0 se x<0 x/2 se 0 x<1. 2/3 se 1 x<2 1 se x 2

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1 Teoria del Test di:calcolo delle probabilità - studenti IOL docente: E.Piazza Una risposta a ciascuno dei 10 test qui assegnati è considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verità relativisonostatiindicati correttamente. Cognome Nome matr.n. 1) Mattia sta sostenendo l esame di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica. Non è molto preparato e cerca di copiare. Può farlo solo in due modi: da Niccolò chestasedutoallasuasinistraodacesarechesta seduto alla sua destra. Consideriamo gli eventi: M = {Mattia non riesce a copiare da Niccolò},N = {Mattia non riesce a copiare da Cesare} e Q = {Mattia copia}. Apporre i corretti valori di verità alle seguenti affermazioni: Q = M N Q = M C N C Q = M C N C Q =(M N) C ) Sia (Ω, A,P) uno spazio di probabilità ea e B dueeventidellospaziodeglieventitalichep [A]P [B] > 0. Allora: P [A B] <P[A] P [A B] =1 P [A B c ] P [A B] =P [A] seab = se P [AB] =P [A]P [B] allora P [A B] =P [A]P [B c ] 3) Un insieme contenente M elementi bianchi e N elementi neri ha esattamente: M N sottoinsiemi M+N sottoinsiemi (M + N) sottoinsiemi 4) La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X è 0 se x<0 x/ se 0 x<1 X (x) =. /3 se 1 x< 1 se x Quanto vale P (X > 1)? Indicare l unica risposta corretta. 0 1/6 /3 1/3 5) Sia X una variabile aleatoria N (0, 1) e Φ la sua funzione di ripartizione. Allora: P [ X >.5] = [1 Φ(.5)] P [ X >.5] = Φ(.5) Φ(.5) P [ X >.5] = ècirca1 P [ X >.5] = 1 Φ(.5) α = P [X Φ 1 (α)]

2 6) Siano A e B due generici eventi che verificano B A e P (A) =p, P (B) =(1 p) ( 1 <p<1); indicare quale delle seguenti risposte èvera: P [AB] =1 p P [AB] p P [AB] =P [A]P [B] P [AB] p P [B A] =0 7) Sia X una va che conta il numero di palle rosse estratte in 100 estrazioni con rimpiazzo da un urna che contiene solo palle rosse e bianche. Dire quali delle seguenti risposte sono corrette: può esisteree[x] enonvar[x] X èunava finita var[x] =var[x] E[X] 0 var[a + X] =var[x] 8) Quale/quali delle seguenti funzioni è una densità di probabilità? e x, x (, + ) λ x e λ x I (0, ) (x) I ( 1/,0) (x) λe λx I (0,3) (x) I ( 1/,0) (x) 9) Data una variabile aleatoria X che ha la seguente funzione generatrice di momenti: m(t) = et et e3t, calcolare: E[X] E[X] =m 0 (t) t=0 ; m 0 (t) = 1 1 et et e3t ; m 0 (0) = = 4 3 = E[X] var[x] var[x] =m 00 (t) t=0 (m 0 (t) t=0 ) m 00 (t) = 1 1 et et e3t ; m 00 (t) t=0 = 40 var[x] = 10 3 ( 4 3 ) = 14 9 = = 10 3 f X (x) =P [X = x] Se X è discreta m(t) = P e tx f(x). Da ciò siarguisce f(0) = 5 1 f(1) = 1 1 f() = 3 1 f(3) = ) Si consideri lo spazio campionario Ω {ω 1,ω,ω 3 }. Indicare quale (o quali) delle seguenti famiglie di sottoinsiemi di Ω è (sono) una σ-algebra (un algebra di eventi): A 1 {{ω 1,ω }, {ω 1,ω,ω 3 }, } A {{ω 1,ω,ω 3 }, {ω 1,ω 3 }, {ω }} A 1 {{ω 1 }, {ω }, {ω 3 }, {ω 1,ω }, {ω 1,ω 3 }, {ω,ω 3 }, {ω 1,ω,ω 3 }, } Pratica 1. Pippo vuol comprare una macchina da Pluto, il quale afferma che la sua auto ha percorso 0 mila chilometri. 1.1 Se Pippo la comprasse, quanto varrebbe la probabilità di poterla utilizzare per almeno altri 0 mila chilometri, ipotizzando che il numero totale X di migliaia di chilometri percorsi dall auto sia una variabile aleatoria distribuita esponenzialmente con media uguale a 40 mila Km?

3 Se X Exp(λ) rappresenta il numero totale di migliaia di chilometri percorsi dall auto di Pluto, E[X] = 1 λ =40 λ = Inoltre, per la proprietà di assenza di memoria, P [X >0 + 0 X >0] = P [X >0] = e 0λ = e 0.5 = Senza usare l assenza di memoria.si giunge alla stessa conclusione utilizzando la formula della probabilità P [{X >40} {X >0}] P [X >40] condizionata: P [X >40 X >0] = = P [X >0] P [X >0] = e 40λ = e 0λ e 0λ 1. Supponiamo, invece, che il numero totale di migliaia di chilometri percorsi dall auto si possa esprimere come Y =(X) /3 dove X èlava del punto 1. erificare che Y (y) =P [Y y] =(1 e λy3/ )I [0,+ ) (y) (suggerimento: partire da P [X /3 y] ricordando che X (x) =(1 e λx )I [0,+ ) (x)). Se y<0; Y (y) =P [Y y] =0perché(X) /3 0 Se y 0allora Y (y) =P [Y y] =P [X /3 y] =P [X y 3/ ]= X (y 3/ ) 1.3 erificare che la fd di Y èdatadaf Y (y) = 3λ ye λy 3/ I (0,+ ) (y) f Y (y) = d dy Y (y) Se y<0 Y = 0 e la sua derivata è nulla. Se y 0alloraf Y (y) = d dy (1 e λy3/) = 3λ ye λy 3/ 1.4 Calcolare la stessa probabilità del punto 1, supponendo che il numero totale di migliaia di chilometri percorsi dall auto di Pluto sia descritta dalla variabile aleatoria Y del punto 1.. P [Y >40,Y >0] P [Y >40 Y >0] = P [Y >0] =exp λ(403/ 0 3/) = = P [Y >40] P [Y >0] = 1 Y (40) 1 Y (0) 1.5 Per Pippo èpiù conveniente che il numero totale di migliaia di chilometri percorsi dall auto sia descritto da X oday?giustificare la risposta. Da X, vistocheè maggiore la probabilità calcolata al punto 1.1 di quella calcolata al punto 1.4. Un azienda produce telefonini in tre diversi stabilimenti a, b e c, da dove escono, rispettivamente, 100, 150 e 50 pezzi alla settimana. La percentuale dei pezzi difettosi che a, b e c producono è p a =0.05, p b =0.01 e p c =0.03, rispettivamente..1 Qual è la probabilità che sul totale (500) dei pezzi prodotti settimanalmente ce ne sia almeno uno difettoso? Sia X il numero dei pezzi difettosi sul totale settimanale prodotto dai tre stabilimenti e siano A={i pezzi sono stati prodotti dallo stabilimento a}, B={i pezzi sono stati prodotti dallo stabilimento b} ec={i pezzi sono stati prodotti dallo stabilimento c}. La probabilità cercata è P [X 1] = 1 P [X =0]. Poichè P [A] = 1 5, P [B] = 3 10, P [C] = 1, per il teorema delle probabilità totali P [X =0]=P [X =0 A]P [A]+P[X =0 B]P [B]+P[X =0 C]P [C] = 1 µ a(1 p a ) µ b(1 p b ) µ 50 0 c(1 p c ) 50 = 1 5 (0.95) (0.99) (0.97)50 = epertantop (X 1) = Se si trovano 4 pezzi difettosi (sul totale settimanale), qual è la probabilità che siano stati prodotti nello stabilimento c? Indicare solo la formula che dà la probabilità senza fare i conti. Per il teorema di Bayes la formula che dà la probabilità cercata è P [C X =4]= P [X =4 C]P [C] P [X =4] 3. Un calcolatore, attraverso opportuni comandi, per esempio da Excel, può campionare valori da una popolazione W con distribuzione N(0, 4). 3.1 È proprio vero che i valori che il computer ci fornisce, sono estratti da una variabile aleatoria (va) continua? No, il computer funziona con numeri che hanno al più un numero finito di cifre decimali. Il computer si limita a simulare un estrazione da una distribuzione continua

4 3. Come si distribuisce la va = W? Disegnare il grafico della funzione di densità della (indicando CON PRECISIONE il valore del massimo, le ascisse degli eventuali punti di flesso, eccetera). Per la simmetria di W è N(0, 4) Igrafici delle funzioni di densità e di ripartizione di coincidono con quelli della N(0, 4). 3.3 Calcolare la probabilità dell evento { > } P [ > ] = P [ N(0; 1) > 1] = Φ(1) = = Supponiamo ora che W rappresenti il disturbo casuale che deteriora il segnale trasmesso da un trasmettitore. Supponiamo di voler misurare questo disturbo. L operazione è matematicamente spiegata nel modo seguente: una misura del disturbo è rappresentato da una determinazione w della va W. 3.4 Utilizzando questa terminologia, qual è la probabilità chelamisuraeffettuata sia uguale a 0? (cioè W =0). P [W =0]=0 Supponiamo che il segnale trasmesso sia una va X =5+W. 3.5 Qual è la distribuzione di X? X N(5; 4) 3.6 Trovare la probabilità che il valore trasmesso da X sia minore di.7 (utilizzare la tavola in fondo al testo). P [X <.7] = P [ X 5 <.7 5 ]=P[Z < 1.15] = 1 P [Z 1.15] = = Una ditta di televisori ha in magazzino una partita di 0 televisori di cui 5 difettosi. Un negoziante è interessato all acquisto dell intera partita. La ditta può imballare tutti i televisori in un unica scatola oppure dividerli tra due scatole di 10 televisori ciascuna. Sa che il negoziante verifica la qualità dei televisori controllandone 4 a caso: se riceve un unica scatola con 0 televisori li sceglie tra questi 0, se riceve due scatole prende due televisori da ciascuna scatola. Se tra i 4 televisori esaminati non ne trova nessuno difettoso non si accorge dell imbroglio e si tiene l intera partita. Sia A={il negoziante non si accorge dell imbroglio}. 4.1 La ditta vuole sapere qual è la probabilità che il negoziante NON si accorga dell imbroglio se imballa i televisori in un unica scatola. Calcolare tale probabilità. Se la ditta adotta la prima strategia, P [A] = 0 = ' La ditta vuole sapere qual è la probabilità che il negoziante NON si accorga dell imbroglio se imballa i televisori in due scatole mettendo tutti i televisori difettosi nella stessa scatola. Calcolare questa probabilità. Se la ditta adotta la seconda strategia ci sono due scatole S 1 e S una delle quali, per esempio S 1, contiene solo televisori non difettosi. Allora A {il negoziante non trova televisori difetto nella scatola S } Si ha 5 5 P [A] = 0 10 = 9 ' Se foste la ditta disonesta quale strategia adottereste? Poiché se si fa un unica confezione la probabilità di A è maggiore la ditta disonesta dovrebbe scegliere la prima strategia.

5 igura 1: x P x P [X x] Φ(x) P [X x] Φ( x) P [ X x] Φ(x) P [ X x] Φ(x) c Lo svolgimento del presente elaborato è coperto da diritto d autore. Pertanto esso non può essere sfruttato a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.