10. L amplificazione ottica

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1 10. L amplificazione ottica 10.1 Coefficienti di assorbimento e di emissione Si consideri ancora il sistema atomico del capitolo 4 in cui in cui sia identificabile un orbitale elettronico che si presenti in due stati etichettati solo dalla loro energia: uno stato fondamentale E 1 ( o stato di ground ) ed uno stato eccitato E 2, caratterizzato da una energia più alta. La differenza fra le due energie sia "E = h# si supponga poi che questo sistema elementare sia immerso in una radiazione di corpo nero che emetta energia per metro quadro secondo la legge di Planck (in J/m 2 ) W (") = n # h" # ovvero se consideriamo $ 2 2 c l emissione per unità di frequenza e di volume (J/Hz m 3 ), moltiplicando per 1/c otteniamo W (") = n # h" # " 2 $ 2 c = 1 3 e h" / kt %1 h" # " 2 $ 2 c 3 dove definisco una densità di modi per unità di volume e di frequenza " # = # 2 $ 2 c 3 Definisco ora tre probabilità legate al singolo processo di emissione ed assorbimento ed a tre parametri fondamentali " 2 Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

2 probabilità di transire dallo stato 2 allo stato1e di emettere un fotone h" atomo# secondo = A 21 probabilità di transire dallo stato 2 allo stato1e di emettere un fotone h" in presenza di una radiazione luminosa di densità W (") atomo# secondo = B 21 W (") probabilità di transire dallo stato 1 allo stato 2 e di assorbire un fotone h" in presenza di una radiazione luminosa di densità W (") atomo # secondo = B 12 W (") dove W(ω) è la densità di energia (sopra definita) per unità di volume unità di frequenza e i coefficienti di Einstein (che li propose nella spiegazione dell effetto fotoelettrico) sono: A 21 = coefficiente di emissione spontanea B 21 = coefficiente di emissione stimolata B 12 = coefficiente di assorbimento I coefficienti di tipo B riassumono in sè tutta la fisica della interazione fra un campo ottico di densità W(ω) ed il momento di dipolo ed della transizione elettronica considerata. Essi possono essere calcolati se si conosce la particolare transizione di assorbimento ed emissione. Più complessa è la definizione di A perché in questo caso, non esistendo il campo ottico, per giustificare (e valutare) il valore di questo coefficiente Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

3 occorre fare riferimento alla esistenza della fluttuazione di stato vuoto, che abbiamo già incontrato come radiazione di rumore ineliminabile. Esso sarà quindi caratteristico di processi spontanei ovvero di processi di emissione che avvengono in assenza di campo ottico. Chiamiamo ora con N 1 ed N 2 la popolazione elettronica degli stai basso e alto per unità di volume, ovvero i numero di atomi eccitati rispettivamente in questi due stati sapendo che la loro somma si conserva ed è pari a N = numero di atomi/unità di volume. Valutiamo ora il bilancio della popolazione elettronica in funzione degli eventi sopra riportati. Sarà: dn 1 dt = " dn 2 dt = N 2 A 21 + N 2 B 21 W (#) " N 1 B 12 W (#) ovvero in condioni stazionarie, quando non ho più significative variazioni nel tempo 0 = N 2 A 21 + N 2 B 21 W (") # N 1 B 12 W (") da cui posso ricavare la densità di energia W(ω). Essa risulta Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

4 W (") = A 21 N 2 N 1 B 12 # N 2 B 21 = A 21 N 1 N 2 B 12 # B 21 so d altra parte che all equilibrio termico il rapporto fra la popolazione degli stati bassi e degli stati bassi è regolato dal fattore di Boltzmann e che quindi sarà N1 N2 = eh" / kt per cui sostituendo nella espressione precedente questa funzione, ottengo per W(ω) A 21 W (") = e h" / kt # B 12 $ B 21 confronto ora questa espressione con quella derivata direttamente dalla legge di Planck, cioè W (") = 1 e h" / kt #1 h" $ " 2 % 2 c 3 le due espressioni debbono chiaramente essere uguali, per cui dovrà essere: B 12 = B 21 onde ottenere dalla prima espressione W (") = A 21 e h" / kt #1 $ 1 B ed a questo punto dovrà anche essere che A 21 B = h" # " 2 $ 2 c 3 ovvero A 21 = B " h# " # 2 $ 2 c 3 Come si vede il coefficiente A è pari a coefficiente B moltiplicato per l energia del fotone coinvolto nel processo e per la densità di modi per unità volume e di frequenza. Si può quindi dedurre da questa relazione che A è la versione multimodo di B 21 ovvero che mentre il coefficiente B esprime il decadimento stimolato verso lo stesso modo di Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

5 appartenenza del fotone (verso quindi un unico canale di decadimento), A esprime il decadimento libero (spontaneo) verso tutto il volume di modi possibili. Per frequenze ottiche, questo numero di modi possibile può essere molto elevato, ad esempio per una pulsazione pari a 2π rad/s, ottengo: " 2 # 2 c = 4# $10 3 ( ) 2 = 0,6 $10 4 ( ) 3 # 2 3$10 8 Il coefficiente B risulterà quindi pari a % # 2 ( B = A "' h# " * & $ 2 c 3 ) +1 = A energia del fotone " numero di modi possibili e la probabilità di emissione stimolata BW (") diventerà uguale a quella spontanea A per una densità di campo ottico Ws pari a Ws = h" # " 2 $ 2 c 3 chiamata Densità di Energia di Saturazione. Questa quantità gioca un ruolo fondamentale nella teoria e nella pratica degli amplificatori ottici. Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

6 10.2 Sistema in equilibrio termodinamico Approfondiamo meglio il significato delle relazioni fra i coefficienti di Einstein, A e B. della relazione fra A e B abbiamo già detto. Il risultato ottenuto nel paragrafo precedente che eguaglia B 12 a B 21 ha pure un risvolto importante: esso sta a significare che quando sono in un sistema all equilibrio con il proprio campo di radiazione, la probabilità di avere assorbimento e di avere emissione si eguagliano: una delle due non riuscirà a prevalere. Per vedere in dettaglio questo meccanismo troviamo la relazione che lega la popolazione elettronica degli stati 1 e 2 alla densità di campo W(ω) e, più in particolare alla densità di saturazione Ws. Supponiamo di avere un materiale con due stati sottoposto ad un campo di radiazione esterna alla esatta frequenza della transizione in esame ma con densità W variabile. Scrivo ancora la relazione fra le popolazioni ottenute al paragrafo precedente allo stato stazionario. Sarà: 0 = N 2 A 21 + N 2 B 21 W (") # N 1 B 12 W (") introducendo in questa equazione le eguaglianze fra i coeffcienti B e la relazione che lega A a B attraverso la densità di saturazione Ws, ottengo 0 = N 2 BWs + N 2 BW (") # N 1 BW (") ovvero (N 2 " N 1 )BW = "N 2 Ws Siccome la somma delle popolazioni N 1 e N 2 non può cambiare e vale N, posso esprimere la relazione precedente in cui ricavo N 1 ed N 2 in funzione dell andamento della densità di energia W(ω). Sarà ad esempio per N 1 : (N " N 1 " N 1 )W + (N " N 1 )Ws = 0 e quindi N 1 = N W + Ws 2W + Ws allo stesso modo si ricava per N 2 W N 2 = N Ws + 2W Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

7 Queste due espressioni sono molto significative perché dicono che per campi molto grandi, ovvero densità di energia W molto grande e più grande di Ws, le popolazioni elettroniche tendono entrambe a N/2. Questo conferma quanto prima affermato, cioè che non è fisicamente possibile ottenere in un sistema a due livelli la inversione di popolazione (cioè N 2 più popolato di N 1 ) neanche per campi molto grandi: le popolazioni al massimo si eguagliano. In questa specifica situazione, quando cioè N 1 è uguale N 2, si dice che il materiale diventa trasparente, perché in effetti non appena avviene un processo di assorbimento questo viene compensato da un processo di emissione. Nella figura successiva è mostrato un grafico che illustra l andamento delle popolazioni in funzione della intensità del campo di ingresso. Le due espressioni precedenti ci sottolineano anche l importanza del parametro Ws, il quale diventa un naturale parametro di confronto della densità di energia. Per W=Ws ho infatti che N 1 = N 2 3 (per W = Ws) e che N 2 = N 1 3 (per W = Ws) questo movimento delle popolazioni è molto significativo se si considera che, all equilibrio termico, N 1 è uguale circa a N ed N 2 uguale circa a zero. Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

8 Quanto valgono le probabilità di transizione in funzione di W e di Ws? Riprendendo le definizioni abbiamo che probabilità di assorbimento secondo = N 1 BW e sostituendo a N 1 i valori prima trovati ho che N 1 BW = N W + Ws 2W + Ws " Ws Ws ed allo stesso modo BW = NA W + Ws 2W + Ws " W Ws probabilità di emissione st. W 2 = N 2 BW = NA secondo Ws + 2W " 1 Ws probabilità di emissione sp. = N 2 A = NA W secondo W + Ws l andamento di queste probabilità normalizzato a N è illustrato nella figura seguente dove si vede che, per grandi campi, le probabilità di emissione stimolata e di assorbimento hanno un andamento asintotico lineare, la probabilità di emissione sponatanea tende ad A/2. Il significato del coefficiente A può essere visto in un'altra luce se consideriamo la soluzione dell equazione di bilancio nel tempo. Si Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

9 supponga di avere un materiale che, allo stato stazionario, abbia tutta la popolazione sullo stato N 1 e di inviare su questo materiale una luce molto intensa (e quindi un grande valore di W). Inizieranno i processi di assorbimento ed, in competizione, i processi di emissione stimolata e di emissione spontanea. Se mantengo acceso il fascio di luce, la popolazione si stabilizzerà con un andamento espresso dalla soluzione dell equazione di bilancio fissate le condizioni al contorno così descritte. Si avrà ragionevolmente una popolazione N 2 del tipo: W N 2 (t) = N Ws + 2W " 1# e# A +2BW ( ) t [ ] dove il primo fattore rappresenta la soluzione stazionaria e la parentesi quadra il transitorio. Un simile transitorio si sviluppa se spengo il fascio di luce. In corrispondenza dello spegnimento, l equazione di bilancio diventa molto semplice, perché rimangono solo i processi di emissione spontanea e cioè dn 2 dt = "N 2 A con soluzione N 2 (t) = N 2 (0)e "At da questa soluzione emerge il significato di A: esso rappresenta l inverso della costante di tempo di decadimento dallo stato alto allo stato basso, per cui si può anche scrivere che Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

10 " f = 1 = tempo di fluorescenza A cioè 1/A rappresenta il tempo di fluorescenza o di decadimento spontaneo del materiale: esso è un tempo caratteristico non-modificabile del materiale che dipende dai suoi stati atomi-elettronici, dalla transizione in esame, dallo stato in cui il materiale si trova, ecc. Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

11 10.3 Sezione d urto Consideriamo un flusso di particelle di intensità I [joule/sec. m 2 ] che atttraversa un materiale in cui subisce generici processi d urto: l intesità diminuisce con una legge di semplice proporzionalità differenziale: di = "#Idl dove dl è lo spessore del materiale attraversato e Σ un coefficiente di proporzionalità. Questa legge mi produce il classico andamento esponenziale della attenuazione del tipo : I = I 0 e "#l ed indica che viene rimossa potenza per unità di volume di materiale attraversato come: dp = di dl = "#I il coefficiente Σ è chiamato sezione d urto macroscopica del processo di attenuazione in esame e si misura in m -1. E possibile esprimere Σ come il prodotto fra una sezione d urto microscopica σ (misurata in cm 2 ) ed il numero di centri di rimozione per unità di volume N: " = #N La sezione d urto di un processo riassume in sé tutte le caratteristiche fisiche della interazione radiazione-materia: è il risultato finale di calcoli o di valutazioni sperimentali molto complesse. Ogni processo anche riferito allo stesso materiale presenta diverse sezioni d urto: abbiamo quindi una sezione d urto di assorbimento, di emissione stimolata, di diffusione (scattering con termine inglese) ecc. La sezione d urto è quindi un concetto ponte fra il comportamento della radiazione ottica che interagisce con il materiale ed il materiale stesso. Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

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13 Facciamo un esempio importate di σ considerando il processo tipico di attenuazione di una fibra ottica. In una fibra ottica la σ dell intero processo di attenuazione è dell ordine di 2, cm 2 (questo numero è da confrontare con quello di assorbimento di un materiale normale che è dell ordine di ). Da questo valore deriviamo il valore di Σ, sapendo che la densità di atomi di SiO2 è dell ordine di 2, atomi/cm 3 : [ ] " = #N = 2,510 $29 % 2, = 5,510 $7 cm $1 da cui [ ] " = 5,510 $2 Km $1 questo significa che il mio fascio ottico sarà attenuato di I = I 0 e "5,510"2 #z dove z è espresso in Km. Passando ai logaritmi in base 10 della attenuazione I log 10 = 0,43ln e e "#l = "0,43#l I 0 e moltiplicando per 10 ottengo i db di attenuazione tipici di una fibra ottica " db % # $ Km& ' = (4,3) 5,510(2 = 0,24 Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

14 10.4 Intensità di Saturazione Approfondiamo la relazione fra sezione d urto e coeffcienti di Einstein: in questo modo possiamo usare il valore di sezione d urto per avere una idea fisica del valore di questi coefficienti. Consideriamo per fissare le idee un processo di assorbimento e quindi una sezione d urto microscopica σ assorbimento : la potenza rimossa dal processo va come dp = "# a NI in questo specifico caso N sarà il numero di atomi presenti al livello 1 disposto ad assorbire i fotoni per portarsi al livello 2, N 12, secondo la legge di assorbimento prima formulata dp = "# a N 12 I Se divido a destra e sinistra dell uguaglianza per N 12 ottengo numero di fotoni assorbiti" energia fotone secondo" atomo = #$ a numero di fotoni " energia fotone secondo" m 2 e dividendo ancra per l enrgia del fotone, ottengo a sinistra la legge dell assorbimento: numero dieventi di assorbimento secondo atomo = B 12 W (") ed a destra il prodotto della sezione d urto relativa al processo in esame per il flusso Φ, B 12 W (") = #$ a % Allo stesso modo posso costruire le relazioni per la sezione d urto di emissione stimolata e per gli altri processi (sia lineari che non-lineari). Per i fenomeni ottici-non-lineari, σ è dell ordine della dimensione della shell elettronica al quadrato, ovvero dell ordine di cm 2. Per i processi di emissione e di assorbimento stimolato che interessa sia i laser che i materiali amplificanti s è realtivamente grande e la sua dimensione dà l idea della forza dell interazione. Il valore di σ è funzione di diversi parametri del materiale, ad esempio della lunghezza d onda; della matrice solida in cui si trova l atomo Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

15 responsabile della interazione ( stato e composizione), della temperatura, ecc. Posso ora ottenere una utile relazione che lega Ws alle proprietà del materiale e dell interazione radiazione-materia considerata. Ho infatti che BWs = A = 1 " f per cui al valore di W(ω) pari all intensità di saturazione 1 = # Is " f h$ e quindi posso definire una più pratica Intensità di Saturazione Is (per la transizione in esame, per il materiale in esame e per la lunghezza d onda in esame) come: Is = h" [ joule/m 2 sec] #$ f Si vede come l intesità ottica di saturazione per la transizione in esame sia inversamente proporzionale alla sezione d urto del processo considerato (più è grande σ a più è piccola l intensità Is per cui si arriva a saturazione nella accezione prima ricordata per un sistema a due livelli) e sia inversamente proporzionale al tempo di fluorescenza della transizione in esame. Moltiplicando per una superficie l espressione di Is si può equivalentemente definire una Potenza di saturazione Ps. Possiamo utilizzare l espressione di Is per seguire l evoluzione della popolazione nei sistemi a due livelli. Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che in condioni stazionarie ( ) = N% W + Ws N 1 " N 2 # 2W + Ws " W & # Ws & 1 ( = N% ( = N $ Ws + W ' $ Ws + W ' 1+ 2W /Ws e sostituendo a W e Ws le intensità prima definite, ottengo ( ) = N N 1 " N I /Is secondo questa relazione quando I raggiunge il valore di saturazione la diferenza fra le popolazioni raggiunge N/3. A livello pratico e seconda molta letteratura, spesso si preferisce invece definire una altra Is, quella Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

16 per cui la differenza fra le popolazioni raggiunge ½: in questo caso la nuova Is vale Is/2 e vale quindi la relazione ( ) = N N 1 " N I /I's. Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

17 10.5 L amplificazione ottica Se consideriamo il tipico processo di attenuazione prima analizzato di = "#NIdl osserviamo che la sezione d urto considerata è solo una delle due possibili sezioni d urto che il materiale possiede: la sezione d urto di assorbimento e quella di emissione stimolata. Allo stesso modo, N viene sempre considerato essere il numero di livelli dello stato basso. Sebbene questo sia termodinamicamente giustificato, perché in condizioni normali la popolazione elettronica tende ad occupare lo stato fondamentale della transizione elettronica, l equazione completa dovrebbe prevedere comunque la presenza anche del termine che contiene la popolazione dello stato alto, perché comunque la sezione d urto di emissione stimolata è all incirca dello stesso valore della sezione d urto dell assorbimento e, per forti intensità, la popolazione dello stato alto non è più trascurabile. L equazione corretta diventa quindi di = ("#N 1 + #N 2 )Idl in cui il segno + è giustificato dal fatto che nel processo di emissione stimolata l intensità della luce che attraversa il materiale aumenta di valore: in questo punto consiste e nasce il processo di amplificazione ottica. Si ha amplificazione ottica ogni qualvolta siamo in presenza di un processo di emissione stimolata che aumenta l intensità del fascio ottico che ha stimolato l emissione stessa. Quali caratteristiche distingueranno l aumento della intensità prodotto dal processo di emissione stimolata? Nessuna: non vi è modo di distinguere la luce prodotta dal processo di emissione stimolata da quella che ha stimolato il processo stesso e da questa indistinguibilità discendono tutte le proprietà dell amplificazione ottica e delle sue realizzazioni pratiche, gli amplificatori ottici. Siccome sappiamo che la luce è costituita da un insieme di fotoni, la indistinguibilità della luce che nasce dalla emissione stimolata da quella originale si traduce anche nel fatto che i fotoni stimolati prodotti dal processo di amplificazione ottica sono in tutto per tutto uguali ai fotoni stimolanti, ovvero: hanno la stessa energia (cioè lunghezza d onda o frequenza) hanno la stessa quantità di moto (ovvero vettore d onda) hanno la stessa polarizzazione Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

18 e, se ne consideriamo la statistica di un insieme di fotoni hanno la stessa statistica. Il fatto che questi fotoni stimolati siano indistinguibili da quelli stimolanti fa si che quello di amplificazione ottica venga chiamato anche un processo di produzione di fotoni coerenti, fotoni cioè che si addizionano in modo ordinato a quelli precedenti. Occorre però essere precisi su questo punto: la luce prodotta dal processo di amplificazione non è di per se coerente: se viene prodotta da una luce stimolante caotica (e quindi di bassa coerenza) risulta esattamente caotica e con lo stesso grado di caoticità e di coerenza della luce stimolante. Se riconsideriamo l equazione precedente di = "#(N 1 " N 2 )Idl osserviamo comunque che non è possibile avere una prevalenza del processo di amplificazione sino a quando N 1 rimane maggiore di N 2 e, se teniamo conto di quanto svolto nei paragrafi precedenti, sembra che questo sia difficile da ottenere in condizioni normali, perché anche in regimi di forte intensità di ingresso, al limite il ΔN = (N 1 -N 2 ) tende a zero. Come fare quindi per ottenere amplificazione? Posto che il meccanismo centrale della amplificazione è sempre quello sopra esposto, sono stati trovati diversi modi per farlo: in generale si tratta di preparare una popolazione dello stato alto che prevalga, anche se non stabilmente ma solo temporaneamente, su quella dello stato basso, in modo da portare ad una situazione di inversione di popolazione ( dove il termine inversione si riferisce al normale stato della popolazione) per cui ΔN < 0 [ cioè (N 2 -N 1 ) >0 ] e quindi ad avere "(N 2 # N 1 ) > 0 condizione per l'amplificazione da cui ottenere una equazione differenziale di guadagno di = "(N 2 # N 1 )Idl cioè un aumento della intensità di uscita dovuta al Guadagno di amplificazione, G, pari a Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre

19 I = I 0 e " (N 2 #N 1 )l = I 0 G dove definisco Guadagno G G = e " (N 2 #N 1 )l La preparazione di un efficace meccanismo di inversione della popolazione costituisce l essenza dell amplificatore ottico e delle tecnologie ad esso collegate. Vi sono due famiglie principali di amplificatore ottico che si distinguono per il diverso meccanismo che porta ad una inversione di popolazione: amplificatori ottici con inversione di popolazione reale amplificatori ottici con inversione di popolazione virtuale Nel primo tipo di amplificatore, i primi ad essere sviluppati, la inversione di popolazione è effettivamente ottenuta per un tempo limitato ma non piccolissimo (dell ordine del tempo di fluorescenza del materiale) mediante un meccanismo di pompaggio che riempie lo stato alto a spese dello stato basso. Appartengono a questa famiglia di amplificatori i popolari amplificatori del tipo Erbium Doped Fiber Amplifier o EDFA che hanno portato ad una vera rivoluzione nelle telecomunicazioni ed in generale tutti gli amplificatori basati su terre rare, gli amplificatori a semiconduttore, ecc. Nel secondo tipo di amplificatore la inversione di popolazione è istantanea (o comunque ottenuta per tempi inferiori al tempo caratteristico di fluorescenza del materiale) ed è ottenuta dal semplice meccanismo di assorbimento che avviene in co-presenza del meccanismo di emissione stimolata. Appartengono a questa famiglia di amplificatori gli amplificatori cosidetti Raman, quelli Brillouin, quelli Kerr o non-lineari o parametrici, ecc. Comunicazioni Ottiche, Capitolo 10, Edizione Ottobre