di transizione p n,m ( t) = P N(t+ t) = m N(t) = n.

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1 3 TEORIA DELLE CODE.4 PROCESSI DI NASCITA E MORTE Molti sistemi a coda possono essere ben rappresentati mediante i cosiddetti processi di nascita e morte che sono importanti processi in teoria della probabilità che hanno applicazioni in diverse aree. In particolare, l evoluzione nel tempo del numero degli utenti presenti in un sistema di servizio può essere descritta attraverso un tale processo ed inoltre la determinazione delle probabilità che nel sistema siano presenti n utenti (p n ), che come abbiamo sottolineato alla fine del paragrafo.2.3 è di fondamentale importanza, risulta facile se l evoluzione nel tempo dello stato di un sistema è rappresentato attraverso un processo di nascita e morte. Informalmente, dato un insieme di persone o oggetti (aventi caratteristica comune), si dice che si verifica una nascita ogni qualvolta un nuovo membro si aggiunge all insieme e una morte quando un membro lascia l insieme. Si parla di processo di sole nascite se si verificano solamente nascite e nonmorti e di processo di sole morti se si verificano solamente morti e non nascite. Nel contesto della teoria delle code una nascita si riferirà ad un arrivo di un utente nel sistema e una morte si riferirà ad una uscita di utente dal sistema (dopo che il servizio sia stato espletato). In questo paragrafo, dopo aver definito formalmente un processo di nascita e morte esamineremo le proprietà fondamentali di questi processi; successivamente queste proprietà saranno applicate per la determinazione delle misure di prestazione nel caso dei sistemi a coda più significativi. Probabilità di transizione.4. Caratterizzazione dei processi di nascita e morte Supponiamo che N(t) sia un processo stocastico a tempo continuo e con spazio degli stati discreto costituito dai numeri interi non negativi. N(t) può essere interpretato come il numero dei membri di un certo insieme al tempo t. Indichiamo con p n (t) la probabilità che al tempo t lo stato sia n ovvero che al tempo t ci siano n elementi nell insieme, cioè p n (t) = P (N(t) = n). Definiamo con p n,m ( t) la probabilità che il processo raggiunga lo stato m al tempo t+ t condizionata al fatto che al tempo t si trova nello stato n, ( ) p n,m ( t) = P N(t+ t) = m N(t) = n. Tale probabilità p n,m ( t) prende nome di probabilità di transizione e può essere interpretata come la probabilità che l insieme, costituito da n elementi al tempo t, sia costituito da m elementi al tempo t+ t. Introduciamo, ora, formalmente il concetto di processo di nascita e morte.

2 P 35 Definizione.4. Processo di nascita e morte Un processo stocastico N(t) che assume solamente valori interi non negativi si dice processo di nascita e morte se le probabilità di transizione p n,m ( t) non dipendono esplicitamente dal tempo t, dipendono solo dal valore dello stato al tempo t e non dai valori assunti in istanti precedenti e soddisfano le seguenti condizioni: p n,n+ ( t) = λ n t+o( t) per n 0 p n,n ( t) = µ n t+o( t) per n (.4.) p n,m ( t) = o( t) per m n 2 dove λ n 0, µ n 0 e o( t) è un infinitesimo di ordine superiore a t. La dipendenza dal valore dello stato attuale e non da quelli passati è un con- Proprietà cetto che viene formalizzato come proprietà di Markov 4. Le condizioni (.4.) di Markov possono essere interpretate nel seguente modo: a meno di infinitesimi di ordine superiore a t, la probabilità che nell intervallo [t, t + t] si verifichi una nascita non dipende da t, ma è proporzionale all ampiezza dell intervallo (ovvero alla durata t) secondo un coefficiente che può dipendere dallo stato attuale, ma non da quelli passati. Analogamente, la probabilità che nell intervallo [t, t + t] si verifichi una morte è proporzionale alla durata t secondo un coefficiente che può dipendere dallo stato attuale, ma non da quelli passati. Il coefficiente λ n Coefficiente è chiamato coefficiente di natalità, il coefficiente µ n è chiamato coefficiente di di natalità mortalità. e mortalità La Figura.4. riporta una rappresentazione schematica chiamata diagramma di transizione di stato di un processo di nascita e morte. Dalle (.4.), poiché per ogni n = 0,,..., deve valere p n,k ( t) =, si ottengono le probabilità che nell intervallo [t, t + t] non avvengono transizioni ovvero k=0 4 Senza entrare neidettagli, riportiamosoloilfatto che un processo X(t) gode della proprietà dimarkov se la probabilità condizionata del futuro X(s+t) dato il presente X(s) e il passato X(u), 0 u < s, dipende solo dal presente ed è indipendente dal passato, ovvero P(X(s + t) = j X(s) = i,x(u) = x(u), 0 u < s) = P(X(s + t) = j X(s) = i). Poiché un processo stocastico a tempo continuo con spazio degli stati discreto che gode della proprietà di Markov si chiama catena di Markov a tempo continuo, un processo di nascita e morte risulta un tipo particolare di catena di Markov a tempo continuo nella quale sono possibili solamente transizioni verso stati adiacenti. Per ogni approfondimento si rimanda alla letteratura specifica.

3 3 TEORIA DELLE CODE λ0 λ λ2 λ3 λk 2 λk λk λk k- k k+ µ µ 2 µ 3 µ 4 µ k µ k µ + k µ k + 2 F Diagramma di transizione di stato di un processo di nascita e morte le probabilità p n,n ( t) e p 0,0 ( t): p n,n ( t) = (λ n +µ n ) t+o( t) p 0,0 ( t) = λ 0 t+o( t). Analizziamo, ora, un esempio molto semplice di processo di nascita e morte. Esempio.4.2 Il numero di esemplari di una specie in via di estinzione evolve nel tempo in accordo ad un processo di nascita e morte. È noto che, in media, due esemplari generano un nuovo esemplare ogni cinque anni e che la vita media di un esemplare è di nove anni. Descrivere come varia il numero di esemplari di questa specie. Prendendo come unità di tempo l anno, se il numero degli esemplari è n, la probabilità che si verifichi una nascita in un intervallo di tempo di ampiezza t è data dal prodotto del numero delle coppie (n/2) per il valore atteso di nascite che si ha da una coppia in un anno (/5) per l ampiezza dell intervallo di tempo ( t), ovvero è data da n t. Analogamente, la proprietà 0 che si verifichi una morte nell intervallo di ampiezza t è data da n t. Quindi la variazione 9 del numero di esemplari è descritto da un processo di nascita e morte con coefficiente di natalità λ n = n 0 e coefficiente di mortalità µn = n 9. Un importante esempio di processo di nascita e morte è dato dal processo di Poisson. Infatti, si verifica facilmente il seguente risultato. Proposizione.4.3 Un processo di sole nascite (µ n = 0 per ogni n) con coefficiente di natalità λ n = λ costante (non dipendente dallo stato) è un processo di Poisson.

4 P 37 Dimostrazione: Sia T i una variabile aleatoria che rappresenta il tempo passato nello stato i-esimo da un processo a tempo continuo con spazio degli stati discreto che gode della proprietà di Markov (catena di Markov). Per la proprietà di Markov, il comportamento futuro del processo dipende solamente dalla conoscenza dello stato corrente e non dagli stati passati. In particolare, il processo non è influenzato dall ammontare di tempo che esso è rimasto nello stato corrente. In altre parole, il tempo residuo di permanenza nello stato i-esimo deve avere una distribuzione che dipendesolamente da i e non da quanto tempo il processo è già rimasto nello stato i. Quindi possiamo scrivere che la probabilità che T i > s+t condizionata al fatto che T i > s è funzione del solo tempo aggiuntivo t e non del tempo passato s, ovvero P (T i > s+t T i > s) = f(t), per una opportuna f funzione della sola t. Si ha quindi f(t) = P (T i > s+t T i > s) = P (T i > s+t, T i > s) P (T i > s) = P (T i > s+t). P (T i > s) Si ottiene, quindi P (T i > s+t) = P (T i > s)f(t). (.4.2) Sapendo che P (T i > 0) =, ponendo s = 0 nella (.4.2) si ricava f(t) = P (T i > t). Sostituendo il valore ora ottenuto per la f(t) nella (.4.2) si ha P (T i > s+t) = P (T i > s)p (T i > t) che è la (.3.4). Come abbiamo già visto nella discussione della proprietà di assenza di memoria della distribuzione esponenziale, questa implica che la variabile T i siadistribuitaesponenzialmente. Questodimostracheperunprocessoatempo continuo con spazio degli stati discreto che gode della proprietà di Markov (catena di Markov) i tempi di permanenza negli stati sono distribuiti esponenzialmente. Applicando quanto appena dimostrato ad un processo di sole nascite, si ha che tale processo consiste in un processo di soli arrivi con tempi di interarrivo distribuiti esponenzialmente con tasso costante. Quindi, per il Teorema.3., è un processo di Poisson. Quindi, i processi di Poisson sono un sottoinsieme dei processi di sole nascita (quelli a tasso di nascita costante) che a loro volta sono un sottoinsieme dei processi di nascita e morte. Questi ultimi, naturalmente sono un sottoinsieme dei processi che godono della proprietà di Markov. I processi di Poisson risultano, pertanto, quelli che assommano le proprietà di ciascuno dei processi stocastici menzionati. Di qui la loro grande importanza e utilizzazione.

5 3 TEORIA DELLE CODE.4.2 Le equazioni di Kolmogorov e la soluzione stazionaria Dato un processo di nascita e morte, note le probabilità di transizione p n,m ( t) pertutti i valori din, m, èpossibilecalcolare leprobabilitàp n (t). Ilprocedimento passa per la soluzione di un sistema di equazioni differenziali che però nello studio della distribuzione stazionaria si riduce ad un sistema algebrico. Infatti, applicandoilteoremadellaprobabilitàtotalesipuòesprimerelap n (t+ t) nel seguente modo: ( ) p n (t+ t) = P N(t+ t) = n = = = Quindi per n si ha P ( N(t+ t) = n p i,n ( t)p i (t) ) ( ) N(t) = i P N(t) = i = p n (t+ t) = p n,n ( t)p n (t)+p n,n ( t)p n (t)+p n+,n ( t)p n+ (t)+o( t) = da cui = λ n t p n (t)+( λ n t µ n t)p n (t) +µ n+ t p n+ (t)+o( t) p n (t+ t) p n (t) t = λ n p n (t)+µ n+ p n+ (λ n +µ n )p n (t)+ o( t). (.4.3) t Analogamente per n = 0 si ha p 0 (t+ t) = p 0,0 ( t)p 0 (t)+p,0 ( t)p (t)+o( t) = = ( λ 0 t)p 0 (t)+µ t p (t)+o( t) da cui p 0 (t+ t) p 0 (t) t = µ p (t) λ 0 p 0 (t)+ o( t). (.4.4) t Passando al limite per t 0 nella (.4.3) e nella (.4.4) si ha dp n (t) = λ n p n (t) (λ n +µ n )p n (t)+µ n+ p n+ (t), n dt dp 0 (t) = µ p (t) λ 0 p 0 (t) dt (.4.5)

6 P 39 Equazioni di Kolmogorov che è un sistema di equazioni differenziali. Le equazioni (.4.5) prendono nome di equazioni di Kolmogorov e descrivono come le probabilità dei diversi stati evolvono nel tempo per un processo di nascita e morte. Si osservi che le (.4.5) costituiscono un sistema tridiagonale che, in linea di principio, potrebbe essere risolto e fornirci i valori delle p n (t). Tuttavia, notando anche che le equazioni presenti nel sistema sono un numero infinito si possono comprendere le difficoltà teoriche e pratiche nella loro soluzione. Non tratteremo delle questioni riguardanti esistenza e unicità delle soluzioni di tale sistema per le quali rimandiamo alla letteratura specifica, ma ci limiteremo ad alcune considerazioni che ci sono sufficienti all interno del contesto della teoria delle code che stiamo trattando. Osserviamo solo che il sistema (.4.5) potrà essere risolto note le condizioni iniziali date dalle probabilità p n (0), n = 0,,..., tenendo conto che, ovviamente, deve risultare p n(0) =. In particolare, se lo stato iniziale è noto con certezza ed è pari a k > 0, ovvero N(0) = k, si ha p k (0) = e p n (0) = 0 per ogni n k. Ricordiamo tuttavia che l interesse principale nello studio di un sistema, ed in particolare di un sistema a coda, riguarda il comportamento all equilibrio, ovvero lo stato stazionario (steady-state). Per un processo di nascita e morte, si dice che esso ammette una distribuzione stazionaria se esistono i limiti lim p n(t) = p n, n = 0,,... t indipendentemente dai valori iniziali p n (0), n = 0,,..., essendo naturalmente p n =. La proprietà che garantisce l esistenza delle probabilità a regime p n si chiama ergodicità. Si noti che assumere che esista la distribuzione stazionaria non è un ipotesi limitativa, in quanto, come abbiamo già avuto modo di osservare, in molti casi pratici, è sufficiente limitarsi a valutare la distribuzione stazionaria p n piuttosto che la probabilità p n (t), assumendo che il sistema è stato in funzione per un tempo sufficientemente grande. Naturalmente ciò è vero a patto che le condizioni operative del sistema non variano nel tempo, ipotesi questa che corrisponde a quella già fatta, che le probabilità di transizione p n,m ( t) siano indipendenti da t. Per un sistema che ammette una distribuzione stazionaria la probabilità p n può essere interpretata come proporzione di tempo in cui il sistema è nello stato n. A questo punto ci sono due vie per determinare la distribuzione stazionaria:. risolvere il sistema di equazioni differenziali con opportune condizioni iniziali per ottenere p n (t) e poi calcolare i limiti lim t p n (t) = p n ; 2. prendere il limite per t ad ambo i membri di ciascuna delle equazioni differenziali (.4.5) sapendo che lim t p n (t) = p n e imponendo che, per la dp stazionarietà, valga lim n(t) t dt = 0 (questo perché per la stazionarietà per t le p n (t) tendono a valori costanti) e sapendo inoltre che deve risultare p n(t) =. Si ottiene in questo modoun sistema di equazioni algebriche. Distribuzione stazionaria

7 4 TEORIA DELLE CODE Appare immediatamente chiaro che il secondo modo di procedere e assolutamente più conveniente perché permette di ottenere la distribuzione stazionaria direttamente senza dover prima determinare le probabilità p n (t) dipendenti dal tempo. Si ha quindi il sistema di equazioni algebriche λ n p n (λ n +µ n )p n +µ n+ p n+ = 0, n (.4.6) µ p λ 0 p 0 = 0. (.4.7) ottenuto dalle (.4.5) passando al limite per t in entrambi i membri di ciascuna equazione. Esplicitando le equazioni di questo sistema si hanno per n = 0 : µ p = λ 0 p 0 per n = : λ 0 p 0 +µ 2 p 2 = (λ +µ )p per n = 2 : λ p +µ 3 p 3 = (λ 2 +µ 2 )p 2 per n = 3 : λ 2 p 2 +µ 4 p 4 = (λ 3 +µ 3 )p 3. per n = k : λ k p k +µ k+ p k+ = (λ k +µ k )p k..... Queste equazioni possono essere interpretate in modo molto intuitivo osservando la Figura.4.. Essa può essere vista come un grafo dove ogni nodo rappresenta uno stato e gli archi rappresentano le transizioni possibili. Per ogni nodo k, del diagramma di transizione di stato, la quantità λ k p k + µ k+ p k+ può essere visto come tasso di flusso entrante nello stato k e la quantità (λ k +µ k )p k come tasso di flusso uscente. Alla luce di questa interpretazione, ciascuna equazione del sistema rappresenta, per ogni stato, una equazione di bilancio, ovvero uguaglia il flusso entrante e il flusso uscente. Più precisamente, le equazioni di bilancio esprimono l uguaglianza tra il tasso con cui il processo lascia uno stato e il tasso con cui il processo entra nello stato. In particolare, consideriamo lo stato n = 0: quando il sistema è allo stato 0, esso può lasciare questo stato solo a causa di una nascita (perché il sistema è vuoto); ora, poiché λ 0 è il coefficiente di natalità e poiché p 0 può essere vista come frazione di tempo durante la quale ci sono 0 utenti nel sistema, si ha che il processo lascia lo stato 0 con tasso λ 0 p 0. D altra parte, lo stato 0 può essere solo raggiunto dallo stato per una morte e siccome il coefficiente di mortalità è µ e la frazione di tempo che il sistema contiene esattamente un utente è p, si ha che il tasso al quale il sistema entra nello stato 0 è µ p e quindi si ottiene la prima delle equazioni di bilancio. Consideriamo ora lo stato : il processo può lasciare lo stato per una nascita (con coefficiente di natalità λ ) o una morte (con coefficiente di mortalità µ ). Poiché la frazione di tempo che il processo è nello stato è p, il tasso al quale

8 P 4 il processo lascia lo stato è (λ +µ )p. D altra parte, il processo può arrivare allo stato dallo stato 0 per una nascita (con coefficiente di natalità λ 0 ) o una morte (con coefficiente di mortalità µ 2 ) e quindi il tasso al quale il processo arriva allo stato è λ 0 p 0 + µ 2 p 2, che è la seconda equazione di bilancio. Ragionando analogamente si ottengono tutte le equazioni di bilancio. Passiamo ora alla soluzione del sistema formato dalle equazioni di bilancio. Tale soluzione è molto semplice e si può ottenere iterativamente nel seguente modo: innanzitutto ricordiamo che vale la (.4.7), ovvero che, la (.4.6) riscritta nella forma permette di ottenere iterativamente µ p λ 0 p 0 = 0 (.4.8) µ n+ p n+ λ n p n = µ n p n λ n p n, (.4.9) µ 2 p 2 λ p = µ p λ 0 p 0 = 0 µ 3 p 3 λ 2 p 2 = µ 2 p 2 λ p = 0 µ 4 p 4 λ 3 p 3 = µ 3 p 3 λ 2 p 2 = 0 µ 5 p 5 λ 4 p 4 = µ 4 p 4 λ 3 p 3 = 0.. dalle quali si ottiene immediatamente p = λ 0 µ p 0 p 2 = λ µ 2 p = λ λ 0 µ 2 µ p 0 p 3 = λ 2 µ 3 p 2 = λ 2λ λ 0 µ 3 µ 2 µ p 0. p k = λ k µ k p k = λ k λ k 2 λ λ 0 µ k µ k µ 2 µ p 0. ovvero, per un generico stato n si ha p n = n λ i p n 0 µ j j=

9 TEORIA DELLE CODE che è l espressione che fornisce p n in funzione di p 0. Inoltre poiché deve risultare p n +p 0 =, si può ricavare p 0 sostituendo l espressione della p n : n= da cui p 0 = p n = n= p 0 = + n= n= n n j= λ i µ j n λ i p n 0 µ j Abbiamo quindi ottenuto la soluzione cercata (in forma prodotto), ovvero p n per ogni n 0: i=j. p 0 = p n = + n n= λ i n n j= λ i µ j (.4.0) p n 0 n (.4.) µ i i= Naturalmente è necessario assumere che la serie al denominatore della (.4.0) sia convergente ovvero n= n λ i <. (.4.2) n µ j j= Questa assunzione costituisce una condizione di esistenza dello stato stazionario. Infatti se la serie nella (.4.2) fosse infinita, allora si avrebbe p n = 0 per ogni n

10 P 43 finito, e quindi, parlando informalmente, possiamo dire che lo stato del processo cresce indefinitivamente e non si raggiunge mai l equilibrio, ovvero non esiste una distribuzione stazionaria. Possiamo riassumere quanto ora ottenuto nel seguente teorema: Teorema.4. Si consideri un processo di nascita e morte con coefficienti di natalità λ i 0, (i = 0,,...) e coefficienti di mortalità µ j 0, (j =,2,...). Sia n / n S = + λ i. n= Se S < allora /S per n = 0 p n = n / n λ i µ j p 0 per n j= j= µ j Per ogni approfondimento su queste tematiche si veda[kleinrock, 975] e[cooper, 98]. Il più semplice processo di nascita e morte è quello al quale abbiamo già fatto riferimento nella Proposizione.4.3, ovvero un processo di sole nascite (µ n = 0 Processi di perogni n)conλ n = λcostante. Nellasuddettaproposizioneabbiamodimostrato sole nascite che un tale processo è un processo di Poisson. A questo stesso risultato siamo ora in grado di pervenire utilizzando le equazioni di Kolmogorov (.4.5) particolarizzate al caso in cui il coefficiente di natalità è costante e pari a λ e il coefficiente di mortalità nullo, ovvero dp n (t) = λp n (t) λp n (t) dt (.4.3) dp 0 (t) = λp 0 (t). dt Si verifica, infatti, direttamente che, assumendo che al tempo zero non vi siano utenti nel sistema, ovvero p 0 (0) =, ep n (0) = 0 per n, il sistema di equazioni differenziali (.4.3) ammette la seguente soluzione p n (t) = (λt)n e λt, n = 0,,... (.4.4) n! che è una distribuzione di Poisson di parametro λt. Quindi gli istanti di nascita di un processo di sole nascite con coefficiente di natalità costante costituiscono un processo di Poisson.

11 TEORIA DELLE CODE Processi di Un altro esempio semplice di processo di nascita e morte è un processo di sole sole morti morti (λ n = 0 per ogni n) con coefficiente di mortalità µ n = µ costante. In modo analogo a quanto abbiamo appena fatto nel caso dei processi di sole nascite, si possono riscrivere le equazioni di Kolmogorov particolarizzate a questo caso particolare. Per fare ciò, supponiamo che inizialmente vi siano k utenti nel sistema. Poiché si tratta di un processo di sole morti, non potranno mai essere nel sistema più di k utenti, ovvero dovrà risultare p n (t) = 0 per n > k. In questo caso le equazioni di Kolmogorov (.4.5) diventano dp k (t) = µp k (t) dt dp n (t) = µp n+ (t) µp n (t) per n k (.4.5) dt dp 0 (t) = µp (t) dt Osserviamo subito che, a differenza del caso di processi di sole nascite, queste equazioni sono un numero finito. Poiché abbiamo assunto che inizialmente nel sistema ci sono k utenti, si ha p k (0) = e p n (0) = 0 per n k. Si verifica direttamente che sotto queste ipotesi il sistema (.4.5) ammette soluzione (µt) k n p n (t) = e µt (k n)! k k p 0 (t) = p n (t) = n= n= n k (µt) k n (k n)! e µt che è una distribuzione di Poisson troncata. Riportiamo, di seguito, alcuni esempi di applicazione dei processi di nascita e morte. Esempio.4.4 Un negozio ha un unica cassa servita da una cassiera che provvede anche a confezionare i pacchi. I clienti arrivano alla cassa con frequenza media di 30 all ora e il tempo occorrente perché la cassiera faccia il conto della spesa, confezioni il pacco e riceva il pagamento dal cliente è in media di 2 minuti. Inoltre, ogni volta che alla cassa (in coda e il cliente che è servito) vi sono 3 o più clienti, il proprietario del negozio auita la cassiera a confezionare i pacchi e in questo modo il tempo medio per servire un cliente diventa pari ad minuto. Costruire un modello basato su processi di nascita e morte che rappresenti la situazione descritta determinando la distribuzione stazionaria. Assumiamo come unità di tempo l ora. Il numero del clienti alla cassa evolve in accordo ad un processo di mascita e morte, dove il coefficiente di natalità è indipendente dallo stato e risulta λ n = 30 per ogni n, mentre il coefficiente di mortalità, esso dipende dallo stato, infatti vengono

12 P 45 serviti in media 30 clienti l ora se i clienti nel negozio sono meno di 2 mentre vengono serviti in media 60 clienti l ora se i clienti nel negozio sono 3 o più di 3; quindi si ha µ n = 30 per n =,2 e µ n = 60 per n 3. Per la determinazione della distribuzione stazionaria, innanzitutto verifichiamo che la condizione di esistenza (.4.2) sia soddisfatta. Infatti, in questo caso la serie della condizione (.4.2) converge ed ha per somma il valore 3. Dalla (.4.0) si ricava immediatamente il valore di p 0 = /4 e dalla (.4.) i valori p = p 0 = 4 p 2 = p 0 = 4 p 3 = 2 p0 = 8 p 4 = 4 p0 = 6. p n = ( ) n 2 p 0, n 2. 2 Ora, volendo, ad esempio, determinare la proporzione di tempo che il proprietario passa in media alla cassa, sarà sufficiente calcolare la probabilità che nel negozio vi siano più di 3 clienti ovvero p n = (p 0 +p +p 2) = 4. n=3 Esempio.4.5 Si consideri un processo di nascita e morte con i seguenti coefficienti di natalità e mortalità: λ, 0 n K λ n = 3λ, n > K µ n = µ, n con λ, µ IR fissati. Determinare sotto quali condizioni questo processo raggiunge lo stato stazionario e calcolare l espressione di p 0 e di p n in funzione di λ e µ. Si ha: Caso a): n K +. In questo caso si ha n λ i = n µ j j= ( ) n λ µ

13 TEORIA DELLE CODE Caso b): n > K +. In questo caso si ha n λ i = n µ j j= 3 K+ ( ) n 3λ µ Quindi si ha n= n λ i = n µ j j= K+ n= ( ) n λ + µ n=k+2 3 K+ ( ) n 3λ µ Quindi la serie converge per 3λ <, e questa è la relazione tra λ e µ che garantisce l esistenza µ dello stato stazionario. Risulta inoltre ( ) n λ p 0, per n K + µ p n = ( ) n 3λ p 0, per n > K + 3 K+ µ e ( ) K+2 λ µ p 0 = λ µ + 3 K+ ( ) K+2 3λ µ 3λ µ.4.3 Sistemi di code e processi di nascita e morte I processi di nascita e morte permettono di studiare il comportamento di un sistemadicode. Èsufficienteinterpretarel arrivodiunutentecomeuna nascita e l uscita di un utente dal sistema dopo aver ottenuto il servizio una morte. In particolare, il modello più semplice corrisponde ad un caso particolare di grande interesse che ricorre frequentemente nei sistemi di code. Si tratta di un processo di nascita e morte con coefficiente di natalità costante pari a λ e coefficiente di mortalità costante pari a µ, ovvero entrambi i coefficienti sono costanti non dipendenti da n. Si vede facilmente che questa situazione corrisponde al modello di coda M/M/ (che analizzeremo in dettaglio più avanti). Infatti, applicando il Teorema.3., affermare che i tempi di interarrivo sono esponenziali equivale ad avere arrivi secondo un processo di Poisson (arrivi poissoniani) di tasso λ. Analogamente, essendo il coefficiente di mortalità costante, si ha che il tempo tra due morti consecutive è distribuito esponenzialmente. Ora, poiché le morti corrispondono agli istanti di fine del servizio, avere tasso di mortalità costante corrisponde ad avere i tempi di servizio esponenziali, ovvero si tratta del modello M/M/.

14 P 47 Nei prossimi paragrafi studieremo le varie tipologie di sistemi di code attraverso l utilizzo dei processi di nascita e morte. Ribadiamo il fatto che tale studio riguarderà il comportamento all equilibrio di un sistema di code, soffermandoci con particolare attenzione alla valutazione delle misure di prestazione.

15 TEORIA DELLE CODE.5 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE In questo paragrafo verrano studiati sistemi di code che possono essere rappresentati da processi di nascita e morte. In particolare, assumendo che il sistema raggiunga l equilibrio, utilizzando i risultati ottenuti nel paragrafo precedente si possono facilmente ottenere le misure di prestazione (N, T, N q e T q ) di un sistema di code rappresentato da un processo di nascita e morte. Infatti, una volta ottenuti i valori p n delle probabilità in equilibrio, si possono calcolare il valore di N dalla (.2.) e il valore di N q dalla (.2.2), ovvero N = N q = np n (.5.) n=s+ (n s)p n. (.5.2) Lo scopo sarà quindi quello di determinare la distribuzione stazionaria utilizzando gli strumenti forniti dalla teoria dei processi di nascita e morte che abbiamo visto, ed in particolare, il Teorema.4.. Ovvero, si vuole determinare p n, per n 0, nella forma / ( ) + Π k per n = 0 p n = k= (.5.3) avendo definito Π n p 0 per n Π n = n λ i n. (.5.4) n µ j j= (Si osservi che con questa definizione di Π n la condizione di esistenza dello stato stazionario si può riscrivere n= Π n < ). Avendo a disposizione le p n si possono calcolare i valori di N ed N q rispettivamente dalle (.5.) e (.5.2). Il passo successivo consiste nell applicare il teorema di Little (.2.4) e la (.2.20) per ottenere il valori di T e T q. Nel fare ciò e necessario prestare attenzione al fatto che la costante λ che compare nella formula di Little (.2.4) e nella (.2.20) rappresenta, come è ben noto, la frequenza media degli arrivi. Ora, se il sistema di code è rappresentato attraverso un processo di nascita e morte in cui il coefficiente di natalità è costante (λ n = λ) allora esso coincide con tale frequenza media degli arrivi, altrimenti, se λ n può variare con lo stato n, il valore della frequenza media degli arrivi deve essere calcolato. Ciò può essere fatto facilmente ricordando che λ n rappresenta la frequenza media di

16 S P 49 arrivo quando nel sistema ci sono n utenti e p n è la probabilità che n utenti siano presenti nel sistema, e quindi si ha la frequenza media effettiva degli arrivi che Frequenza indichiamo con λ data da media effettiva λ = λ n p n. (.5.5) degli arrivi Determinato questo valore di λ è possibile applicare il teorema di Little (.2.4) e la (.2.20) per ottenere T = N λ (.5.6) T q = Nq λ. (.5.7) Si osservi che una difficoltà potrebbe essere rappresentata dal fatto che nelle (.5.) (.5.2) sono presenti delle serie e non delle somme finite; tuttavia, come vedremo, in molti casi interessanti, queste serie convergono e può essere facilmente calcolato il loro valore. Prima di entrare nei dettagli dei vari modelli di code, analizziamo una proprietà di cui godono tutti i sistemi di code con arrivi poissoniani..5. Sistemi con arrivi poissoniani: proprietà PASTA Supponiamo che un sistema di code sia caratterizzato da arrivi che seguono un processo di Poisson. Tale sistema gode di una importante proprietà detta Poisson Proprietà Arrivals See Times Average (PASTA) che informalmente può essere così sintetizzata: gli utenti che arrivano nel sistema di code trovano, in media, nel sistema PASTA la stessa situazione che vedrebbe un osservatore esterno al sistema che osserva il sistema in un momento arbitrario nel tempo. Formalmente, definiamo a k (t) = P{un utente che arriva al tempo t trova il sistema nello stato k}. In generale, risulterà a k (t) p k (t) in quanto l evento e l evento {un utente che arriva al tempo t trova il sistema nello stato k} {lo stato del sistema in un generico istante t è pari a k} sono eventi distinti. Infatti, nel caso del primo evento l osservazione dello stato del sistema avviene in specifici istanti di tempo che dipendono dal processo di arrivo. Se invece gli arrivi sono poissoniani, allora si ha il seguente risultato.

17 54 TEORIA DELLE CODE Proposizione.5. Proprietà PASTA Sia dato un sistema a coda con arrivi poissoniani. Allora la probabilità che un utente che arriva nel sistema al tempo t trova il sistema allo stato k (cioè con k utenti presenti) è uguale alla probabilità che il sistema sia allo stato k al tempo t, ovvero a k (t) = p k (t). Dimostrazione: Per dimostrare questo risultato, sia {X(t), t 0} il processo di Poisson degli arrivi, ovvero il processo di sole nascite che descrive gli arrivi al sistema a coda. Allora se n(t) è il numero degli utenti presenti nel sistema al tempo t e p k (t) = P(n(t) = k), per le probabilità composte: a k (t) = P{un utente che arriva al tempo t trova il sistema nello stato k} = lim P (n(t) = k X(t+ t) X(t) = ) t 0 P (X(t+ t) X(t) = n(t) = k)p (n(t) = k) = lim t 0 P (X(t+ t) X(t) = ) = lim t 0 P (X(t+ t) X(t) = )P (n(t) = k) P (X(t+ t) X(t) = ) = P (n(t) = k) = p k (t). Si osservi che è stato utilizzato il fatto che il processo X(t) è di Poisson, e quindi vale P (X(t+ t) X(t) = N(t) = k) = P (X(t+ t) X(t) = ). Una giustificazione intuitiva di questa proprietà è la seguente: se di un arbitrario arrivo secondo Poisson conoscessimo l istante di tempo al quale esso è avvenuto, la distribuzione condizionata di ciò che l utente in arrivo vede all arrivo nel sistema è uguale alla distribuzione non condizionata dello stato del sistema al tempo t. Ma sapere che un arrivo c è stato al tempo t non fornisce alcuna informazione su che cosa è accaduto prima del tempo t, in quanto, avendo il processo di Poisson incrementi indipendenti, sapere che un evento è accaduto ad un certo tempo t non influenza la distribuzione di ciò che è accaduto prima del tempo t. Quindi un utente in arrivo vedrebbe solamente il sistema secondo la probabilità p n (t). Si osservi che la proprietà PASTA non è vera in generale; infatti se si considera un sistema di code del tipo D/D/ con queste caratteristiche: il sistema è vuoto al tempo t = 0 e gli arrivi si verificano agli istanti t =, t = 3, t = 5, t = 7,... e il tempo di servizio è pari a. Allora ogni utente che arriva trova il sistema vuoto, ovvero la probabilità che un utente che arriva trova il sistema allo stato 0 è pari a, mentre la probabilità p 0 (t) = /2 per ogni t.

18 ! 5 Abbiamo visto come nello studio di un sistema a coda in equilibrio è possibile definire (se esiste) la distribuzione stazionaria come p k = lim t p k (t) e interpretando queste quantità come la frazione di tempo che il sistema è nello stato k. Analogamente si possono definire le quantità a k = lim t a k (t) interpretandole come frazione di arrivi che trovano k utenti nel sistema. Poiché dalla proprietà PASTA si ha a k (t) = p k (t), passando al limite per t si ottiene anche l uguaglianza a k = p k. (.5.8) In maniera analoga alla quantità a k (t) che considera la distribuzione all arrivo di un cliente, si può studiare la distribuzione dopo la partenza di un cliente dal sistema dopo che ha usufruito del servizio definendo d k (t) = P{un utente che esce al tempo t lascia il sistema nello stato k} e, in condizioni di stazionarietà, d k = lim t d k (t), interpretando d k come frazione di clienti che lascia nel sistema k clienti quando esce dal sistema. Per un qualsiasi sistema di code a coda singola, non necessariamente con arrivi poissoniani, vale l uguaglianza a k = d k (.5.9) purchéi clienti arrivano al sistema uno alla volta e sono serviti uno alla volta. Ma quando gli arrivi sono poissoniani vale la proprietà PASTA e quindi vale la(.5.8). Quindi, in questo caso dalla (.5.8) e dalla (.5.9) si ha p k = a k = d k, ovvero, sia un cliente che arriva, sia un cliente che parte da un sistema in condizioni di stazionarietà, vede un sistema che è statisticamente equivalente ad un sistema visto da un osservatore che osserva il sistema dall esterno in un arbitrario istante di tempo.

19 "# TEORIA DELLE CODE.5.2 Sistemi M/M/s I sistemi M/M/s sono sistemi di code ove si assume che gli intertempi di arrivo sono indipendenti, identicamente distribuiti secondo la distribuzione esponenziale (ovvero arrivi poissoniani), i tempi di servizio indipendenti, identicamente distribuiti secondo un altra distribuzione esponenziale e il numero di serventi pari a s. Questi modelli possono essere rappresentati come processi di nascita e morte; infatti, come abbiamo già osservato nel paragrafo.4.3, se il sistema ha un solo servente (s = ) allora esso è rappresentabile mediante un processo di nascita e morte con coefficiente di natalità costante λ n = λ, n = 0,,... e coefficiente di mortalità costante µ n = µ, n =,2,... Infatti assumere che i tempi di interarrivo sono esponenziali equivale ad avere arrivi secondo un processo di Poisson di tasso λ. Analogamente, avere tasso di mortalità costante corrisponde ad avere i tempi di servizio esponenziali. Se il sistema ha s > serventi (che, ricordiamo, abbiamo assunto lavorino in parallelo) il sistema è sempre rappresentabile mediante un processo di nascita e morte, ma il coefficiente di mortalità µ n non può essere espresso in maniera così semplice. Si ricordi che µ n rappresenta il coefficiente di mortalità, ovvero la velocità media alla quale avvengono i completamenti dei servizi e quindi la velocità media alla quale gli utenti escono dal sistema, quando n utenti sono presenti nel sistema. Abbiamo visto che per la Proprietà E3 della distribuzione esponenziale, quando la velocità media di servizio di ciascun server è pari a µ, la velocità media media di servizio complessiva quando si hanno n serventi occupati (cioè che stanno erogando il servizio) è pari a nµ. Quindi si ha µ n = { nµ per n s sµ per n s, (.5.0) perché quando n s, i serventi occupati continuano ad essere sempre s. Quando ρ = λ/sµ <, un modello di code di questo tipo soddisfa la condizioni per l esistenza dello stato stazionario e quindi possono essere applicati i risultati ottenuti nel paragrafo.4 per il calcolo della distribuzione stazionaria di un processo di nascita e morte. Sistemi M/M/ Sistemi M/M/ Consideriamo, ora i sistemi M/M/, ovvero con un singolo servente, assumendo ρ = λ/µ <. In questo caso risulta Π n = (λ/µ) n = ρ n e quindi si ha soddisfatta la condizione di esistenza dello stato stazionario (.4.2) in quanto 0 < ρ < e risulta ρ n = ρ. Dal Teorema.4. si ha n=

20 ! 53 da cui p 0 = ρ = ρ e p n = ρ n p 0, per n, p n = ( ρ)ρ n per n = 0,,2,... (.5.) Calcolate le p n, si possono facilmente determinare le misure di prestazione N, N q, T e T q rispettivamente dalle (.5.) e (.5.2): N = np n = n( ρ)ρ n = ( ρ) nρ n = ( ρ)ρ nρ n dρ n = ( ρ)ρ dρ = ( ρ)ρ d ρ n dρ = ( ρ)ρ d ( ) = ( ρ)ρ dρ ρ ( ρ) 2 ρ = ρ = λ µ λ. Si osservi che nei passaggi ora svolti, il passaggio fuori dal segno di serie della derivata rispetto a ρ è possibile perché sono soddisfatte le opportune ipotesi sulla convergenza delle serie coinvolte. Il calcolo diretto della N q si può omettere e calcolare N q direttamente dalla (.2.23), ovvero N q = N ( p 0 ). Si ottiene quindi, utilizzando anche la (.2.24) N q = N ρ = ρ2 ρ = λ 2 µ(µ λ). Applicando, poi il Teorema di Little, si ha T = N λ = µ λ T q = Nq λ = λ µ(µ λ). Si osservi, inoltre, che ovviamente la (.2.2) risulta soddisfatta.

21 "$ TEORIA DELLE CODE Abbiamo così ottenuto le misure di prestazione per un sistema di code M/M/ che riassumiamo nello schema seguente: N = N q = T = T q = λ µ λ λ 2 µ(µ λ) µ λ λ µ(µ λ). Esempio.5.2 In un aeroporto con una sola pista chiede di atterrare, in media, un aereo ogni 6 minuti e la distribuzione degli intervalli di tempo tra due richieste successive è esponenziale. Gli aerei vengono autorizzati ad atterrare dal controllore del traffico aereo sulla base del criterio primo arrivato, primo servito. Gli aerei che non possono atterrare immediatamente per la congestione del traffico, vengono inseriti in un circuito di attesa. Il tempo necessario per l atterraggio è distribuito esponenzialmente con un valore medio pari a 4 minuti. Determinare:. il numero medio di aerei tenuti contemporaneamente sotto controllo dal controllore del traffico aereo; 2. il numero medio di aerei che si trovano nel circuito di attesa; 3. il tempo medio passato nel circuito di attesa; 4. la probabilità che nel circuito di attesa ci siano più di 3 aerei. Si tratta di un sistema di code M/M/ in cui gli utenti sono gli aerei e la coda è costituita dagli aerei nel circuito di attesa. Assumendo come unità di tempo il minuto, si ha λ = /6, µ = /4, ρ = 2/3. Poiché risulta ρ < è soddisfatta la condizione di esistenza della distribuzione stazionaria.. Il numero di aerei che il controllore deve tenere sotto controllo è pari al numero di aerei presenti nel sistema che è dato da N = λ/(µ λ) = 2; 2. il numero medio di aerei che si trovano nel circuito di attesa è N q = λ 2 /[µ(µ λ)] = 4/3; 3. il tempo medio passato nel circuito di attesa è T q = N q /λ = 8 minuti;

22 ! la probabilità che nel circuito di attesa ci siano più di 3 aerei coincide con la probabilità che nel sistema ci sono più di 4 utenti; tale probabilità si può ottenere come n=5 p n 4 = p n = ( ρ) 4 = (/3)(+2/3+4/9+8/27+6/8) = 0.3. ρ n Esercizio.5.3 Realizzare un foglio elettronico in Excel che, dati in ingresso i valori di λ e µ di un sistema di code M/M/, determini N, N q, T, T q e la distribuzione p n per n = 0,,...,25, rappresentando su un grafico questi valori di p n. Nel caso di sistemi M/M/, oltre il valore atteso, si può ricavare anche la distribuzione di probabilità del tempo di permanenza nel sistema t w di un arbitrario utente che arriva. P (t w > t) A tale scopo, supponiamo che l utente che arriva trovi già un certo numero n di utenti presenti nel sistema. Se n = 0 il tempo di permanenza nel sistema dell utente che arriva è pari al tempo di servizio. Nel caso n il nuovo utente che arriva trova un utente che sta usufruendo del servizio e n utenti in coda. Per poter uscire dal sistema, questo nuovo utente che arriva dovrà aspettare i tempi di servizio degli n utenti che sono in coda, tempi che sono distributi esponenzialmente di parametro µ; il tempo di completamento del servizio dell utente che sta usufruendo del servizio quando questo nuovo utente arriva, tempo che, per la proprietà di assenza di memoria della distribuzione esponenziale (Proprietà E2), è distributo esponenzialmente di parametro µ; il tempo del proprio servizio, ovvero il tempo necessario per espletare il servizio relativo al nuovo utente che arriva che è distributo esponenzialmente di parametro µ. Ovvero l utente arbitrario che arriva dovrà aspettare n + tempi distribuiti esponenzialmente di parametro µ. Se indichiamo con T,T 2,...,T n+ questi tempi, si ha che il tempo di permanenza nel sistema dell utente che arriva sarà dato S n+ = T + +T n+. Per la Proprietà E5, si ha che la variabile S n+ segue la distribuzione di Erlang di parametri µ ed n+, ovvero la sua densità di probabilità è f Sn+ (x) = µe µx (µx) n, n!

23 "% TEORIA DELLE CODE e quindi risulta ( ) P t w n utenti presenti nel sistema t all arrivo del nuovo utente = P (S n+ t) = t 0 µe µx(µx)n dx. (.5.2) n! Sulla base di queste osservazioni, possiamo ora dimostrare il seguente risultato. Proposizione.5.4 In un sistema M/M/, il tempo di permanenza nel sistema t w è distribuito esponenzialmente con parametro µ λ, ovvero P (t w > t) = e (µ λ)t, t 0. Dimostrazione: Applicando il Teorema delle probabilità totali si può scrivere ( ) P (t w t) = P t w n utenti presenti nel sistema t all arrivo del nuovo utente ( ) n utenti presenti nel sistema P all arrivo del nuovo utente dove la prima delle probabilità che compaiono nella serie è data dalla (.5.2), mentre la seconda, per la proprietà PASTA, è pari a p n. Si ha quindi P (t w t) = = = t 0 t 0 t 0 µe µx(µx)n dx ρ n ( ρ) n! (µ λ)e µx (λx) n dx n! (µ λ)e (µ λ)x dx = e (µ λ)t, ovverot w segueladistribuzioneesponenzialeconparametroµ λelaproposizione è dimostrata. Osservazione.5.5 Da questa proposizione è immediato determinare il valore atteso della variabile t w, ovvero T, che è pari a /(µ λ), come già sappiamo. Osservazione.5.6 Ovviamente la probabilità P(t w > t) può essere calcolata direttamente, ovvero nella forma P (t w > t) = P (S n+ > t)p n. (.5.3)

24 ! 57 Nel caso di un sistema di code M/M/, si può facilmente determinare anche la distribuzione di probabilità del tempo di attesa nella coda t q di un utente che P (t q > t) arriva. Ovviamente, se il nuovo utente che arriva non trova utenti nel sistema (n = 0), il nuovo utente viene servito immediatamente (t q = 0) e la probabilità che questo accada è P (t q = 0) = p 0 = ρ. Altrimenti, se all arrivo del nuovo utente c è un numero non nullo di utenti presenti nel sistema, ovvero se n, vale il seguente risultato. Proposizione.5.7 In un sistema M/M/, per il tempo di attesa in coda t q vale P (t q > t) = ρe (µ λ)t, t 0. Dimostrazione: Si ragiona in maniera del tutto analoga a quanto espresso nell introdurre la proposizione precedente. Supponiamo, quindi, che entrando nel sistema il nuovo utente trova già n utenti presenti nel sistema; quindi dovrà aspettare n tempi esponenziali per l inizio del proprio servizio (si tratta di n tempi e non più n+ perchè deve essere escluso il tempo relativo al servizio del nuovo utente stesso). Analogamente alla dimostrazione della proposizione precedente, utilizzando la (.5.3), si ha P (t q > t) = = = ρ = ρ = ρ P n= ( t q > t P (S n > t)p n n= P (S n > t)( ρ)ρ n n= P (S n+ > t)( ρ)ρ n P (S n+ > t)p n = ρ P (t w > t) = ρe (µ λ)t. ) n utenti presenti nel sistema p n all arrivo del nuovo utente Quindi il tempo di attesa nella coda t q non segue la distribuzione esponenziale come invece accade nel caso del tempo di permanenza nel sistema. Se invece

25 "& TEORIA DELLE CODE calcoliamo la probabilità che t q > t, condizionata a t q > 0, si ha P (t q > t t q > 0) = P (tq > t) P (t q > 0) = e (µ λ)t, ovvero il tempo di attesa in coda t q di un utente arbitrario che arriva nel sistema, condizionato a t q > 0 è distribuito esponenzialmente con parametro µ λ. Sistemi M/M/s multiservente Sistemi Consideriamo ora un sistema M/M/s multiservente, ovvero con s >, assumendo M/M/s ρ = λ/(sµ) <. Per quanto già visto nell introduzione al paragrafo, si può ricondurre questo caso ad un processo di nascita e morte con coefficiente di natalità λ n = λ e coefficiente di mortalità dato da { nµ se n < s µ n = sµ se n s, ovvero µ n = min{nµ, sµ}. Il diagramma di transizione di stato in questo caso è riportato in Figura.5.. Si ottiene, quindi ( ) λ n per n =,2,...,s n! µ Π n = ( ) λ s ( ) λ n s = ( ) λ n s! µ sµ s!s n s per n = s,s+,... µ Verifichiamo la condizione di esistenza dello stato stazionario (.4.2). Si ha Π n = n= = s n= s n= n! n! ( ) λ n ( ) λ s ( λ + µ s! µ sµ n=s ( ) λ n + ( ) λ s µ s! µ ) n s ( ) λ n < sµ λ λ λ λ λ λ λ λ s- s s+ µ 2 µ 3 µ 4µ ( s ) µ s µ s µ sµ '()* +*"*+ Diagramma di transizione di stato per un sistema M/M/s

26 ! 59 che è soddisfatta per ρ = λ sµ <. Inoltre risulta p 0 = s n! ( ) λ n + µ s! ( ) λ s µ ρ (.5.4) ed il valore di p n dato da p n = n! ( ) λ n p 0, per n =,2,...,s µ s!s n s ( ) λ n p 0, per n = s,s+,... µ (.5.5) Calcoliamo ora il valore di N q : N q = (n s)p n = ip s+i = i ( ) λ s+i s!s i p 0 µ n=s = i ( ) λ s ( ) λ i p 0 = ( ) λ s p 0 iρ i s! µ sµ s! µ = ( ) λ s p 0 ρ iρ i = ( ) λ s dρ i p 0 ρ s! µ s! µ dρ = ( ) λ s p 0 ρ d ρ i = ( ) λ s p 0 ρ d ( ) s! µ dρ s! µ dρ ρ = ( ) λ s ρ p 0 s! µ ( ρ) 2. Applicando il Teorema di Little si ricavano i valori di T q, T e N. Quindi per un sistema di code M/M/s multiservente si hanno le seguenti misure di prestazione: N q = s! T q = Nq λ ( ) λ s ρ µ ( ρ) 2p 0

27 %6 TEORIA DELLE CODE T = T q + µ N = λt = N q + λ µ. Anche nel caso di sistema M/M/s multiservente è possibile ricavare la distribuzione di probabilità del tempo di permanenza nel sistema t w e del tempo di attesa nella coda t q. Si riportano questi risultati senza dimostrazione. Risulta sostituendo P (t w > t) = e µt [ +(λ/µ) s p 0 s!( ρ) ( e µt(s λ/µ) s λ/µ ovvero se s λ/µ = 0, ed inoltre s dove P (t q = 0) = p n. ) ( e µt(s λ/µ) s λ/µ )] con µt nel caso in cui il denominatore si annulli, P (t q > t) = ( P (t q = 0))e s(µ λ)t (.5.6) È molto utile avere un espressione per il calcolo della probabilità di dover attendere nella coda un tempo non nullo, P (t q > 0) che, ovviamente, è un caso particolare della (.5.6). Si può ricavare direttamente nel seguente modo: P (t q > 0) = p n = n=s n=s s! = ( ) λ s p 0 s! µ = ( ) λ s s! µ ( ) λ s ( ) λ n s p 0 µ sµ ( ) λ i sµ λ p 0 = s! sµ ( ) λ s µ ρ p 0 Quest ultima formula che fornisce la probabilità che un utente che arriva trova tutti i serventi occupati è nota come formula di Erlang C. Esempio.5.8 Un bar ha due barman ugualmente efficienti, ciascuno dei quali è in grado di servire, in media, 60 clienti l ora e i tempi di servizio sono distribuiti esponenzialmente. I clienti entrano nel bar secondo un processo di Poisson, con frequenza media di 00 l ora. Determinare:

28 ! 6. il numero medio di clienti in attesa di essere serviti; 2. il tempo medio di attesa prima di essere serviti; 3. la probabilità che nel bar vi siano più di 5 clienti; 4. se utilizzando un terzo barman è possibile dimezzare il tempo medio di attesa in coda. Si tratta di un modello di code M/M/2. Assumendo come unità di tempo l ora, si ha λ = 00 e µ = 60. Inoltre, poiché risulta ρ = λ/(2µ) = 5/6 <, la condizione per l esistenza della distribuzione stazionaria è verificata.. Per determinareil il numeromediodiclienti inattesadiessere serviti N q abbiamobisogno del valore di p 0 che può essere calcolato dalla (.5.4) dalla quale si ottiene p 0 = /. Quindi possiamo calcolare il valore di N q che risulta pari a 25/33 = 3.78; 2. il tempo medio di attesa prima di essere serviti è T q = N q /λ = ore, ovvero circa 2.28 minuti; 3. la probabilità che nel bar vi siano più di 5 clienti è data da (p 0 +p +p 2 +p 3 +p 4 +p 5); è necessario, quindi, calcolare i valori di p n per n = 0,,2,3,4,5 che possono essere facilemente ottenuti dalla (.5.5). Risulta quindi (p 0+p +p 2+p 3+p 4+p 5) = ; 4. con un terzo barman il sistema diventa di tipo M/M/3 con ρ = 5/9. Per questo sistema si ottiene p 0 = 0.73, N q = e T q = e quindi il tempo medio di attesa in coda è ridotto a circa un decimo del precedente. Esempio.5.9 In un pronto soccorso di un ospedale si vuole migliorare il servizio offerto. Sulla base dei dati disponibili, si stima che arriva in media un paziente ogni 30 minuti e che, in media, per le cure richieste sono necessari 20 minuti per ogni paziente. Uno studio preliminare ha evidenziato che gli arrivi sono casuali (distribuiti secondo Poisson) e i tempi impiegati per le cure sono approssimativamente distribuiti secondo la distribuzione esponenziale. Costruire un modello di code analizzando le due possibili alternative di continuare ad operare con un solo medico oppure aggiungere un secondo medico. Prendiamo come unità di tempo l ora. Risulta λ = 2 e µ = 3. Per s = si ottiene: ρ = 2/3, N q = 4/3, N = 2, T q = 2/3 di ora e T = ora. Per s = 2 si ottiene: ρ = /3, N q = /2, N = 3/4, T q = /24 di ora e T = 3/8 di ora.

29 %# TEORIA DELLE CODE Si lascia allo studente il calcolo di p n, P(t q > t), P(t w > t) ed i casi particolari P(t q > 0), P(t q > ) nel due casi di singolo servente e di due serventi. Confrontanto i risultati ottenuti appare chiaro che l utilizzo di un solo medico è del tutto inadeguato. Esercizio.5.0 In un ufficio arriva, in media, un cliente ogni 2 minuti. Attualmente in questo ufficio c è un solo addetto che esegue il servizio richiesto da ciascun cliente, in media, in 5 secondi. Si assuma che gli arrivi siano poissoniani e che i tempi di servizio siano distribuiti esponenzialmente. Si consideri un modello di code M/M/s verificando se è preferibile cambiare l addetto con un altro due volte più veloce oppure aggiungere all addetto attualmente utilizzato un altro addetto che lavora alla stessa velocità di quello attuale. Esercizio.5. Un sistema di elaborazione è costituito da 3 server. Poichè ciascun server può essere anche utilizzato singolarmente, ogni server può essere anche considerato come un sistema singolo. I processi arrivano al sistema secondo la distribuzione di Poisson con media 9 l ora e il tempo di servizio di ciascun server è distribuito esponenzialmente con media 0 minuti. Un operatore deve decidere come far operare il sistema. Esistono tre possibili modalità operative:. tre sistemi singoli indipendenti: i processi arrivano al sistema e si distribuiscono casualmente nelle tre code presenti (una per ciascun server); 2. i processi in arrivo sono posizionati in un unica fila di attesa e il primo processo viene lavorato non appena si libera uno dei server; 3. come nel punto 2 processi sono in un;unica fila, ma i 3 server sono connessi tra loro in modo da funzionare come un unico sever con velocità di servizio tripla. Per la modalità operativa : a) descrivere un sistema a coda che può rappresentare la situazione descritta; b) determinare il tempo medio di permanenza nel sistema e il tempo medio di attesa in coda. c) calcolare il numero medio di processi presenti nel sistema e il numero medio dei processi presenti in attesa di essere lavorati; d) determinare la probabilità che il tempo di permanenza nel sistema superi i 0 minuti. Per la modalità operativa 2: e) descrivere un sistema a coda che può rappresentare la situazione descritta;

30 ! 63 f) determinare il tempo medio di permanenza nel sistema e il tempo medio di attesa in coda. g) calcolare il numero medio di processi presenti nel sistema e il numero medio dei processi presenti in attesa di essere lavorati; h) determinare la probabilità che un processo arrivi nel sistema e venga lavora immediatamente senza attesa; i) determinare come è distribuito il numero dei processi presenti nel sistema. Per la modalità operativa 3: l) descrivere un sistema a coda che può rappresentare la situazione descritta; m) determinare il tempo medio di permanenza nel sistema e il tempo medio di attesa in coda. n) calcolare il numero medio di processi presenti nel sistema e il numero medio dei processi presenti in attesa di essere lavorati; o) determinare come è distribuito il tempo di attesa in coda; p) descrivere come si riconduce questo sistema ad un processo di nascita e morte. Dall analisi delle 3 modalità q) concludere qual è la modalità più conveniente e la meno conveniente in termini di tempi di risposta del sistema, ovvero di tempi di permanenza media dei processi nel sistema. Esercizio.5.2 Completare il foglio Excel dell Esercizio.5.3 includendo anche il caso di code M/M/s con s >.