Fondamenti di Informatica II Ingegneria Informatica e Biomedica I anno, II semestre A.A. 2005/2006 Algebra di Boole

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1 Fondamenti di Informatica II Ingegneria Informatica e Biomedica I anno, II emetre A.A. 5/6 Algebra di Boole Prof. Mario Cannataro Univerità degli Studi Magna Graecia di Catanzaro

2 Algebra Booleana :Introduzione Tutti i dioitivi elettronici correntemente uati i baano ull elaborazione di valori dicreti di grandezze elettriche erei da numeri binari. Il modello teorico di rareentazione è rareentato dall algebra di BOOLE, che a ua volta è baata ulla logica claica...6

3 Funzioni booleane (/) Definizione di funzione booleana Una funzione z f(,,, n ) i dice booleana e: z {, } i... n {, } Eendo funzioni dicrete, le funzioni booleane oono eere rareentate in forma tabellare...6

4 Funzioni booleane (/) Obiettivo: Erimere una generica funzione f come combinazione di oeratori elementari...6 4

5 Algebra Booleana: Definizione Dominio: NUMERI BINARI (COSTANTI E VARIABILI) Oerazioni Binarie :AND,OR,XOR,NAND,NOR. Unarie :NOT. Funzioni f :{,} n {,}..6 5

6 Alcuni eemi di funzioni booleane NOT f( ) OR f(, ) AND f(, )..6 6

7 Funzioni tandard e imboli circuitali..6 7

8 Prorietà dell algebra Booleana Legge Indentità Elemento Nullo Idemotenza Invero Commutativa Aociativa Ditributiva Aorbimento DeMorgan AND * A A * A A * A A A * A A * B B * A (A * B) * C A * (B * C) A (B*C) (AB) * (AC) A * (A B) A (A * B) A B OR A A A A A A A A A B B A (A B) C A (B C) A *( BC) (A*B) (A*C) A A * B A (A B) A * B..6 8

9 Teorema di De Morgan Ad Eemio la omma di due variabili uò eere traformata in rodotto come egue (A B) A * B Oure il rodotto uò eere traformato in omma: (A * B) A B..6 9

10 Rareentazione tabellare di una funzione booleana Numero d ordine Variabili d ingreo Ucita z z

11 Definizione di mintermine e matermine Un mintermine i è una funzione che vale in corriondenza della ola configurazione i di valori delle variabili Un matermine i è una funzione che vale in corriondenza della ola configurazione i di valori delle variabili..6

12 Ancora ui mintermini ed i matermini Un mintermine i uò eere rareentato da un ereione algebrica conitente nell AND di tutte le variabili, dove ogni variabile comare diretta e vale nella configurazione i, negata altrimenti Un matermine i uò eere rareentato da un ereione algebrica conitente nell OR di tutte le variabili, dove ogni variabile comare negata e vale nella configurazione i, diretta altrimenti..6

13 ..6 Eemi di mintermini e matermini 4 Matermini ( ) 7 5 Mintermini ( ) z Ucita Variabili d ingreo Numero d ordine

14 I e II forma canonica di una funzione La I forma canonica di una funzione f è l OR di tutti i mintermini i er le configurazioni i dove f. Tale forma è anche detta forma SP (omma di rodotti) La II forma canonica di una funzione f è l AND di tutti i matermini i er le configurazioni i dove f. Tale forma è anche detta forma PS (rodotto di omme)..6 4

15 ..6 5 Eemio ratico ) ( ) ( ) ( ) ( z z Se richiamiamo i mintermini ed i matermini dell eemio recedente: (,,4,6) (,,5,7) z z

16 ..6 6 Riduzione algebrica di funzioni Utilizzando le rorietà dell algebra in modo oortuno è oibile emlificare le forme canoniche di una funzione. Nell eemio recedente: 7 5 ) ( ) ( z

17 Comletezza funzionale L eitenza delle forme canoniche è una dimotrazione che le funzioni AND, OR e NOT cotituicono un inieme funzionalmente comleto, ovvero ciacuna funzione uò eere critta in una forma algebrica utilizzando olo queti tre oeratori. Oervando oi che: ( ) Si uò concludere che anche AND e NOT ono un inieme funzionalmente comleto. Le uniche orte logiche che cotituicono da ole un inieme funzionalmente comleto ono le orte NAND e NOR..6 7

18 Schema Comleto Z ( X* X* X) ( X* X * X) ( X* X * X) ( X * X * X)..6 8

19 Prima Semlificazione Z X * X ( X X) X * X ( X X)..6 9

20 Ultima emlificazione Z X* X X * X..6

21 Schema comleto Prima Semlificazione Ultima emlificazione..6