Fondamenti teorici e programmazione

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1 Fondamenti teorici e programmazione Filippo Bonchi Presentazione del Modulo B I sistemi di numerazione

2 Presentazione del docente Filippo Bonchi Orario di ricevimento: Giovedì dalle 14 alle 16 (e su appuntamento) Come sono arrivato qua? : Studente di Informatica a Pisa : Studente di Dottorato a Pisa 2008: "Ricercatore" a Pisa 2009: "Ricercatore" al CWI di Amsterdam 2010: "Ricercatore" al Polytechnique di Parigi : "Professore" all'ens di Lione Da settembre 2017: Professore a Pisa

3 Presentazione degli studenti

4 Computer Science Di cosa parla l'informatica? Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes, biology is about microscopes, or chemistry is about beakers and test tubes. Science is not about tools. It is about how we use them, and what we find out when we do. M.R. Fellows & I. Parberry, SIGACT Trying to Get Children Excited About CS, Computing Research News 5(1), 1993 attribuito a Edgser Wjbe Dijkstra [Rotterdam Nuenen 2002] Premio Turing 1972

5 Computer In Italiano: CALCOLATORE!!! I recenti sistemi software sono cosi' "intelligenti" che permettono di essere usati attraverso il linguaggio naturale In realtà, le sole operazioni che un computer può fare sono calcoli MATEMATICI Per poter sfruttare un computer al meglio, è necessario imparare a ragionare in modo formale, preciso, esatto, matematico...

6 Calcolo dal lat. calcŭlus, «pietruzza» Stessa radice di "calcolo renale"...? I romani spostavano i sassolini nell'abaco per fare operazioni aritmetiche

7 Numeri Romani I numeri romani sono composti da una sequenza di simboli (dell'antico alfabeto romano) ROMANI 15 VVV VXX XV MODERNI I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M CCCC CD 99 IC XCIX A partire da questi 7 simboli vengono formati tutti i numeri romani REGOLE DI COMPOSIZIONE DEI NUMERI A. Si leggono e si scrivono da sinistra a destra B. I simboli I,X,C,M possono essere ripetuti al massimo 3 volte all'interno dello stesso numero. I simboli V,L,D possono comparire al massimo 1 volta. C. Se un simbolo è seguito da uno maggiore, il valore del primo si sottrae al secondo. Se è seguito da uno minore, allora si sommano. In particolare, se un simbolo si trova tra due di valore maggiore, allora va sottratto a quello che si trova alla sua destra. D. Solo i simboli I,X,C possono essere adoperati per le sottrazioni e possono essere usati una sola volta. E. Il simbolo che si sottrae non puo' mai essere minore di un decimo del valore a cui è sottratto.

8 Numeri Romani Il sistema dei numeri romani è un tipico esempio di sistema numerico additivo-sottrattivo in quanto ogni numero rappresenta la somma o la sottrazione dei numeri che lo compongono Con un numero finito di simboli, si possono rappresentare solo un numero finito di numeri Manca lo zero!!!! (Inventato dagli Indiani, Brahmagupta, 628) Il sistema numerico rende complicato fare addizioni e sottrazioni: meglio usare l'abaco

9 I numeri arabi sono un esempio interessante di sistema di numerazione posizionale Numeri Arabi

10 Sistema di Numerazione Posizionale Un sistema di numerazione si dice posizionale se i simboli (cifre) usati per scrivere i numeri assumono valori diversi a seconda della posizione che occupano nella notazione. Ad esempio nel sistema di numerazione arabo la prima cifra da destra esprime il numero delle unità, la seconda quello delle decine, la terza quello delle centinaia, la quarta quello delle migliaia, e così via... Il numero 555 si legge: 5 centinaia, 5 decine, 5 unità (cinquecentocinquantacinque). La stessa cifra 5 quando si trova nella prima posizione (sempre contando da destra) ha valore cinque, nella seconda posizione ha valore cinquanta, nella terza posizione ha valore cinquecento. In un sistema di numerazione non posizionale invece per esprimere questi tre valori si usano tre simboli diversi: ad esempio in numeri romani cinquecentocinquantacinque si scrive DLV.

11 Sistema di Numerazione Posizionale I sistemi di numerazione posizionali necessitano della cifra zero per segnare i posti "vuoti". Ad esempio il numero cinquecentocinque (5 centinaia, 0 decine, 5 unità) va scritto 505, con uno zero nella posizione delle decine: se non si mettesse lo zero, scrivendo 55, sarebbe il numero cinquantacinque invece di cinquecentocinque. Nei sistemi non posizionali invece non si usa lo zero perché l'uso di simboli diversi per unità, decine, centinaia eccetera lo rende non necessario: in numeri romani cinquecentocinque si scrive DV e non si può confondere con cinquantacinque che si scrive LV. L'utilizzo della posizione per codificare delle informazioni permette di usare un numero minore di simboli: infatti il sistema di numerazione arabo è in grado di rappresentare tutti i numeri utilizzando solamente dieci simboli. L'adozione della notazione posizionale ha permesso infatti di definire ed applicare algoritmi relativamente semplici per effettuare le operazioni elementari come l'addizione, la moltiplicazione o l'elevamento a potenza.

12 Basi I sistemi di numerazione posizionale si differenziano per le loro basi la sequenza di cifre c3c2c1c0 rappresenta in base b il numero c3 b 3 + c2 b 2 + c1 b 1 + c0b 0 Ad esempio il numero 243 in base 5 rappresenta cioè in base 10 Ricorda che b 0 =1 e b 1 =b per ogni numero b I numeri arabi sono in base 10...

13 Altre basi comuni 12. Le ore. Una dozzina di rose, di uova I minuti, i secondi, i gradi (Babilonesi) 5x12=60 le caratteristiche fisiche dei circuiti digitali rendono molto conveniente la gestione di due soli valori, rappresentati fisicamente da due diversi livelli di tensione elettrica. 20. (Maya e Atzechi) 2. (Computer) 16. Rappresentazione dei colori (Computer) pare che camminassero scalzi e utilizzassero pure le dita dei piedi per contare

14 Base 2 Un numero in base 2 (detto anche numero binario) è una sequenza di 0,1 (detti bit) la sequenza di cifre c3c2c1c0 rappresenta in base 2 il numero c c c c02 0 Binario Decimale Esempio rappresenta x2 0 = x1 = = 89 in base

15 Da base 10 a base 2 Per convertire un numero n da base 10 a base 2, basta dividere ripetutamente n per 2 e segnare di volta in volta i resti. Il risultato è la sequenza di resti in ordine inverso numero diviso 2 con resto Ad esempio 44 in base 2 è

16 Somme in base 2 Nei sistemi di numerazione posizionale le operazioni aritmetiche si possono fare in modo analogo a quello usuale. Ad esempio per sommare due numeri in base 2, si mettono i due addendi in riga e si somma cifra per cifra (da destra a sinistra) considerando che 1+1 = 0 con riporto di

17 Base 16 Un numero in base 16 (detto anche numero esadecimale) è una sequenza di 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F la sequenza di cifre c3c2c1c0 rappresenta in base 16 il numero c c c c016 0 Esadecimale Decimale Esempio 4F rappresenta Fx16 0 = F = = 79 in base A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

18 Morale della storia: forma e sostanza Esistono tanti sistemi numerici diversi per rappresentare le stesse entità (i numeri naturali). Alcune rappresentazioni sono migliori di altre: ad esempio i numeri arabi sono migliori di quelli romani perché permettono di eseguire le operazioni aritmetiche facilmente. E' interessante notare che, in tutti i sistemi numerici, i numeri sono rappresentati da sequenze di simboli. Le rivedremo spesso durante il corso... E' quindi opportuno distinguere la rappresentazione dal suo significato, la sintassi dalla semantica, la forma dalla sostanza. E' interessante notare che, benché equivalenti per l'aritmetica, le diverse basi si distinguono per i dispositivi fisici usati per contare: mani, piedi, circuiti.. I sistemi numerici (come quello romano, o quelli posizionali) sono i primi esempi di linguaggio formale, rigoroso, matematico.

19 Fibonacci (Leonardo Pisano) (circa ) Noto sopratutto per la sequenza di Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21... (il rapporto fra le coppie di termini successivi tende molto rapidamente al numero 1, , noto come rapporto aureo, alla base dell'armonia in pittura, architettura, musica...) Introduce in occidente i numeri arabi Nel 1202, pubblica il Liber Abbaci, in cui introduce il sistema di numerazione arabo e spiega, tra le altre cose, gli algoritmi per eseguire le elementari operazioni aritmetiche. All'epoca il mondo occidentale usava i numeri romani e i calcoli si eseguivano con l'abaco. Il nuovo sistema stentò molto ad essere accettato, tanto che nel 1280 la città di Firenze proibì l'uso delle cifre arabe da parte dei banchieri. L'introduzione del sistema numerico arabo é considerato un momento fondamentale nella storia della Scienza, in quanto gli algoritmi per le operazioni elementari consentirono di fatto lo sviluppo del calcolo matematico astratto, e quindi della scienza moderna.

20 Morale della storia: l'importanza della forma La storia dei numeri ci mostra quanto sia importante la notazione, la sintassi, la forma. Rivedrete spesso questo durante il corso dei vostri studi... Due programmi sintatticamente diversi possono calcolare la stessa funzione (ad esempio calcolare l'ennesima potenza di 2), ma uno può essere molto più efficiente dell'altro. Il codice che scriverete oltre che corretto, dovrà essere ben formattato, altrimenti risulterà poco leggibile (e quindi difficilmente modificabile). I fogli che consegnerete agli esami scritti dovranno essere ben scritti, in modo da risultare leggibili e facili da correggere Il vostro modo di pensare, di risolvere i problemi, di affrontare gli esercizi dovrà essere formale!!!

21 Esercizi 1) Somma i numeri romani XCVI e XXIV con la seguente procedura: (I) traduci i due addendi in numeri arabi, (II) somma i due addendi tradotti, (III) traduci il risultato in numero romano. 2) Somma (direttamente) i numeri binari e ) Traduci il numero decimale 31 in binario 4) Traduci il numero decimale 63 in binario 5) Qual'é il più grande numero decimale che posso rappresentare con 5 bit? 6) Qual'é il più grande numero decimale che posso rappresentare con 6 bit? 7) Qual'é il più grande numero decimale che posso rappresentare con 7 bit? 8) Qual'é il più grande numero decimale che posso rappresentare con n bit? 9) Quanti numeri posso rappresentare con 5 bit? Quanti con 6? Quanti con n bit? 10) Qual'è il più grande numero esadecimale con due cifre? A quale numero decimale corrisponde?

22 Perché ci tocca fare tutto ciò? Dice un vecchio proverbio cinese: se la strada è lunga pensaci in cammino (Igor Belsito) Spesso capirete i benefici del percorso che state facendo solamente molto tempo dopo la partenza Per il momento, potete pensare a tutto ciò come ad un esercizio per sviluppare le vostre capacità di ragionamento formale (simili agli esercizi fisici che rafforzano i vostri muscoli) Inoltre, in altri corsi, ritroverete la conversione tra basi diverse: ad esempio in PPW, la base 2 e la base 16 saranno importanti per la codifica dei colori

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