obbligatorio - iscrizione sulla lista n.

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1 Parte A del obbligatorio - iscrizione sulla lista n. se non ve lo ricordate chiedetelo al docente in aula Esame di:calcolo delle probabilità e statistica matematica - studenti GES docente: E.Piazza Avvertimento: nello svolgimento degli esercizi se una quantità è codificata dal simbolo x continuare a chiamarla x, esesichiamaw non chiamarla X, esesichiamat i non chiamarla x i, esesi chiama T n non indicarla con X n. Se volete scrivere dipendenti non scrivete indipendenti, se dovete sottrarre non sommate. Si fanno troppi errori di distrazione. Mi raccomando: concetrazione. Cognome Nome matr.n. Una risposta a ciascuno dei test qui assegnati è considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verità relativi sono stati indicati correttamente 1 Mattia sta sostenendo l esame di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica. Non è molto preparato e cerca di copiare. Può farlo solo in due modi: da Niccolò che sta seduto alla sua sinistra o da Cesare che sta seduto alla sua destra. Consideriamo gli eventi: M = {Mattia non riesce a copiare da Niccolò},N = {Mattia non riesce a copiare da Cesare} e Q = {Mattia copia}. Apporre i corretti valori di verità alle seguenti affermazioni: V Q = M N Q = M C N C Q = M C N C Q =(M N) C 2 Data una qualunque popolazione la cui distribuzione dipende da un parametro θ incognito, indichiamo con S una statistica e con s una sua determinazione, cioè la stima. Allora: V la statistica è una variabile aleatoria una quantità pivotale è una va che non contiene il parametro incognito V uno stimatore di θ è una statistica S che non dipende da θ 3 Sia Φ(x) la funzione di ripartizione di una va normale X di media 0 evarianza1 esiaa>0. Allora: V V P [X a] =1 Φ(a) P [ X a] =2Φ(a) P [ X a] =2 2Φ(a) P [ X 0] = 1 2 V x = P [X Φ 1 (x)] 4 Siano assegnate n va di Bernoulli X i di parametro λ i (n sufficientemnte grande). La va Y = P i X i ha una distribuzione che è: binomialeselen va hanno tutte lo stesso parametro λ i = λ V binomiale se hanno lo stesso parametro λ i = λ e se sono indipendenti di Poisson di parametro λ se sono indipendenti e hanno lo stesso parametro λ i = λ approssimativamente N(nλ, nλ(1 λ)) se sono indipendenti e hanno lo stesso parametro λ i = λ 5 Nella ricerca dell intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale (varianza non nota) usiamo t = X µ S/ con (n 1) gradi di libertà (df ) ma, con campioni di dimensione n 30, quando è richiesta una n precisione dell ordine di 2, usiamo la tavola della distribuzione normale. Perché? V il calcolo dei gradi di libertà di t èdifficile se n è grande le cifre necessarie al calcolo dell intervallo non sono previste nelle tavole della t a questi livelli di precisione le curve della normale e della t con df 30 praticamente coincidono èdifficile calcolare X n (e quindi S 2, varianza campionaria) per grandi campioni

2 6 Sono state effettuate 0 osservazioni: osservazione freq.relative la cui distribuzione è evidenziata nel grafico in figura: igura 1: se la minima osservazione fosse - invece di -5 la moda cambierebbe se la massima osservazione fosse 35 invece di 23 la mediana cambierebbe V se ½ la minima osservazione fosse - invece di -5 la media cambierebbe se lasciamo invariate tutte le frequenze assolute osservate tranne quelle dei valori ½ -3 e 20, che diventano rispettivamente 11 e 9, la mediana cambierebbe se lasciamo invariate tutte le frequenze assolute osservate tranne quelle dei valori -3 e 20, che diventano rispettivamente 11 e 9, la moda cambierebbe 7 Uno stimatore di massima verosimiglianza (MLE) è sempre corretto V asintoticamente corretto V consistente V con distribuzione asintoticamente normale 8 Siano A, B, C tre eventi. Utilizzando la notazione della teoria degli insiemi scrivere: 8.1 si verifica solo A AB c C c 8.2 si verifica uno solo degli eventi AB c C c A c B c C A c BC c 8.3 non si verifica nessuno degli eventi A c B c C c

3 9 Siano date le urne 1 e 2 contenenti rispettivamente due palle rosse e due nere, e tre palle rosse e due nere. igura 2: Si sposta dall urna 1 alla 2 una palla senza guardarne il colore. Quindi si estrae una palla dall urna 2. Indicare con A = la palla spostata da 1 a 2 èrossa ª econb = la palla estratta dall urna 2 èrossa ª. 9.1 Si calcoli la probabilità che la palla estratta dall urna 2 sia rossa nell ipotesi che la palla spostata dall urna 1 sia stata pure rossa. P [B A] = 4 6 = Si calcoli la probabilità la palla spostata dall urna 1 sia stata rossa nell ipotesi che la palla estratta dall urna 2 sia rossa. Si deve calcolare, applicando la legge di Bayes, P [A B] = P [B A]P [A] P [B A]P [A]+P [B A c ]P [A c ] = (4/6) (2/4) (4/6) (2/4) + (3/6) (2/4) = 4 7 = Il vettore aleatorio (X, Y ) 0 abbia una legge di probabilità congiunta assegnata dalla seguente matrice: Y \X / 3/ /5 1/ 2 1/ 0 1/5.1 Calcolare le leggi di probabilità marginali 1/5 se x =0 f X (x) = 1/2 se x =1 f X (x) = 3/ se x =2.2 X e Y sono indipendenti? Sì, no, perché? No per esempio perchéf XY (0, 1) = 0 6= f X (0)f X (1) = 1 5 2/5 se y =0 3/ se y =1 3/ se y =2 3

4 Parte B 1. Un calcolatore, attraverso opportuni comandi, per esempio da Excel, può campionare valori da una popolazione W con distribuzione N(0, 2). 1.2 È proprio vero che i valori che il computer ci fornisce, sono estratti da una variabile aleatoria (va) continua? No, il computer funziona con numeri che hanno al più un numero finito di cifre decimali. Il computer si limita a simulare un estrazione da una distribuzione continua 1.3 Come si distribuisce la va V = W? Disegnare il grafico della funzione di densità della V (indicando CON PRECISIONE il valore del massimo, le ascisse degli eventuali punti di flesso, eccetera). Per la simmetria di W è V N(0, 2) Il grafico della funzione di densità di V coincide con quello della N(0, 2). igura 3: 1.4 Calcolare la probabilità dell evento { V > 2} P [ V > 2] = P [ N(0; 1) > 2=1.4142] = 2 2Φ(1.4142) = = Supponiamo ora che W rappresenti il disturbo casuale che deteriora il segnale trasmesso da un trasmettitore. Supponiamo di voler misurare questo disturbo. L operazione è matematicamente spiegata nel modo seguente: una misura del disturbo è rappresentato da una determinazione w della va W. 1.5 Utilizzando questa terminologia, qual è la probabilità che la misura effettuata sia uguale a 0? (cioè W =0). P [W =0]=0 1.6 Qual è la probabilità che sia maggiore di 0? (cioè P [W >0], usare eventualmente la tabella della normale in fondo al testo). Dalla simmetria della fd di W segue P [W >0] = 0.5 Supponiamo di fare 23 misure del disturbo. A ogni misura sarà associata una va W i,i = 1, 2,...,23. Supponiamo che le misure rilevate siano indipendenti (stocasticamente). 1.7 Qual è la probabilità che la seconda misura sia positiva e la 23-esima negativa? Per l indipendenza P [{W 2 > 0} {W 23 < 0}] =P [W 2 > 0] P [W 23 < 0] = Qual è la probabilità che tutte le misure siano positive? T P [ 23 {W i > 0}] = = cioè approsimativamente un decimilionesimo. i=1 Supponiamo ora di aver osservato le 23 misure seguenti da W :

5 , , , , , , , , , , , , , 0.999, , , , , , , , , È ragionevole ritenere che le misure precedenti provengano dalla popolazione W (si, no, perché)? Non è ragionevole: si è verificato un evento di probabilità troppo bassa (circa un decimilionesimo) Supponiamo che il segnale trasmesso sia una va X =50+W. 1. Qual è la distribuzione di X? X N(50; 2) 1.11 Trovare la probabilità che il valore trasmesso da X sia minore di 48.7 (utilizzare la tavola in fondo al testo). P [X <48.7] = P [ X 50 2 < ]=P [Z < 0.92] = 1 P [Z 0.92] = = Supponiamo ancora che il segnale trasmesso sia una va X N(µ, 2) normale di media ignota µ edivarianza pari a 2. Sia (X 1,X 2,..., X 20 ) un campione casuale di taglia 20 da X Determinare un intervallo di confidenza bilatero di significatività 0.1 per µ. (significatività = 1 - confidenza). (Può servire la tabella della normale in fondo al testo) Sappiamo che Z = X 20 µ p 2/20 N(0, 1). Occorre trovare a tale che P [ Z a] =0.9. Si ha P [ Z a] =0.9 = 2Φ(a) 1 Φ(a) =0.95. Dalla tavola della normale allegata segue che a = Si conclude che l intervallo di confidenza cercato è X µ X Scrivere gli estremi dell intervallo trovato nel caso che x 20 = µ µ Quanto deve valere la taglia n del campione affinché l ampiezza dell intervallo di confidenza trovato non superi 1? Dal numero precedente ricaviamo che l ampiezza dell intervallo di confidenza di livello 0.9 per un campione di taglia n è 2 2 n Allora < < n <n n 1.15 L intervallo trovato con un campione di taglia 20 aveva un ampiezza pari a = 1.04 Come mai, secondo voi occorre un campione di taglia 0 volte più grande per guadagnare un ordine di grandezza nella precisione? Perché la varianza della media campionaria diminuisce con 1. n 1.16 Gli intervalli trovati rispettivamente al punto 1.12 e 1.13 hanno lo stesso significato? Sì, no, perché: spiegare dettagliatamente. Non hanno lo stesso significato. Il primo è un intervallo aleatorio e il suo significato è il seguente. Se si eseguono un grande numero N di osservazioni, tutte di taglia 20, ottenendo in questo modo N intervalli del tipo trovato in 1.13, mediamente il 90% di questi conterranno il vero valore µ della distribuzione in esame. Con i ragionamenti fatti al punto 1.13 concludiamo che possiamo essere confidenti al 90% che la media dei costi sia compresa tra 47.4 e acciamo ora l ipotesi, che riterremo vera da qui in poi, che la media della va costo di manutenzione X sia µ = Quanto valgono in questa ipotesi E[X 20 ] e var[x 20 ]? E[X 20 ] = 50; var[x 20 ]= Dire cosa devono valere c e d in modo che X 20 c N(0, 1) d c =50e d = p 2/ Tenendo conto dei risultati in 1.17 e 1.18 e utilizzando lo stesso campione, trovare b tale che P [50 b X b] =0.9 (Suggerimento 50 b X b X b...eccetera). Per i quantili utilizzare la tabella della normale in fondo al testo.

6 Occorre b tale che P [50 b X b] =P [ X b] =P [ X / b 1/ ]=0.9. Risulta b Φ( 1/ )=0.95 da cui b 1/ =1.645 e b = Al punto 1.19 abbiamo mostrato che P [49.48 X ] = 0.9. Nell ipotesi che la media della popolazione sia effettivamente µ =50cosa vale P [X 20 / [49.48, 50.52]]? P [X 20 / [49.48, 50.52]] = facoltativo Al 1.13 abbiamo segnalato il valore x 20 =47.92 osservato di X 20. Avendo osservato questo valore e tenendo conto del punto 1.20 sareste disposti ad accettare l ipotesi µ = 50? Rispondere motivando. Se l ipotesi fatta, µ = 50, rappresenta la media vera di X abbiamo il % di probabilità che il valore osservato della media campionaria da un campione di taglia 20 cada fuori dall intervallo[49.48, 50.52]. Quindi con x 20 =47.92 sono motivato a rifiutare l ipotesi µ =50con probabilità 0.1 di sbagliarmi Supponendo ora di non conoscere neppure la varianza della distribuzione N(µ, σ 2 ), utilizzando lo stesso campione di taglia 20 (X 1,X 2,..., X 20 ) si trovi un intervallo di confidenza di livello γ =0.95 per σ 2. Si supponga ancora che la media campionaria osservata sia x 20 =47.92 mentre la varianza campionaria osservata sia s 2 =2.2. (Può servire la tabella della χ 2 in fondo al testo). Sia S 2 la varianza campionaria. Sappiamo che χ 2 (n 1)S2 n 1 = σ 2 è una chi-quadro con (n 1) df eche l intervallo di confidenza di livello γ si ricava da: Nel nostro caso: risulta perciò: (n 1)S 2 χ 2 n 1 ( 1+γ 2 ) (n σ2 1)S2 χ 2 n 1 ( 1 γ 2 ) 1+γ 2 =0.975; 1 γ 2 =0.025; n 1 = 19; χ 2 19 (0.975) = 32.9; χ2 19 (0.025) = L intervallo = σ = Sia Y il numero di guasti che che si verificano su una macchina nel corso di una settimana lavorativa. Tale numero è ben modellizzato da una va di Poisson di parametro ignoto λ. Per stimare λ la macchina è tenuta sotto controllo m di settimane. Siano Y i la va indipendenti ed equidistribuite che indicano i guasti nella i esima settimana. 2.1 Detto P Y i il numero totale dei guasti nelle m settimane, scrivere l espressione della densità discreta di P Yi λ λx Y i e x! ; x =0, 1, 2,.. P m 1 Y i e mλ (mλ) x x! 2.2 Calcolare E[ P Y i ] e var[ P Y i ]. E[ P Y i ]=mλ; var[ P Y i ]=mλ 2.3 Se m èsufficientemente grande scrivere la densità che approssima adeguatamente quella di P m 1 Y i, citando il teorema che autorizza l approssimazione. X Yi N(mλ, mλ) per il teorema centrale limite. 2.4 Utilizzando la densità indicata al 2.3 nell ipotesi che il numero medio di guasti per settimana sia λ =2.5 calcolare la probabilità che in 160 settimane il numero totale di guasti sia minore o uguale a 390 (cioè P Yi 390).Utilizzare la tabella della normale in fondo al testo. P [ P P Yi 400 Y i 390] = P [ ] ' P [N(0, 1) 0.5] =

7 igura 4: x P x P [X x] Φ(x) P [X x] Φ( x) P [ X x] 2Φ(x) P [ X x] 2 2Φ(x)

8 Tavola della chi-quadro con df da 16 a 30 df = n χ 2 n(.005) χ 2 n(.01) χ 2 n(.025) χ 2 n(.05) χ 2 n(.1) χ 2 n(.9) χ 2 n(.95) χ 2 n(.975) χ 2 n(.99) χ 2 n(.995) c Losvolgimentodelpresenteelaboratoècopertodadirittod autore. Pertantoessononpuòesseresfruttatoafinicommerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.