Fluidodinamica Ambientale - A. Soldati Master in Gestione e Controllo Ambientale; Scuola Superiore Sant Anna, Pisa

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1 luidodinamica Ambientale - A. Soldati Master in Gestione e Controllo Ambientale; Scuola Superiore Sant Anna, Pisa Per regolare l efflusso d acqua in un canale (di ampiezza W ), viene utilizzata la diga rappresentata in figura. Calcolare la forza per unità di larghezza /W necessaria per tenere in posizione la diga sapendo che h = m e che h = m. Aria g Acqua v h h v Applicando l eq. di conservazione della quantità di moto in direzione orizzonatle tra le sezioni e si ottiene: = w(v v ) + pda pda, () ovvero: da cui: A = h v h v + h ( ) h W = h v h v + g h Applicando l eq. di conservazione della massa tra le medesime sezioni si trova: A h ghdh ghdh W, (). (3) v (h W ) = v (h W ) v = v h h. () Sfruttando questa relazione tra v e v ed applicando l eq. di Bernoulli si può ricavare: v + gh = v + gh v = gh h + h v = gh h h + h. (5) Sostituendo le espressioni per le velocità nella 3 si arriva alla seguente espressione: W = [ g (h h ) 3 ]. (6) h + h Sostituendo i valori numerici risulta /W =. 5 N/m. Il manometro in figura è costituito da un ampolla sferica (volume V = m 3 ) riempita d aria e da una tubazione a sezione circolare di diametro costante. Nei tratti e 3, la tubazione è riempita con mercurio (densità Hg = 36 kg/m 3 ) mentre nel tratto 3 la tubazione è riempita con acqua.. Calcolare la pressione dell aria sapendo che p = p atm e che le differenze di quota tra le varie sezioni sono: h =. m, h 3 =. m, h 3 =.6 m.

2 . Il mercurio nel tratto di tubazione (lungo L =.5 m) viene prelevato tramite una piccola tubazione di scolo. In tal modo è possibile far espandere isotermicamente l aria nel tratto mantenendo fisse le sezioni, 3 e. Determinare la nuova pressione dell aria ed il diametro della tubazione sapendo che il tratto è lungo L =.3 m. Aria Acqua 3 Mercurio Mercurio. Applicando la legge di Stevino per la statica e notando che p = p atm, si ricava: p 3 = p + Hg g h 3 = p atm + Hg g h 3 =.36 5 P a, (7) p = p 3 HO g h 3 = p atm + Hg g h 3 HO g h 3 =.35 5 P a, (8) p = p + Hg g h = p atm + Hg g h 3 HO g h 3 + Hg g h =.67 5 P a. (9). La nuova pressione dell aria sarà p aria =.35 5 P a. Per un espansione isoterma vale la legge pv =cost. per cui p aria V in = p aria V fin con: πd V in = V + L πd V fin = V + L, (), () () Sostituendo si ricava : πd Il diametro della tubazione risulta essere pari a: (p aria L p aria L ) = (p aria p aria) V. (3) V (p aria p aria D = ) π (p aria L =.756 m = 7.56 cm. () p aria L ) 3 Un contenitore viene riempito con una soluzione salina fino ad un altezza H dal fondo. Un pezzo di legno galleggia sulla superficie della soluzione salina (di densità s ) con la faccia inferiore immersa per un altezza pari ad h. Il pezzo ha larghezza W, spessore H e lunghezza L. La densità della superficie salina non è costante bensì aumenta linearmente con la profondità : sulla superficie si ha s (y = H) = HO mentre sul fondo del contenitore si ha s (y = ) = HO (vedi figura).. Sapendo che il legno ha densità b =.5 HO, determinare l altezza h quando il blocco galleggia in condizioni di equilibrio.. La soluzione salina viene sostituita e il contenitore viene nuovamente riempito fino ad un altezza H dal fondo con due liquidi immiscibili A e B in parti uguali (ovvero A e B occupano la stessa frazione di volume nel contenitore). I due liquidi hanno densità costante e pari a A =.5 HO e B = HO rispettivamente. Calcolare l altezza di equilibrio h in questo caso.

3 W H y H s b h. La densità della soluzione salina ha andamento lineare: s (y) = s (y = H) [ s (y = H) s (y = )] y H. (5) Il bilancio delle forze agenti sul blocchetto di legno in condizioni statiche impone: Integrando e semplificando si trova: H grav = gall b g (W LH) = s (y)g }{{} H h (W Ldy) }{{} V ol. blocchetto V ol. immerso L unica soluzione accettabile è ovviamente h = H( ).. (6) h + Hh H = h, = H( ± ). (7). Notiamo subito che deve essere necessariamente h > H/ in base ai dati forniti. Deve pertanto valere: da cui si trova h = 5/8 H. grav = gall b H = H A dy + H/ H/ H h B dy, (8) Si vuole determinare la viscosità µ f di un fluido avente densità f = 8 kg/m 3 con il metodo del viscosimetro a sfera cadente, utilizzando una sfera di diametro D p = mm e densità p = 5 kg/m 3. La sfera viene rilasciata all interno del viscosimetro da un altezza h con velocità iniziale nulla e percorre, in un tempo di caduta t = s, un tratto verticale h =.5 m (vedi figura). Supponendo che la sfera si muova con velocità pari alla velocità terminale tra le sezioni e del viscosimetro, calcolare µ f. g La velocità terminale della sfera è v term = h /t =.5 m/s. Per definizione vale: v term = p f p Si trova µ f =.855 P a s. gτ p = g p f p pd p 8µ f = (. 3 /µ f ). (9)

4 5 Una sfera omogenea, di volume V = 5 dm 3 e densità, è completamente immersa nell acqua di un grande recipiente, trattenuta da una funicella ancorata al fondo. La funicella è soggetta ad una tensione T = 96. N. A causa della rottura della funicella, la sfera emerge raggiungendo una nuova posizione di equilibrio.. Calcolare la velocità terminale di risalita della sfera.. Determinare la frazione in volume di sfera emergente dall acqua.. Quando la sfera è ancorata al fondo, vale il seguente bilancio di forze: T + grav = gall T + gv = w V = w T gv = kg/m3, () w essendo la densità dell acqua. Il diametro della sfera è D = (6V/π) /3 =.368 m. Ipotizzando che la sfera si muova sempre in regime di Stokes, la velocità terminale ha la seguente espressione: v term = ( w f )gv 3πµ w D = m/s. () 6 Il numero di Reynolds della sfera risulta essere: Re sfera = vd µ =.8 >>. () Come si poteva intuire dall altissima velocità terminale della sfera, questa abbandona ben presto il regime di Stokes durante il suo moto ascensionale.. Indicato con V la frazione di volume di sfera che emerge dall acqua, si ha, nella nuova posizione di equilibrio, il seguente bilancio di forze: Si trova banalmente V =.8 V. grav = gall T + gv = w (V V ) V V = =.. }{{} V w (3) V ol. immerso Un olio leggero ( = 8 kg/m 3, µ = 3 3 P a s) viene trasferito dal serbatoio A al serbatoio B tramite una tubazione liscia (f =.79Re.5 ) di lunghezza L = 5 m e diametro D (vedi figura).. Il livello iniziale di olio nel serbatoio A è h in = m. Determinare quale deve essere il diametro D della tubazione affinchè sia possibile trasferire un volume V tr =.5 m 3 di olio in un ora (supporre che il livello d olio nel serbatoio A resti costante).. Sapendo che il volume iniziale di olio nel serbatoio A è V in = m 3, calcolare il tempo t impiegato dall olio per scendere dal livello h in al livello h(t ) =.5 m nel serbatoio A. h in L = 5 m A D Q out B

5 . La porta volumetrica minima da trasferire per garantire il trasporto è Q tr = V tr /t =.7 m 3 /s. Applicando Bernoulli tra il pelo libero del serbatoio A (sez. ) ed il punto di scarico della tubazione (sez. ), si trova: p atm + gh = p atm + v + f L D v, () v essendo la velocità dell olio nel tratto di tubazione. Ipotizzando regime turbolento si ha f =.79Re.5 ed è possibile trascurare il termine cinetico v. In tal modo è facile ricavare: v.75 D.5 = gh ).5 v = 5.38 D 5/7. (5).58 L Indicata con Q out = v πd la porta trasferita attraverso la tubazione, deve valere: ( µ ( ).7 7/9 Q tr = Q out D = = m = 33.5 mm. (6). Noto il diametro della tubazione si ricava v =.73 m/s cui corrisponde un numero di Reynolds pari a Re = 3. >. La condizione di regime di flusso turbolento è pertanto confermata ed è facile verificare numericamente come il termine cinetico nell eq. sia effettivamente trascurabile rispetto al termine potenziale ed a quello delle perdite di carico.. Il bilancio di portata volumetrica sul serbatoio A, quando questo si svuota è : con: = S = Q out (t), (7) Q out = v πd = h(t).75 gh(t)d.5.58 ( µ).5 L.75 πd = 8. 6 h(t).57 = K h(t).57. (8) L equazione differenziale da integrare e risolvere per ottenere il tempo richiesto t è dunque: S = K h(t).57 h(t ) h() h(t).57 = K S t. (9) Essendo h() = h in = m e V in = S h in = m 3, si ricava S = m. Inoltre h(t ) = h fin =.5 m essendo V fin = S h fin =.5 m 3. Si trova: h = Kt t = s = h 3 min 37 s. (3) 7 Il circuito in figura è costituito da un serbatoio (avente area di base S = m ) che, tramite una tubazione circolare (diametro D =. m) alimenta un ugello (diametro di uscita d =. m) da cui fuoriesce un getto d acqua utilizzato per mantenere in rotazione la palettatura di una turbina. La tubazione non è tutta in piano bensì supera un dislivello di m. Le uniche perdite di carico trascurabili sono quelle dovute al restringimento di sezione in corrispondenza dell ugello (tra le sezioni e 3).. Assumendo un fattore d attrito f =.3, calcolare la portata volumetrica trasferita nel circuito quando il livello di acqua nel serbatoio è pari ad h = 3 m.. All istante t =, il serbatoio inizia a svuotarsi. Determinare il livello minimo h min di acqua all interno del serbatoio. 3. Determinare il tempo necessario affinchè il livello di acqua nel serbatoio passi da h ad h min

6 S = m sez. sez. D d h = 3 m 3 m m m sez. 3 5 m 75 m. Applicando Bernoulli tra il pelo libero dell acqua nel serbatoio (sez. ) e la sezione di uscita dall ugello (sez. 3), si ottiene: p atm Le perdite di carico totali l v sono pari a: + gh = p atm + v 3 + l v, (3) l v = f L ( ) D v + n g k f v = 9.5 v, (3) trascurando le perdite di carico nel restringimento di sezione tra e 3 e considerando le perdite concentrate nei gomiti a 9 o presenti nel circuito (n g = ), cui risulta associato un numero di altezze cinetiche pari Dalla eq. di continuità si ricava: Q = v πd = v 3 πd v = v 3 ( d D ) =. v 3. (33) Pertanto l v =.6 v 3 che, sostituita nella 3, fornisce: gh =.66 v 3 v 3 = v out =.33 m/s Q 3 = Q out = m 3 /s. (3). L altezza minima di acqua nel serbatoio sarà h min = m. Vista la presenza del gomito ad U rovesciata, per il principio dei vasi comunicanti, il livello di acqua nel serbatoio non può scendere al di sotto di h min. 3. Il bilancio di volume sul serbatoio impone: con: v out (t) = = S = Q out (t) = πd v out(t), (35) gh(t) + f L D + k f = K h(t). (36) L equazione differenziale da integrare è : S = K h(t) hmin h() h(t) = K S t h hmin =.56 3 t. (37) h Si ottiene che il tempo necessario a svuotare il serbatoio fino al livello minimo è : t = ( hmin ) h = s = 3 min 5 s. (38) k /S

7 8 Un serbatoio a sezione quadrata (di lato L ed altezza L) è collegato attraverso una tubazione cilindrica (di diametro D) ad una membrana di rottura, progettata per rompersi quando su di essa viene applicata una certa forza (vedi figura). Le proprietà (, µ) del liquido contenuto nel serbatoio sono note.. Calcolare l altezza h di liquido nel serbatoio in corrispondenza della quale si ha la rottura della membrana.. Nota la portata volumetrica Q in che alimenta il serbatoio, determinare il tempo T necessario a raggiungere un livello h = h di liquido nel serbatoio. Si assuma un livello iniziale di liquido nel serbatoio pari a h. Q in L L h = membrana di rottura H. La forza necessaria a provocare la rottura della membrana è legata alla pressione esercitata dal liquido sulla membrana stessa (situata in corrispondenza della sez. ): con p = p + g(h + h). Si ricava:. Bilancio di massa/volume sul serbatoio: dm(t) h = = p πd, (39) ( ) πd p atm g H. () = (Q in Q out ) Il volume di liquido è pari a V (t) = L h(t) + (πd )/ H da cui si deduce: = L Per definizione, vale anche Q out = v out (πd )/ essendo v out = g[h(t) + H]. Sostituendo le espressioni e nella si ottiene: L = Q in g[h(t) + H] πd = (Q in Q out ). (). () = Q in }{{} L α Bisogna integrare la seguente equazione differenziale a variabili separabili: πd g h(t) } L + H. (3) {{} β = α β h(t) + H h h T α β h(t) + H =. () L integrale a sinistra può essere risolto per sostituzione ponendo α β h(t) + H = z con = ( /β ) (α z)dz. L espressione finale per il tempo T è : ( T = α β [α ) h + H β ln α β h + H ( + β h + H h + H) ]. (5)