servente 1 servente 2 servente K

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1 Capitolo 4 Teoria delle code La teoria delle code e, di fatto, un`applicazione dei processi Markoviani di nascita e morte. Il problema affrontato e quello dell`analisi del comportamento di una risorsa isolata con capacit a limitata in grado di offrire i suoi servizi ad un certo numero di utenti che entrano in conflitto fra loro per poterla utilizzare. L`analisi del processo, con la valutazione dei tempi d`attesa, delle lunghezze delle code, del tasso dei servizi resi, ha come obiettivo la congurazione del sistema. Con gli strumenti forniti e possibile ad esempio formulare le speciche in termini probabilistici e rispondere a domande quali: quale velocit a dilavorazione deve avere una linea di produzione per far fronte alle richieste di mercato nei periodi di punta con ritardi medi di consegna che non superano la settimana? Quanti impiegati sono necessari all`ufcio vendite per evitare che potenziali clienti trovino in media al loro arrivo una coda non superiore alle tre persone e rinuncino ad un acquisto a causa dell`attesa? Accanto al progetto, i modelli ottenuti ci permettono di stabilire politiche di controllo del processo. 4.1 Processi di nascita e morte Sono processi di nascita e morte quei processi Markoviani dove, ordinati gli stati secondo la sequenza dei numeri naturali, le transizioni possono avvenire soltanto fra stati i cui indici sono contigui (vedi Figura 4.1). Applicando una tecnica di bilanciamento dei flussi, la soluzione del vettore di probabilit a di stato a regime, nel caso di processo omogeneo pu o essere calcolata in modo ricorsivo: ß 0 + μß 1 =0; ρ = μ ß 1 = ρß 0 ß i = ρ i ß 0 ; ß 0 =1 ρ

2 Figura 4.1: Processo di nascita e morte a tempo continuo. da cui l`ergodicit a e vericata per ρ<1. La funzione densit a di probabilit a di stato risulta pertanto: ß i = ρ i (1 ρ) ed il numero di utenti nel sistema e: N = ρ 1 ρ 4.2 La funzione generatrice di probabilit a Il comportamento dinamico delle probabilit a distato per sistemi omogenei pu o essere convenientemente studiato applicando la trasformata Z alla funzione di transizione e fornendo la funzione generatrice di probabilit a relativamente alle probabilit a distato. Consideriamo un processo di nascita e morte a tempo continuo come indicato in Figura 4.1 e scriviamo l'equazione generica di bilanciamento dei flussi: ß 0 + μß 1 =0 ß i ( + μ)ß i+1 + μß i+2 =0 e dopo aver posto ρ = μ applichiamo la trasformata Z, cio e Π(z) =Z ß i Λ : ρß 0 + ß 1 =0 ρπ(z) (1 + ρ)[zπ(z) zß 0 ]+[z 2 Π(z) z 2 ß 0 zß 1 ]=0 da cui si ottiene: Π(z) = z(z 1)ß 0 z 2 (1 + ρ)z + ρ = z(z 1)ß 0 (z 1)(z ρ) = z z ρ ß 0

3 Poich e la funzione generatrice di probabilit a gode delle seguenti propriet a: 1: Π(1) = 1 2: E[x] =N = dπ(z) dz 3: var[x] =ff 2 x = d2 Π(z) dz 2 z=1 + z=1 dπ(z) dz z=1 ψ dπ(z) dz! 2 z=1 possiamo calcolare ß 0,ovvero la probabilit a che il sistema sia vuoto, come: Π(1) = 1 ) ß 0 1 ρ ) ß 0 =1 ρ ed antitrasformando l'espressione di Π(z) si ottiene la funzione di densit a delle probabilit a di stato: ß i = ρ i (1 ρ): Inne il numero medio di utenti nel sistema viene ottenuto come: N = dπ(z) dz z=1 = 4.3 Il modello di una risorsa ρ(1 ρ) (1 ρ) = ρ 2 1 ρ : La struttura di quell`entit a che chiameremo risorsa e costituita da: ffl un processo di arrivi di utenti; ffl una coda di utenti in attesa; ffl un certo numero di serventi caratterizzati da un loro processo di servizio; ffl una politica di coda con cui gli utenti in attesa vengono estratti ed avviati al primo servente disponibile. Il funzionamento ad eventi discreti di una risorsa (Figura 4.2) e il seguente: un nuovo utente raggiunge la risorsa; se nessuno dei serventi e libero si pone in attesa altrimenti viene immediatamente avviato ad uno dei serventi ed inizia il servizio; appena un servente si libera, uno degli utenti in attesa, scelto secondo la politica adottata, passa dalla coda al servente libero ed inizia il servizio; dopo un tempo di servizio l`utente servito lascia il sistema. Lo stato di questo sistema e denito dal numero di utenti presenti in coda e da quelli attualmente in servizio. Il processo degli arrivi al servizio e caratterizzato dagli intervalli di tempo che intercorrono tra due arrivi successivi di utenti al sistema di servizio.

4 utenti in arrivo coda di attesa servente 1 servente 2 utenti in uscita servente K Figura 4.2: Schema di una risorsa. Quest`intervallo e detto tempo di interarrivo. Il tempo di interarrivo pu o essere una variabile deterministica oppure una variabile casuale. Il periodo di tempo necessario per servire un utente e detto tempo di servizio e pu o essere anch`esso una variabile deterministica o casuale. Una risorsa e caratterizzata dal numero dei serventi. La coda d`attesa di una risorsa pu o aver capacit a innita oppure nita. In questo secondo caso viene indicato il numero massimo di utenti che possono attendere in coda. Ogni risorsa adotta una politica con cui gli utenti in attesa sono avviati ai servizi. La disciplina della coda pu o essere ad esempio FIFO oppure LIFO. Una risorsa pu o essere visitata da utenti di una popolazione nita oppure innita. Le caratteristiche di una risorsa sono sintetizzate da una notazione a sei campi che prende il nome di notazione di Kendall: arrivi/servizi/serventi/capacit/disciplina/popolazione Esempio: M=G=1=1=FIFO=P Gli arrivi ad una risorsa possono avvenire secondo un processo di Poisson (tempi di interarrivo variabili casuali indipendenti con distribuzione esponenziale), si parla di arrivi Markoviani e si indicano con la lettera M, mentre arrivi sempre con tempi di interarrivo variabili casuali indipendenti di distribuzione generica si indicano con la lettera G, oppure arrivi con intertempi deterministici si indicano con la lettera D. Un ragionamento analogo si applica ai tempi di servizio. L`ultimo campo inne indica la dimensione della popolazione. Se la capacit a della risorsa e la dimensione della popolazione sono innite, e la disciplina della coda e FIFO, gli ultimi tre campi possono essere omessi. Si noti che solo se entrambi, arrivi e servizi, sono Markoviani la risorsa origina una catena di Markov, altrimenti il processo e semi Markov, esoltanto alcuni dei risultati analitici saranno applicabili.

5 4.4 La legge di Little Una risorsa e caratterizzata dallo processo stocastico X(t) (numero di utenti presenti nella risorsa all`istante t), denito cio e dal numero degli utenti in attesa pi u quelli in servizio. Per descrivere le sue prestazioni introduciamo la seguente notazione: ffl ß n (t), probabilit a che lo stato del sistema di servizio all`istante t siapariadn; ffl N(t) = P 1 n=0 nß n(t), valore medio del numero di utenti presenti nella risorsa all`istante t; ffl L(t), valore medio del numero di utenti in coda all`istante t; ffl (t), valore medio del numero di arrivi nell`unit a di tempo all`istante t, detto anche tasso di arrivo; ffl μ(t), valore medio del numero di servizi effettuati nell`unit a di tempo all`istante t, detto anche tasso di servizio, 1 μ(t) e il tempo medio di servizio; ffl ρ(t) = (t), intensit a di trafco all`istante t; μ(t) ffl T c (t), valore medio del tempo speso da un utente in coda all`istante t; ffl T (t) = T c (t)+ 1,valore medio del tempo totale speso da un utente nella risorsa sino μ(t) all`istante t. Proponiamo ora un risultato fondamentale che si applica indipendentemente dalle propriet a di Markovianit a di una risorsa, che e noto come la legge di Little. Questa legge pone in relazione il tempo medio necessario ad un utente per attraversare una risorsa ed il numero medio di utenti presenti nella risorsa e formalizza l`idea intuitiva che maggiore e la coda pi u lungo sar a il tempo d`attesa. Poniamoci di fronte ad una risorsa e consideriamo i due processi di conteggio del numero di arrivi a(t) e del numero di partenze p(t). Osserviamo una realizzazione di questi processi durante un periodo di tempo (0;t), come descritto in Figura 4.3. Calcoliamo l`area compresa fra le due curve dei conteggi degli arrivi e delle partenze che rappresenta il numero totale di utenti per il tempo speso nella risorsa durante l`intervallo di osservazione: fl(t) = Z t 0 a(t) p(t) Λ dt e quindi dividendo questo integrale per la durata dell`intervallo di osservazione si ha la media temporale del numero di utenti nella risorsa osservati durante l`intervallo t: ^N(t) = fl(t) t

6 Utenti nel servizio arrivi partenze t Figura 4.3: Processi di conteggio di arrivi e partenze in una risorsa. mentre dividendo l`integrale per il numero degli arrivi, si ha la media temporale del tempo speso da ciascun utente nella risorsa: Inoltre, risulta: ^T (t) = fl(t) a(t) ^N(t) = ^T (t)a(t) t e ricordando che ^ (t) = a(t) t e il tasso medio degli arrivi sino a t, si ottengono le seguenti due relazioni che legano ai tempi medi d`attesa il numero medio di utenti nella risorsa ^N(t) =^ (t) ^T (t) oppure in coda ^L(t) =^ (t) ^T c (t) Se in condizioni stazionarie esistono i seguenti tre limiti: ^ = lim t!1 ^ (t) ^T = lim t!1 ^T (t) ^μ = lim t!1 ^μ(t) le seguenti tre relazioni sono vericate per la particolare realizzazione: ^N = ^ ^T ^T = ^T c + 1^μ ^N = ^L +^ρ

7 Inne se ipotizziamo che i limiti precedenti esistono per qualsiasi realizzazione dei due processi degli arrivi e delle partenze, in altre parole assumiamo che i processi degli arrivi e della coda siano ergodici, si ha il risultato noto come legge di Little: N = T L = T c indipendente dal tipo di distribuzione dei processi d`arrivo e di servizio. Si noti che il tasso degli arrivi e riferito agli utenti che effettivamente entrano nel sistema, per cui se alcuni utenti sono riutati (e.g., la coda ha capacit a nita) occorre valutare l`effettivo tasso degli utenti entranti nel sistema. 4.5 La coda M=M=1 Il pi u semplice esempio di coda e rappresentato da una risorsa avente un solo servente e con distribuzioni esponenziali per i tempi d`interarrivo degli utenti e per i tempi di servizio, e capacit a innita per la coda d`attesa. Si vede immediatamente che questa coda e una catena di Markov ed e modellata da un processo di nascita e morta a tempo continuo come descritto in Figura 4.4. Lo stato e rappresentato dal numero di utenti presenti nella risorsa Figura 4.4: La coda M=M=1. Le probabilit a di stato a regime sono denite da: ß i = ρ i ß 0 ; ρ = μ da cui discende la condizione di ergodicit a ρ<1, e la probabilit a a regime che il sistema sia vuoto e: ρ i ß 0 = 1 1 ρ ß 0 ) ß 0 =1 ρ ovvero la densit a di probabilit a di stato di una coda M=M=1 a parametri costanti e denita dalla serie geometrica. Inne risulta: ß i = ρ i (1 ρ):

8 Esempio Determiniamo la probabilit a di avere almeno M utenti in servizio: P [x(t) M] = ρ i (1 ρ) =ρ M i=m ρ i (1 ρ) =ρ M : Ξ Poniamoci ora il problema di determinare il fattore di utilizzo ed il tasso di uscita (o throughput) della risorsa. Il fattore di utilizzo e dato dalla probabilit a che la risorsa non sia vuota e coincide nella coda M=M=1 con l`intensit a del trafco: 1 ß 0 = ρ = μ mentre il tasso d`attraversamento e dato alternativamente dal flusso degli arrivi o delle partenze per la somma delle corrispondenti probabilit a: μ(1 ß 0 )= : Il numero medio degli utenti nella risorsa pu o essere calcolato nel modo seguente: ed osservando che: si ottiene N = E[x(t)] = d dρ ρ i = N = E[x(t)] = iß i =(1 ρ) iρ i 1 = 1 ρ ρ 1 ρ : Si noti che per ρ! 1 si ha N! 1, ovvero la lunghezza attesa della coda tende all`innito. In altre parole, pi u si cerca di mantenere impegnata la risorsa facendo aumentare il suo fattore di utilizzo ρ, pi u un cliente in arrivo vede la coda d`innanzi a lui crescere a dismisura. Il tempo medio di attraversamento viene denito applicando la legge di Little: 4.6 La coda M=M=m T = N = 1 μ(1 ρ) : L`estensione di una coda con un solo servente al caso di m serventi si modella assegnando un tasso medio di servizio funzione dello stato. Infatti se sono presenti nella risorsa pi u utenti, pi u di questi utenti, sino al raggiungimento del numero di serventi, sono contemporaneamente in servizio. Sono quindi attivati contemporaneamente pi u eventi di morte, che nel caso iρ i iρ i

9 Markoviano signica un tasso di morte proporzionale al numero degli eventi. i = per qualunque i =0; 1; 2;:::, e: μ i = ( iμ 0» i<m mμ i m Deniamo ed inoltre poniamo ρ = come:. Possiamo quindi ottenere la probabilit a che la risorsa sia vuota mμ " # m 1 X (mρ) i 1 ß 0 = 1+ + (mρ)m 1 : i! m! 1 ρ i=1 Anche per la coda M=M=m si dimostra che il fattore di utilizzo e mρ = e quindi ciascun μ servente ha un utilizzo pari a ρ. Il tasso di uscita e ancora in quanto in una coda stabile tassi di ingresso ed uscita devono essere identici. Il numero di utenti nella risorsa risulta: N = mρ + (mρ)m m! ed il tempo medio di attraversamento risulta: 4.7 La coda M=M=1=K ρ (1 ρ) 2 ß 0 T = 1 μ + 1 (mρ) m ß 0 μ m! m(1 ρ 2 ) Questa coda ha una capacit a nita del magazzino d`attesa. Quindi quando la capacit a massima viene raggiunta gli arrivi successivi sono scartati. La probabilit a che la risorsa sia vuota risulta: ß 0 = 1 ρ 1 ρ K+1 mentre la probabilit a che la risorsa sia piena e: ρ K ß K =(1 ρ) 1 ρ K+1 Il tasso di uscita dalla risorsa, che corrisponde al tasso effettivo d`attraversamento da parte degli utenti, quindi, non e uguale al tasso di ingresso e si ricava dalle probabilit a di stato: X K 1 fl eff = ß i = (1 ß K )=μ mentre il tasso dei pezzi scartati e: fl scarti = ß K : KX i=1 ß i = μ(1 ß 0 )

10 Il numero medio di utenti presenti nel sistema vale: N = " # ρ 1 ρ K 1 ρ K+1 1 ρ KρK ed applicando la legge di Little si ottiene il tempo medio di attraversamento del sistema da parte di un utente: T = N (1 ß K ) Esempio Un centro di lavorazione automatico produce assiemi che vengono successivamente saldati su due saldatrici robotizzate (Figura 4.5). Il sistema di trasporto dal centro di lavorazione alle saldatrici e costituito da due carrelli loguidati che portano gli assiemi e li mantengono in posizione durante la saldatura. Terminata la saldatura, il carrello scarica l`assieme e si ripresenta al centro di lavoro, disponibile a caricare un nuovo assieme da saldare. Un assieme viene sempre trasportato verso la saldatrice libera. Se il centro di lavorazione termina un`assiematura quando entrambi i carrelli sono impegnati alle saldatrici, l`assieme viene perso. I tempi di assiematura sono variabili casuali indipendenti distribuite uniformemente con media 2 minuti, e quelli di saldatura, compresi i tempi di trasporto, sono variabili casuali indipendenti distribuite uniformemente con media 4 minuti. Centro Saldatura di lavorazione Figura 4.5: Centro di lavorazione. 1. Determinare la probabilit a di avere 0; 1; 2 carrelli impegnati alle saldatrici. 2. Determinare la probabilit ache il centro di lavorazione sia bloccato per mancanza di carrelli. 3. Determinare il numero medio di assiemi saldati per unit a di tempo. Soluzione. Il processo di lavorazione pu o essere descritto da una coda biservente di capacit a nita pari a 2, e rappresentato dalla catena di Markov a tempo continuo di Figura 4.6.

11 Figura 4.6: Catena di Markov del centro di lavorazione. Dall`automa possiamo ricavare la matrice delle frequenze istantanee di probabilit a di transizione: Q = μ 0 ( + μ) 2μ 5 = 0 2μ :5 0:25 0 0:5 0:75 0:5 0 0:5 0:5 Il sistema risulta ergodico e quindi le probabilit a di stato che descrivono lo stato del sistema di lavorazione sono: ß = [0:2; 0:4; 0:4] T. Pertanto la probabilit a di avere il centro bloccato per mancanza di carrelli corrisponde alla condizione rappresentata dallo stato 2 e quindi: P [centro bloccato per mancanza di carrelli] =ß 2 =0:4 Inne il tasso di pezzi lavorati nell`unit a di tempo risulta: μß 1 +2μß 2 =0:3 Analizziamo ora lo stesso sistema facendo l`ipotesi che se il centro di lavorazione termina un`assiematura e i due carrelli sono occupati, il sistema lascia in attesa un solo assieme, mentre gli altri eventuali assiemi che trovano occupato il sistema vengono scartati. In questo caso il sistema e rappresentato da una coda M=M=2=3 avente gli stessi parametri della precedente. Risolvendo le probabilti a distatoa regime si ottiene: ß =[0:143; 0:286; 0:286; 0:286] T Ξ 4.8 Problemi proposti Problema Risolvere una coda M=M=2 di cui sappiamo che un servente ha un tempo di servizio doppio dell`altro, con politica di instradamento che favorisce il servente pi u veloce. Ricavare tutte le grandezze caratteristiche della risorsa. Problema Risolvere unacoda M=M=1=2, determinando in particolare i tassi effettivi d`attraversamento della coda da parte degli utenti, ed i tassi di riuto. Problema Si consideri una coda con serventi diversi fra loro, e per semplicit a un esempio con due serventi e solo due posti nella risorsa. Si supponga che la politica di instradamento quando entrambi i serventi sono liberi sia casuale ed asimmetrica, cio e ogni

12 nuovo utente che trova la risorsa vuota viene instradato a caso su uno o l`altro dei due serventi con probabilit a p ed 1 p. Denire il grafo della macchina a stati risultante ed applicando il bilanciamento dei flussi determinare l`espressione delle probabilit a di stato a regime, numero medio di utenti e tempo medio di attraversamento del sistema.