POLITECNICO DI TORINO

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1 POLITECNICO DI TORINO Laurea in Ingegneria Logistica e della Produzione Corso di Logistica e di Distribuzione II ESERCITAZIONI Docente: Prof. Ing. Giulio Zotteri Tutore: Ing. Scapaccino Giuliano Ver:01/2008

2 NOTA: Le esercitazioni sono solo un riferimento. Per la trattazione completa ed esempi aggiuntivi: Testo di riferimento: LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE Autori: Giulio Zotteri Paolo Brandimarte Editore: CLUT LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 2

3 MODELLO DI WILSON (LOTTO ECONOMICO) Esercizio La domanda annua dell azienda Alfa, uniformemente distribuita ed espressa in una opportuna unità di misura è di 720 (D) unità mentre il costo di acquisto è di 20 /pz (P). Il costo fisso di ordinazione risulta di 15 /ordine (C L )ed il costo di conservazione delle merci è il 30% (C S ) del valore della scorta media. Determinare : Lotto economico di acquisto Numero di ordini ed ampiezza dei cicli Punto di riordino Costo totale annuo Nei seguenti casi di tempo di approvvigionamento : - Nullo - 15 giorni - 60 giorni Siamo nelle IPOTESI DI WILSON, quindi possiamo calcolare il Lotto ottimale ( ) : 2Ad = = = 60 pz h 0,30 20 E importante ricordare che nel caso in cui il valore del Lotto ottimale non sia intero, conviene approssimarlo per eccesso in quanto la pendenza della funzione Y(L) è minore nell intorno destro del punto di minimo. Possiamo calcolare il numero ottimale di ordini (n ) : d 720 n = = = 12 cicli 60 LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 3

4 E l ampiezza dei cicli : periodo 365 T = = 30giorni n 12 Calcoliamo il Costo Totale Annuo (Y(L)) che sarà dato dal Costo dell ordine, Costo di giacenza e dal Costo del materiale: 60 Y ( ) = An + h+ dp= , = Tale importo e valido per tutti e tre i casi, in quanto il tempo di approvvigionamento non rientra, logicamente, in nessuna delle formule fino ad ora utilizzate. Esercizio ( Sconti sulle quantità acquistate) Prendiamo ora in considerazione il caso in cui il fornitore sia disponibile ad effettuare degli sconti in funzione della merce acquistata. In questo caso, si devono analizzare singolarmente le condizioni di acquisto, ad esempio: Caso di Sconti per lotti Dato un prodotto, per il quale siano valide tutte le ipotesi di Wilson, con le seguenti condizioni : d: Domanda : q/mese A: Costo fisso per ordinazione : 10 /ordine %h: Costo conservazione per unità di valore e di tempo : 0,06 all anno p: Prezzo unitario di Acquisto : 2 /q Determinare la quantità da acquistare in ogni ordine nelle seguenti ipotesi alternative : LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 4

5 a. Non viene concesso alcun sconto quantità b. Il fornitore concede uno sconto del 10% per acquisti superiori ai q e del 25% per acquisti superiori ai q. c. Il fornitore concede gli sconti del 10% e del 25% solo sulle quantità eccedenti, per ogni acquisto, rispettivamente ai e q. Caso a: Non si concedono sconti. Siamo nel caso precedentemente trattato : Lotto ottimale L (trasformiamo i 3.000q/mese in q/anno): 2Ad = = = 2449, h 0,06 2 Possiamo calcolare il numero ottimale di ordini (n ) : d , n = = = cicli cicli Ed l ampiezza dei cicli : periodo 365 T = = 24,33giorni 24giorni n 15 Calcoliamo il Costo Totale Annuo (Y()) che sarà dato dal Costo dell ordine, Costo di giacenza e dal Costo del materiale: Y ( ) = An+ h+ dp= , = LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 5

6 Caso b: Si concedono sconti in funzione del lotto in acquisto. Essendo h i = C s P i Ad CP ˆ S 0 Y1 ( ) = Ad CP ˆ Y Y 2 > Ad CP ˆ S 2 Y3 ( ) = + 2 S 1 ( ) 2( ) = Di conseguenza : 2Ad = = CP ˆ 0,06 2 s 0 2Ad = = CP ˆ 0,06 2 0,9 s 1 2Ad = = CP ˆ 0,06 2 0,75 s 2 Abbiamo detto, però che P0 è valido solo fino a quintali, quindi il 1 = 2.000, stesso discorso per 3 che verrà posto pari a quintali. Per definire quale sia il lotto ottimale, si devono nuovamente calcolare le singole funzioni di costo. LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 6

7 LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 7

8 Ad CP ˆ S , Y1 ( ) = + + d P0 = = Ad CP ˆ S , ,9 Y ( ) Y2 ( ) = + + d P1 = ,9 = Ad CP ˆ S , ,75 Y3 ( ) > 3000 = + + d P2 = ,75 = Funzioni costo mantenimento + ordine Valore [Euro] Y1(L) Y2(L) Y3(L) LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_ Lotto [quintali]

9 Dai risultati sopra esposti risulta che la soluzione ottimale è quella che prevede l ordine con un lotto di quintali. Caso c: Anche in questo caso, si concedono sconti in funzione del lotto in acquisto. In questo caso, però, dobbiamo analizzare le funzioni in relazione ad un valore medio del prezzo che deve essere ponderato, ovvero: P = ( ) , ,8 P1 = = 2 ( ) ( ) , , ,5 P2 = = Ottenuti i valori ponderati dei prezzi ricalcolo i valori dei lotti ottimali introducento i prezzi che sono divenuti funzione continua del lotto di acquisto nelle funzioni di costo e rieseguendo i passi dell esempio precedente (completamento a cura delo studente). LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_2008 9

10 MODELLI STOCASTICI (Newsvendor Problem- Monoprodotto, monolivello, monoperiodo ) CARATTERISTICHE: - Monoprodotto, monolivello, monoperiodo - Domanda incerta ma nota in termini distributivi OBIETTIVI: - Massimizzazione della soddisfazione della domanda con minimizzazione delle scorte Il decisore prende la decisione su quanto acquistare ad inizio del periodo senza possibilità di variarla successivamente. Definiti: p: prezzo di vendita u: costo di acquisto v: valore residuo della merce m=p-u= margine di guadagno c=u-v= costo delle scorte = lotto di acquisto X= domanda nel periodo Si dimostra che: '( ) { } { } E π = m P X c P X < Valore atteso del profitto marginale della -esima unità LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

11 da cui = F m+ c 1 m uantità ottimale di acquisto. NOTA: L e scelte dipendono dalla distribuzione di probabilità della VC domanda e dalla struttura dei costi in gioco. Esempio Il venditore Alfa commercializza un prodotto ad alta deperibilità che lo costringe quotidianamente all acquisto delle partite fresche ed alla restituzione dell invenduto a fine serata. Il prezzo di acquisto è u= 0,5 /unità mentre il valore di vendita è p=1,1 /unità. A fine giornata ha la possibilità di restituire le quote invendute ai fornitori per un valore di c= 0,2 /unità La domanda osservata dal venditore è una VC stazionaria normale con media 100 e d.s. 20 nel periodo considerato. Determinare la quantità ottimale di acquisto ad inizio giornata 1 m 1 1,1 0, 5 1 = F = F = F ( 0, 66) = 108,58 m+ c ( 1,1 0, 5) + 0, 3 unità. LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

12 PROBLEMI MULTIPERIOIDALI MONOPRODOTTO CASISTICA Driver rilevante: Dimensione stock out Costo stock out noto Driver rilevante: Evento stock out Imposto: livello servizio Type I Costo stock NON noto Imposto: livello servizio Type II LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

13 Esercizio (gestione,r con costo stock out noto) (DRIVER: DIMENSIONE DELLO STOCK OUT) Il magazzino prodotti finiti in analisi presenta una domanda media annuale pari a 200 q con s.d q ed ha i seguenti costi di gestione: costo mantenimento per unità di valore e di tempo: 10% annuo costo di assicurazione sulla giacenza media in unità di valore e di tempo: 5% costo di emissione e gestione di ordine : 2000 ordine I costi di stock out valutati sulla precedente esperienza risultano essere pari a 2500 ogni quintale di domanda non soddisfatta ed il tempo di riordino del materiale presso gli stabilimenti produttivi asiatici è di circa sei mesi. Il costo di acquisto al quintale è di 1100 imballagio incluso. Grazie ad una politica accurata di trasporto, il lead time di riordino è da ritenersi sufficientemente costante ed invariato per ogni emissione di ordine. Sapendo che la politica di gestione che si intende adottare è di tipo (,R) determinare: 1. fattori di gestione ottimali e scorta di sicurezza 2. costi totale di gestione per il mantenimento delle scorte ed i costi previsti di stock out. 3. percentuale attesa di cicli in cui non si verificherà stock out. 4. quintali di domanda non soddisfatta in un anno di esercizio. Si è in presenza di costi legati alla dimensione dello stock out con un costo unitario del mancato servizio immediato di una unità di domanda di 2500 per ogni quintale. Funzione di costo totale: d d d Cso = pu n( R) = A + h( R + d LT ) + pu n( R) 2 Processo di ottimizzazione 2 d ( A+ pu n( R )) = h F R d LT ( ) 1 h = p d u LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

14 Si determina valore iniziale del processo calcolando start=eo mediante 2dA = = h , = 69,63 F d LT h (0, ) 69, 63 ( R ) = 1 = = 0,977 p d u (livello di servizi tipo 1 = probabilità di non avere stock out nel ciclo) primo ciclo Per procedere con le formule interattive necessita di determinare il valore di R., quindi sarà necessario conoscere la distribuzione di probabilità di domanda nel Lead Time. Considerando una distribuzione normale si determina z dalle tavole della normale standardizzata che garantisce un valore di probabilità uguale o maggiore a 0,977. R d LT nr ( ) = σlt L = σlt Lz ( ) σ LT (valore atteso della domanda non servita) (vedi nota 1.1) F ( z ) = 0,977 z=2 (dalle tavole della normale standardizzata) d LT = + R 0 = = 150 R d LT z σ LT Lz= ( 2) = 0, 0085 (dalle tavole della loss function) nr ( 0) = 25 0,0085 = 0,212 2 d ( A+ p n( R )) ( ,212) = = = 78,33 quintali h 0, u 0 0 LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

15 Iterare il processo fino a quando si giunge ad una convergenza valutata ad esempio considerando una tolleranza per ed R tra i valori al passo i- esimo e quello precedente < o uguale ad una unità. Si giunge alla determinazione dei valori: 1. fattori ottimali di gestione e scorta di sicurezza R = 79,49 = 148 Ss R d LT = = = 48 quintali 2. costi previsti di stock out ed i costi totali di gestione ed i costi di acquisto per scorte. d Cstockout = pu n( R) = 1525 d d d Cso = pu n( R) = A + h( R + d LT ) + pu n( R) = = Cacquisto = p d = = percentuale attesa di cicli in cui non si verificherà stock out. Sotto particolari ipotesi statistiche tra cui indipendenza della domanda nei cicli, essa corrisponde al livello di servizio Type 1 ossia 97,7 % 4. quintali di domanda non soddisfatta in un anno di esercizio. nr d = quintali ( ) 0,61 LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

16 Nota 1.1 I valori di media e varianza della domanda devono essere riportati al periodo considerato. Pertanto: µ To = media della domanda nel periodo T0 σ T0 = deviazione standard in T 0 µ T1 = media della domanda nel nuovo periodo di riferimento T 1 σ T1 = deviazione standard della domanda nel nuovo periodo di riferimento T 1 Sotto opportune ipotesi statistiche si ha che: T µ T1 = µ T0 T σ = σ T1 T0 1 0 T T 1 0 Esempio Domanda annuale prodotto gamma distribuita normalmente con media 1000 unità e deviazione standard 250. Lead time del prodotto 4 mesi. Determinare media e deviazione standar della domanda in Lead time. LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

17 4 1 µ 4 = µ 12 = 1000 = 333, σ4 = σ12 = 250 = 144, quintali Esercizio (gestione,r con vincolo su livello di servizio ) Talvolta non conoscendo i parametri di costo viene imposto il livello di servizio che può essere: Livello servizio Type 1: Rappresenta la probabilità di non avere stock out in nel periodo di riferimento. Livello servizio Type 2: Rappresenta la percentuale di domanda soddisfatta nel periodo di riferimento (DRIVER: LIVELLO SERVIZIO TYPE 1: presenza dello stock out) Esempio Il magazzino prodotti finiti in analisi presenta una domanda media annuale pari a 200 q con s.d q ed ha i seguenti costi di gestione: costo mantenimento per unità di valore e di tempo: 10% annuo costo di assicurazione sulla giacenza media in unità di valore e di tempo: 5% costo di emissione e gestione di ordine : 2000 ordine Tempo di riordino del materiale presso gli stabilimenti produttivi asiatici è di circa sei mesi. Il costo di acquisto al quintale è di 1100 imballagio incluso. Sapendo che la direzione vendite impone che la probabilità di non avere stock out (indipendentemente dalla sua dimensione) in ciascun ciclo sia del 95 % determinare: fattori di gestione ottimali e scorta di sicurezza percentuale attesa di cicli in cui non si verificherà stock out. LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

18 Metodologia 1: Si deriva il costo dello stock out implicito nel livello di servizio e si riapplicano i modelli di ottimizzazione visti in precedenza. (lasciata al lettore) Metodologia 2: Si separa la funzione di costo in due parti, la prima riconducibile ad EO la seconda minimizzandola in modo da garantire il livello di servizio richiesto. C totale =C ordinazione + C giacenza delle scorte + C stock out Costo vincolato dal livello di servizio Si determina valore =EO mediante 2dA = = h , = 69,63 Si impone il livello di servizio Type 1 per la determinazione di R: Livelli di servizio Type 1: Fd LT ( z ) = 0,95 z=1,64 (dalle tavole della normale standardizzata) = + R = , = 141 R d LT z σ LT LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

19 fattori ottimali di gestione e scorta di sicurezza R = 69,63 = 141 Ss R d LT = = = 41 quintali percentuale attesa di cicli in cui non si verificherà stock out. Sotto particolari ipotesi statistiche tra cui indipendenza della domanda nei cicli, essa corrisponde al livello di servizio Type 1 ossia 95 % (DRIVER: LIVELLO SERVIZIO TYPE II: dimensione dello stock out) Viene richiesto un livello di servizio di tipo II minimo del 95% Metodologia 1: Si deriva il costo dello stock out implicito nel livello di servizio e si riapplicano i modelli di ottimizzazione visti in precedenza. (lasciata al lettore) Metodologia 2: Si separa la funzione di costo in due parti, la prima riconducibile ad EO la seconda minimizzandola in modo da garantire il livello di servizio richiesto. Si determina valore =EO mediante LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

20 2dA = = h , = 69,63 Si impone il livello di servizio Type II per la determinazione di R: Essendo: nr ( ) 1 β = nr ( ) = (1 β ) = (1 0,95) 69,63= 3,48 percentuale di domada insoddisfatta in un ciclo => n. unità insoddisfatte per ciclo essendo nr ( ) = σ Lz ( ) nr ( ) 3,48 Lz ( ) = = 0,14 z= 0,71 σ 25 R= d LT + z σ = , unità LT LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

21 Esercizio (gestione S, up to order) Caatteristiche: Il periodo di revisione è fissato e costante. Nel generico istante t0 in cui viene emesso un ordine le scorte disponibili vengono immediatamente riportate al livello S. Esempio La filale che avete in gestione emette ordini nei confronti dei fornitori di Milano che garantiscono un tempo di consegna di circa 3 mesi. La domanda mensile rilevata è assimilabile ad una normale con media 54,17 unità e deviazione standar di 14,43 e dai test effettuati non risulta autocorrelata nel tempo. Non essendo disponibile una stima diretta dei costi di stock out vi viene richiesto che la percentuale di cicli in cui non avvenga la mancanza di materiale sia del 98%. I principali costi di gestione sono così riassumibili: costo mantenimento per unità di valore e di tempo: 10% annuo costo di emissione e gestione di ordine : 37 ordine valore economico bene acquistato: 160 unità. La politica adottata è quella di revisione periodica (order-up-to). Determinare: parametri ottimali di gestione del magazzino (quantità da ordinare, tempo di revisione, S, costi ordinazione e mantenimento). Valore atteso livelli massimi e minimi attesi della scorta fisica. Valore atteso livello della scorta di sicurezza. Svolgimento uantità e frequenza ottimale di riordino: 2Ad = = = 54,83pz h 0,1 160 LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

22 2A 2 37 τ = = = 0,084 hd 0, frequenza ottimale di revisione essendo il periodo in mesi si ha : Tempo revisione = 0, = 1 mese circa si determina il tempo di fuori controllo: τ + Lt = 1+ 3= 4 mesi percentuale di cicli in cui non si ha mancanza di materiale = livello servizio type 1 = 98% S = F ( γ ) = F (0,98) 1 1 dlt+ τ dlt+ τ F d LT +τ ( z) = 0,98 z=2,05 (dalle tavole della normale standardizzata) = + S = 217, ,91 = 276,71 unità S d LT + τ z σ LT + τ essendo d σ LT + τ LT + τ = 54,17 4 = 216, 68 = 14, 43 4 = 28,91 unità Costi ordinazione e mantenimento A 37 h ( S ( LT τ / 2) d ) 0,1 (276, 71 (3 1/ 2) 54,17) 1827 τ + + = = Valori attesi livelli max e min scorte fisiche LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_

23 valoreatteso max livello = S LT d = 114, 21 valoreatteso min livello = S ( LT + τ ) d = 59,38 unità valore atteso scora di sicurezza = valore atteso minimo livello =59,38 unità LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 AUTORE: G. SCAPACCINO VERSIONE 1_