Cognome Nome matr.n.

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1 Prova del obbligatorio - n.iscrizione sulla lista Esame di: CPMSA - studenti GES docente: E.Piazza Esame di: CPMSA - studenti AMB( docente: E.Piazza GES barrare la casella del proprio corso AMB Cognome Nome matr.n. c Il testo del presente elaborato è coperto da diritto d autore. Pertanto esso non può essere sfruttato a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. Parte A Una risposta a ciascuno dei 10 test qui assegnati è considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verità relativi sono statiindicaticorrettamente. 1 Sia X una va continua, distribuita uniformemente su [0, 1]. Allora: igura 1: V il grafico in (a) è quello della densità di X il grafico in (b) è quello della densità di X il grafico in (c) è quello della densità di 2X 2 Data una va X di media finita µ evarianzafinita σ 2, indicare quale/quali delle seguenti affermazioni è/sono sempre vere: V P ( X µ kσ) 1 k 2 V P ( X µ k) σ2 k 2 P ( X µ kσ) 1 k P ( X µ k) =0per k grande 3 Secondo la teoria di Mendel i piselli possono essere, dal punto di vista del colore, gialli o verdi e, dal punto di vista della qualità della buccia, lisci o rugosi. Da un cesto di piselli se ne estrae uno a caso. Si consideri l evento E = {il pisello estratto è verde e liscio}. Indicareicorrettivaloridiveritàperleseguentiaffermazioni: V E c = {il pisello estratto non è né verde né liscio} E c = {il pisello estratto non è verde} E c = {il pisello estratto non è verde, oppure non è liscio, oppure non è né verde né liscio} E c = {il pisello estratto è giallo e rugoso} 4 Date due va X e Y con distribuzione congiunta X,Y (x, y) dotata di marginali X (x) e Y (y), dimostrare la seguente disuguaglianza: X,Y (x, y) p X (x) Y (y) Valgono contemporaneamente X,Y (x, y) X (x) e X,Y (x, y) Y (y) per cui 2 X,Y (x, y) X(x) Y (y) da cui l asserto. 5 Siano date le urne 1 e 2 contenenti rispettivamente due palle rosse e due nere, e tre palle rosse e due nere.

2 igura 2: Si sposta dall urna 1 alla 2 una palla senza guardarne il colore. Quindi si estrae una palla dall urna 2. Indicare con A = la palla spostata da 1 a 2 èrossa ª econb = la palla estratta dall urna 2 èrossa ª. 5.1 Si calcoli la probabilità che la palla estratta dall urna 2 sia rossa nell ipotesi che la palla spostata dall urna 1 sia stata pure rossa. P [B A] = 4 6 = Si calcoli la probabilità la palla spostata dall urna 1 sia stata rossa nell ipotesi che la palla estratta dall urna 2 sia rossa. Si deve calcolare, applicando la legge di Bayes, P [A B] = P [B A]P [A] P [B A]P [A]+P [B A c ]P [A c ] = (4/6) (2/4) (4/6) (2/4) + (3/6) (2/4) = 4 7 = Siadataunava X continua o discreta. la sua funzione generatrice di momenti m(t) esiste sempre V m(t) esisteseesolose ε : E[e tx ] esiste per t, t <ε m(t) esisteseesolose α, α < 1:E[e tx ] esiste per t, t <α V se m(t) esiste allora m(t) =1+tE[X]+ t2 2! E[X2 ]+ t3 3! E[X3 ]+. + tn n! E[Xn ]+... V se m(t) = e2t e122t allora X è discreta finita 7 Sia Ω = {1, 2, 3, 4, 5} esiap una misura di probabilità definita sullo spazio A deglieventigeneratodaω, tale che ω Ω, P [{ω}] =1/5. Si considerino A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {4, 5}. Apporre i corretti valori di verità alle seguenti affermazioni: V A e B sono compatibili A e C sono indipendenti la famiglia {A, B} costituisce una partizione di Ω V A e B sono dipendenti 8 Siadatalafdr di una va X la cui distribuzione X (x) ha il grafico assegnato in figura 1. Apporre i corretti valori di verità alle seguenti affermazioni: V Parte B la moda di tale distribuzione non esiste questa distribuzione ha moda e mediana coincidenti la va X può assumere una infinità numerabile di determinazioni 1 Un controllo di qualità ha rivelato che il 15% dei Dvd prodotti da una certa azienda è difettoso. Si scelgono 20 Dvd dal totale della produzione. Si upponga che ogni Dvd si comporti, rispetto alla difettosità, in modo indipendente dagli altri e si descriva per ogni Dvd la difettosità con una va bernoulliana X i che vale?? sui difettosi e?? sui non difettosi. 1.1 Qual è la probabilità che ci siano almeno 3 Dvd difettosi? X i assume i valori 1 (= difettoso) e 0 con probabilità, rispettivamente, 0.15 e Siamo di fronte ad uno schema di Bernoulli di parametro p =0.15. Quindi la probabilità cercata è la probabilità che ci siano almeno 3

3 igura 3: successi (Dvd difettosi) in 20 prove; il numero di successi in n prove bernoulliane ha legge Binomiale quindi 20X i=3 µ i i =1 i 2X i=0 µ i i =0.595 i 1.2 Quante Dvd al minimo devono essere estratti dalla produzione perchè con probabilità superiore a 0.5 ci sia almeno un Dvd difettoso? La probabilità cercata è la probabilità che di n Dvd almeno uno sia difettoso, cioè n ln n log n ln 0.85 =4.265 quindi almeno 5 Dvd. 1.3 Supposto che ogni Dvd difettoso rappresenti per l azienda 50 centesimi di euro di costi aggiuntivi, indicare con Y i la va che indica il costo aggiuntivo per Dvd. Calcolare la media E[Y i ] della generica va Y i. Y i vale 0.50 se il Dvd i esimo è difettoso, 0 se non lo è; dunque E[Y i ]= = Quanti Dvd devono essere estratti dalla produzione perchè il costo complessivo dei difettosi sia pari, in media, 200 euro? Dopo n Dvd il costo aggiuntivo, in media, è dato da E[Y 1 + +Y n ]. Ma per ogni i, quindie[y 1 + +Y n ]= n Da cui n = 200/0.075 = cioè n = La ditta XYZ produce transistor per la realizzazione di circuiti elettronici. I transistor prodotti dalla ditta sono di due classi: classe A e classe B. Per testarne la durata, i transistor vengono sottoposti ad un test di vita accelerata. La probabilità che un transistor di classe A bruci dopo 5 minuti di test di vita accelerata è pari a 0.2, mentre la probabilità che un transistor di classe B bruci dopo 5 minuti di test di vita accelerata è pari a 0.6. La ditta UVW utilizza i transistor prodotti da XYZ per assemblare circuiti elettronici dei quali garantisce la durata. A tal fine acquista solo transistor di classe A. Un giorno l ufficio consegne della XYZ telefona alla UVW avvertendo che c è una piccola probabilità, pari al 10%, che l ultimo lotto di transistor acquistato dalla UVW, a causa di un errore di consegne, sia costituito da transistor di classe B. La UVW sottopone un transistor proveniente dall ultimo lotto acquistato ad un test di vita accelerato. Si indichino gli eventi: A = il transistor è di classe A, B = il transistor è di classe B ed = il transistor brucia dopo 5 min Calcolare la probabilità che il transistor bruci dopo 5 minuti di test. Il testo indica che P [ A] =1/5, P [ B] =3/5, P [A] =9/10 e P [B] =1/10. Per la formula delle probabilità totali si ha P [ ]=P [ A]P [A]+P [ B]P [B] = = 6 25 =0.24.

4 igura 4: 2.2 Sapendo che il transistor è bruciato, calcolare la probabilità che sia di classe A. Per la formula di Bayes P [ A]P [A] P [A ]= = = 3 P [ ] 4 = Sia Z N(0, 1), Φ(z) la sua funzione di ripartizione (fdr) esiay = Z. 3.1 Dopo aver scritto la funzione di densità (fd) f Y (y), disegnarne in modo qualitativamente accurato il grafico, evidenziando i punti notevoli. f Y (y) = 1 2π e y Si disegni il grafico della funzione di ripartizione (fdr) Y (y) di Y. Vedere la figura ornire i valori di f Y (25) e Y (25). Arrestarsi alla decima cifra decimale. I numeri ottenuti hanno significato di probabilità? f Y (25) = 0 e Y (25) = 1. f Y (25) non ha alcun significato probabilistico, si potrebbe comunque dire che si ha: y f Y (y) ' Y (y + y) Y (y) =P (y <Y y + y); y >0 Y (25) = P [Y 25] 3.4 Che relazione c è tra Y (w) e Φ(w)? Y (w) =P [Y w] =P [ Z w] =P [Z w] =1 P [Z w] =P [Z w] =Φ(w) Sia ora X N µ, σ 2 è noto che P lo stimatore MLE ˆµ per µ, media della va X basato su un campione di i dimensione n (X 1,...,X n ) è ˆµ = X i = n X n. 3.5 Mostarre che X n è uno stimatore consistente di µ. La condizione sufficiente di consistenza chiede che lo stimatore sia asintoticamente corretto e che la sua media sia infinitesima quando n. X n è corretto e var[ X n ]= σ2 0 quando n. resta così dimostrata la consistenza. n 3.6 Utilizzando lo stimatore MLE trovato precedentemente scrivere un intervallo di confidenza bilatero per µ di livello 0.99 (σ 2 non nota). Poiché σ 2 non è nota si utilizza la quantità pivotale t = X n µ S/ n dove S2 = 1 n 1 varianza campionaria. t è una t-student con n 1 df per cui: P [ a t a] =γ P [ t n 1 ( 1+γ 2 ) t t n 1( 1+γ 2 )] = γ P i (X i X n ) 2 è, al solito, la

5 dove t n 1 ( 1+γ Si conclude che 2 ) èl 1+γ 2 quantile della t-student. X n t n 1 (0.995) S n µ X n + t n 1 (0.995) S n rappresenta l intervallo di confidenza cercato. 3.7 Quanto vale la lunghezza l dell intervallo di confidenza trovato? l =2t n 1 (0.995) S n c Il presente elaborato è coperto da diritto d autore. Pertanto esso non può essere sfruttato a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.

6 igura 5: α = tz n(α) [(n 1)/2]! πn[(n 2/2)]! 1 dx [(x 2 /n)+1](n+1)/2 df = n t(.995) t(.99) t(.975) t(.95) t(.9) t(.75) N