PROVA DI STATISTICA aprile Corso di Laurea in Economia e Gestione Aziendale. Cognome Nome Classe. Firma

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1 PROVA DI STATISTICA aprile 2018 Corso di Laurea in Economia e Gestione Aziendale Cognome Nome Classe Matricola Firma Riportare lo svolgimento ragionato degli esercizi negli appositi riquadri. ESERCIZIO 1 (punti 8)= Nella tabella sono riportate le temperature (minime) mensili di due città, espresse in gradi centigradi. Mese Temp. mensile di Boston Temp. mensile di San Diego Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno Luglio Agosto Settembre Ottobre Novembre Dicembre Totale a) Precisare di che tipo di variabili si tratta e le loro scale di misura; b) Calcolare le temperature medie e mediane annue nelle due città e determinare in quale delle due le temperature variano maggiormente. c) Dopo aver tracciato il diagramma di dispersione dedurre, dal diagramma, se le temperature sono correlate e quantificare l'intensità della correlazione tramite una misura opportuna. A vostro parere c è una relazione causale tra le due variabili? d) Verificare la disuguaglianza di Chebshef per una delle due città nel caso k = 2. a) Le variabili sono di tipo numerico, la scala è ad intervallo (non esiste lo zero assoluto). b) Temperatura media Boston: t!"#$"% =!! Temperatura media San Diego: t!"#$%&'( =!!! t! = 77.3 = ! t! = = Essendo n=12 la temperatura mediana è data dalla semi-somma delle temperature di posto 6 e 7

2 T mediane: Boston: 6.45 San Diego 14.1 Variabilita : Boston sqm Boston =!!"! t! 6.442! = San Diego sqm SanDiego =!!"! t! ! = La variabilita sia assoluta che riferita alla media e maggiore per Boston. Ci sarebbe da tener conto del fatto che le scale sono ad intervallo, ma essendo le due scale identiche le variabilità e le medie si posssono confrontare (si potrebbe notare come una media vicina allo zero della scala potrebbe far variare notevolmente i coefficienti di variazione. In questo caso particolare esiste la scala assoluta di temperature e riportando i dati nella scala assoluta (Kelvin); la variabilita della temperatura di Boston risulterebbe comunque maggiore). In ogni i coefficienti di variazione sono: CV Boston =8.756/6.441= 1.35 CV SanDiego 3.733/ = c) Il diagramma di dispersione Le due variabili si allineano fortemente su una retta con pendenza positiva per cui le due temperature sono statisticamente correlate e a valori tendenzialmente più alti di una corrispondono valori tendenzialmente più alti dell altra (i mesi in cui è più calda una città coincidono con quelli in cui è più calda l altra città). Come misura si prende il coefficiente di correlazione lineare: 2

3 r = cov X, Y = s! s! = e si trova che le due temperature hanno forte correlazione positiva. d) Ad esempio per Boston t ± 2sqm = ± dà l intervallo ( ; ) dentro il quale giacciono tutte le rilevazioni. ESERCIZIO 2 (punti 5) =3+2 Sono riportati di seguito i dati delle percentuali di persone che si ammalano in inverno nelle due città per fasce di età. Fascia Percentuale ammalati di Boston Percentuale ammalati di San Diego [0,10) 15 % 10 % [10,20) 13 % 11 % [20,30) 10 % 11 % [30,40) 11 % 9 % [40,60) 18 % 20 % [60,90) 33 % 39 % a) Disegnare l istogramma relativo all età degli ammalati nella città di Boston; b) Confrontare l età media e mediana degli ammalati nelle due città. a) Si calcola l età media usando i punti medi degli intervalli (m_i) Boston: = m! p! = = 43.3 San Diego: = m! p! = = 47.3 b) Le frequenze cumulate per determinare l eta mediana sono: Fascia Percentuale cumulata di Boston Percentuale cumulata di San Diego [0,10) 15% 10% [10,20) 28% 21% 3

4 [20,30) 38% 32% [30,40) 49% 41% [40,60) 67% 61% [60,90) 100% 100% Mediana Boston (Interpolando o usando le formule): (m 40)/(20) = (50-49)/(67-49) m=40+20*1/18= Mediana San Diego (Interpolando o usando le formule): (m 40)/(20) = (50-41)/(61-41) m=40+20*9/20= 49 c) Per l istogramma è necessario utilizzare la densità di frequenza non essendo le classi d intervallo equiampie: Età (anni) Densit eta ESERCIZIO 3 (punti 6)=2+2+2 La compagnia che gestisce i trasporti pubblici a Boston ha osservato che il numero giornaliero di passeggeri senza biglietto sulla linea che collega l aeroporto Logan alla cittadina di Watertown segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 5. a) Calcolare la probabilità che in un giorno nessun passeggero viaggi senza biglietto; b) Calcolare la probabilità che in due giorni nessun passeggero viaggi senza biglietto; c) Si supponga che tutti coloro che viaggiano senza biglietto ricevano una multa da 70 dollari. Calcolare il valore atteso e la varianza del valore delle multe totali in una settimana. 4

5 Indichiamo con X il numero di passeggeri senza biglietto in un giorno qualsiasi. Dal momento che X segue una distribuzione di Poisson di parametro 5 la distribuzione di probabilità di X è la seguente P X = = e 5!! = 0,1, a) Pr nessuno senza biglietto in un giorno = Pr X = 0 =!!! = b) Pr nessuno senza biglietto in due giorni = Pr 2X = 0 =!"!"! = 0.00 Si poteva anche interpretare nel senso che il numero di passeggeri segue ogni giorno la stessa identica distribuzione (questa interpretazione è più realistica se si immagina una interruzione del servizio tra un giorno e un altro). In tal caso la probabilità richiesta è il quadrato della probabilità calcolata al punto a. c) Il valore atteso (in dollari) delle multe in un giorno qualsiasi è E( 70X)=70E(X)=350 dollari quindi il valore atteso delle multe in una settimana è E(multe in una settimana)=e(7*70x)=2450 dollari. Dal momento che per la Poisson E(X)=V(X) e, per le ipotesi fatte, il numero di multe in un certo giorno non dipende dal numero di multe negli altri giorni, abbiamo Var(multe in una settimana)=var(7*70x)= 2450 quindi SQM(multe in una settimana)= sqrt(2450)=49.47 dollari. ESERCIZIO 4 (punti 5)=3+2 Da un sondaggio commissionato da un quotidiano nazionale sulla credibilità di una determinata agenzia statale, si evince che il 51 % dei cittadini ne condivide l operato. a) Si costruisca l intervallo di confidenza al livello 0.95 per la proporzione di cittadini effettivamente favorevoli all operato dell agenzia, sapendo che il sondaggio è il risultato delle interviste effettuate su 1000 persone. b) Si determini il numero di interviste che a parità di condizioni si sarebbero dovute fare per ridurre di 1/3 l ampiezza dell intervallo. a) P(1 P(1 p Zα / 2 p p+ Zα / 2 ( 1 ) n n 0.51(1 0.51) p (1 0.51) p b) Sia A l ampiezza dell intervallo di confidenza, in questo caso: A A = = 0.06 quindi = indicando con Aʹ il nuovo intervallo, si avrà: A A ' = A = =

6 Dalla ( 1 ) si ottiene: A = 2Zα / 2 P(1 n Sostituendo ad A l ampiezza A ' e ricavando n si ottiene il numero di interviste necessarie per ridurre di 1/3 l ampiezza originaria. 2 P(1 ' 2 (2 1.96) n = n = 2400 A ESERCIZIO 5 (punti 6)=3+3 Un azienda produce strumenti di precisione. Alcuni di essi presentano dei difetti di costruzione che l azienda affida per la riparazione a due squadre, A e B, di operai specializzati. Viene quindi assegnato un punteggio alla qualità delle riparazioni ottenendo così due variabili, X per la squadra A e Y per la squadra B. E stata condotta una verifica su 30 strumenti scelti a caso; metà riparati dalla squadra A e metà dalla B. Si è osservato per X una media pari a 65,2 con deviazione standard di 4,3, mentre per Y, rispettivamente, 62,1 e 3,8. Da analisi precedenti, si è accertata la normalità dei punteggi e l uguaglianza delle varianze. a) si stimi la differenza tra le medie dei due punteggi per tutti gli strumenti analizzati, ai livelli di confidenza del 95% e del 99% b) si valuti se è possibile affermare, alla luce dei risultati ottenuti, che una delle due squadre di operai è più abile dell altra nella riparazione degli strumenti. s! X Y t!"",!! + s! s! < μ n! n! μ! < X Y + t!"",!! + s!! n! n! dove Sp = (!!)!! (!! ) = 4.05!!!! essendo al livello di fiducia del 95% t si avrà: 0.025;28 = ( ) µ ( ) ; µ µ essendo al livello di fiducia del 99% t si avrà: 0.005;28 = µ (65.2 µ ( ) µ 62.1) ; µ µ b) per l intervallo al 95% si può concludere che l apparente differenza positiva tra le medie è confermata dai risultati dell intervallo di confidenza che non contiene il valore zero, che indica assenza di differenza; al 99% non è possibile affermare la stessa cosa in quanto l intervallo comprende anche il valore zero. Ovviamente questa ambiguità decisionale nella pratica è risolta fissando una volta per tutte, prima dell analisi, il livello di confidenza. 6