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1 ESECIZI EODINMIC a cua Paolo Mao pmao@homal.com pol all o hp://pmao.ala.og Qu pag oo po all lgg ul o auo. L uo a u pam ualuu ulo a f luco u pag. Chuu è lo caca ula ampa u u pag puché o ao ala uo agga aaggo coomco. Qu appu goo pulc all uo al f u ul o agl u. Nooa la cua l umo o l o l uo o può gaa l aolua coa l couo u pag. Il couo uo ocumo o è p é uffc p l upamo ll am.

2 Cooa Caa: ŷ ẑ oo o llo pao caao. l V Sfch: oo o llo pao. l V Clch: ẑ oo o llo pao. l V

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4 ESECIZIO S ola l uao Laplac p l poal cco l gu omo pao: [ ; ) ; ( ; ) co l coo al cooo: ( ) δ (la Dac) poal cog all fo L uao Laplac l omo ao è:. S poa l a ua oluo lma l po: *( ) X Y p cu ha: ( XY ) ( XY ) X Y X Y Y X X Y ll ulma po ha la omma u fuo p ugual a o. Quo è pol olo am oo a al a omma ulla p cu l uao a: k X X X c c * ( c c )( c c ) k kx o a è al o X Y c c mmagao puo Y Y k k ky ( a k). a a ± a ± a Y X * C( a) a a Y L oluo compl pooo uu p com comao la m l po: () () () o oa a è al poo. ± a ± a ± a ± a ( c c )( c c ) Nl cao ao o u l oluo oo accal; aao caa l oluo ch ao a fo p o ch oo a fo: può a : a caaa la oluo la () al m () aà ola la polà ch l poal a molplcao p u coffc poo; può a ±: l m () a caao am pché co u poal al. La oluo gca ala aà uu u gal u a m al molplca p u coffc:

5 ( ) C( a) a a a. Oa può applca l ulma coo al cooo ( Dchl): a a a ( ) C( a) a C( a) a δ alla fomula p l o ll afoma ou o: a δ a C a Souo ll po l poal olo: a a a a a a a a a a a a a [ ] [ ] a a poché > m poal alua all fo aullao p cu: ( ) Il ulao è uu al com c poa apa o l polma aao aua fca o pua pculao mamaca. NOT: l po oaa l poal: ( ) copo a ulla ua oppa (o polo) poo ll og oao coo l o poo ll a. ESECIZIO S ola l uao Laplac p l poal cco l gu omo pao: ( ; ) ; [ ; ] co l coo al cooo: ( ) δ (la Dac) ( ) poal cog all fo L uao Laplac l omo ao è:. La oluo pù gca è ua a ua comao la m l po: 5

6 ± a ± a ± a ± a ( c c )( c c ) () o oa a è al poo (p la aao compla a l co ). Nl cao ao o u l oluo oo accal; aao caa l oluo ch ao a fo p ch a fo: può a ±: a caaa la oluo la () l m () a caao am pché co u poal al. La oluo gca ala aà uu u gal u a m al molplca p coffc: () a a ( ) C ( a) C ( a) () ( a a ) a. Oa può applca la pma coo al cooo ( Dchl): a a ( ) a C( a) C ( a) a a ( ) C ( a) C ( a) a a δ alla fomula p l o ll afoma ou o: a a C ( a) C( a) δ ha u ua pma coo u u coffc. S applca u la coa coo ( Numa): ( ) ( ) a a a a ac a ac a a alla fomula p l o ll afoma ou o: a a a a ac( a) ac( a) C( a) C( a) ( co: a poché a a alla k ll uao Laplac a ualm l co ) ha u ua coa coo u u coffc. cupao l coo oa ha: C a a C a C a ( )... a a C a ac a C( a) a ( ) ouo ll po l poal ha la oluo ccaa: a a a a a a ch o è oll foma chua ma olo umcam. ESECIZIO S ola co l moo lla paao ll aal l uao Laplac p l poal cco l cao ll cooa fch. 6

7 E oa l po l laplacao cooa fch: S poa l a ua oluo lma l po: *( ) Θ( ) Φ p cu ha: ΘΦ Φ Θ Θ Φ p ΘΦ molplca p ; l a paal ao a oal aa la pa ll fuo agomo ll a a ua ola aal: Θ Φ Θ Φ maggao l po può c: Θ Φ Θ Φ m p m p m p alla ola alla ola a Ua fuo ch p olo a può ugual a ua fuo ch o p a olo al fuo è a. Pao po: L ala pa ll uao a: Θ Φ Θ Φ Molplcao p maggao m ha: Θ Φ Θ Φ m p m p m p alla ola alla ola alla ola coa ua ola ua fuo ch p olo a può ugual a ua fuo ch o p a olo al fuo è a. Pao gu ch: Θ m Θ Φ m Φ Il ma complo ll uao uu a : 7

8 Θ Θ Φ m Φ m La aao ll oluo lla coa uao è puoo complcaa; appa ch l ulao polom Lg ch oo cl co la fomula ogu; coo pm a olo mpo: P P P ( ) ( ( )) ( ( )) U alo ulao ua aal è ch hao oluo olo p alo ( - ) co aual. Pao la pma uao a: ( ) ch ol co l camo aal Eulo: u: ( ) poc calcolao la ac l polomo caaco: ± ± ( ) λ λ λ oao l oluo pml com: a a () La oluo lla a uao ffal (ulla ) o pa pacola ffcolà: l oluo aao gl poal. Sco u la oluo lma a aà lla foma: * Θ m Φ m può aa a moa ch la oluo gal aà: ( ) ( ) γ ( m) P ( m ) δ ( m) Q( m ) m co m Ζ 8

9 9 o P Q oo fuo ch cluoo é polom Lg l oluo. La a mpoa a oa è ch m ch oo molplca p coffc γ coppao polm (uao a fo) m ull molplca al δ coppao polm (p ch a ). Iol oa ch ach cooa fch aà pol fua l moo ll mmag; a mpo: () () o. u polma è oluo polma o è oluo l ESECIZIO Illua com a pol ol co l moo ll mmag l polma moal ua co ufom ch u clo co ua pa paallla alla co aoca a h al co l clo ( uppoga l og gl a l co l clo). E oo ch ommao u poal l uo poal mmag (po all cooa pola) pa la coo Numa o pao ul clo aggo ; fa: () () oluo è è oluo () () () ch è ullo l cao poché: () llo o moo ommao a u poal ( cooa caa) u poal mmco po a u a aà po lla coo Numa o pao ull a o. S p p cap mglo uo coco ch copoa ll a l compo locà omal cacllao ommao uao ugual moulo o oppoo.

10 Il moo p oa la oluo al polma popoo ua (cog) ao: ) ( ) è l poal lla co aoca ( ) ( ) pa la coo ul clo. ) ( ) ( ) ( camao l cooa) ( ) ( ) ( h ) pa la coo ulla pa. S p ch h è l uao lla mma po all a h. La uoa oluo uaa o pa pù la coo ul clo! E cao u u alo pao: ) ( ) ( ) ( camao l cooa) ( ) ( ) pa la coo ul clo. coa: la uoa oluo o pa pù la coo ulla pa! E cao u u alo pao ml al pao. Tu pa pa oo ugual fa loo ì com u pa pa. Il moo poa u alla oluo am l calcolo lla omma ua. ESECIZIO 5 ol l polma aoamco all o l ccho uao co la gu coo al cooo: p ψ ( ) p pma co la fomula G po co ulla Schwa. E oa la fomula G: G ( ) ψ ( ) ψ ψ G l P la oluo l polma popoo (coo Dchl) è caa ua fuo G ch aull ul cooo; u G aao uu: G G δ ( ) S può moa ch la gu fuo pa al coo:

11 l l G Noa: l ual fuo G p u aalogo polma co coo Numa a: l l G Poco uu co calcol ha la cà calcola la aa G ch compa lla fomula: G G al aa è aluaa ul cooo pao : G Io u lla fomula G o: ψ ma al gal ula ffcl oluo. E oa la fomula Schwa l poal complo p l polma o: Tuaa la coo aa guaa la fuo co pao la pa mmagaa l poal complo. Co u aal ucco pò c può cou alla fomula oa: fa è o ch: Im alloa poà ch Im Im

12 S ol ch (ul ccho uao): S può poc uu all gao: l l l l l l l a cu: ag ag l Im ψ S o com co la fomula Schwa a aa molo faclm alla oluo aalca l polma a ch a aa pol ach co la fomula G ma co mola pù faca. ESECIZIO 6 caa ua fuo G moal ch a ul p coo al cooo Dchl ( po Numa) ul ccho aggo. S pa alla fuo G pao lo: l l G Co l oo moo ll mmag è pol oa ua oluo mmag lla a: l G G Soao l u o ua fuo G ch aulla ul ccho ch aà uoa p coo Dchl:

13 ( ) l ( ) ( ) G l Sommao c o ua fuo G la cu aa aulla ul ccho p coo Numa: G( ) l ( ) ( ) l ESECIZIO 7 S la uao moal ua og poaa poa poa a aa h a ua pa: la foa ua alla pa è aaa o pula? P pma a occo oa l poal lla co am. S po la pa coc co l a X la og l puo ( h). La oluo ll uao Laplac ch pa la coo o pao ulla pa è faclm ol co l moo ll mmag: aa omma al poal lla ola og l poal ua og ugual poa mmcam po alla pa. I m poal cco uo gfca: og l ( h) l ( h) l ( h) E com fo aggua ua oluo Laplac p ua og poa ( - h). I m poal complo può c: ( l( h) l( h) )

14 Il calcolo lla foa ch calcola la locà copoa lla pa (p uo c aà olo la compo X o al): u( ) ( h) ( h) h a cu la po am l oma Boull lla ua foma pù gal: p p p p u ( co ch ) La foa oal caa ulla pa aà pa all gal al po p la omal lugo la pa a; chaam aa la gacua lla pa la foa aà olam cal. L gal co l couo po p ma al couo o ha o fco pché a olo al fao ch l omo lla oluo Laplac oaa è olo l mpao poo. I ff a u puo a fco può pa ch oo la pa c a ua po pa a ch aull l ffo lla h u u l p opa. Pao: o l (la omal c al fluo) aca h ( h ) h ( h ) p h h La foa oaa è ola o l alo: u la pa è aaa alla og la og a ua ola è aaa alla pa ( ffo uolo ). ESECIZIO 8 S la uao moal ua og poaa poa poa ll og ua co aoca ooal : ma l uao lla cua lugo la ual al la o pao mmagao ou ua pa ola fca ch la a è ulla. S può uo c l poal cco la fuo co lla uao ca: l ψ

15 5 Daa la mma l polma po all a X può poa ch la la co ch fc l puo ago ch po foch co l cooo olo a ulla ch pa a mo fo coc co l a X. S cca uu l puo ago oao la locà: l ch aulla p a S ua la la co copo la cua l cooo: poo oppu ψ aco a a oao lm m l cooo h h S aa u copo affuolao ch o Y a h a h. P l calcolo lla foa aoamca è cao alua la po ul cooo ma l oma Boull lla ua foma pù gal: p p p p p p p cooo S ga la po p o la foa; acua l couo p ch o ha gfcao fco ( co: h ):

16 6 h h u ulmo gal è calcolal p a umca. ESECIZIO 9 S la uao moal chmaaa fgua poa f a pu l ccho uao. Sc l coo al cooo ol la co all o co la fomula Schwa La coo al cooo paa può fomala com: δ δ δ ulao l cooa pola co og l co l ccho. E oo ch: ψ ψ Pao la coo può a: ψ δ δ δ ψ p p p g E oa la fomula Schwa l poal complo p l polma o:

17 7 Tuaa la coo oaa guaa la fuo co pao la pa mmagaa l poal complo. Co u aal ucco pò c può cou alla fomula oa: fa è o ch: Im alloa poà ch Im Im S ol ch (ul ccho uao): S può poc uu all gao: g g g l l 5 6 l l 5 ESECIZIO Dma l po l laplacao cooa paaolch pa: ol u l uao Laplac ll opa cooa. E cao poc alla afomao ll a co: Il calcolo o può ffuao am; fa o ha l po plca. Pao oà la mac Jacoaa lla afomao:

18 8 p cu: ommao l a p o l laplacao m goo mplfca (ull co l a m): La oluo ll uao Laplac a u facl uao ulla cooa caa:. S poa l a ua oluo lma l po: T S * p cu ha: S T S S T S S T ST ST La pocuo è aaloga al cao caao ( a l co ) poa alla oluo gal: c c c c a a C a C a C a C a a a a a a a a

19 9 ESECIZIO Calcola l caach l poflo ol (ull a a ) fo a: oo V D S comca col paa cou mmc (la ma) ammc (po): V D SP V D a cu am ula o è pol o la fo l polma (l locà oo amoal): p p u SP SP SP S ama p pmo l ulao llo po. Dalla fomula Hl ha ( co ch l gal è u gal pa pcpal coo Cauch): l u SP SP (la coa oluo ll gal a cho l olamo lla golaà ma è oo ch a o à couo). L am l polma lla la ma è pù complo ch a l coo m l uo l moo Hl ch à la locà compla: w o l gal è acoa u gal pa pcpal coo Cauch. La oluo può caaa faclm co ua ao u u. Dao ch la locà la ma è mmca al gal è aam la mà ol l gal u po chuo aoo al gmo ch a a a compuo a aa fma a o. Pao è pol applca l oma u: w

20 L golaà cool oo u ulla ulla. Qu l cammo aoo al poflo può paao u camm uo aoo alla pma golaà uo aoo alla coa. Sluppao l gaa o: - golaà : ESIDUO a - golaà : ESIDUO E uu: w w S o ch la pa mmagaa (ch è l oppoo lla locà ooal) pa la coo al cooo. Il coffc po è u può calcolao coao la mma l polma: u c u u u c u u u c p SP VENTE pvente SP DOSO pdoso S pooo ol calcola: - agolo poaa ulla: α - agolo Thoo: α Th - coffc momo:

21 cm S o com u ula ao la. ESECIZIO Calcola la la ma l poflo ol (ull a a ) co: E oo ch: c p u c pvente c pdoso p cu è mmao oa la coo p la u a. Daa l amma l polma al fuo al gmo la locà u aà ulla; pao aà pol ua la fomula Hl: u l uu coao ch: ( ) aà: ( ) ( ) l ( ) l( ) l l ESECIZIO Calcola la la ma agolo Thoo l poflo ol (ull a a ) co: E oo ch: c p u c pvente c pdoso p cu è mmao oa la coo p la u a. Daa l amma l polma al fuo al gmo la locà u aà ulla; pao aà pol ua la fomula Hl: u l uu coao ch:

22 aà: ( ) ( ) l ( l ( ) l( )) Quao all agolo Thoo aà: l α Th Tal gal ma ffcl oluo ma po a opa la ouo: p cu a: l α Th o l gaa fuo pa gaa u allo mmco aà: α Th ESECIZIO Calcola l po l momo ollo maaa fuo lla ccolao p l ala moal co l mollo lla la poa Pal. S poa l ala poa paalllam all a Z ch a a. S coo l po p poaa a oa caa a ao ul pao Tff:

23 L DI La afomao fa la oluo poopo l ccho aal compla la acca lla ca ul pao Tff è al ch: pmo u l poal coo l uo luppo ou ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I uo moo l po lla locà cal ul pao Tff copoa lla acca lla ca è aa a: Momo ollo I uo moo cao l momo aoo all a X; al ch: M L M ( ) ( ) ( ) coao la popà oogoalà ll uo o uo l ulao; fa l gal l pooo à mp a ch p : M Momo maaa I uo moo cao l momo aoo all a Y; al ch: M D M I ( ) mm ( m ) ( ) m Dalla gooma è oo ch: ( m ) ( ) ( ( ( m ) ) ( ( m ) )) p cu aà: M mm ( ( m ) ) ( ( m ) ) m mm ( m ) m

24 Daa l oogoalà aao ula a o olo p m p m p m. Qu ulma ualà pò o può fca ao ch am gl c paoo a uo pao ao olo cou l pmo o: M Il pmo m lla coa ommaoa o c è pché è ullo ( ) p cu può opa u camamo c fa pa la ommaoa a : f: M Coffc S coo l fo allugamo coa ma: E S c S E Coffc ollo: E E E Sc Sc M c 8 Coffc maaa: 6 E E E Sc Sc M c I ESECIZIO 5 Calcola l po poaa a oa p l ala moal co l mollo lla la poa Pal p l gu uo ccolao:

25 5 S coo l po p poaa a oa caa a ao ul pao Tff: I D L L po lla locà cal ul pao Tff copoa lla acca lla ca è aa a: Pma uo La lgg al uo può chmaaa co la omma u fuo calo: ca ca P cu: L Il calcolo lla locà ch la aa lla fuo calo; co ch a è la la Dac: δ δ D Scoa uo La lgg al uo può chmaaa co ua fuo a u a: p p P cu: L l D l l

26 l l ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) l l I pm p gal guaao ua fuo pa pao aa la mma po all og oo ugual pooo omma; gl ulm u guaao ua fuo pa oo l uo l oppoo ll alo pao ao l go gao aa al coo pooo ach omma. S ha u: D l l Nl calcolo lla a compaoo umo gal; coao guo l pm: l l c l l c omo calcol oa ch: D l Ta uo La lgg al uo è ulla llca p la ual ula oo gà o alla oa: L D 8 6