Calcolatori)Elettronici) Reti)Logiche) )

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1 Calcolatori)Elettronici) Reti)Logiche) ) Prof.&Emiliano&Casalicchio&

2 Agenda) Algebra&della&commutazione& Funzioni&incomplete& Espressioni&NAND&NOR&

3 Testi)di)riferimento)e)Materiale) didattico) La&logica&dei&sistemi&di&elaborazione& di&gerace&g.&baksta& && & ovvero& & M.M.Mano&N&C.R.Kime& & Slides&proie:ate&a&lezione&(NON$SOSTITUISCONO$IN$ALCUN$ MODO$I$TESTI)$ &

4 Le)reti)logiche) manipolano&l informazione&presente&al&loro&ingresso&e&la& presentano&trasformata&alla&loro&uscita& Sono&chiamate&logiche&perché&sia&la&funzione&dei&singoli& essere&descri:e&mediante&espressioni&dell algebra&della&logica& o&di&algebre&ad&essa&isomorfe& re2$combinatorie$ re2$sequenziali$$

5 Reti)combinatorie) Una&rete&combinatoria&è&una&rete&logica&che&ha&n&ingressi&x_1,& x_2,&...,&x_n&e&m&uscite&f_1,&f_2,&f_m& le&uscite&e&gli&ingressi&possono&assumere&solo&2&valori&0&e&1& ad&ogni&combinazione&degli&ingressi&corrisponde&una&e&una& sola&combinazione&dei&valori&delle&uscite& segnali&/&variabili& x_1& x_n& RC& morsek& y_1& y_n&

6 Comportamento)esterno) segnali&/&variabili& x_1& y_1& x_n& Rappresentazione&black&box& RC& morsek& y_n& conosciamo&solo&il&comportamento&esterno,&ossia&come&risponde& l uscita&della&rete&ad&un&cambiamento&dell ingresso& Tale&comportamento&è&completamente&noto&se&per&ciascuna& combinazione&dei&valori&di&ingresso&conosciamo&i&valori&di&uscita& Il&comportamento&di&una&rete&combinatoria&viene&descri:o& mediante&la&tabella&di&verità&

7 Tabella)di)verità) x_1$ x_2$ f1$ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& x_1& x_2& RC& f_1& 1& 0& 1& x_1& x_2& 0& 0& 1& 0& 1& f_1& 0&

8 Struttura)interna) Descri:a&da&un&gruppo&di&espressioni&algebriche&(logiche)& una&per&ogni&uscita& f_1(x_1,...,x_n),&f_2(x_1,...,x_n),&...,&f_m(x_1,...,x_n)& f_i(x_1,...,x_n)$è&de:a&funzione$logica$ le&f_i&stabiliscono&le&ralazioni$ingresso$uscita$della&rete& Le&f_i&possono&essere&ricavate&dalle&tabelle&di&verità&mediante& un&processo&de:o&di&sintesi&(lo&vedremo&nel&seguito)& Partendo&dalle&funzioni&logiche&e/o&dallo&scema&logico&della& rete&è&possibile&ricavare&la&tabella&di&verità&

9 Struttura)logica)di)una)rete) La&stru:ura&interna&di&una&rete&viene&descri:a&mediante&un& algebra&isomorfa&all algebra&della&logica& l algebra$della$commutazione& La&stru:ura&interna&di&una&rete&descri:a&mediante&l algebra& della&commutazione&è&de:a&& struhura$algebrica$o$logica$della$rete$

10 Algebra)della)commutazione) Sistema&algebrico&in&cui&& ogni&variabile&può&assumere&i&soli&valori&0&e&1 && alle&variabili&sono&applicate&le&operazioni&binarie&di& somma&logica&o&or:&+$ & complementazione&o&negazione&o&not:&,$l,$~$ algebra&della& commutazione& AND$ x_1& x_2& f1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1& OR$ x_1& x_2& f1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1& NOT$ x_1& f1& 0& 1& 1& 0&

11 Proprietà)notevoli) T1:&Teorema&della&complementazione& A&+&~A&=&1& A& &~A&=&0& T2:&Teorema&dell involuzione& ~~A=A& A&+&A&=&A& A& &A&=&A& T4:&Teorema&dell unione&e&intersezione& A&+&0&=&A& A& &1&=&A& A&+&1&=&1& A& &0&=&0&

12 Proprietà)notevoli)(cont)) A&+&B&=&B&+&A& A& &B&=&B& &A& A&+&(B&+&C)&=&(A&+&B)&+&C& A& &(B& &C)&=&(A& &B)& &C& A& &(B&+&C)&=&A& &B&+&A& &C& A&+&(B& &C)&=&(A&+&B) (A&+&C)& T8:&Teorema&di&De&Morgan& ~(A&+&B)&=&~A& &~B& ~(A& &B)&=&~A&+&~B&

13 Considerazioni)sulle)proprietà) notevoli) perfe<a&induzione & Ad&eccezione&del&teorema&dell involuzione,&ogni&proprietà&è& cara:erizzata&da&due$espressioni$duali$ricavabili&l una& dall altra&con&la&seguente&regola& &e&0&con&1& La&dualità,&e&la&possibilità&di&esprimere&una&funzione&logica& come&somme&di&termini&o&prodok&di&termini&ha&un&impa:o&

14 Funzioni)logiche)elementari) Alle&operazioni&AND,&OR&e&NOT&corrispondono&delle&funzioni& logiche&de:e&elementari& f AND&,&f OR&,&f NOT& data&1&variabile&binaria&possiamo&realizzare&2&possibili&funzioni& logiche& f NOT! è&una&di&queste& date&n&variabili&binarie&possiamo&realizzare&2 2n &funzioni&logiche& n=2&!&16&funzioni&tra&cui&f AND&,&f OR& && x1$ x2$ f1$ f2$ f3$ f4$...$ f6$ f7$...$ f16$ 0& 0& 0& 1& 0& 1&...& 1& 0&...& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 1&...& 1& 0&...& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0&...& 1& 0&...& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0&...& 0& 1&...& 1&

15 Funzioni)equivalenti) Data&una&funzione&logica&f& c è&una&sola&tabella&di&verità&per&f& ci&possono&essere&molte&espressioni&algebriche&che& rappresentano&f& Due&espressioni&che&rappresentano&la&stessa&funzione&sono& de:e&equivalenh.&& Ad&esempio:& E1:&~xy~z&+&x~y&+&z& E2:&~xz&+~xy&+&xz&+&x~y& x$ y$ z$ f$ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1&

16 Mintermine)e)Maxtermine) Data&un espressione&definiamo:& Le:era:&variabile&affermata&o&complementata& Termine:&prodo:o&di&le:ere&(termine&prodo:o)&o&somma&di& le:ere&(termine&somma)& Data&una&funzione&ad&n&variabili&definiamo& Un&espressione&composta&da&Somme&di&ProdoK&(ovvero& mintermini)&è&de:a&sp& Un&espressione&in&composta&da&ProdoK&di&Somme&(ovvero& maxtermini)&è&de:a&ps&

17 Es:)forma)SP)o)forma)Normale) Termine&prodo:o& e&mintermine& Le:era& E:&~xy~z&+&x~y&+&z&+&x& Termine&somma& Termine&prodo:o&

18 Forma)canonica) Data&una&funzione&f&a&n&variabili&chiameremo&forma&canonica& di&f$un espressione&in&forma&sp&o&ps&i&cui&termini&sono&tu:o& mintermini&o&maxtermini& La$forma$canonica$(SP$o$PS)$di$una$funzione$è$unica& Possiamo&verificare&che&2&espressioni&(SP&o&PS)&non&in&forma& la&forma&canonica&

19 Esempio)di)forma)canonica)SP)) f&=&~xy~z&+&x~y~z&+&~x~yz&+&~xyz&+&x~yz&+&xyz& x$ y$ z$ f$ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1&

20 Espansione)di)una)espressione) in)sp)(ps)) per&ogni&termine&con&p&le:ere,&p<n,&si&genera&la&somma&(il& termini&sono&min(max)termini& ES:&sia&n=3,&e&x&y&z&le&variabili&di&f.&& Per&espandere&il&termine&prodo:o&x~y& x~y&=&x~y(z&+&~z)&=&x~yz&+&x~y~z& Per&espandere&il&termine&somma&x&+&~y&& x$+$~y$=$(x$+$~y)$+$(z~z)$=$(x$+$~y$+$z)$(x$+$~y$+$~z)$

21 Teorema)di)Shannon) Vogliamo&definire&un&metodo&per&ricavare&la&forma&canonica& T9&(Th.&di&Shannon):&ogni&funzione&di&f(x_1,&...,&x_n)&in&n& variabili&può&essere&espressa&nel&modo&seguente& &f(x_1,&...,&x_n)&=&x_1& &f(1,&...,&x_n)&+&~x_1& &f(0,&...,&x_n)&& tale&espressione&può&essere&generallizzata&per&tu:e&le&n& variabili.&& Ad&esempio&n=2,&x_1,&x_2& &f(x_1,&x_2)&=&x_1& &f(1,&x_2)&+&~x_1& &f(0,x_2)&=& & &&&&&&&&&&&x_1& &x_2& &f(1,&1)&+&x_1& &~x_2& &f(1,&0)&+&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&~x_1& &x_2& &f(0,1)&+&&~x_1& &~x_2& &f(0,0)&& Forma& Canonica& Generallizzata& SP&

22 f(x_1,&x_2)&=&&&x_1& &x_2& &f(1,&1)&+&x_1& &~x_2& &f(1,&0)&+&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&~x_1& &x_2& &f(0,1)&+&&~x_1& &~x_2& &f(0,0)&& & +&!&,& &!&+& & 0&!&1,&1&!&0& & f(x_1,&x_2)&=&[&x_1&+&x_2&+&f(0,&0)]& &[&x_1&+&~x_2&+&f(0,&1)&]& && Forma& Canonica& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&[~x_1&+&x_2&+&f(1,0)]& &[&~x_1&+&~x_2&+&f(1,1)&]& Generallizzata& & PS&

23 Tabella)di)Verità)!)) Espressione)canonica)SP) Data&una&tabella&di&verità&di&una&funzione&f&a&n&variabili,&& o:engo&l espressione&in&forma&canonica&sp&di&f& dall espressione&di&f&in&forma&canonica&generalizzata&sp& Ad&es:&f(x_1,&x_2)&=&x_1& &x_2& &f(1,&1)&+&x_1& &~x_2& &f(1,&0)&+&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&~x_1& &x_2& &f(0,1)&+&&~x_1& &~x_2& &f(0,0)&=& x_1$ x_2$ f1$ & &&&&&&&&&&&&x_1& &x_2& &0&+&x_1& &~x_2& &1&+&& 0& & 0& 0& & &&&&&&&&&&~x_1& &x_2& &1&+&&~x_1& &~x_2& &0&=& & &&&&&&&&&&&&x_1& &~x_2&&+&~x_1& &x_2&&& 0& 1& 1& & 1& 1& 0& 1& 0& 1&

24 Tabella)di)Verità)!)) Espressione)canonica)PS) Data&una&tabella&di&verità&di&una&funzione&f&a&n&variabili,&& o:engo&l espressione&in&forma&canonica&sp&di&f& dall espressione&di&f&in&forma&canonica&generalizzata&sp& Ad&es:&f(x_1,&x_2)&=&&[&x_1&+&x_2&+&f(0,&0)]& &[&x_1&+&~x_2&+&f(0,&1)&]& && &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&[~x_1&+&x_2&+&f(1,0)] &[&~x_1&+&~x_2&+&f(1,1)&]&=& x_1$ x_2$ f1$ & &&&&&&&&&&[&&x_1&+&x_2&+&0&]& &[x_1&+&~x_2&+&1]& && 0& & 0& 0& & &&&&&&&&&&[&~x_1&+&x_2&+&1]& &[&~x_1&+&~x_2&+&0]&=& & &&&&&&&&&&(&x_1&+&x_2)& &(~x_1&+&~x_2)&&& 0& 1& 1& & 1& 1& 0& 1& 0& 1&

25 Regola)1)) Per&ogni&combinazione&di&variabili&per&cui&nella&tabella&di&verità&la& funzione&assume&il&valore&1&(0),&c e &un&mintermine&(maxtemine)& nella&forma&canonica&sp&(ps)&della&funzione&nella&quale&ogni&variabile& compare&affermata&o&complementata&a&seconda&del&valore&1&o&0&(0&o& 1)&assunto&dalla&variabile&nella&combinazione&& x_1$ x_2$ f1$ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 1& forma& canonica&sp& Mintermine& Mintermine& x_1$ x_2$ f1$ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 1& forma& canonica&ps& Maxtermine& Maxtermine&

26 Schema)logico)delle)reti) logiche&elementari& Espressione&logica&!&Schema&logico& Schema&logico&!&Espressione&logica& Corrispondenza&tra&espressione&logica&e&schema&logico&è&biunivoca& della&rete&corrisponde&uno&schema&logico&completamente&separato&

27 Esempio) f&=&~xy~z&+&x~y&+&z& x,&y,&z&ingressi& f&uscita& disegnamo&lo&schema&logico&considerando,&nel&seguente&ordine,& 1. alle&le:ere& 2. ai&termini& 3. alla&somma&dei&termini& <<&Schema&presentato&a&lezione>>& Dallo&schema&logico,&assegnando&un&simbolo&all uscita&di& ciascun&elemento&logico,&si&costruisce&l espressione&di&f.&

28 Osservazioni) Espressione&!&schema&logico& Schema&logico&!&espressione&& Primo&passo&del&processo&di&analisi&di&una&rete& (AND,&OR,&NOT)& livelli&di&logica& SP:&ANDLOR&& PS:&ORLAND$ L informazione&viene&manipolata&al&più&da&due&elemen@&logici& (NOT$esclusi)$nel&passare&da&ingresso&a&uscita& I&NOT&non&sono&considera@&perchè&le&variabili&di&ingresso&ad&una&rete& sono&sempre&presen@&sia&in&forma&affermata&che&negata,&e& analogamente&le&variabili&di&uscita&

29 Funzioni)incomplete) f&è&non!completamente!specificata!o& incompleta& f&definisce&2 k &funzioni,&dove&k&è&il& numero&di&valori&non&specifica@& Le&funzioni&incomplete&possono&essere& completamente&specificate&in&fase&di& sintesi&per&ridurre&la&complessità& circuitale& ad&es.&assegnando&il&valore&0&alle& combinazioni&000,&110&e&011&o:engo& un&circuito&sp&composto&solo&da&2& mintermini&~xy~z&+&x~yz,&viceversa,&se& avessi&assegnato&degli&1&ai&valori&non& specifica@&avrei&avuto&una&forma& canonica&composta&da&5&mintermini& x$ y$ z$ f$ 0& 0& 0& & 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& & 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1& & 1& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 0&

30 Operatori)funzionalmente) completi) Sfru:ando&il&teorema&di&De&Morgan& A&+&B&=&~(~A& &~B)& A& &B&=&~(~A&+&~B)& &e&~& [+,&,&~],&[+,&~],&[,&~]&sono&gruppi&di&operatori&funzionalmente& compleh&

31 NAND)e)NOR) NAND$ NOR$ x_1$ x_2$ f NAND$ x_1$ x_2$ f NOR$ 0&/&0&=&1& 0&/&1&=&1& 1&/&0&=&1& 0&"&0&=&1&& 0&"&1&=&0& 1&"&0&=&0& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 1&/&1&=&0& 1&"&1&=&0& 1& 1& 0& 1& 1& 0& x&/&y&=&~&(x& &y)&e&&&&x&"&y&=&~&(x&+&y)& NAND&r&NOR&sono&operatori&funzionalmente&comple@& Dim:&mostrare&che&è&sempre&possibile&realizzare&AND,&OR&e&NOT& mediante&nand&e&nor&(usare&i&teoremi&t3&e&t8)& x&/&x&=&~(x& &x)&=&~x& (x/y)&/&(x/y)&=&~(~(x y) ~(x y))&=&~(~(x y))=x& &y& (x/x)&/&(y/y)&=&~(~(x x) ~(y y))&=&~(~x ~y))=x&+&y&

32 Esercizio) x&"&x&=&~x& (x"y)&"&(x"y)&=&x&+&y& (x"x)&"&(y"y)&=&x& &y&

33 Trasformazione)SP)!)NAND) E&=&~x y z&+&~y ~z&+&x&&& &&&=&~[&~(~x y z)& &~(~y ~z)& &~(x)&=&((x/x)/y/z)&/&((y/y)/(z/z))&/&(x/x)& & Applicando,&in&sequenza,&l equivalenza&funzionale&tra&or&e&nand,& l equivalenza&funzionale&tra&not&e&nand,&la&definizione&di&nand& &

34 Regola)2) Per&trasformare&una&espressione&SP&in&una&espressione&NAND& 1. Se&l espressione&sp&ha&un&termine&di&una&sola&le:era,&questa& le:era&è&complementata& 2. TuK&gli&operatori& &e&+&dell l operatore&/& 3. (x/x)&