Le sperimentazioni cliniche controllate: aspetti statistici II. Scardapane Marco

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2 Le sperimentazioni cliniche controllate: aspetti statistici II Scardapane Marco

3 Correlazione fra due variabili continue Che relazione intercorre fra peso e altezza? La pressione arteriosa sistolica è correlata all età? A questi quesiti (ricerca di una correlazione fra due variabili normalmente distribuite) è possibile dare una risposta con la regressione lineare e la R di Pearson. Con la regressione è possibile valutare se e in che misura i valori di una variabile (variabile dipendente/endpoint/outcome) variano (sono cioè correlati) col variare di una seconda variabile (variabile indipendente/covariata/predittore).

4 La regressione lineare semplice La correlazione fra peso e altezza è espressa da una retta con equazione Y=α+βx PESO ALTEZZA Il coefficiente β, o pendenza, indica di quanto varia la variabile dipendente al variare di un unità della variabile indipendente 190

5 La regressione lineare semplice Scostamento di ogni singolo valore dalla retta PESO ALTEZZA

6 120 La regressione lineare semplice Peso= *altezza Ad esempio, se altezza=190 cm Peso= *190=92,8 kg PESO ALTEZZA

7 100 La regressione lineare semplice Peso= *altezza Peso= *altezza 50 PESO ALTEZZA Femmine Maschi

8 La regressione lineare semplice PESO ALTEZZA

9 Regressione e correlazione L esistenza di una relazione lineare e soprattutto la quantificazione della sua forza può essere espressa dal coefficiente di correlazione R di Pearson. Il coefficiente R varia fra 1 e +1. Il segno indica la direzione della correlazione: se R è negativo, all aumentare della variabile indipendente la variabile dipendente diminuisce; se R è positivo, all aumentare della variabile indipendente la variabile dipendente aumenta; se R=0, non c è correlazione lineare fra le due variabili. R 2 indica la percentuale di variabilità della variabile dipendente spiegata dalla variabile indipendente.

10 La correlazione lineare rr = 0 rr = 0 Y Y X X

11 Confronto fra valori medi di due gruppi Che differenza esiste tra i livelli medi pressori tra gruppo di controllo e trattati? Per rispondere a questo quesito, si ricorre al test t di Student. t = Differenza tra le medie campionarie Errore standard della differenza tra le medie campionarie

12 Lo Student s t-test N Media DS ES Controllo ,19 18,153 0,434 Trattati ,75 15,846 0,397 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0 200,0 Differenza fra le medie = (149,19-136,75) = 12,44 Errore standard della differenza = 0,592 t = 12,44/0,592 = 21,014 p < ,0

13 Confronto pre-post: il paired t-test E se i due gruppi da confrontare non sono indipendenti? Es. i due gruppi sono misurazioni di un parametro sugli stessi pazienti in due tempi diversi (pre-post), oppure in bracci diversi (disegno Xover). Non posso usare il classico t-test, devo usare il paired t-test. Segue la stessa logica, ma tiene conto del fatto che le misurazioni sono fra loro correlate.

14 Confronto fra valori medi di più gruppi Nel caso in cui si vogliano confrontare i valori medi di più gruppi, si ricorre all analisi della varianza (ANOVA). Prendo la variabilità di tutto il campione (SS Total) e la «scompongo» in due parti: tra i gruppi (SS Between); dentro i gruppi (SS Within). L ANOVA però mi dà solo un test di eterogeneità globale fra i gruppi. Se voglio confrontare due gruppi specifici t-test (post-hoc comparison). N.B Con l aumentare del numero di test eseguiti aumenta la probabilità di trovare un p<0.05 e sbagliare (falso positivo).

15 Confronto fra valori medi di più gruppi 0= no retinopatia 1=retinopatia background 2=retinopatia pre-proliferativa/proliferativa

16 Correlazione fra due variabili categoriche Che relazione intercorre fra trattamento ed evento? Per rispondere a questo quesito (ricerca di una correlazione fra due variabili categoriche), bisogna anzitutto calcolare il numero di pazienti in ciascuna categoria di risposta (sia in numeri assoluti sia in percentuale). Si costruisce così la tabella di contingenza 2x2, che confronta direttamente la distribuzione degli eventi in base ai trattamenti somministrati. Evento SI Evento NO Totale Placebo Farmaco Attivo

17 Tabella di contingenza 2x2 Tavola di contingenza FARMACO * EVENTO Osservato EVENTO EVENTO TOTALE SI NO PLACEBO n % FARMACO n % TOTALE n % Frequenza di eventi attesi ipotizzando che farmaco e placebo abbiano la stessa efficacia Tavola di contingenza FARMACO * EVENTO Atteso EVENTO EVENTO TOTALE SI NO PLACEBO n % FARMACO n % TOTALE n %

18 Correlazione fra due variabili categoriche EVENTO EVENTO TOTALE SI NO PLACEBO Osservati Attesi FARMACO Osservati Attesi TOTALE n test del χ 2 χχ 2 = (OO EE)2 EE χ 2 = (20-14) 2 /14 + (10-16) 2 /16 + (8-14) 2 /14 + (22-16) 2 /16 = (p=0.002)

19 Gli errori dei test statistici Test significativo Differenza presente Vero positivo Differenza assente Falso positivo (α) Test non significativo Falso negativo (β) Vero negativo α è l errore di I specie; β è l errore di II specie; 1- β è la potenza statistica del test.

20 La stima delle dimensioni del campione La dimensione del campione di uno studio è scelta in modo da garantire una alta probabilità (potenza statistica) di evidenziare una differenza d statisticamente significativa (evitando l errore di tipo I), a patto che d effettivamente esista. Se la differenza reale è maggiore di d, allora la probabilità dello studio di evidenziare una differenza statisticamente significativa sarà maggiore di quella prevista. Al contrario, se la differenza reale è inferiore a d, allora la probabilità dello studio di evidenziare tale differenza in maniera statisticamente significativa sarà considerevolmente inferiore a quella prevista. La potenza statistica è determinante per interpretare il risultato di un RCT. Molti studi sono numericamente inadeguati per cogliere effetti realistici e quindi la loro incapacità a dimostrare l esistenza di un beneficio NON indica in alcun modo che tale beneficio sia assente.

21 La stima delle dimensioni del campione Probabilità (%) di dimostrare una differenza significativa fra i trattamenti (con α=0.05) in un RCT pianificato per avere una probabilità del 90% (β=0.10) di evidenziare una differenza d 0, quando la differenza vera è δ. Differenza ipotizzata (δ 0 ) Differenza vera (δ) 10% 15% 20% 25% 5% % % % % 90 Stime basate sull assunzione che l end-point sia il tasso di sopravvivenza, pari al 50% nel gruppo di controllo

22 La stima delle dimensioni del campione Possiamo considerare una SCC come se si trattasse di un test diagnostico, e vogliamo pertanto che essa abbia una adeguata sensibilità e specificità. TEST DIAGNOSTICO STUDIO CLINICO Sensibilità Capacità di evidenziare Capacità di evidenziare una la malattia, differenza fra i trattamenti, se essa è presente se essa esiste Specificità Capacità di escludere Capacità di escludere una la malattia, differenza fra i trattamenti, se essa non è presente se essa non esiste

23 La stima delle dimensioni del campione Bassa sensibilità Alta probabilità di risultato falso negativo Bassa specificità Alta probabilità di risultato falso positivo Mentre per i test diagnostici sensibilità e specificità sono caratteristiche intrinseche e non modificabili, in una SCC possiamo decidere le soglie massime che accettiamo di tollerare. In generale, α è fissato ad un livello 0.05, mentre β non deve mai superare 0.20, ma valori più bassi sono preferibili (0.05 o 0.10).

24 La stima delle dimensioni del campione Le domande da porsi: Qual è lo scopo principale dello studio? Qual è la misura principale di esito? Quale risultato si prevede di ottenere con il nuovo trattamento? Qual è la differenza minima che si ritiene clinicamente rilevante? Con quale grado di certezza?

25 Parametri necessari per la stima delle dimensioni del campione: misura di esito continua Effetto atteso nel gruppo di controllo (µ 0 ) Variabilità della misura di efficacia (σ o CV) Differenza minima di efficacia ritenuta clinicamente rilevante (µ 1 - µ 0 ) Precisione della stima (errori α e β) N = 2σ 2 ( µ 1 - µ 0 ) 2 f (α, β)

26 Parametri necessari per la stima delle dimensioni del campione: misura di esito dicotomica Percentuale attesa di successi nel gruppo di controllo (p 0 ) Differenza minima di efficacia ritenuta clinicamente rilevante (p 1 - p 0 ) Precisione della stima (errori α e β) N = p 1 (100- p 1 ) + p 0 (100- p 0 ) ( p 1 - p 0 ) 2 f (α, β)

27 Valori di f(α, β) α β

28 La stima delle dimensioni del campione Bassa variabilità Campione piccolo Beneficio atteso elevato Campione piccolo Alta variabilità Campione grande Beneficio atteso modesto Campione grande

29 Misure di efficacia di un trattamento Gruppo Evento Totale Si No Controllo a b a+b Sperimentale c d c+d Rischio di eventi nel gruppo di controllo = CER = a/(a+b) Rischio di eventi nel gruppo sperimentale = EER = c/(c+d) Rischio relativo = RR = CER/EER Riduzione assoluta del rischio = ARR = CER EER Riduzione relativa del rischio = RRR = 1 - (EER/CER) Number needed to treat = NNT = 1/ARR = 1/(CER - EER) Odds Ratio = OR = ad/bc

30 Misure di efficacia di un trattamento Trattamento N eventi Totale pz. RR RRR ARR NNT OR Placebo % 10% Captopril Placebo % 1% Captopril

31 Dall analisi univariata all analisi multivariata Tutte le volte che, nell ambito di una sperimentazione, si verifica uno sbilanciamento in uno o più fattori prognostici importanti oppure Quando vogliamo stimare il ruolo di un fattore in assenza di problemi di confondimento creati da altre variabili È necessario l impiego di analisi multivariate

32 Dall analisi univariata all analisi multivariata Farmaco A Farmaco B p HbA 1c 7.1± ± Età 62±10 64± BMI 27.5± ± Durata 11.2± ± Il farmaco A è davvero più efficace di B, o la differenza nel controllo metabolico è legata alla più giovane età e al BMI più basso? Quale sarebbe la differenza vera nei valori di HbA 1c se i due gruppi avessero stessa età e BMI?

33 Analisi multivariata L analisi multivariata ci permette di valutare il ruolo indipendente di ogni singola variabile, a parità di tutte le altre. Analisi univariata y = α + βx (Es. HbA 1c = α + β 1 farmaco) Analisi multivariata y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x (Es. HbA 1c = α + β 1 farmaco + β 2 BMI + β 3 età + β 4 durata)

34 Analisi multivariata β p Farmaco Età BMI Durata A parità di età, BMI e durata del diabete, il farmaco B è associato ad una HbA 1c significativamente più alta di 0.31 rispetto al farmaco A; i valori di HbA 1c crescono inoltre in modo significativo all aumentare del BMI e della durata del diabete, mentre tendono a ridursi all aumentare dell età, sebbene quest ultimo risultato non raggiunga la significatività statistica.

35 La regressione lineare: ulteriori estensioni Finora abbiamo visto come analizzare nell ordine: 1. Misure di esito continue vs singole variabili (t-test, ANOVA, reg. lin. semplice); 2. Misure di esito dicotomico vs singole variabili categoriche (chi-quadro); 3. Misure di esito continue vs più predittori simultaneamente (reg. lin. multivar.). Come fare per analizzare una misura di esito dicotomica vs più predittori simultaneamente, possibilmente sia continui che categorici? E chiaro che non posso usare la regressione lineare multivariata perché essa è valida solo per variabili continue distribuite normalmente.

36 La regressione logistica Sia p la nostra probabilità (rischio) di verificarsi dell evento (e.g. mortalità, morbidità, parametro di laboratorio a target, ) e p/1-p il corrispondente odds. Se y=log (p/1-p) abbiamo una regressione logistica. Analisi univariata log (p/1-p) = α + βx (Es. log odds (mortalità) = α + β 1 farmaco) Analisi multivariata log (p/1-p) = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x (Es. log odds (mortalità) = α + β 1 farmaco + β 2 BMI + β 3 età + β 4 durata)

37 La regressione logistica I risultati di una regressione logistica sono espressi come Odds Ratios (ORs). OR = e β Per variabili x categoriche, un OR > 1 indica un eccesso di rischio rispetto alla sua categoria di riferimento, mentre un OR < 1 indica un rischio più basso. Per variabili x continue, l OR indica l incremento (o decremento) di rischio all aumentare di un unità della x. Fatte salve queste premesse, la lettura e l interpretazione di una logistica multivariata rispetto a una univariata restano le stesse della regressione lineare.

38 HbA 1c <8.0% La regressione logistica HbA 1c OR (IC 95%) OR (IC 95%) 8.0% Univariata Multivariata Farmaco A B 75.8% 66.6% 24.2% 33.4% (RC) 1.6 ( ) (RC) 1.5 ( ) Età BMI > > % 71.9% 71.7% 73.0% 72.3% 73.1% 68.8% 30.8% 28.1% 28.3% 27.0% 27.7% 26.9% 31.2% (RC) 0.9 ( ) 0.9 ( ) (RC) 1.0 ( ) 1.0 ( ) 1.2 ( ) (RC) 0.8 ( ) 0.8 ( ) (RC) 1.1 ( ) 1.1 ( ) 1.3 ( ) A parità degli altri fattori, i pazienti trattati con il farmaco B hanno una probabilità del 50% più alta di presentare valori di HbA1c 8.0% Durata < > % 74.3% 67.7% 64.6% 21.2% 25.7% 32.4% 35.4% (RC) 1.3 ( ) 1.8 ( ) 2.1 ( ) (RC) 1.1 ( ) 1.4 ( ) 1.4 ( )

39 Tempo ed evento In molte condizioni cliniche lo scopo principale della terapia è quello di ritardare il più possibile la progressione della malattia o la comparsa delle sue complicanze. In queste circostanze il confronto di efficacia fra due trattamenti dovrà tener conto non solo del numero di pazienti che avrà sviluppato un particolare evento, ma anche del tempo intercorso prima della sua comparsa. Ad esempio, confrontando due trattamenti per il diabete, il tasso di eventi cardiovascolari maggiori a 5 anni potrebbe essere del 20% in entrambi i casi, ma il tempo medio trascorso prima della comparsa dell evento (intervallo libero da malattia) potrebbe essere di 36 mesi in un caso e di 24 nell altro. E chiaro che non basta la regressione logistica, perché essa studia solo la probabilità di sviluppare l evento o meno, indifferentemente dal tempo trascorso.

40 L analisi della sopravvivenza Inoltre, in queste circostanze, i pazienti a volte escono da uno studio prima del suo termine (follow-up), e non sappiamo se ha sviluppato o meno l evento in seguito, ma solo che fino a quel momento NON lo ha fatto. I pazienti si dicono allora censorizzati (in inglese censored). Come gestire tutti questi nuovi problemi? Usando i modelli tempo all evento: i più celebri sono i metodi di analisi della sopravvivenza. Uno di questi calcola la sopravvivenza (in inglese survival) ad ogni istante di tempo t, cioè la probabilità di essere libero dall evento fino a t. N.B: a dispetto dei nomi infausti, questi metodi possono essere usati per qualunque variabile dicotomica.

41 L analisi della sopravvivenza Inizio Studio Censored Fine studio pazienti x x 7 x Tempo Probabilità di sopravvivere Probabilità di sopravvivere = oltre il tempo t 0 E non avere = 1 * 6/7 = 87.5% oltre il tempo t 1 evento a t 1

42 L analisi della sopravvivenza Inizio Studio Censored Fine studio pazienti x x 7 x Tempo Probabilità di sopravvivere Probabilità di sopravvivere = oltre il tempo t 1 E non avere = 1 * * 3/4 = 64.3% oltre il tempo t 2 evento a t

43 L analisi della sopravvivenza Inizio Studio Censored Fine studio pazienti x x 7 x Tempo Probabilità di sopravvivere Probabilità di sopravvivere = oltre il tempo t 2 E non avere = 1 * * * 2/3 = 42.9% oltre il tempo t 3 evento a t

44 Curva di sopravvivenza Kaplan-Meier 1 Probabilità di sopravvivenza 0,8 0,6 0,4 0, Tempo Tempo di sopravvivenza mediano

45 Confronto di due o più curve Supponiamo di voler confrontare due o più curve di sopravvivenza (es. un farmaco che riduce la mortalità vs. un controllo attivo). Il test da usare in questi casi è il log-rank test. Il log-rank test prende tutti i tempi in cui si verifica (almeno) un evento e li ordina in senso crescente. Ad ogni tempo confronta il numero di eventi osservato con ogni braccio col numero atteso sotto l ipotesi di pari efficacia. Es. se a un tempo t i si verificano 2 eventi (osservati) nel braccio T e 0 in C, il numero di eventi attesi è 1 in T e 1 in C, se T e C sono di pari numerosità in t i. Infine, tutti i numeri osservati e attesi, rispettivamente, si aggregano e si calcola un chi-quadro: (O T - A T ) 2 (O C - A C ) 2 Log-rank = + A T A C

46 Il log-rank test Probabilità di sopravvivenza Log rank test = (p<0.0001) Tempo