senza reimmissione o = (full) = contemporaneamente non cambia il risultato. Difatti:!! !!! =. 8. Si pensi ad un numero di tre cifre in cui la prima cifra sia superiore alla terza di almeno 2. Si costruisca ottenuto da invertendo l ordine delle cifre. Si costruisca poi = e, procedendo come prima, si ottenga. Quanto vale +? (). Sia = da cui = con x z 2; = 100z + 10y +

3 x. Sia = = 100(x z) + (z x) che possiamo scrivere nel modo seguente: m = 100(x z 1) (10- x + z) e sarà pertanto = 100(10 - x + z) (x z 1) sommando membro a membro: + =100(10 1) = Tre giocatori M, R, S stanno facendo un gioco con tre carte. Su ogni carta è segnato un numero intero non nullo,,, con <<. Si dà una carta a ciascuno dei giocatori che riceve, subito dopo aver scoperto la carta, un numero di gettoni pari a quello segnato sulla sua carta. Poi le tre carte vengono riprese, rimescolate e ridistribuite. Dopo mani, con 2, i giocatori M, R, S hanno rispettivamente 20, 10 e 9 gettoni. Sapendo che nell ultimo turno R ha ricevuto gettoni, qual è la distribuzione temporale dei gettoni ricevuti da M, R e S durante il gioco? Risposta (D). Ad ogni turno si distribuiscono p + q + r gettoni, quindi in N turni avremo: N(p + q + r) = 39 = Poichè 3 e 13 sono primi sarà N = 3 o 13 oppure p + q + r = 13 o 3. Ma p + q + r è maggiore di 3, dato che << per cui N = 3 e p + q + r = 13. R avendo ricevuto r gettoni all ultimo turno ha necessariamente ricevuto p gettoni in ciascuno dei due turni precedenti. In effetti non ha potuto ricevere p + q + r oppure q + q + r oppure r + r + p essendo tutte queste combinazioni superiori a 10. Per la stessa ragione S non può aver ricevuto r gettoni in alcun turno, quindi ha ricevuto q e q gettoni nei primi due turni. D altra parte M non ha potuto ricevere p gettoni all ultimo turno, poiché non risulterebbe 2r + p = 20 (vincita di M) e 2p + r =10 (vincita di R), cosa che porterebbe a p = 0. La distribuzione globale è la seguente (1) M(r), R(p), S(q); (2) M(r), R(p), S(q); (3) M(q), R(r), S(p). Risolvendo r = 8, p = 1, q = Quanto può valere al massimo la funzione se ++=1? ( ). Considero,,,, Essendo MG sarà: massimo valore se = da cui = ed =,, la media aritmetica è : = la media geometrica è = da cui = ed =, = = = che raggiunge il 11. Marco oggi ha più di 11 anni. Nel 2012 la sua età sarà la somma delle cifre del suo anno di nascita. Quale sarà? Risposta (). Se x è l età di Marco nel 2012 e 19ab il suo anno di nascita, deve essere: ab = a + b quindi =1+9++ da cui 11a + 2b = 102, 2b = a. Poiché 2b è pari e < 20 non può che essere 14, da cui b = 7 e a = 8. Marco è nato nel 1987e avrà 25 anni. 12. Sia ABCD un quadrato, con il lato AB di lunghezza 20cm; si costruiscono 2 semicerchi all interno del quadrato, di diametri rispettivamente AB e BC. Quanto vale l area dell intersezione dei due semicerchi? Risposta (). Sia E il punto di intersezione delle due circonferenze tracciate, M il punto medio di AB; E sarà il centro del quadrato. Dunque l area del settore circolare determinato dai punti B, M E vale =25. Sottraendogli l area del triangolo BME che vale 50 e raddoppiando troviamo l area della intersezione: 2(25 50) Problemi a risposta intera 5 punti 13. In quanti modi sulla griglia rettangolare (8x10) rappresentata, si può andare dal vertice O al vertice A con un percorso minimo, fatto di passi orizzontali o verticali in avanti da un nodo al successivo, senza passare per BC? O Risposta (34.938). Per andare da (0,0) ad (h, k) il numero di percorsi minimi è dato da h+ = h+. Poiché non si deve passare per BC, il A M B h numero di percorsi richiesto si può ottenere sottraendo dal totale dei percorsi B C da O ad A quelli che passano per BC: da O a B, BC, da C ad A. Quindi: = = A 14. Un triangolo ha due mediane perpendicolari di lunghezza rispettivamente 10 e 15. Quanto vale la sua area? Risposta (100). Chiamiamo G il baricentro, ABC il triangolo ed AM = 10 e CN = 15 le due mediane perpendicolari. Essendo M il punto medio di BC si ha che Area(ABC) = 2 Area (AMC) e, sfruttando il fatto che il baricentro taglia le mediane in due parti, una il doppio dell altra, (quella verso il lato è la metà di quella verso il vertice), si ha che Area(AMC) = 3 Area(CMG). Per quanto ricordato prima, CG = CN = 10 e GM = = e CN sono perpendicolari, si ha che Area(CMG) = 10= e Area(ABC) = 6 =100. E D C e, dal momento che AM

4 15. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Dimostrare che : è divisibile per 8. (a) sia = , la proposizione per =1 è vera. (b) calcoliamo = = = (2 3 2)=4(5 + 3 ) multiplo di 4, pertanto il numero è divisibile per 4. (c) poiché è la somma di 2 numeri dispari, sarà pari, cioè uguale a 2k, quindi avremo =8 per cui è divisibile per 8. Valutazione. Punti 1 per la (a); punti 6 per la (b) completa; punti 3 per la (c). Punteggi analoghi saranno assegnati ad altre dimostrazioni diverse ma corrette. Capitano Nome: Cognome

5 16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Dimostrare che se A è un punto di un diametro di una circonferenza di centro O, OB un raggio ad esso perpendicolare, e se AB taglia la circonferenza in P e la tangente in P interseca la retta OA nel punto C, il segmento AC è uguale a PC ed il triangolo APC è isoscele. B E O A C Q D P Prolunghiamo BO fino ad incontrare in D la parallela da P al diametro e consideriamo i triangoli BQD e BDP che hanno: = : perché un diametro perpendicolare ad una corda dimezza la corda, = perché retti e BD in comune. Segue che = perché opposti ad angoli retti ed anche = perché sottendono corde uguali. Allora sarà = = perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco BP = BQ. Essendo CE parallela a PQ sarà = perché alterni interni, ma = = e quindi =. Ne consegue che il triangolo APC è isoscele avendo gli angoli alla base uguali e sarà AC = PC. Valutazione. Punti 3 per chi dimostra che i triangoli BQD e BDP sono uguali; 1 per chi osserva che = ; punti 2 per chi afferma che = =; punti 2 per chi prova che = ; punti 2 per chi conclude che APC è isoscele avendo gli angoli alla base uguali e che AC = PC. Punteggi analoghi saranno assegnati ad altre dimostrazioni diverse ma corrette Capitano Nome: Cognome

6 17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Qual è il massimo comune divisore tra tutti i numeri del tipo: ( ) dove 1 < 100? Giustificare la risposta. Soluzione. MCD = 30. () ( + )( )(+)= ( ). Se, sono entrambi pari oppure, uno pari ed uno dispari, è pari e quindi divisibile per 2; se, invece, sono l uno e l altro dispari sarà pari e, quindi, 2 divide il numero dato. (b) Se,, o entrambi, sono divisibili per 3 allora è divisibile per 3; se, non sono entrambi divisibili per 3 saranno entrambi congrui a 1, entrambi congrui a 2 modulo 3, oppure uno a 1 e l altro a 2: 1(3), 1(3) da cui 0(3); 2(3), 2(3) da cui 0(3); 1(3), 2(3) da cui + 0(3) essendo la somma di 2 numeri del tipo 3+1,3+2, quindi il numero è divisibile per 3 e quindi per 6. (c) Se né, né sono divisibili per 5 saranno congrui a 1,2,3,4 modulo 5. Se il resto della divisione di per 5 è uguale a quello di, allora 0(5). Se 1(5), 4(5), + 0(5); se 2(5), 3(5) allora + 0(5); se 1(5), 2(5) allora + 0(5); se 1(5), 3(5) allora + 0(5); se 2(5), 4(5) allora + 0(5); infine se: 3(5), 4(5) allora + 0(5); quindi il numero è sempre divisibile per 30 che è il M.C.D. essendo 2, 3, 5 primi tra loro, infatti ponendo =2 ed =1 si ottiene proprio 30. Valutazione. Punti 3 per chi dimostra fino ad (a); punti 3 per chi prova la (b); punti 4 per la (c) + la conclusione. Punteggi analoghi saranno assegnati ad altre dimostrazioni diverse ma corrette Capitano Nome: Cognome

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