r 33 r 13 λ 1 λ 3 r 32

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1 Capitolo 6 Le reti di code ciuse e la forma prodotto In una rete di code ciuse non esiste alcun flusso di utenti da e verso l`esterno della rete. Queste reti, quindi, sono caratterizzate da una popolazione finita di K utenti. Questo vincolo viene tipicamente imposto da un numero limitato di risorse (e.g., numero di pallet). Dal punto di vista del modello, una rete di code ciusa pu o essere ottenuta da una rete di code aperta definendo: r i =0; NX j= p ij =; 8 i =;:::;N ed in questo caso non si anno arrivi dall`esterno e nessun utente pu o lasciare il sistema. In queste condizioni lo stato del sistema deve soddisfare la condizione: NX i= x i = K: Un esempio di rete di code ciusa e indicato in Figura Il bilanciamento dei flussi nelle reti di code ciuse Il numero finito di stati in una rete di code ciusa dipende dal numero dei nodi e degli utenti presenti. Infatti, se indiciamo con K il numero di utenti e con N il numero dei nodi, il numero degli stati possibili del processo e uguale al coefficiente binomiale: N + K (N + K )! = N (N )!K! La struttura del grafo dell`automa ce caratterizza la maccina a stati del processo di una rete di code ciuse e particolare in quanto da uno stato (k ;:::;k j ;:::;k i ;:::;k N ), all`uscita

2 r 33 r 3 λ λ 3 µ 3 r 32 r 42 λ 2 µ 2 λ 4 µ 4 Figura 6.: Rete di code ciusa. di un utente da uno dei nodi j, j = ; 2;:::;N, e suo ingresso in uno dei nodi successivi i e possibile portarsi soltanto in una serie di stati contigui caratterizzati dalla perdita di un utente in j ed il suo acquisto in i, (k ;:::;k j ;:::;k i +;:::;k N ), con tasso di transizione r ij μ j. Un esempio e riportato in in Figura 6.2. r ij µ j ( k,, k j,, k i +,, k N ) ( k,, k,, k,, k ) j i N r j µ ( k,, k j,, k +,, k N ) Figura 6.2: Struttura dell`automa di una rete di code ciuse. Rappresentata la rete di code ciuse con un automa e possibile determinare le condizioni di equilibrio mediante il bilanciamento dei flussi. Considerato allora un generico stato (k ;:::;k j ;:::;k i ;:::;k N ), il flusso totale uscente da questo stato e dato dalla somma dei contributi di tutti i nodi ce anno numero di utenti diverso da zero: NX i=;k i >0 μ i ß(k ;:::;k j ;:::;k i ;:::;k N )

3 mentre il flusso entrante dagli stati contigui e: NX NX j=;k j >0 i= r ji μ i ß(k ;:::;k j ;:::;k i +;:::;k N ) Questo risultato offre un primo rudimentale metodo per risolvere la rete. Per il principio del bilanciamento dei flussi le due espressioni sopra indicate devono essere uguali. Esempio 6... Quest`esempio mette in mostra la struttura dell`automa associato ad una rete di code ciuse. La Figura 6.3.a rappresenta la rete e la Figura 6.3.b rappresenta il grafo dell`automa associato quando vi sono 2 utenti nella rete, ce a 6 stati (n. di utenti nelle stazioni M, M 2 e M 3 ) µ 3 µ 2 M M3 M λ µ λ µ 3 µ λ µ 3 µ 2 µ 2 µ (a) (b) Figura 6.3: Rete di code ciusa (a); automa associato alla rete (b). Appliciamo la tecnica di bilanciamento dei flussi per ricavare le probabilit a di stato: ß(; 0; ) = μ μ 3 ß(2; 0; 0) ß(; ; 0) = μ μ 2 ß(2; 0; 0) ß(0; ; ) = μ2 μ 2 μ 3 ß(2; 0; 0) ß(0; 0; 2) = μ2 ß(2; 0; 0) μ 2 3 ß(0; 2; 0) = μ2 ß(2; 0; 0) ß(2; 0; 0) = μ μ μ 3 + μ μ 2 + μ2 + μ2 μ 2 μ 3 μ μ2 μ 2 2! Per conoscere i flussi d`attraversamento di ciascun nodo, uguali fra loro in questo caso, e sufficiente calcolare il flusso uscente da una delle stazioni scelta a piacere, ad esempio la

4 terza: = μ 3 μ μ 3 + μ2 + μ2 μ 2 μ 3 μ 2 3! ß(2; 0; 0) Il tempo medio di attraversamento di ciascuna stazione pu o quindi essere calcolato mediante la legge di Little. Ξ 6.2 La forma prodotto nelle reti di code ciuse Ance per le reti di code ciuse, sotto condizioni analoge a quelle delle reti di code aperte (non e necessaria in questo caso la specifica sui flussi dall`esterno), e verificata la propriet a della forma prodotto. Questo risultato e dovuto a Gordon e Newell, ce offrono una variante del teorema di Jackson per le reti di code ciuse. I tassi medi di ingresso (e quindi di uscita) alle maccine si calcolano, come per le reti di code aperte, dal seguente sistema lineare di equazioni, ce in questo caso risulta omogeneo: i = NX j= r ij j, [I R] = 0 Il sistema di equazioni omogeneo a matrice dei coefficienti singolare, in quanto non essendovi flussi da e verso l`esterno la matrice R a un autovalore uguale a. La soluzione, ovviamente a meno di un fattore di proporzionalit a, fornisce i tassi di ingresso a ciascun nodo e le intensit a di traffico dei nodi risultano: ρ i = i μ i : Dai risultati dei processi di nascita e morte, le probabilit a marginali per ogni coda, a meno di un comune fattore di proporzionalit a, sono dati dalla teoria classica delle code, ad esempio per code monoservente: oppure per i multiserventi: ß i (k i )=ρ k i i ß i (k i )= ρk i i 2 La densit a di probabilit a congiunta in forma prodotto assume, perci o, (per brevit a consideriamo soltanto il caso monoservente) la seguente forma: ß(k ;:::;k N )= NY i= ß i (k i )= G NY i= ρ k i i

5 dove la costante di normalizzazione G e calcolata in modo da garantire ce le espressioni precedenti siano consistenti con la definizione di densit a di probabilit a, cio e la somma di tutte le probabilit a di stato uguale a : G X NY k ;k 2 ;::: 2K i= ρ k i i = ) G = X NY k ;k 2 ;::: 2K i= Note le probabilit a di stato, la risoluzione del grado di indeterminazione ce ancora sussiste per i flussi d`attraversamento delle stazioni, rappresentato dal parametro, e dei relativi fattori di traffico, si a valutando il flusso di uscita da una qualsiasi stazione come somma dei flussi di uscita da tutti gli stati del grafo per cui quella stazione non e vuota, ad esempio per l`i esima stazione monoservente: i = X n ;:::;n i ;:::;=0;K;n i 6=0 ß(n ;:::;n i ;:::)μ i : ρ k i i Esempio Consideriamo una rete costituita da due code monoservente in cascata, la seconda delle quali pu o fallire un numero indefinito di volte l`operazione e con probabilit a p deve ripeterla. Questa rete e rappresentata in Figura 6.4.a, mentre in Figura 6.4.b viene indicata la maccina a stati ce la descrive nel caso di un solo utente. 0. λ λ 2 µ 2 p p 0. ( p ) µ 2 (a) (b) Figura 6.4: associato alla rete (b). Rete di code ciusa con ricircolo un numero indefinito di volte (a); automa Le probabilit a di stato a regime sono: μ ß 0 =( p)μ 2 ß 0 ) ß 0 = ß 0 = ( p)μ 2 ( p)μ 2 + μ ; ß 0 = ed il tasso di circolazione della rete e: = = ( p)μ 2μ ( p)μ 2 + μ μ ( p)μ 2 ß 0 μ ( p)μ 2 + μ

6 Ora risolviamo la rete utilizzando la propriet a della forma prodotto. La struttura della rete e la stessa ma assumiamo ce la seconda coda sia per o un biservente, e nella rete siano presenti rispettivamente 2 e 3 utenti. Il vettore dei tassi di ingresso ai diversi nodi e: " # = 2 " p Le probabilit a di stato marginali, a meno di una costante di proporzionalit a sono, per la prima coda # e perlaseconda ß (0) = ; ß () = μ ß (2) = ß 2 (0) = ; ß 2 () = ß 2 (2) = ( p)μ 2 μ! 2 ; ß (3) = ( p)μ 2 2( p)μ 2 = 2! 3 μ! 2 ( p)μ 2 ß 2 (3) = = ( p)μ 2 2( p)μ 2 2( p)μ 2 4! 3 ( p)μ 2 Le probabilit a congiunte sono: ß(2; 0) = G! 2 μ ß(; ) = G μ ( p)μ 2 ß(0; 2) = G 2! 2 ( p)μ 2 ed il calcolo della costante di normalizzazione porta a: 2 G 2 " μ! 2 + ( p)μ μ G = 2( p) 2 μ 2 μ2 2 2( p) 2 μ 2 +2( p)μ 2 μ 2 + μ 2! 2 # = ( p)μ 2 La grandezza ce fornisce le prestazioni della rete e principalmente il tasso di circolazione ce in questo caso coincide con il tasso di ingresso (uscita) alla prima stazione: (2) = = ß(2; 0) + ß(; ) iμ = 2( p)μ μ 2 [( p)μ 2 + μ ] 2( p) 2 μ 2 + 2( p)μ 2 μ 2 + μ 2

7 Assegnamo ai parametri i seguenti valori numerici: p = 0:7, μ = 5 e μ 2 = 3. Le probabilit a di stato sono: ß(2; 0) = 0:0455; ß(; ) = 0:2527; ß(0; 2) = 0:702 ed il tasso di circolazione risulta: (2) = :49. Il numero medio di utenti nelle singole stazioni e: N =0:3437; N 2 =:6563 Risolvendo la rete dell`esempio precedente con una popolazione di 3 utenti otteniamo un tasso di circolazione (3) = :69. Proviamo ora a confrontare il tasso di circolazione ottenuto nei due casi con popolazione k = 2 e k = 3, ovvero (2) = :49 e (3) = :69. Possiamo osservare un fenomeno generale: la produttivit a della rete aumenta in modo monotono al crescere della dimensione della popolazione. Questo e dovuto al fatto ce con un maggior numero di utenti aumenta l`utilizzo delle risorse. Se tracciassimo un grafico del tasso di circolazione, funzione della dimensione della popolazione, vedremmo ce questo grafico a un andamento asintotico, tende, cio e ad un valore massimo ce identifica la produttivit a idealmente ottenibile dalle risorse disponibili avendo una dimensione di popolazione infinita. Poic e le risorse in un sistema anno sempre un costo, l`analisi dell`andamento asintotico del grafico permette una scelta ottima della dimensione della popolazione. Ξ 6.2. Reti di code BCMP La famiglia pi u ampia di reti ce godono della propriet a della forma prodotto e stata caratterizzata da Basket, Candy, Muntz epalacios, e, dall`acronimo delle iniziali dei nomi degli autori, viene indicata come famiglia di reti BCMP. Infatti, anno densit a di probabilit a congiunta in forma prodotto reti di code aperte, ciuse o miste (aperte con ricircolo), in presenza di classi multiple di utenti con queste caratteristice: (i) gli instradamenti sono probabilistici ed indipendenti dallo stato; (ii) gli arrivi dall`esterno, nel caso di reti di code aperte, sono processi di Poisson, con tassi istantanei ce possono dipendere dalla dimensione della popolazione nella rete; (iii) le code ce costituiscono la rete sono dei seguenti tipi: ffl monoserventi in presenza di classi multiple di utenti tutte con la medesima distribuzione esponenziale dei tempi di servizio, e disciplina di coda FIFO; ffl multiserventi in presenza di una sola classe di utenti con tempi di servizio distribuiti esponenzialmente, e disciplina di coda FIFO;

8 ffl multiserventi con infiniti serventi in presenza di classi multiple di utenti con distribuzioni dei tempi di servizio diverse fra loro aventi funzioni caratteristice razionali; ffl monoserventi in presenza di classi multiple di utenti con distribuzioni dei tempi di servizio diverse fra loro aventi funzioni caratteristice razionali, con politice di coda ad interruzione preemption" del tipo a distribuzione uniforme del servente processor saring", oppure ultimo arrivato primo servito Last Come First Served" (LCFS). La condizione ce la funzione caratteristica dei tempi di servizio sia razionale non e molto restrittiva (e.g., le distribuzioni di Erlang e le distribuzioni iperesponenziali). Le politice di coda con interruzione prevedono ce un utente viene servito in tempi parziali successivi: nella disciplina processor saring" gli utenti presenti si distribuiscono uniformemente a turno il servente, ciascuno con periodi di servizio ce tendono zero; nella disciplina LCFS l'ultimo utente arrivato interrompe l'utente in servizio, sino a completare il suo servizio o essere a sua volta interrotto da un nuovo arrivato. Queste politice di coda trovano applicazione soprattutto nell'assegnazione dell'unit a centrale di un elaboratore ai diversi programmi in attesa nei sistemi di elaborazione Fattori di visita e tassi di circolazione Osserviamo ce, grazie alla forma ciusa della rete, diviene naturale porre particolare attenzione ai flussi medi di circolazione all`interno della rete e quindi ricondurre direttamente a questi tutte le statistice d`interesse del problema. In questo modo non viene riciesta la conoscenza delle probabilit a di stato. Per entrare in questa nuova ottica, osserviamo ce gli utenti presenti in una rete di code ciuse compiono ciclicamente visita ai nodi della rete, e quindi definiamo con il tasso medio di circolazione, come il numero di cicli effettuati nell`unit a di tempo dalla totalit a degli utenti. Se la popolazione a dimensione K, il tempo medio per compiere un ciclo da parte di un utente e invece K, ed e definito come il rapporto fra il numero di utenti della rete ed il tasso di circolazione. Associato al tasso di circolazione esister a un tasso d`attraversamento di ciascuna risorsa della rete i e da questo si pu o definire il fattore di visita come il numero di volte ce una risorsa e visitata per ciclo, cio e il rapporto fra il flusso d`attraversamento di una risorsa ed il tasso di circolazione della rete v i = i. Per stabilire in modo non ambiguo queste grandezze e necessario fare riferimento alle specifice del problema. In molte circostanze il completamento di un ciclo nella rete e identificato dall`uscita dalla stazione terminale o, nel caso di pi u stazioni in parallelo, dall`ingresso nella prima stazione del ciclo. Questa stazione viene indicata come stazione di riferimento

9 della rete e per questa si assume convenzionalmente fattore di visita uguale a, da cui risultano i fattori di visita di tutte le altre stazioni. In alcuni casi i fattori di visita si ricavano dai coefficienti d`instradamento della rete. Esempio Consideriamo nuovamente la rete rappresentata in Figura 6.4.a. In questo caso un ciclo nella rete si completa tutte le volte ce un utente ritorna alla stazione, ce a qui il ruolo di stazione di riferimento. Il tasso di circolazione coincide dunque con il tasso di ingresso nella stazione, mentre il bilanciamento dei flussi alle diverse stazioni, dall`analisi dei coefficienti d`instradamento porta ai fattori di visita: " # = 2 " # v = v 2 In molti casi viene direttamente specificato il ciclo dei nodi visitati con i loro fattori di visita e da questi si risale ai coefficienti d`instradamento. Ad esempio (assumiamo p = 0, ovvero definiamo il numero di volte per cui viene "sicuramente" ripetuta la lavorazione nella risorsa S 2 ) il seguente ciclo di lavorazione: S; 2S2 i " p # indica ce in un ciclo gli utenti devono visitare una volta S e2volte S 2. Ξ Attenzione per o, gli strumenti ce abbiamo a disposizione permettono di risolvere soltanto reti di code Markoviane con la propriet a della forma prodotto. Questo modello prevede ce gli utenti si muovano lungo la rete con instradamento casuale di cui i coefficienti di routing rappresentano le probabilit a. Quindi i risultati ce si ottengono i si riferiscono al caso in cuilaspecificadel ciclo di visite rappresentato da S ; 2S 2 e soddisfatta da ciascun utente soltanto in media, ma non in modo puntuale per ciascun suo ciclo di lavorazione. Se con le specifice precedenti si intendeva, invece, ce in modo deterministico in un ciclo ogni utente deve visitare esattamente 2 volte la risorsa S 2, il modello offerto dalla forma prodotto non rappresenta pi u il problema. maggiormente nei dettagli di questa situazione. Con il prossimo esempio vediamo di entrare Esempio Consideriamo ancora la rete rappresentata in Figura 6.4.a. La rete e costituita da 2 utenti e 2 nodi in cascata ce gli utenti visitano ciclicamente; all`uscita del secondo nodo, per o, assumiamo ce con probabilit a p ogni utente possa fallire l`operazione e debba quindi ripeterla, ma questo soltanto la prima volta di ogni ciclo. E immediato verificare ce il tasso di visita al secondo nodo e +p cui corrispondono le seguenti percentuali dei tassi dei flussi secondo ciascun percorso (non possiamo pi u ciamarle probabilit a d`instradamento): r 2 = +p ; r 22 = p +p :

10 La rete, per o, con le specifice precedenti perde la propriet a della forma prodotto, in quanto l`instradamento non e casuale e per ogni utente uscente dal secondo nodo si deve mantenere memoria se e al primo oppure al secondo passaggio. Il modello classico di una rete di code Markoviane non rappresenta correttamente il problema. Tuttavia, in questo caso, si pu o definire una catena di Markov ce rappresenta esattamente il problema, ance se non una nuova rete di code Markoviane, scegliendo un nuovo modello con un numero di stati maggiori del precedente. Esempio Si consideri la rete di code rappresentata in Figura 6.5, dove p = 0:3, μ = 2, μ 2 =. Nella rete circolano 3 pezzi ce vengono lavorati dalla maccina M e dalla maccina M 2. La lavorazione su M 2 pu o fallire con probabilit a p; in questo caso viene ripetuta indefinitamente fino a quando non viene eseguita correttamente. Ξ λ µ 2 Μ Μ 2 p Figura 6.5: Rete di code ciusa. Calcolare il tasso di produzione applicando il teorema di Jackson relativo alle reti di code ce godono della propriet a della forma prodotto. Descrivere infine una simulazione ce permetta di rappresentare il processo e di calcolare il tasso di circolazione (si assuma per semplicit a p = 0). Soluzione. Indicando con K il numero di pezzi e con N il numero di servizi, il numero degli stati possibili del processo e: N + K + N! = N + K + K! (N + K )! = =4: K!(N )! Risolviamo dapprima la rete calcolando le probabilit a di stato a regime mediante bilanciamento dei flussi, considerando l`automa in Figura 6.6 ce descrive il processo di lavorazione ed il cui stato (n ;n 2 ) definisce il numero di pezzi presenti sulle maccine M ed M 2. Indicando con ß =[ß(; 2);ß(2; );ß(3; 0);ß(0; 3)] T il vettore delle probabilit a di stato a

11 ,2 2µ 2 ( p) 2 2, 2µ 2 ( p) µ 2 ( p) 2 0,3 3,0 Figura 6.6: Diagramma delle transizioni di stato. regime, otteniamo: μ 2μ 2 ( p) 2μ 0 2μ 2 ( p) 2μ 2 ( p) 2μ μ 2 ( p) 2μ 0 0 μ 2 ( p) 2μ 0 μ 0 0 2μ 2 ( p) 0:5030 e quindi il tasso di produzione risulta: ß = 0 ) ß = :352 0:232 0: = =2μ ß(3; 0) + ß(2; ) + μ ß(; 2) = :2835 oppure = 2 =2μ 2 ( p) ß(; 2) + ß(0; 3) + μ 2 ( p)ß(2; ) = :2835; dove e 2 sono i tassi di attraversamento delle due maccine. Risolviamo ora la rete calcolando le probabilit a distato a regime mediante applicazione del teorema di Jackson per le reti di code ciuse. Calcoliamo i tassi medi di ingresso (e quindi di uscita) alle maccine risolvendo il seguente sistema lineare omogeneo di equazioni: i = 2X j= r ij j ; i =; 2 ) [I R] = 0; dove R = " 0 p p # e la matrice di routing del sistema. Indicando con il fattore di proporzionalit a per i tassi di attraversamento i, otteniamo: " # " = 2 p # = " :428 # :

12 Introducendo le intensit a di traffico ρ i = i μ i dei vari servizi nella rete, le probabilit a marginali per ogni servizio, a meno di un fattore di proporzionalit a, risultano ß (0) = ; ß () = μ ; ß (2) = 2 ß 2 (0) = ; ß 2 () = ( p)μ 2 ; ß 2 (2) = 2 μ 2; ß (3) = 4 ( p)μ 2 2; ß2 (3) = 4 3 μ 3 ( p)μ 2 Si noti ce ß (2) = μ 2μ 2μ e ß 2 (2) = ( p)μ 2 2( p)μ 2 2( p)μ 2, poic e entrambe le maccine sono biserventi e quindi quando il loro stato e k i >, il tasso di servizio e pari a 2μ i. Le probabilit a congiunte sono: ß(3; 0) = ß (3)ß 2 (0) = 3 G 4 3 =0:032 μ G ß(2; ) = ß (2)ß 2 () = 2 =0:786 G 2 3 μ ( p)μ 2 G ß(; 2) = ß ()ß 2 (2) = 2 3 =0:502 G μ 2 ( p)μ 2 G ed imponendo e quindi: ß(0; 3) = ß (0)ß 2 (3) = G 4 ( p)μ 2 3 =0: G ß(3; 0) + ß(2; ) + ß(; 2) + ß(0; 3) = ) 3 G =0:6902; ß(3; 0) = 0:026 ß(2; ) = 0:232 ß(; 2) = 0:352 ß(0; 3) = 0:503 Analogamente al caso precedente otteniamo il tasso di produzione = :2835. Per rappresentare l`automa ce descrive il sistema mediante una maccina a stati consideriamo due processi interagenti ce descrivono separatamente i due serventi, indicati in Figura 6.7 con Mac e Mac2. Partiamo da uno stato iniziale di 3 pezzi sulla maccina M e nessuno sulla maccina M 2 ; la variabile (locale) state rappresenta il valore dello stato aggregato per ciascuna maccina (numero di pezzi). Le variabili Ncicli e tasso rappresentano rispettivamente il numero di cicli ed il tasso di produzione della rete. Sulla maccina M viene immediatamente lanciato" un evento di fine lavorazione con tasso 2μ poic e sulla maccina sono presenti tre pezzi ed essendo questa biservente, entrambi sono impegnati nella lavorazione. Contemporaneamente nella maccina M 2, essendo vuota, non viene lanciato nessun evento. Un evento di fine lavorazione su M fa decrementare la

13 Figura 6.7: Maccina a stati per il modello di simulazione. variabile di stato di M e rende necessario il lancio di un altro evento di fine lavorazione ancora con tasso 2μ se lo stato e maggiore di, altrimenti con tasso μ. Un evento di fine lavorazione su M a per o effetto ance su M 2,ce incrementa il suo stato. Un evento di fine lavorazione su M 2 fa incrementare lo stato di M ed ogni volta ce arriva un pezzo su M viene ance incrementato il numero dei cicli. Infine, dividendo il numero di cicli per il tempo trascorso dall`inizio della simulazione (ottenuto mediante la primitiva now()) ricaviamo il tasso di produzione della rete. Un ragionamento analogo si applica ovviamente al processo ce descrive la maccina M 2. Si noti ce quando lo stato di una maccina e maggiore di, un`evento di fine lavorazione sull`altra produce un cambiamento di stato ce obbliga a scedulare nuovamente l`evento di fine lavorazione locale (e rimozione dell`evento di fine lavorazione scedulato in precedenza), in quanto il tasso di questo evento dipende dallo stato della maccina. Ξ 6.3 Problemi proposti Problema Considerare la seguente rete di code ciusa in Figura 6.8, dove tutte le risorse sono di tipo M=M= aventi μ = μ 4 = 0 e μ 2 = μ 3 = 20. Nella rete circola un solo pezzo ce a ciclo di lavorazione [M jm 2 ;M 3 jm 4 ], cio e sia la prima ce la seconda lavorazione possono avvenire indifferentemente sulle maccine M o M 2 ed M 3 o M 4 rispettivamente. La seconda lavorazione su M 3 o M 4 pu o fallire unnumero indefinito di volte con probabilit a p 3 =0:3 e p 4 =0:4; in questo caso il pezzo deve essere rilavorato completamente iniziando nuovamente il ciclo di lavorazione. Rappresentare l`automa ce descrive il processo e calcolare il tasso di circolazione. Nel

14 µ 3 p 3 M µ 2 M 2 M 3 µ 4 M 4 p 4 λ Figura 6.8: Rete di code ciusa. caso in cui nella rete circolino due pezzi, calcolare il tasso di circolazione ed il tasso di attraversamento di ciascuna maccina utilizzando la struttura delle probabilit a di stato in forma prodotto. Problema Considerare larete di code ciusa in Figura 6.9, dove tutte le risorse sono di tipo M=M= aventi μ =0e μ 2 = μ 3 =5, dove p =0:3 e q =0:25. µ 2 p M 2 -q M -p µ 3 M 3 q Figura 6.9: Rete di code ciusa. Nel sistema la lavorazione su M viene ri eseguita una sola volta ad ogni ciclo. Assumendo ce nella rete circoli un solo pezzo, rappresentare l`automa ce descrive in modo esatto il processo di lavorazione e calcolare il tasso di circolazione. La rete gode della formaprodotto? Se no, confrontare il risultato ottenuto al punto precedente con quello ottenuto mediante la forma-prodotto. Si consideri una popolazione di 3 pezzi. Calcolare il tasso di produzione ed il tasso di attraversamento di ciascuna maccina applicando la struttura delle probabilit a di stato in forma prodotto. Problema Considerare la rete di code ciusa in Figura 6.0, dove tutte le risorse sono di tipo M=M= aventi μ =5, μ 2 =4e μ 3 =2, e dove p =0:2. Nella rete circola un solo pezzo con ciclo di lavorazione [M ;M 2 ]. La lavorazione su M 2 pu o fallire un numero indefinito di volte con probabilit a p, in questo caso il pezzo viene riparato sulla maccina M 3 e rilavorato sulla maccina M 2. Risolvere la rete utilizzando il bilanciamento dei flussi e la struttura delle probabilit a di stato in forma prodotto, calcolando

15 µ µ 2 M M2 p µ 3 M3 Figura 6.0: Rete di code ciusa. in particolare il tasso di circolazione ed i tassi di attraversamento di ciascuna maccina.