ESERCIZIO 1. Ricordiamo il teorema di Gallai: Per ogni grafo G con n nodi si ha: μ(g)+ ρ(g) = n (2) Se inoltre G non ha nodi isolati

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1 ESERCIZIO 1 Disegnare un grafo G = (V, E) che abbia le seguenti caratteristiche: a) G è connesso, b) G soddisfa il teorema di König, e c) α(g) + τ(g) =.

2 ESERCIZIO 1 Ricordiamo il teorema di Gallai: er ogni grafo G con n nodi si ha: α(g) + τ(g) = n (1) Se inoltre G non ha nodi isolati μ(g)+ ρ(g) = n (2) Dal teorema di Gallai deduciamo che G deve avere nodi.

3 ESERCIZIO 1 Ricordiamo il teorema di König: Se G = (X, Y, E) è un grafo bipartito allora μ(g) = τ(g). Dal teorema di König deduciamo che G deve essere bipartito. roviamo a disegnare un grafo bipartito con nodi. G soddisfa le condizioni a), b) e c)? Il grafo è connesso a) è verificata a b c d

4 ESERCIZIO 1 Calcoliamo su G un massimo matching M e un minimo trasversale T: a b c d M={(1,a), (2,b), (,c), (4,d)} μ(g) = 4 T={1, 2,, 4} τ(g) = 4 oiché μ(g) = τ(g), il teorema di König è soddisfatto b) è verificata.

5 ESERCIZIO 1 Ricordiamo che, se T è un trasversale su G allora V T è un insieme stabile. In particolare, se T è minimo allora V T è massimo a b c d V T={a, b, c, d} α(g) = 4 ertanto, α(g) + τ(g) = c) è verificata.

6 ESERCIZIO 2 Disegnare un grafo G = (V, E) che abbia le seguenti caratteristiche: a) G è connesso, b) G soddisfa il teorema di König, c) α(g) + μ(g) = 9, e d) ρ(g) =.

7 ESERCIZIO 2 oiché deve essere verificato il teorema di König, deduciamo che il grafo G deve essere bipartito, e su G deve essere verificata la condizione μ(g) = τ(g). Dalla condizione c) sappiamo che deve essere α(g) + μ(g) = 9. ertanto, dal teorema di König e dalla condizione c) abbiamo: α(g) + τ(g) = 9. Dal teorema di Gallai deduciamo che G deve avere 9 nodi.

8 ESERCIZIO 2 roviamo a disegnare un grafo bipartito con 9 nodi. G soddisfa le condizioni a), b) c) e d)? Il grafo è connesso a) è verificata a

9 ESERCIZIO 2 Calcoliamo su G un massimo matching M e un minimo trasversale T: 1 M={(1,a)} μ(g) = 1 T={a} τ(g) = a oiché μ(g) = τ(g), il teorema di König è soddisfatto b) è verificata.

10 ESERCIZIO 2 Un massimo insieme stabile su G è dato da V T: V T={1, 2,, 4,,,, } α (G) = a ertanto, α(g) + τ(g) = 9 c) è verificata.

11 ESERCIZIO 2 Calcoliamo il minimo edge-cover F su G: 1 F={(1,a), (2,a), (,a), (4,a), (,a), (,a), (,a), (,a)} ρ (G) = 2 4 a oiché ρ(g) = d) è verificata.

12 ESERCIZIO Dato il grafo in figura G e il matching M = {(1,2)} determinare i valori di un massimo matching e di un minimo trasversale

13 ESERCIZIO Innanzi tutto dobbiamo verificare che G sia un grafo bipartito. Vediamo se G è bicolorabile: G è bipartito

14 ESERCIZIO Step 1: Matching corrente: M = {(1,2)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {2, 4, 10} D Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(): 4 q 2 M LABEL (2) = DISARI, pred (2) = 4 M STO, pred (4) =,q = 4 Cammino aumentante: = {(,4)} Aggiorniamo il matching corrente: M = (M ) ( M) = {(1,2), (,4)}.

15 ESERCIZIO Step 2: Matching corrente: M = {(1,2), (,4)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {4} D 10 9 Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(): 4 M LABEL (4) = DISARI, pred (4) =

16 ESERCIZIO Step 2: Matching corrente: M = {(1,2), (,4)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {4} D 10 9 Avviamo la procedura esplora dispari: u = =nodo accoppiato a 4 nel matching M LABEL () = ARI, pred () = 4

17 ESERCIZIO Step 2: Matching corrente: M = {(1,2), (,4)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {4} D 2 1 q 10 9 Nodi adiacenti a v = δ () = {2,10,4} Avviamo la procedura esplora pari: 4 D Analizziamo i nodi in δ(): 2 M LABEL (2) = DISARI, pred (2) = 10 M STO, pred (10) =,q = 10 Cammino aumentante: = {(,4), (4,), (,10)} Aggiorniamo il matching corrente: M = (M ) ( M) = {(1,2), (,10), (,4)}.

18 ESERCIZIO Step : Matching corrente: M = {(1,2), (,10), (,4)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {} q Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(): M STO, pred () =,q = Cammino aumentante: = {(,)} Aggiorniamo il matching corrente: M = (M ) ( M) = {(1,2), (,10), (,4), (,)}.

19 ESERCIZIO Step 4: Matching corrente: M = {(1,2), (,10), (,4), (,)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {9,} q 9 Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(): 9 M STO, pred (9) =,q = 9 Cammino aumentante: = {(,9)} Aggiorniamo il matching corrente: M = (M ) ( M) = {(1,2), (,10), (,4), (,), (,9)}.

20 ESERCIZIO oiché non esistono nodi esposti rispetto al matching corrente, possiamo concludere che M è massimo M = {(1,2), (,10), (,4), (,), (,9)} μ(g) =.

21 ESERCIZIO er calcolare un minimo trasversale, riscriviamo G nella forma con le due partizioni: 1 2 Y 2 X 1 4 X 1 = insieme di nodi saturi rispetto a M = {1,,,,9} X 2 = X X 1 = Y 1 = nodi raggiungibili da X 2 = Y 2 = Y Y 1 = {2, 4,,, 10} 9 10

22 ESERCIZIO Come scegliamo i nodi da inserire nel trasversale T? er ogni arco (x i,y i ) M, Se y i Y 1 y i T Se y i Y 1 x i T 1 2 X Y Nella situazione corrente, poiché Y 1 = il trasversale T conterrà solo i nodi della partizione X. ertanto T = {1,,,,9} τ (G) = OSSERVAZIONE: Se il massimo matching su G è ERFETTO, allora il minimo trasversale T coincide con la partizione X di G.

23 ESERCIZIO 4 Dato il grafo in figura G e il matching M = {(1,4), (,)} determinare i valori di un massimo matching e di un minimo trasversale

24 ESERCIZIO 4 Vediamo se G è bicolorabile: G è bipartito

25 ESERCIZIO 4 Step 1: Matching corrente: M = {(1,4), (,)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {4} 1 2 D 4 Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(): 4 M LABEL (4) = DISARI, pred (4) = 9 10

26 ESERCIZIO 4 Step 1: Matching corrente: M = {(1,4), (,)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {4} 1 2 D 4 Avviamo la procedura esplora dispari: u = 1 =nodo accoppiato a 4 nel matching M LABEL (1) = ARI, pred (1) =

27 ESERCIZIO 4 Step 1: Matching corrente: M = {(1,4), (,)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {4} 1 2 q Nodi adiacenti a 1 = δ (1) = {2, 4} D 4 Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(1): 2 M STO, pred (2) = 1,q = 2 Cammino aumentante: = {(,4), (4,1), (1,2)} 9 10 Aggiorniamo il matching corrente: M = (M ) ( M) = {(1,2), (,4), (,)}.

28 ESERCIZIO 4 Step 2: Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {9,} 1 2 Avviamo la procedura esplora pari: D 4 Analizziamo i nodi in δ(): 9 M STO, pred (9) =,q = 9 Cammino aumentante: = {(,9)} 9 10 q Aggiorniamo il matching corrente: M = (M ) ( M) = {(1,2), (,4), (,), (,9)}.

29 ESERCIZIO 4 Step : Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v = 10. LABEL (10) = ARI Nodi adiacenti a v = δ (10) = {,9} D Avviamo la procedura esplora pari: Analizziamo i nodi in δ(10): M LABEL() = DISARI, pred () = 10 9 M LABEL(9) = DISARI, pred (9) = 10 9 D 10

30 ESERCIZIO 4 Step : Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v = 10. LABEL (10) = ARI Nodi adiacenti a v = δ (10) = {,9} 1 2 Avviamo la procedura esplora dispari: u = =nodo accoppiato a nel matching M 4 9 D D 10 LABEL () = ARI, pred () = u = =nodo accoppiato a 9 nel matching M LABEL () = ARI, pred () = 9

31 ESERCIZIO 4 Step : Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v = 10. LABEL (10) = ARI Nodi adiacenti a v = δ (10) = {,9} 1 2 Nodi adiacenti a = δ () = {, 9} 4 Non esistono nodi NON ETICHETTATI tra gli adiacenti del nodo. 9 D D 10 Nodi adiacenti a = δ () = {, 9} Non esistono nodi NON ETICHETTATI tra gli adiacenti del nodo. Non esistono cammini aumentanti a partire dal nodo esposto v=10 ossiamo cancellare v=10 e tutti gli archi incidenti su v.

32 ESERCIZIO 4 Step : Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v = 10. LABEL (10) = ARI Nodi adiacenti a v = δ (10) = {,9} NON OSSO FERMARMI SE ESISTE QUALCHE NODO ESOSTO RISETTO AL MATCHING CORRENTE CHE NON E ANCORA STATO ANALIZZATO! v = è un nodo esposto rispetto ad M non ancora analizzato. 9

33 ESERCIZIO 4 Step 4: Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {2,4} 1 2 D Avviamo la procedura esplora pari: 4 D Analizziamo i nodi in δ(): 2 M LABEL(2) = DISARI, pred (2) = 4 M LABEL(4) = DISARI, pred (4) = 9

34 ESERCIZIO 4 Step 4: Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {2,4} 1 2 D Avviamo la procedura esplora dispari: u = 1 =nodo accoppiato a 2 nel matching M 4 D LABEL (1) = ARI, pred (1) = 2 u = =nodo accoppiato a 4 nel matching M LABEL () = ARI, pred () = 4 9

35 ESERCIZIO 4 Step 4: Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {2,4} D D Nodi adiacenti a 1 = δ (1) = {2, 4} Non esistono nodi NON ETICHETTATI tra gli adiacenti del nodo 1. Nodi adiacenti a = δ () = {4} 9 Non esistono nodi NON ETICHETTATI tra gli adiacenti del nodo. Non esistono cammini aumentanti a partire dal nodo esposto v= ossiamo cancellare v= e tutti gli archi incidenti su v..

36 ESERCIZIO 4 Step 4: Matching corrente: M = {(1,2), (,4), (,), (,9)}. Scegliamo un nodo esposto rispetto a M: v =. LABEL () = ARI Nodi adiacenti a v = δ () = {2,4} OICHE NON ESISTONO ALTRI NODI ESOSTI RISETTO AL MATCHING CORRENTE CHE NON SONO STATI ANALIZZATI, OSSIAMO CONCLUDERE CHE IL MATCHING CORRENTE E MASSIMO. M = {(1,2), (,4), (,), (,9)} μ(g) = 4.

37 ESERCIZIO 4 er calcolare un minimo trasversale, riscriviamo G nella forma con le due partizioni: X Y 1 X 2 4 X 1 Y 2 X 1 = insieme di nodi saturi rispetto a M = {1,,, 9} X 2 = X X 1 = {} Y 1 = nodi raggiungibili da X 2 = {2, 4} Y 2 = Y Y 1 = {,, 10} 9 10

38 ESERCIZIO 4 Scegliamo i nodi da inserire nel trasversale T analizzando tutti gli archi del matching massimo. X Y 1 X 2 4 X Y 2 Arco (1,2): 2 Y 1 2 T Arco (,4): 4 Y 1 4 T Arco (,): Y 1 T Arco (9,): Y 1 9 T ertanto T = {2,4,,9} τ (G) = 4

39 ESERCIZIO Siano U, A 1,..., A n insiemi finiti, e a 1,..., a n IR +. Sia F={X U : X A k < a k per ciascun k = 1,..., n}. Dire se la coppia (U,F) individua o meno un matroide motivando la risposta. a 2 = 1 A 1 A 2 X a 1 = U A a = 1

40 ESERCIZIO Ricordiamo che la coppia (U,F) è un matroide se valgono le seguenti condizioni: 1. F 2. er ogni Y X, X F Y F.. Dati X, Y F, con X < Y, esiste y Y tale che X {y} F. Banalmente F. Supponiamo che X F. Allora X A k < a k, per ciascun k = 1,..., n. Se Y X, allora Y < X. ertanto Y A k < X A k < a k. ossiamo quindi concludere che la coppia è subclusiva.

41 ESERCIZIO Resta da verificare se la coppia (U,F) soddisfa la proprietà di scambio. Se pensiamo che tale proprietà sia soddisfatta dobbiamo dimostrarlo in maniera formale. Viceversa, se pensiamo che la proprietà di scambio non sia soddisfatta dobbiamo cercare un controesempio in cui essa non vale.

42 ESERCIZIO Consideriamo la seguente situazione: a 2 = 1 2 a 1 = 2 A A 2 U A a = 1 Siano: Y = {1, 4,, 11} e X = {1,, }. Entrambi gli insiemi appartengono a F. Infatti: Y A 1 = {1, 4} Y A 1 = 2 < a 1 X A 1 = {1,} X A 1 = 2 < a 1 Y A 2 = {} Y A 2 = 1 < a 2 X A 2 = {} X A 2 = 1 < a 2 Y A = {11} Y A = 1 < a X A = {} X A = 1 < a

43 ESERCIZIO Consideriamo la seguente situazione: a 2 = 1 A A 2 2 a 1 = 2 11 U 10 9 A a = 1 Tuttavia è immediato osservare che, per ogni y Y\X, l'insieme X {y} F. ertanto la proprietà di scambio non è verificata e la coppia (U,F) non è un matroide.