Algoritmi di conversione Rappresentazione ottale e esadecimale. 25 settembre 2018

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1 Algoritmi di conversione Rappresentazione ottale e esadecimale 25 settembre 2018

2 Notazione binaria per numeri naturali In base 2. I simboli ammessi sono 0,1. Una sequenza / stringa di 0 e 1, di lunghezza n con a i {0, 1} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: a n-1 a n-2 a 1 a 0 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 = = a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a a In notazione compatta: N n 1 i 0 a i 2 i

3 Notazione posizionale (in base b generica) In base b. I simboli ammessi sono 0,1,, b-1. Una sequenza / stringa di 0, 1,, b-1, di lunghezza n a n-1 a n-2 a 1 a 0 con a i {0, 1,, b-1} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) b = = a n-1 b n-1 + a n-2 b n a 1 b 1 + a 0 b 0 In notazione compatta: N n 1 i 0 a i i b

4 Esempi (234) 10 (234) (234) (101) 10 (101) (101)

5 Algoritmi di conversione Problema della conversione da binario a decimale Dati: n bit a n-1, a n-2,, a 1, a 0 Risultato: l intero N tale che N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 Algoritmo = procedimento di calcolo che risolve il problema con una sequenza finita di passi elementari Problema della conversione da decimale a binario Dati: un intero N Risultato: n bit a n-1, a n-2,, a 1, a 0 tali che N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2

6 Algoritmi di conversione binario decimale Da binario a decimale: moltiplico ogni cifra per l opportuna potenza di 2 e poi sommo Da decimale a binario: esprimo il numero come somma di potenze di 2, partendo dalla più grande potenza di 2 minore o uguale del numero Esistono altri «algoritmi» per convertire un numero dalla rappresentazione binaria alla decimale e viceversa. Bisogna conoscere più metodi di soluzione! Per scegliere il più adatto, veloce,. Mai accontentarsi!

7 Verso un algoritmo di conversione da b=2 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 N = a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a 1 2+ a 0 = (a n-1 2 n-2 + a n-2 2 n a a 1 ) 2 + a 0 = ( (a n-1 2 n-3 + a n-1 2 n a 2 ) 2 + a 1 ) 2 + a = (( (a n-1 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 S 0 = S a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 = (( ( (a n-1 ) 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 S n-1 = a n-1

8 Algoritmo di conversione: binario in decimale MSD=cifra più significativa Dati: a n-1, a n-2,, a 1, a 0 con a i = 0 o 1 Risultato: N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 LSD=cifra meno significativa N = (( ( ( a n-1 ) 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 N= S 0 = S a 0 S n-1 = a n-1 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 Dal basso verso l alto: da a n-1 a a 0 ; da MSD a LSD S n-2 = a n-2 + 2S n-1 S n-3 = a n-3 + 2S n-2.. S i = a i + 2S i+1.. S 0 = a 0 +2S 1 S 0 =N

9 Esempio 1 S n-1 = a n-1 S n-2 = a n-2 +2S n-1 S n-3 = a n-3 +2S n-2.. S i = a i +2S i+1.. S 0 =N N = (a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) 2 n=8 ( ) 2 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 5 = a 5 +2S 6 = = 5 S 4 = a 4 +2S 5 = = 11 S 3 = a 3 +2S 4 = = 22 S 2 = a 2 +2S 3 = = 45 S 1 = a 1 +2S 2 = = 90 S 0 = a 0 +2S 1 = = 181

10 Esempio 4 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 5 = a 5 +2S 6 = = 4 S 4 = a 4 +2S 5 = = 9 S 3 = a 3 +2S 4 = = 19 S 2 = a 2 +2S 3 = = 38 S 1 = a 1 +2S 2 = = 76 S 0 = a 0 +2S 1 = = 152

11 Esempio 3 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 3 S 5 = a 5 +2S 6 = = 7 S 4 = a 4 +2S 5 = = 15 S 3 = a 3 +2S 4 = = 31 S 2 = a 2 +2S 3 = = 63 S 1 = a 1 +2S 2 = = 127 S 0 = a 0 +2S 1 = = 255

12 Algoritmo di conversione: decimale in binario N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 Dato: N. Risultato: a n-1, a n-2,, a 1, a 0 con a i = 0 o 1 Procedura inversa: dall alto verso il basso da a 0 ad a n-1 ; da LSD a MSD N= S 0 = S 1 2 +a 0 a 0 ed S 1 sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione di N= S S 1 = S a 0 per 2. 1 S 2 = S a 2 S i = S i a i S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1. a i ed S i+1 sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione di S i per 2.. Fino ad ottenere un S i =0. Algoritmo delle divisioni successive

13 Esempio 1 (decimale in binario) N=152 S 0 = N = a 0 +2 S 1 S 1 = a S 2 S 2 = a S 3.. S i = a i + 2 S i+1.. S n-1 = a n-1 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 S 0 = a 0 +2S 1 = = 152 S 1 = a 1 +2S 2 = = 76 S 2 = a 2 +2S 3 = = 38 S 3 = a 3 +2S 4 = = 19 S 4 = a 4 +2S 5 = = 9 S 5 = a 5 +2S 6 = = 4 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 7 = a 7 +2S 8 = =1 N = ( ) : 2 = 76 con resto 0 76 : 2 = 38 con resto 0 38 : 2 = 19 con resto 0 19 : 2 = 9 con resto 1 9 : 2 = 4 con resto 1 4 : 2 = 2 con resto 0 2 : 2 = 1 con resto 0 1 : 2 = 0 con resto 1 STOP

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15 Algoritmi di conversione binario decimale Da binario a decimale: 1. moltiplico ogni cifra per l opportuna potenza di 2 e poi sommo (definizione) 2. Considero i bit dal MSD (da sinistra a destra), partendo da zero, raddoppio e sommo il prossimo bit Da decimale a binario: 1. esprimo il numero come somma di potenze di 2, partendo dalla più grande potenza di 2 minore del numero 2. Divisioni successive per 2: i resti forniscono i bit dal LSD, riapplico ai quozienti

16 Conversione da decimale a base B

17 Altre basi importanti Nel sistema posizionale pesato abbiamo visto le rappresentazioni in base 2 e 10 e le relative conversioni. Altre basi importanti (per l informatica almeno) sono 8 e 16.

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19 Notazione in base 8 / ottale In base 8. I simboli ammessi sono 0,1,, 7. Una sequenza / stringa di 0, 1,, 7, di lunghezza n a n-1 a n-2 a 1 a 0 con a i {0, 1,, 7} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 8 = = a n-1 8 n-1 + a n-2 8 n a a In notazione compatta: N n 1 i 0 a i 8 i

20 Esempi (234) (101)

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22 Un po di magia b = 8 rappresentazione ottale 2 (213) Convertiamolo in decimale = = = 139 Valore identico Sarà un caso?

23 Non è un caso! = = ( )+ ( )+( ) = = ( ) ( ) 2 3 +( ) = = = = = ( 2 1 3) 8

24 Da binario a ottale N = (a 7 a 6 a 1 a 0 ) 2 = a a a 1 2+ a 0 = (a a )+ (a a a )+(a a 1 2+ a 0 ) = = (a a 6 ) (a a a 3 ) 2 3 +(a a 1 2+ a 0 ) = = b b b E inoltre b 2, b 1, b 0 sono compresi fra 0 e 7.

25 Da binario ad ottale e viceversa Da binario ad ottale: Raggruppa i bit 3 a 3 da destra Ad ogni gruppo fai corrispondere la cifra in ottale (da 0 a 7) Da ottale a binario: Ad ogni cifra in ottale far corrispondere la rappresentazione binaria su 3 bit e concatenare Esempi:

26 Notazione in base 16 / esadecimale In base 16. I simboli ammessi sono 0,1,, 9, A, B, C, D, E, F. Una sequenza / stringa di 0, 1,, F, di lunghezza n a n-1 a n-2 a 1 a 0 con a i {0, 1,, F} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 16 = = a n-1 16 n-1 + a n-2 16 n a a In notazione compatta: N n 1 i 0 a i 16 i A volte (per es. in [PH]) è usato il prefisso 0x davanti la stringa. Esempio: 0x8A00C

27 Ancora magia! b = 16 rappresentazione esadecimale 2 (203) Nemmeno questo è un caso!

28 Da binario a esadecimale e viceversa Da binario ad esadecimale: Raggruppa i bit 4 a 4 da destra Ad ogni gruppo fai corrispondere la cifra in esadecimale (da 0 a F) Da esadecimale a binario: Ad ogni cifra in esadecimale far corrispondere la rappresentazione binaria su 4 bit e concatenare Esempi:

29 Esercizi Quanti bit sono necessari per rappresentare 152? Quanti bit sono necessari per rappresentare un intero n?

30 Numero di bit per rappresentare N E possibile prevedere il numero di bit necessari per rappresentare N in binario? Potevamo prevedere che per rappresentare N = 152 occorrevano 8 bit? E possibile rappresentare 152 con 7 bit? No, perché con 7 bit possiamo rappresentare tutti e soli gli interi da 0 a 2 7-1=127 E possibile rappresentare 152 con 8 bit? Si, perché con 8 bit possiamo rappresentare tutti gli interi da 0 a = 255 In effetti: 2 7-1< , ovvero < 2 8. Il minimo numero di bit necessari a rappresentare N in binario lo ottengo considerando log 2 N, tralasciando la parte decimale, e sommando 1. log = 7,. e 7+1 = 8. Nota: 152 si può rappresentare anche con 9, 10, 11,.. bit: (152) 10 = ( ) 2 = ( ) 2 = ( ) 2 = ( ) 2

31 Svolto in aula Svolto in aula

32 Esercizi Da cosa sono caratterizzati i numeri pari in binario? (11010) 2 è pari? Dimostrare nel modo più formale, preciso e convincente la vostra affermazione. Da cosa sono caratterizzati i numeri multipli di 4 in binario? (11010) 2 è pari? Dimostrare nel modo più formale, preciso e convincente la vostra affermazione.

33 Riepilogo Rappresentazione nelle basi 2, 8, 10 e 16 e conversioni [P] parr. 1.5, Iscrivetevi alla piattaforma Svolgete gli esercizi indicati nelle slides e sulla piattaforma.