Esercizi di Probabilità e Statistica

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1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 29 maggio 2007 Test di indipendenza su tabelle di contingenza. Catene di Markov Esercizio Per controllare l efficacia di un vaccino vengono scelti a caso due gruppi di persone, rispettivamente vaccinate e non vaccinate e per ogni gruppo vengono recensite quante persone non sono state colpite dalla malattia (gruppo ) e quante lo sono (gruppo 2) e infine quante avevano subito anche conseguenze di tipo paralitiche (gruppo 3). I dati sono gruppo gruppo 2 gruppo 3 vaccinati non vaccinati Verificare se le due variabili X:vaccinato e non, Y : gruppo /2/3 sono indipendenti ad un livello di significatività dello Se lo sono, il vaccino è inefficace. Iniziamo calcolando le frequenze empiriche di X e di Y e di (X, Y ). Indichiamo con f i le frequenze marginali di X, con f j quelle di Y e con f ij quelle di (X, Y ). Il rango del campione è n = = e quindi le frequenze empiriche sono date da f ij gruppo gruppo 2 gruppo 3 f i vaccinati non vaccinati f j A questo punto calcoliamo le frequenze attese per le v.a. (X, Y ) dove per avere indipendenza vogliamo che ˆf ij = n f i f j ˆf ij gruppo gruppo 2 gruppo 3 vaccinati non vaccinati A questo punto eseguiamo il test di indipendenza. Consideriamo T = m r i= k= (f ij ˆf ij ) 2 ˆf ij =

2 che converge in legge ad una v.a. χ 2 ((m )(r )), dove m = 2 ed r = 3. La regione critica di livello α = 0.05 che ne deriva è {T > χ 2 α ((m )(r ))} = {T > χ (2)} = {T > 5.99} T cade ampiamente nell intervallo, quindi l ipotesi di indipendenza è decisamente rigettata, e di consequenza il vaccino è efficace. Esercizio 2 I seguenti dati sono di uno studio che esamina i problemi legati al consumo di bevande alcoliche tra gli studenti universitari. Nel 983, ad un gruppo di studenti fu chiesto se avevano mai guidato l auto in stato di ubriachezza. Nel 987, dopo l aumento dell et minima consentita dalla legge per il consumo di alcolici, ad un altro gruppo di studenti universitari è stata posta la stessa domanda Si No Saggiare l ipotesi nulla che non esista alcuna associazione tra guida in stato di ubriachezza ed anno, ad un livello di significatività Siano X la v.a. relativa al Si/no e Y la v.a. relativa all anno. Calcoliamoci le frequenze empiriche di X, Y e (X, Y ). Le frequenze empiriche di X le indicheremo con f i, di Y con f j e di (X, Y ) con f ij. f ij f i Si No f j Assumendo indipendenza abbiamo che le frequenze di (X, Y ) sono tali per cui la frequenza congiunta attesa è data da ˆf ij = f i f j. Calcoliamo quindi le frequenze attese ˆf ij Si No A questo punto eseguiamo il test di indipendenza. Consideriamo T = m r i= k= (f ij ˆf ij ) 2 ˆf ij = che converge in legge ad una v.a. χ 2 ((m )(r )), dove m = 2 ed r = 2. La regione critica di livello α = 0.05 che ne deriva è {T > χ 2 α ((m )(r ))} = {T > χ ()} = {T > 3.84} T cade ampiamente nell intervallo, quindi l ipotesi di indipendenza è decisamente rigettata, e di consequenza l aumento dell età minima per il consumo dell alcool ha sortito effetti. 2

3 Esercizio 3 Un azienda vuole conoscere se la soddisfazione nel lavoro può essere determinata anche dallo stipendio del dipendente. A questo scopo ha intervistato tutti i suoi dipendenti e li ha classificati in base al reddito, come riportato nella Tabella che segue. Molto Ins. Poco Ins. Poco Sod. Molto Sod Testare con livello di significatività 0.05, se c è indipendenza tra stipendio e grado di soddisfazione dei dipendenti. Siano X la v.a. relativa allo stipendio e Y la v.a. relativa al grado di soddisfazione. Calcoliamoci le frequenze empiriche di X, Y e (X, Y ). Le frequenze empiriche di X le indicheremo con f i, di Y con f j e di (X, Y ) con f ij. f ij Molto Ins. Poco Ins. Poco Sod. Molto Sod. f i f j Assumendo indipendenza abbiamo che le frequenze di (X, Y ) sono tali per cui la frequenza congiunta attesa è data da ˆf ij = f i f j. Calcoliamo quindi le frequenze attese ˆf ij Molto Ins. Poco Ins. Poco Sod. Molto Sod A questo punto eseguiamo il test di indipendenza. Consideriamo T = m r i= k= (f ij ˆf ij ) 2 ˆf ij =.989 che converge in legge ad una v.a. χ 2 ((m )(r )), dove m = 4 ed r = 4. La regione critica di livello α = 0.05 che ne deriva è {T > χ 2 α ((m )(r ))} = {T > χ (9)} = {T > 6.99} T non cade nell intervallo di rigetto, quindi l ipotesi di indipendenza è accolta. Esercizio 4 Sia {X n } una catena di Markov con spazio degli stati {0,, 2} e con le seguenti probabilità di transizione: p 00 =, p 0 = /4, p 2 = 3/4, p 22 =. Lo stato iniziale è scelto a caso. 3

4 . Si calcoli la matrice di transizione a due passi. 2. Si calcoli P {X 2 = 2}. 3. Si calcoli una distribuzione stazionaria della catena. La matrice di transizione della catena è data da P = La matrice di transizione a due passi è data da P 2 e quindi P 2 = = L ipotesi di scelta casuale dello stato iniziale implica che P {X 0 = i} = 3 per i = 0,..., 2. A questo punto possiamo calcolare P {X 2 = 2} = P {X 0 = i}p {X 2 = 2 X 0 = i} = 3 i=0 p 2 i2 = i=0 = 7 2 = Calcoliamo ora una distribuzione stazionaria, ricordando che x è una distribuzione stazionaria se x P = x Questo può essere riscritto come (P I)x = 0 dove I è la matrice identica. A questo sistema poi possiamo aggiungere un equazione lagata al fatto che x è una distribuzione e quindi i x i = x =, dove è un vettore di tutti. Giungiamo quindi a questo sistema. [ ] [ ] P I 0 x = Nel nostro caso otteniamo x x = 0 0 x 2 La cui soluzione fornisce x = 0 e x 0 + x 2 =. Il sistema quindi ammette infinite soluzione. Il problema ne chiede una, quindi possiamo scegliere la soluzione x = [ ]. Esercizio 5 Se {X n } n è una catena di Markov su E = {0,, 2, 3} allora 4

5 . P {X n = j X n = i} = 3, i, j E 2. P {X n+ = j X n = i} = P {X n = i}, i, j E 3. P {X n = j} = 3 k=0 P {X n = j X 0 = k}p {X 0 = k}, j E. [x] Le prime due risposte non hanno senso. La risposta giusta è la terza. Infatti applicando il teorema delle probabilità totali e partizionando rispetto alle possibilità che X 0 = 0,..., 3 otteniamo P {X n = j} = 3 P {X n = j X 0 = k}p {X 0 = k} k=0 Esercizio 6 Sia {X n } una catena di Markov su {, 2, 3} con probabilità di transizione P 2 = p 23 = p 3 = 2/3 e p 3 = p 2 = p 32 = /3 e vettore iniziale delle probabilità (/2, /2, 0). Si calcoli. P {X 0 =, X 2 = 3} 2. P {X 2 = } Il vettore iniziale delle probabilità ci fornisce le probabilità P {X 0 = } = P {X 0 = 2} = /2 e P {X 0 = 3} = 0; Per risolvere il primo punto utilizziamo la definizione di probabilità condizionata P {X 0 =, X 2 = 3} = P {X 0 = }P {X 2 = 3 X 0 = } = 2 p2 3 Abbiamo bisogno dell elemento (, 3) della matrice di transizione a due passi, che possiamo calcolarci senza calcolare tutta la matrice di transizione in questo modo. p 2 3 = P, P,3 = [ 2/3 /3 0 ] /3 2/3 = e quindi P {X 0 =, X 2 = 3} = 2 9 Per il secondo punto applichiamo il teorema delle probabilità totali partizionando rispetto a X 0. P {X 2 = } = 3 P {X 0 = k}p {X 2 = X 0 = k} = 2 k= Abbiamo bisogno degli elemento (, ) e (2, ) della matrice di transizione a due passi e possiamo calcolarceli velocemente in questo modo [ ] [ ] [ ] p 2 0 [ ] P, 0 2/3 /3 p 2 = P 2 P, = /3 4/9 = 2, /3 0 2/3 4/9 2/3 da cui segue che P {X 2 = } = 4 9 k= p 2 k 5

6 Esercizio 7 Sia {X n } una catena di Markov con spazio degli stati {0,, 2, 3} e con le seguenti probabilità di transizione P = /4 0 3/4 0 /8 /8 0 3/ Calcolare P {X 2 = 2} supponendo la seguente distribuzione iniziale [ 0 /2 /2 0 ]. Calcolare inoltre una distribuzione stazionaria. Applichiamo il teorema delle probabilità totali partizionando rispetto a X 0 P {X 2 = 2} = 3 P {X 2 = 2 X 0 = k}p {X 0 = k} = 2 k=0 Calcoliamoci p 2 2 e p [ ] p 2 2 = p 2 22 [ P, P 2, ] [ /4 0 3/4 0 P,2 = /8 /8 0 3/4 ] k= p 2 k2 0 [ ] 3/4 0 0 = 3/32 0 da cui P {X 2 = 2} = 3 64 Calcoliamo infine la distribuzione stazionaria risolvendo il seguente sistema, ottenuto analogamente all esercizio 4. [ ] [ ] P I 0 x = da cui abbiamo 0 /4 / /8 0 x 0 0 3/4 0 x 0 0 3/4 0 x 2 = x 3 la cui soluzione è x = 0, x 2 = 0 e x 0 + x 4 =. Scegliamo per esempio [ /2 0 0 /2 ]. 6