Università degli Studi di Palermo Facoltà di Scienze della Formazione

Transcript

1 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Scienze della Formazione C.d.L in Scienze della Formazione Primaria Indirizzo Scuola Primaria Risoluzione di situazioni/problema nella Scuola Primaria: ruolo del linguaggio naturale per la comprensione di strategie risolutive Tesi di Laurea di: Sardo Adriana Matr. n Relatore Prof. re Filippo Spagnolo

2 DIDATTICA DELLA MATEMATICA TESI Risoluzione di situazioni/ problema nella Scuola Primaria: ruolo del linguaggio naturale per la comprensione di strategie risolutive. I Anno Accademico

3 Grazie al prof. Filippo Spagnolo, relatore di questa mia tesi, che con le sue specifiche indicazioni mi ha orientato nell elaborazione. Grazie agli alunni e alle insegnanti della Scuola Primaria che hanno condiviso l attività di sperimentazione con disponibilità, motivazione ed impegno. 3

4 PRESENTAZIONE Questa tesi può essere considerata come una relazione sintetica del mio studio universitario sulla Didattica della Matematica, della mia esperienza didattica e, insieme, della mia sperimentazione didattica nella Scuola Primaria. Il costante e dialettico incrocio tra la teoria e la prassi nella Scuola Primaria mi ha consentito di conoscere le problematiche didattiche e di apprendimento nelle classi. La motivazione alla sperimentazione nasce da una problematica importante che ho rilevato nel campo dell insegnamento apprendimento della matematica: le difficoltà incontrate dagli allievi nella codificazione e nella risoluzione dei problemi. Gli obiettivi possono così essere sintetizzati: Obiettivo generale: Verifica dell ipotesi sperimentale Il ruolo del linguaggio verbale del testo di un problema nella comprensione e nella soluzione. Obiettivo specifico: Individuare le difficoltà nella decodifica del testo dei problemi e nella loro soluzione. La sperimentazione si basa su principi didattici validi e condivisi tenendo conto che gli allievi sono protagonisti consapevoli della propria crescita : 1 1. I percorsi di apprendimento vanno rapportati alle potenzialità alle conoscenze abilità e competenza degli allievi. 2. Le strategie didattiche ed educative (ricerca azione sperimentazione, problemi, apprendimento cooperativo ) sviluppano nel fanciullo un autentico atteggiamento alla 1 Legge di Riforma n.53/2003 Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio personalizzati nella Scuola Primaria ALLEGATO B par: Compilazione. 4

5 comprensione, alla raccolta di dati, alla elaborazione e alla rappresentazione della soluzione di situazioni problematiche, al sapere, al fare. 3. Le discipline di studio vanno viste come campi di indagine degli aspetti della realtà che possono promuovere processi personali di apprendimento e di pensiero, attraverso la costruzione personale di contenuti identificati dalla ricerca scientifica 4. La verifica valutazione non costituisce un momento fiscale, ma un momento di monitoraggio formativo per adeguare la linea didattica ai livelli cognitivo, affettivo, relazionale operativo del fanciullo nei tempi, nei modi e negli obiettivi. I primi tre principi didattici vengono ribaditi nei Documenti educativi nazionali in cui si afferma: - i docenti devono evitare l uniformità delle prestazioni progettate a- priori per operare dal particolare personale al generale culturale non dal generale culturale al particolare personale ; 2 - le conoscenze scaturiscono sempre da una continua negoziazione che impone pazienza, disponibilità, relazione, affetti, carattere, costanza, responsabilità; 3 - ciascuna disciplina ha un proprio campo di indagine, propri strumenti e metodi d indagine. 4 Il quarto principio riguardante la valutazione scolastica trova riferimento nella C.M. relativa in cui si afferma che la valutazione oltre alla funzione certificativa, assume la funzione regolativa per consentire sulla base delle informazioni via via raccolte, un continuo adeguamento delle 2 Legge di Riforma n.53/2003 Raccomandazioni Generali Cap. Dai Programmi ai Curricoli ai Piani di Studio Personalizzati par: Piani di Studio Personalizzati 3 Ibidem Par. Disciplina di studio 4 Raccomandazioni Specifiche cap. Per la didattica delle discipline di studio Scienze par. Differenza fra discipline 5

6 proposte di formazione alle reali esigenze degli alunni e ai traguardi programmati. 5 La presente tesi si articola nei seguenti capitoli: Cap.I La matematica: linguaggio e raccordi interdisciplinari. Cap.II L apprendimento della matematica come processo dinamico, continuo e personale, in rapporto alla sua epistemologia e secondo la Legge di Riforma n.53/2003. Cap.III Fra scuola e realtà: problemi matematici Cap. IV Le forme linguistiche nella presentazione di situazioni/problema: ruolo del linguaggio naturale per la comprensione di strategie risolutive. Cap.V La ricerca e la sperimentazione nella scuola: il contesto sperimentale e le ipotesi Conclusioni finali Problemi aperti 5 C.M. n. 491 del 7 agosto 1996 Premessa 6

7 La mia attività di sperimentazione può considerarsi personalizzata perché: 1. parte del bisogno del fanciullo di individuare e risolvere situazioni problematiche nella realtà di ogni giorno; 2. tiene conto del livello di sviluppo dei fanciulli; 3. vuole guidarli alla comprensione della nostra realtà sociale con le sue esigenze, i suoi aspetti linguistici, matematici, geometrici, sociali. 7

8 CAPITOLO I La matematica: linguaggio e raccordi interdisciplinari 1.1 Matematica, semiotica, linguaggi La matematica viene concepita come: modalità di codificazione della realtà ; forma di conoscenza e interpretazione della realtà; attività del pensiero umano. Essa non può essere intesa come un settore di studi, nettamente distinto da ciò che non è aritmetico e matematico. Nel pensiero matematico rientrano aspetti e concetti che sono propri delle scienze, del linguaggio, della logica, dell analisi scientifica, per cui il significato e il valore dell insegnamento apprendimento della matematica risultano oggi molto vasti. La matematica assume i caratteri di una scienza creativa progettuale e aperta nella quale si opera con concetti, simbolici, raffigurazioni; dove si formularono ipotesi, si considerano cause, conseguenze e probabilità abbandonando la passata concezione di tecnica manipolatoria dei numeri. A questo proposito è importante sottolineare come nelle Raccomandazioni Specifiche per l attuazione dei Piani di Studio personalizzati vengono riproposti concetti e termini che acquistano significato proprio in questa visione della matematica: - l operatività con le operazioni aritmetiche ; - modellizzazione schematica astratta della geometria ; 8

9 - modellazione e codificazione delle più svariate realtà scientifiche e tecnologiche, ivi inclusi anche rami diversi della matematica stessa (misura); 6 - formazione di una mentalità matematica (introduzione al pensiero razionale); - Fornire agli alunni semplici strumenti per raccogliere, rappresentare, analizzare e criticare le informazioni fornite sotto forma di raccolta di dadi (Dati e previsioni). Nelle Raccomandazioni Specifiche si parla anche di uso del linguaggio specifico e delle forme simboliche scelte dalla matematica 7 Nel campo dell educazione matematica le posizioni di studiosi e ricercatori circa il linguaggio matematico sono svariate e a volte contrastanti USISKIN (1996) considera la matematica come una seconda lingua viva 8 che può essere appresa in contesto, con le tecniche di immersione totale attraverso cui si apprendono usualmente le lingue straniere. Si tratta di una personale visione del linguaggio matematico, da sperimentare, vista la complessità dell apprendimento di una lingua straniera, che va immerso nel contesto di vita, culturale, sociale, comunicativo, ludico del Paese di provenienza della lingua. 6 Legge di Riforma n. 53/2003. Raccomandazioni Specifiche paragrafo. I temi degli Obiettivi specifici di apprendimento 7 Raccomandazioni Specifiche capitolo Matematica comma 5 8 Usiskin (1996), Mathematcs ans a language, pag 242 9

10 Nel linguaggio matematico, come nel linguaggio delle altre discipline sono presenti le categorie critiche, sematiche e sintetiche. 9 Gli elementi che lo caratterizzano sono: - le cifre numeriche, che combinate tra loro, secondo regole convenzionalmente accettate, danno origine al mondo numerico; - la testualità dei problemi, degli esercizi, delle regole, dei diagrammi, delle tabelle.; - la sintassi cioè l insieme delle formule e delle conoscenze, suscettibili di modifiche, accettate dalla comunità scientifica. Le regole matematiche con tutte le loro variabili ed invariabili possono essere comparate a quelle linguistiche, in quanto entrambe servono a regolare la costruzione dei linguaggi. Il linguaggio matematico, quindi è costruito con numeri, termini, espressioni, periodi. Presenta caratteristiche di tipo astratto, simbolico, razionale, numerico. La concettualizzazione matematica si realizza attraverso una o più rappresentazioni semiotiche. Duval afferma: non c è noesis senza semiosis 10 specificando che le rappresentazioni semiotiche sono fondamentali, per l apprendimento della matematica da diversi punti di vista. Duval distingue le rappresentazioni in mentali e semiotiche. Le rappresentazioni mentali sono il risultato dei processi di interiorizzazione di quelle semiotiche. Gli algoritmi numerici lavorano sulle rappresentazioni e non direttamente sui concetti. La rappresentazione grafica dei numeri in diversi modi offre la possibilità di comprendere il concetto di numero e di mettere in luce il 9 Indicazioni Nazionali Cap. Obiettivi generali del processo formativo. Dal paragrafo Dal mondo delle categorie empiriche al mondo delle categorie formali comma Duval, 1995 «Sémiosis et perjé humaine» p.5 10

11 significato di sistema di numerazione decimale posizionale perché ogni cifra ha un valore che dipende dalla sua posizione nel numero. In questo caso la rappresentazione del valore di posizione delle cifre, accompagnata da una conversazione matematica in classe serve a consolidare i concetti di: valore-numero-cifra-posizione. Inoltre, tale rappresentazione può evitare difficoltà, dubbi ed errori nell incolonnare i numeri; nel confronto di quantità numeriche. Un sostenitore dell uso dei segni è Vigotskji. Egli afferma che il nostro funzionamento cognitivo è ultimamente legato e influenzato dall uso dei segni. Di conseguenza c è un passaggio teorico da ciò che i segni rappresentano a ciò che i segni ci consentono di fare Radford concorda con l idea di Virgtskji e aggiunge una seconda idea sul significato dei segni: i segni con cui l individuo agisce e in cui l individuo pensa appartengono a sistemi simbolici culturali che trascendono l individuo in quanto individuo Radford (2000), Sign and meanings in students emergent algebraic thinking: a semiotic analysis Educational Studiese in Mathematics

12 - I segni da un lato permettono al soggetto di impegnarsi nell apprendimento, dall altro fanno parte di sistemi, significati sociali e regole della realtà sociale. I segni strumenti forniscono all individuo, i mezzi sociali di oggettivazione semiotica. Radford, attribuisce ai segni una funzione strumentale. Quindi, il linguaggio matematico può essere inteso come un sistema: - multimodale perché comprende testi verbali, espressioni simboliche e rappresentazioni figurate; - multivario perché comprende vari tipi di registri. 1.2 Registri matematici Nella Scuola Primaria il registro usato nell insegnamento apprendimento della matematica include le componenti verbale, simbolica e figurativa. Il registro misto aderisce alle esperienze del fanciullo e favorisce il suo stile di apprendimento visivo, uditivo, manipolativo, verbale. Il testo nella sua globalità è prodotto in conformità agli usi matematici, tiene conto del contesto (scuola, alunni, spazio, tempo, scopo ). Esso presenta un registro evoluto. La rappresentazione della stessa idea matematica può avvenire con un registro colloquiale: il linguaggio svolge la funzione tipica delle comunicazione interpersonale. In tale contesto comunicativo si parla di prezzo, convenienza, peso della frutta, peso dalla cassetta vuota non di peso netto, peso lordo, tara, non si usano i simboli matematici. 12

13 Il registro usato è di tipo colloquiale, naturale, in esso è prevalente la funzione di relazione interpersonale, per lo scambio di proprie esperienze nel campo della spesa giornaliera. Perché i registri evolutivi siano indispensabili per lo sviluppo della conoscenza e in particolare di quella scientifica, alcune caratteristiche dei registri colloquiali sono altrettanto fondamentali. Il registro colloquiale offre la possibilità di rappresentare in forma provvisoria e modificabile idee, esperienze e conoscenze, non richiede una pianificazione. Nella scuola primaria si parte dalle esperienze, dalle idee e dai valori presenti nell esperienza del fanciullo e, quindi, dal registro comunicativo del proprio ambiente sociale per accompagnare il passaggio al linguaggio delle discipline. In questo caso è evidente l utilizzo delle componenti: verbale, simbolica e figurativa. 13

14 1.3 Gli aspetti della matematica La matematica presenta due aspetti: strumentale e culturale. L aspetto strumentale riguarda i calcoli, la tecnica delle operazioni, la formulazione di ipotesi, la soluzione di problemi. Quello culturale fa riferimento a una serie di conoscenze teoriche, storiche ed epistemologiche, quali per esempio la padronanza delle idee fondamentali di una teoria, la capacità di situarle in un processo evolutivo della conoscenza, e che conduce a riflettere sui principi e sui metodi impiegati 12. L aspetto strumentale e quello culturale non sono distinti, ma si intrecciano strettamente; le procedure tecniche della matematica si servono dei concetti e li chiariscono. L insegnamento apprendimento della matematica, deve tener conto dei due aspetti della matematica per contribuire, con le altre discipline, alla formazione nel fanciullo di una personalità integrale ricca di quelle competenze indispensabili per vivere nella società come uomo cittadino consapevole, responsabile, critico, creativo, capace di risolvere i vari problemi che via via si presentano. Esso, in modo particolare, contribuisce all acquisizione di alcune competenze: esprimere adeguatamente informazioni ; intuire e immaginare ; progettare e costruire modelli di situazioni reali stimolando l uso dell immaginazione; 12 Aldo Scimone, Filippo Spagnolo Argomentare e congetturare nella Scuola Primaria e dell infanzia Capitolo 1, 1.3. La valenza strumentale e culturale dell insegnamento della matematica 2005 Ed. Palumbo Palermo. 14

15 operare scelte in condizioni di incertezza, per sviluppare il pensiero probabilistico, che sta alla base di molte attività in ambito sociale e non solo di curricolo scolastico Relazione tra educazione linguistica e scientifica Nella pratica di insegnamento apprendimento, il docente può facilmente rilevare che la lingua è trasversale ad ogni disciplina. Nella Scuola Primaria la conversazione matematica docenti/alunni richiede, in relazione alla tematica oggetto della conversazione, un linguaggio naturale. Alcuni argomenti richiedono un linguaggio colloquiale, abituale, altri invece, un linguaggio evoluto e costituito da parole e frasi, ma anche di simboli e rappresentazioni varie. Il linguaggio matematico è costituito da espressioni linguistiche, ma anche di simboli, termini aritmetici, geometrici, di misura, logica. Attraverso lo studio della matematica l allievo impara a comunicare con termini adeguati ad esprimere adeguatamente informazioni 14 per fare comprendere agli altri i suoi dati. L insegnante di ambito linguistico e quello di ambito matematico scientifico possono attivare valide situazioni di apprendimento interdisciplinari. ES. L insegnante di lingua italiana adotta un approccio pragmatico basato sull uso consapevole della lingua finalizzato a diversi contesti. 13 Ibidem pag Aldo Scimone, Filippo Spagnolo Argomentare e congetturare pag. 4 15

16 Tale approccio non si basa esclusivamente sulla grammatica e sulla sintassi. Esso favorisce la conversazione linguistica in classe con un punto centrale: il cambiamento della forma linguistica in relazione alla situazione di apprendimento. L alunno può così comprendere che in una situazione di apprendimento e in un contesto di tipo matematico si opera con grandezze, quantità ed aspetti numerici della realtà. - L insegnante di matematica deve favorire in classe la comunicazione la pianificazione del lavoro, la socializzazione, la condivisione di ipotesi e progetti, idee, concetti, percorsi ed esperienze. Attività importanti possono essere: - la decodifica di testi matematici; - la costruzione di problemi matematici e formule; - il ragionamento; - la descrizione del lavoro svolto e dei risultati raggiunti; - il ragionamento in situazioni problematiche. ES. L elaborazione del testo di un problema partendo da una situazione vissuta richiede dei criteri da osservare nella forma espressiva: comunicabilità naturale, semplice e comprensibile; termini significativi ed adeguati al contesto e alla situazione problematica; tempi del verbo corretti. 16

17 Per la struttura: 1. presentazione ordinata di dati; 2. domanda/e. Con questa strategia l alunno attua un transfert linguistico in campo matematico: - espone e scrive problemi individuati nella realtà; - si pone enunciati di problemi; - si pone problemi e li pone agli altri; - risolve problemi assegnati o da lui posti. Viene così superata, la concezione di un insegnamento apprendimento matematico distinto da quello linguistico. Nell educazione matematica si incrociano le educazioni linguistica, storica, geografica. L apprendimento, dunque, è unitario non di natura disciplinare, centrato sulla realtà che appartiene a tutte le discipline e le contiene. L aspetto linguistico può essere considerato all interno della formazione complessiva che interessa il pensiero matematico L apprendimento è esso stesso un sistema integrato e ologrammatico. Non si può frammentare la formazione dell allievo come persona: il principio dell ologramma trova senso nel concetto di persona integrale. Le stesse discipline diventano un sistema integrato nella unità della persona. 15 Legge di Riforma n.53/2003 Raccomandazioni Specifiche Scuola Primaria disciplina Matematica Percorso generale 17

18 Conclusioni La matematica è una scienza creativa, progettuale, aperta a collegamenti interdisciplinari con un linguaggio multimodale che comprende testi verbali, espressioni simboliche e rappresentazioni figurate. L insegnamento-apprendimento della matematica nella Scuola Primaria parte dalle esperienze, dalle idee e dai valori presenti nell esperienza del fanciullo, dal registro comunicativo del proprio ambiente sociale per accompagnarlo nel passaggio al linguaggio specifico della disciplina. Quindi, risulta fondamentale ed efficace un raccordo interdisciplinare, in particolare tra educazione linguistica e scientifica. 18

19 CAPITOLO II L apprendimento della matematica come processo dinamico, continuo e personale in rapporto alla sua epistemologia e secondo la Legge di Riforma n.53/ Il processo di apprendimento della matematica Nella nostra società pluralistica, mass-mediale, tecnologica, dinamica, aperta a continui cambiamenti e alle relazioni nazionali ed internazionali, la Scuola Primaria si basa su una visione nuova dell insegnamentoapprendimento e della funzione delle stesse discipline. Le Indicazioni Nazionali indicano come obiettivo generale del processo di apprendimento il passaggio dal mondo e dalla vita, ordinati, interpretati ed agiti solo alla luce delle categorie presenti nel loro patrimonio culturale valoriale e comportamentale, al mondo e alla vita ordinati e interpretati, anche alla luce delle categorie critiche, semantiche e sintattiche presenti nelle discipline di studio e negli ordinamenti formali del sapere accettati a livello di comunità scientifica. 16 L insegnamento-apprendimento, nelle sue molteplici modalità, mira a stimolare e favorire nell allievo i processi di apprendimento, per cui acquista significato e valore solo in rapporto allo sviluppo di conoscenze, abilità e competenze; all acquisizione e all utilizzo di strategie di apprendimento. Le discipline di studio vanno considerate non come contenuti immutabili ed autosufficienti da trasmettere agli allievi, ma come mezzi, occasioni, strumenti d indagine sulla realtà, (Bruner) per promuovere processi di apprendimento e di pensiero. 16 Legge di Riforma n. 53/2003, Indicazioni Nazionali Allegato B. La Scuola Primaria paragrafo Dal mondo delle categorie empiriche al mondo delle categorie formali. 19

20 Di conseguenza la problematica inerente alla didattica pone in evidenza: - l importanza del processo di apprendimento; - il dinamismo e la specificità degli aspetti psicologici dell allievo in età evolutiva e le sue modalità di apprendimento. E affermata ormai l idea che per garantire la formazione del pensiero, il docente nella sua opera di mediazione didattica deve saper conciliare le esigenze logiche e scientifiche dei contenuti, con le esigenze psicologiche del soggetto che apprende. In tal modo la didattica si fonda sul concetto di apprendimento inteso come processo dinamico, continuo e personale: - Dinamico perché consente di usare, modificare e riorganizzare schemi e strutture mentali che elaborano l esperienza e che sono a loro volta modificati; - Continuo perché ogni acquisizione della conoscenza si innesta in strutture già organizzate; - Personale perché si fonda non sulla passiva assimilazione di dati ed informazioni, ma sulla elaborazione da parte del soggetto di strategie volte a raggiungere determinati obiettivi di conoscenza, abilità, competenze attese. Quindi, nella scuola di oggi, scompare la figura del docente di una data disciplina che ignora le altre, in quanto le unità di apprendimento possono essere mono-inter-intra-pluri disciplinari, ma ogni singolo insegnamento troverà senso e significato all interno di un apprendimento unitario, centrato sulla realtà che contiene tutte le discipline e ad esse appartiene. - Uno degli scopi dell educazione matematica nella Scuola Primaria è fare in modo che l allievo possa costruirsi un immagine positiva della 20

21 disciplina senza dimenticare che l apprendimento viene influenzato dalle relazioni e dall affettività. La matematica presenta un doppio ruolo educativo: - i contenuti vanno elaborati e trasformati in conoscenze, abilità e poi in competenze; - le competenze nel campo della matematica si collegano a quelle delle altre discipline di studio. Nella scuola dei Piani di Studio Personalizzati l allievo deve fare esperienze significative in cui sia motivato al sapere, al fare, ad agire in modo positivo e costruttivo con gli altri. E compito del docente progettare, organizzare e verificare situazioni di apprendimento unitarie in cui l allievo propone, ipotizza e realizza, si interroga, si confronta, si pone problemi, cerca soluzioni singole e collettive, le valida e socializza in un clima laboratoriale di relazione, comunicazione, cooperazione. Accanto alle attività scolastiche vanno privilegiate quelle didattiche, scolastiche ed extrascolastiche, in cui è l allievo che opera implicandosi personalmente. Il docente recupera le conoscenze, le competenze messe in atto fuori dalla scuola da ogni allievo e crea in classe un clima di socializzazione e condivisione in modo che ogni conoscenza individuale diventi comune. Nelle varie situazioni di apprendimento l attenzione va rivolta alla nostra realtà con i suoi numeri, spazi, le sue grandezze, misure e forme geometriche, i suoi problemi concreti e significativi. Le competenze costituiscono per gli allievi un traguardo da raggiungere. Il ragazzo è riconosciuto competente quando facendo 21

22 ricorso a tutte le capacità di cui dispone utilizza le conoscenze e le abilità apprese 17 per: - esprimere un modo proprio di interagire con l ambiente naturale e sociale influenzandolo in modo positivo; - risolvere i problemi che via via incontra; - riflettere sul proprio operato e gestire il proprio processo di apprendimento; - comprendere il valore e la complessità dei sistemi simbolici e culturali; - maturare il senso del bello; - dare un significato ala vita Considerazioni storico epistemologiche a) Il numero L uomo fin dai tempi più lontani ha sentito l esigenza di contare e annotare in qualche modo gli oggetti, gli animali contati, con sassi, conchiglie, tacche incise su un pezzo di legno, nodi su un pezzo di corda. Egli per molto tempo utilizzò una forma di numerazione concreta. Solo in una fase successiva i numeri da segni divennero parole, cioè fu ideato un nome per ogni numero. La tappa più importante fu il passaggio dai numeri parlati alle cifre. La prima numerazione scritta risale all epoca dei Sumeri. Dai numeri arabi derivano i nostri numeri. 17 PECUP Allegato D Paragrafo Il Profilo dello studente Comma 3 18 Ibidem, Legge di Riforma n. 53/

23 Il sistema di numerazione decimale e posizionale rappresenta il gradino più alto della storia del numero. Fu ideato dagli Indiani nel V secolo d.c., che lo insegnarono agli arabi, i quali lo diffusero in Europa. b) Geometria La geometria è una scienza che ha per oggetto lo studio dello spazio, considerato come insieme di elementi misurabili (linee, superfici, solidi). La costruzione dei concetti di geometria è nata per finalità pratiche Erodoto fa risalire le origini della geometria agli Egiziani che dovevano tracciare di nuovo i confini dei propri campi cancellati dalle periodiche inondazioni del Nilo. Con Euclide la geometria diventa una scienza. Gli oggetti dello studio della geometria per Euclide non sono concreti, ma sono modelli ideali e statici della realtà che ci circonda, figure che si possono rappresentare con il disegno geometrico su cui lavorare in modo logico, sintetico ragionando cioè per dimostrazioni e deduzioni. c) I criteri di verità della matematica Nella seconda metà del secolo scorso alcuni epistemologi si sono posti il problema della verifica della validità delle scienze cosiddette esatte come la matematica e la fisica. Qual è il criterio di verità su cui si basa la matematica? I principi su cui essa si fonda non vengono provati da premesse indimostrabili, ma sono stati sviluppati dei procedimenti che presentano segni, simboli, formule, istogrammi, diagrammi, varie rappresentazioni. 23

24 d) Il dominio della realtà La matematica offre l opportunità di individuare le caratteristiche principali della realtà e affrontarle da un punto di vista matematico, geometrico, probabilistico e statistico. L approccio matematico ai problemi della realtà consente di individuare gli elementi principali di essi, l impostazione corretta dei rapporti tra i dati e l individuazione della giusta soluzione. La matematica, quindi, è uno strumento conoscitivo ed operativo, che consente di interpretare le situazioni problematiche risolverle ed adattarle alle nostre esigenze. e) Il linguaggio matematico Il linguaggio matematico è una modalità di approccio alla realtà, per chiarire le relazioni quantitative che intercorrono tra i diversi elementi che la costituiscono. E costituito da numeri, segni, simboli, formule, istogrammi, diagrammi, varie rappresentazioni. f) La simbologia del linguaggio Per scrivere i nostri messaggi, i nostri problemi matematici, le nostre idee, le nostre storie, per annotare usiamo il linguaggio scritto formato dai simboli che costituiscono le lettere dell alfabeto. Ognuna di queste lettere corrisponde ai suoni della voce e con esse noi possiamo comporre tutte le parole che vogliamo. Per fare dei calcoli, invece, per esprimere delle quantità usiamo altri simboli: numeri segni, marche. 24

25 Questi e tanti altri simboli formano il linguaggio matematico che ci consente di esprimere con pochi segni anche grandi quantità e di eseguire calcoli complessi. g) Oggetti di studio della matematica L oggetto di studio della matematica è la nostra realtà con i suoi elementi, le sue quantità, i suoi spazi, le sue forme, le sue relazioni, i suoi problemi pratici e logici. Gli oggetti della matematica sono: le situazioni matematiche che si rappresentano, si calcolano, si risolvono; la simbologia, i concetti, le strutture matematiche. Fra i più importanti temi matematici troviamo: i problemi, l aritmetica la geometria e la misura, la logica, la probabilità, la statistica e l informatica. 25

26 2.3 L insegnamento-apprendimento della matematica in rapporto alla sua epistemologia Per impostare un insegnamento apprendimento della matematica in coerenza con la sua epistemologia bisogna: - non imporre dei principi dall alto; - non dare nulla per scontato; Bisogna anche stimolare l allievo: - ad osservare, analizzare e verificare tutto ciò che apprende; - a confrontare i fatti nuovi con quelli che già conosce - a formulare delle ipotesi e ragionare. La matematica non può procedere per induzione: per quanti possano essere i casi osservati con caratteristiche analoghe non sarà mai possibile trarne una conclusione comprensiva di tutti. La matematica è scienza deduttiva. Il pensiero del fanciullo nell età in cui frequenta la Scuola Primaria è legato al concreto, all esperienza e si muove con difficoltà nel campo dell astrazione perché all osservazione non corrisponde la capacità di formulare ipotesi. Il pensiero procede dall esperienza (individuazione di un certo numero di dati) alla ricerca della legge spiegazione di un fenomeno e della sua regolarità. Questo procedimento si svolge dal concreto verso l astratto ed è prevalentemente sintetico. Il procedimento deduttivo si svolge nel senso opposto e consiste nel passaggio analitico da alcune premesse, principi fondamentali e leggi, alle logiche conseguenze che da esse necessariamente derivano. Quindi nella Scuola Primaria l insegnamento apprendimento della matematica può seguire il procedimento di induzione. 26

27 Naturalmente verso la fine della Scuola Primaria, l alunno deve essere in grado di avvalersi di alcune formule e regole matematiche; di verificare un ipotesi, di servirsi dei procedimenti dell analisi dell astrazione e di saper svolgere un ragionamento di tipo deduttivo. La padronanza del linguaggio matematico è una conquista progressiva, che richiede lo stesso procedimento: - trattare un argomento in modo globale, - evidenziare gli aspetti concreti; - individuare alcune caratteristiche specifiche (analisi); - infine ricorrere all uso dei simboli (astrazione), alla padronanza dei concetti e alla definizione dei termini. 27

28 2.4 Il processo di apprendimento della matematica nella Scuola Primaria secondo la Legge di Riforma n.53/2003 La matematica è presentata come SCIENZA DI CONTENUTO SCIENZA DI STRUTTURE Le due componenti sono in evoluzione continua: dalla ESPERIENZA SENSIBILE alla COSTRUZIONE DI CONCETTI che nascono nella mente dell allievo come REALTA ASTRATTE, ma se interiorizzate diventano parte dell ESPERIENZA VISSUTA ed acquistano una loro concretezza. a) Aspetto formativo La matematica contribuisce in modo specifico alla: FORMAZIONE DELLA STRUTTURA DI UN PENSIERO RAZIONALE E CRITICO. PERCIO DIVIENE STRUMENTO NECESSARIO PER LA CRESCITA UMANA E CULTURALE DI OGNI ALLIEVO. L insegnamento-apprendimento della matematica favorisce e sviluppa il rapporto complessivo dell alunno con la realtà attraverso lo sviluppo delle sue abilità: - osservazione attenta della realtà nei suoi aspetti matematici con l uso del linguaggio e degli strumenti matematici (numeri, figure, misure, grafici ); - organizzazione complessiva del proprio modo di ragionare, argomentare, organizzare, porsi, affrontare e risolvere problemi; - uso dei simboli e del linguaggio specifico della matematica; 28

29 - progettazione e immaginazione che si sviluppa in modo particolare nella risoluzione di problemi in contesti differenti. b) Aspetto metodologico Il percorso formativo della matematica - non è in sequenza lineare: si chiude un argomento e si passa ad uno successivo; - ma a spirale: riprende più volte i medesimi contenuti a livello via via più complesso, per l allargamento e la comprensione più sicura e completa. Si realizza così IL PROCESSO DI EVOLUZIONE CONTINUA PROPRIO DELLA MATEMATICA. Il percorso formativo della matematica si realizza dal CONCRETO ALL ASTRATTO. Questo processo formativo non privilegia l esperienza personale o la realtà astratta. Le due componenti sono in continua evoluzione dalla ESPERIENZA SENSIBILE VISSUTA ALLA COSTRUZIONE DI CONCETTI che nascono nella mente del soggetto come REALTA ASTRATTE, ma diventano se INTERIORIZZATI anche loro parte della ESPERIENZA VISSUTA e acquistano una loro CONCRETEZZA. c) Organizzazione del percorso formativo Il percorso formativo è organizzato in cinque temi con una scansione in conoscenze ed abilità: IL NUMERO GEOMETRIA LA MISURA 29

30 DATI E PREVISIONI INTRODUZIONE AL PENSIERO RAZIONALE Aspetti storici connessi alla matematica. d) Oggetti dell insegnamento-apprendimento della matematica Gli oggetti di apprendimento della matematica RAZIONALIZZAZIONE DEL REALE sono: gli specifici strumenti concettuali che si esprimono con un linguaggio appropriato, una struttura simbolica formale adeguata. Il percorso formativo della matematica contribuisce a formare una MENTALITA MATEMATICA. Le procedure che in particolare descrivono i PROCESSI MENTALI sono: 1. ARGOMENTARE E CONGETTURARE 2. PORSI E RISOLVERE PROBLEMI L allievo perviene ad una mentalità logica formativa: sa distinguere tra ENUNCIATI DIMOSTRABILI CON ARGOMENTAZIONI RAGIONEVOLI E CONVINCENTI e PROPOSIZIONI O ASSERZIONI PLAUSIBILI, ma che non si possono GIUSTIFICARE RAZIONALMENTE (CONGETTURARE). L ATTEGGIAMENTO PROBLEMATICO è connaturato nella mentalità matematica. Dall interno della disciplina MATEMATICA, dai diversi contesti del MONDO ESTERNO, DAL GIOCO, DALLE ESPERIENZE DEL SOGGETTO DI OGNI GIORNO IN RELAZIONE CON GLI ALTRI, CON L AMBIENTE MATERIALE PROVENGONO 30

31 MOLTEPLICI E VARI INTERROGATIVI VARI TIPI DI PROBLEMI CHE IL SOGGETTO DEVE IMPARARE VIA VIA AD AFFRONTARE E RISOLVERE IN MODO ADEGUATO, CORRETTO, CONVENIENTE, LOGICO. e) I problemi Nelle Raccomandazioni Specifiche si rileva che PORSI E RISOLVERE PROBLEMI costituisce una procedura mentale che caratterizza tutto il pensiero matematico. L atteggiamento problematico è caratterizzato con la mentalità matematica e si comprende quindi, l importanza di questa procedura nel processo di insegnamento-apprendimento della matematica il risolvere problemi offre importanti occasioni agli allievi per costruire nuovi concetti, nozioni e abilità, per arricchire di significati le nozioni già apprese e per verificare l efficacia di apprendimenti già posseduti. 19 Si rileva, quindi, come il problema diventi il fulcro di tutto l insegnamento-apprendimento della matematica nella Scuola Primaria: la matematica si apprende come risoluzione di problemi. Il ruolo del docente non è quello di trasmettere regole e di esercitare gli allievi nella loro applicazione, ma quello di: - problematizzare situazioni che partono dalla concreta esperienza per sollecitare gli allievi a trovare soluzioni utilizzando strumenti matematici. Risolvendo i problemi l allievo-persona mobilita le proprie conoscenze ed abilità acquisendo attitudini e competenze indispensabili per vivere come uomo e cittadino competente e responsabile. 19 Legge di Riforma n.53/2003 Raccomandazioni specifiche paragrafo PORSI E RISOLVERE PROBLEMI commi

32 Conclusioni L insegnamento-apprendimento, nelle sue molteplici modalità, mira a stimolare e favorire nell allievo i processi di apprendimento, per cui acquista significato e valore solo in rapporto allo sviluppo di conoscenze, abilità e competenze; all acquisizione e all utilizzo di strategie d apprendimento. Per un insegnamento-apprendimento della matematica, in coerenza con le considerazioni storico-epistemologiche e le indicazioni didattiche delle Raccomandazioni Specifiche, inerenti alla matematica, è fondamentale l uso di un linguaggio naturale, tecnico, adeguato al destinatario (bambino-persona) per la razionalizzazione del reale e la formazione di una mentalità matematica. 32

33 CAPITOLO III Fra scuola e realtà: problemi matematici 3.1 Vari tipi di problemi Problemi senza numeri 1) Un gruppo di ragazzi durante un escursione nel bosco si sono sperduti. Come potranno ritornare al punto di partenza? 2) La nonna vuole preparare la pizza. Ha il lievito, i condimenti, ma le manca la farina. Che cosa potrà fare? I due problemi non hanno dati numerici, ma solo dati linguistici. Il linguaggio è chiaro, semplice adeguato al livello di comprensione linguistica del lettore. Sono formulati in un registro comunicativo che sfrutta le componenti emotive del linguaggio. Sul piano lessicale sono utilizzate parole conosciute per esporre la situazione problematica. Richiedono un ragionamento logico, feedback di esperienze per trovare una strategia risolutiva e rispondere alla domanda. Enunciati logici Questo è Marco. Leggi cosa dicono di lui i suoi compagni. 33

34 Gli enunciati di Luisa e Filippo, sono ENUNCIATI LOGICI perché sono semplici frasi informative illustrate alle quali si può attribuire con chiarezza un valore di verità (VERO O FALSO). L enunciato di Marina, invece, non è un enunciato logico perché è una frase che un opinione, un parere e nessuno è in grado di attribuirgli con certezza un valore di verità. Problemi aritmetici Il linguaggio ha una funzione illustrativa o referenziale, quella con cui si danno semplici informazioni, si trasmettono conoscenze, notizie, esperienze, si fanno domande. 34

35 Problema 1 Peso netto, peso lordo, tara Su un carro sono stati caricati 26 sacchi di grano. Ogni sacco pesa Kg 65 ed ogni sacco vuoto Kg 1.8. Quanti kg di grano ci sono sul carro? (Kg 1643,2) * Il linguaggio della situazione problematica è informativo-descrittivo. Richiede le capacità: di decodificare il testo di un problema; analizzare i dati e la loro utilità ai fini della risoluzione. Problema 2 Peso netto, peso lordo, tara Se vengono caricati su un carro sacchi 26 di grano del peso di Kg 65. Calcola Quanti Kg di grano vengono caricati sapendo che la tara è Kg 1,8 per ogni sacco. Il testo ripropone la situazione problematica precedente in una diversa forma comunicativa: - indica una situazione al modo condizionale non certo; - usa un linguaggio non comune nella vita quotidiana; - il lessico specifico contiene termini univoci (calcola tara) cioè dotati di un unico significato non rielaborati ed adeguati ai termini del linguaggio comune. Problema 3 Quanti Kg di grano si trovano su un camion carico con sacchi 26 di peso lordo Kg 65 ciascuno e tara Kg 1,8? Unitaria? 35

36 Il problema è proposto con una domanda che include i dati. La forma espressiva richiede la riflessione per la decodifica, la riflessione per la decodifica, la rilevazione delle informazioni. Il termine unitario specifico del linguaggio matematico richiama i concetti di unitario e totale. * I problemi aritmetici riguardano varie situazioni: - compravendita - dall unitario al totale e viceversa - misura (lunghezza, capacità, peso, valore, tempo) - frazioni - dati e previsioni - probabilità. Problema geometrico La pista è composta da tre semicirconferenze. Quanti Km percorre ogni ciclista? Il linguaggio si esplica anche attraverso il disegno geometrico e offre la possibilità di osservare il disegno, individuare i dati della situazione problematica. 36

37 Il disegno geometrico ha una funzione illustrativa ed informativa. Il problema matematico nella pubblicità La situazione di compra-vendita è presentata con un linguaggio tecnico, matematico, schematico nei dati, non discorsivo informativo. Il linguaggio pubblicitario ha la funzione di attirare il lettore con le immagini e stimolarlo all acquisto di uno strumento indispensabile: il dizionario. Stimola il lettore ad osservare, leggere, capire e porsi delle domande. 37

38 La situazione/problema nel gioco sonoro-musicale Esempio: Canto Il piccolo naviglio di Anna Maria Bontempi Il canto stimola l allievo a porsi il problema: Il piccolo naviglio riesce a partire dopo sette settimane. Quanti giorni impiegherà? 38

39 Conclusioni Il problema è una situazione da risolvere che nasce dalla realtà, dall esperienza di ogni giorno scolastica ed extrascolastica. L individuo deve cercare di individuare il problema in ogni situazione, comprenderlo e risolverlo in modo logico, corretto ed adeguato. 39

40 Capitolo IV La forma linguistica nella presentazione della situazione/problema: ruolo del linguaggio naturale per la comprensione di strategie risolutive 4.1 La difficoltà di decodifica e di comprensione della situazione/problema L enunciato di un problema, il testo di un esercizio, una dimostrazione geometrica, una spiegazione aritmetica, spesso pongono l allievo di fronte a difficoltà di decodifica e comprensione. Pertanto, il testo matematico deve essere chiaro, comprensibile, aderente a quello usato nell ambito della vita quotidiana. Il testo matematico, richiede la leggibilità 20. Secondo Colette Laborde la leggibilità di un testo matematico è determinata dalle variabili relazionali 21 : 1. grado di esplicitazione ottenuto dall impaginazione, dalla punteggiatura e dalle strutture sintattiche impiegate; 2. complessità sintattica; 3. densità dell enunciato; 4. ordine delle informazioni fornite; 5. differenza tra la forma in cui le informazioni sono date e quella in cui le si deve trattare nella risoluzione 6. grado di esplicitazione degli oggetti intermedi utili alla risoluzione del problema. Queste variabili costituiscono le caratteristiche degli enunciati dei problemi. 20 Per leggibilità si intende il grado di difficoltà provata da un lettore che cerchi di comprendere un testo A. Gagatis (1995) pag Laborde 1995 Occorre imparare a leggere e scrivere in matematica? La matematica e la sua didattica n. 2 p

41 Proviamo a comparare due testi di geometria sulla base dei criteri di Laborde. I) Un tetto a forma di trapezio con le basi di m. 12 e m. 7, l altezza di m. 4, si deve coprire di tegole. Se in un metro quadrato entrano 15 tegole, quante ne occorrono in tutto? II) Calcola quante tegole occorrono per coprire un tetto trapezoidale, sapendo che per ogni metro quadrato si mettono 15 tegole, che le basi del tetto misurano m. 12 e m. 7 e l altezza è di m. 4. I due testi richiedono lo stesso procedimento risolutivo: - Il primo è strutturato con semplicità; ordine delle informazioni fornite. I dati sono impliciti nello stesso ordine di utilizzo per la strategia risolutiva. La domanda è la richiesta conclusiva. - Il secondo testo presenta una struttura sintattica complessa con densità di informazioni date in un solo periodo. I dati non sono espliciti nell ordine di utilizzo: il verbo calcola (quante tegole) iniziale costituisce la domanda finale della situazione problematica. Tra i due problemi di geometria è evidente un grado di leggibilità diverso, per gli allievi di Scuola Primaria a differenza del primo, il linguaggio verbale del secondo testo presenta varie difficoltà nella leggibilità. 41

42 4.2 La forma linguistica nella presentazione della situazione/problema - Il testo di matematica al tempo condizionale Nella Scuola Primaria tanti allievi incontrano difficoltà nella comprensione dei testi di matematica al condizionale. Non li preferiscono perché loro preferiscono porsi di fronte ad un testo rispondente ad una situazione reale certa non a quella con dubbi, incertezze e condizioni. Esempio di situazione problematica osservabile dimostrabile e verificabile. D C A B H In questo quadrilatero: AB = DC AB = CB AB = AB L affermazione (AH + HB) > DC E vera o falsa? 42

43 Le ricerche condotte nel campo del problem solving hanno dimostrato come alcune espressioni verbali o vocaboli più comuni utilizzati nel testo di un problema possono indurre in equivoco l allievo a causa di una varietà di aspetti legati alla comprensione, alle esperienze precedenti, alle consuetudini d uso, a difetti di concettualizzazione o più semplicemente al fatto che il bambino non riesce a tenere presenti tutti i dati del problema perché non è ancora in grado di utilizzare forme di pensiero reversibili. - Enunciato con un termine equivoco Esempio proposto da Petter: Quadro palline sono uguali per forma, colore, dimensione, ma una hanno un peso diverso. Cercate di individuare questa pallina avendo a disposizione una bilancia a due piatti e potendo effettuare due sole pesate. In questa situazione il termine peso porta l allievo a interpretare l aggettivo diverso come più pesante mentre potrebbe essere inteso come più leggero. Siamo quindi, di fronte ad un evidente caso in cui il linguaggio utilizzato condiziona il pensiero dell allievo. - Problema con interferenze linguistiche Problema: Pietro ha 4 mele e Paolo 2 di più. 43

44 Quante mele hanno in tutto? 22 * Il problema presenta una interferenza linguistica che può condizionare la strategia risolutiva. Di fronte a questa situazione problematica molti bambini possono rispondere 6, questa risposta è dovuta al fatto che interpretano il testo in questo modo: - Paolo ha 2 mele in più di Pietro e non tengono conto della domanda. L allievo così non risponde al problema in quanto tale, ma ad un problema diverso che egli formula in conseguenza dell interpretazione che ha dato all enunciato. La presenza dell espressione di più viene evidenziata e sostituita a quella della domanda in tutto. Se il problema viene formulato in forma diversa con attenzione alle forme espressive equivoche, lo stesso alunno può risolverlo correttamente. Esempio: Giorgio ha 9 libri e Roberto ne ha tanti quanti Roberto e 6 di più. Quanti ne hanno in tutto? Questo esempio dimostra l importanza fondamentale che ha il modo in cui un problema viene formulato sul piano del linguaggio per la comprensione e la risoluzione. Questo non significa che il docente deve usare lunghe circonlocuzioni per facilitare la soluzione, ma che egli deve tenere presenti le difficoltà che può incontrare l allievo ed adeguare il testo problematico alle sue conoscenze ed abilità. 22 G. Mosconi, perché i problemi sono difficili. A. P. Baldi, perché il bambino non riesce in matematica? Pordenone, ERIP, 1980, p.p

45 - Enunciati in forma concreta ed astratta Esempio I Ivan dice a Luca: - Io ho il doppio dei tuoi quaderni. Se li mettiamo insieme in tutto sono 30. Quanti sono i quaderni di Ivan? Quanti quelli di Luca? Esempio II Calcola due numeri sapendo che la loro somma è 30 e che il primo è doppio del secondo. I due problemi richiedono la stessa soluzione, ma i gradi di difficoltà sono diversi l uno dall altro. Il primo enunciato è in forma concreta e il bambino può operare con oggetti reali (quaderni); nella seconda situazione in forma astratta, egli deve avere, concettualizzato i termini matematici calcolare, numeri, somme, doppio e deve quindi avere raggiunto un livello elevato di astrazione. I due enunciati mettono in evidenza come la forma concreta di un enunciato può facilitare la comprensione della situazione problematica e di conseguenza la corretta soluzione. - Enunciato con termini che suggeriscono soluzioni Esempi: 1. Andrea ha 100, spende 0,50. Quanti Euro gli restano? 2. Giorgia ha 12,50, riceve dalla mamma 2,50. Quanto ha ora in tutto? 45

46 - Nel primo enunciato il termine del linguaggio matematico restano suggerisce l operazione per la risoluzione (sottrazione). - Nel secondo caso l espressione in tutto e il termine ora (tempo) suggeriscono l operazione per la risoluzione (addizione). 3. Davide ha 500. Quanti Euro deve aggiungere per arrivare a 1600,05? - In questo caso il termine aggiungere può indicare all allievo l operazione sbagliata (somma). I termini toglie, aggiunge, in tutto, resto, totale, distribuisce, divide, possono indicare l operazione per risolvere il problema, ma non è sempre quella esatta. - L allievo che non possiede sicurezza: nella decodifica e nella comprensione del testo a livello linguistico; nei concetti matematici può incontrare difficoltà nella comprensione e nella soluzione. - Enunciato con dati sottintesi o impliciti Il testo con dati impliciti presenta vocaboli che sottintendono il dato: dozzina, triplo, metà, doppio. L allievo deve individuare i dati per risolvere il problema. Esempio. Una sarta per confezionare dei costumi di Carnevale compra 30 buste contenenti una dozzina di stelline ciascuna. Quante stelline compera in tutto? L allievo per risolvere il problema deve possedere con sicurezza il concetto di dozzina. 46

47 - Enunciato con dati mancanti Il problema richiede all allievo di individuare il dato mancante e di spiegare in modo sintetico perché non si può risolvere. Esempio: La maestra aveva nel suo armadio a scuola 81 fogli da disegno. Durante la mattinata ne ha distribuito uno ad ognuno dei suoi alunni. Quanti fogli le sono rimasti? Il problema non si può risolvere perché manca un dato: il numero degli allievi. * L allievo può individuare il dato numerico mancante; riscrivere il problema completo dei dati e risolverlo. - Enunciato con dati inutili Esempio: Sara con i suoi 2 fratelli è andata nel bosco. Sara ha raccolto 60 more, Luca ne ha raccolto 45, Gianni ha raccolto 50 more e 10 funghi. Quante more hanno raccolto in tutto? * I dati 2 e 10 sono inutili. L allievo deve individuarli e non utilizzarli nel procedimento risolutivo. - Enunciato discorsivo figurato Hai osservato la pianta di un appartamento? Essa riproduce l appartamento rispettando perfettamente la sua forma, ma riducendo ovviamente tutte le dimensioni secondo una scala di riduzione. 47

48 Questo appartamento è stato riprodotto in scala 1:50. La camera colorata in verde misura sulla pianta cm. 3 per cm. 2,5. Che forma geometrica ha la camera? Quanti m 2 misura la sua superficie? * Il problema presenta un linguaggio settoriale, cioè un linguaggio che utilizza forme espressive e vocaboli tecnici della geometria e della matematica. - Enunciato con la scelta dei dati Esempio: La più alta delle tre amiche è Flavia: è alta m. 1,70. Luisa è meno alta, la più bassina è Chiara. Scegli fra le seguenti misure: m. 1,70 m. 1,61 m. 1,50 cm. 90 cm 98. * Il primo dato m. 1,70 è esplicito, gli altri devono essere scelti. L allievo deve riflettere e ragionare; interpretare il testo in modo globale, analizzare i dati per trovare le inferenze logiche; scegliere infine le misure più adeguate e logiche: 1. si tratta di ragazze, perché Flavia, la più alta misura m. 1,70; 2. i dati, cm. 90 e cm. 98 sono misure di altezza di bambini e vanno esclusi. Le misure rimaste sono quelle da scegliere in ordine, seguendo le indicazioni ricevute. 48