minimo, massimo, né massimo né minimo (2p.).

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1 COGNOME: NOME: MATR.: Ingegneria Aerospaziale. Analisi Matematica 2. Compito del 8 giugno PARTE A 1. Si scriva l enunciato del teorema di Schwartz (2p.) 2. Consideriamo la serie di Fourier f(t) = 1 + n=1 (a) f (converge ed ) è continua su R VERO FALSO ; (b) f è dispari VERO FALSO ; (c) f è periodica di periodo ( 1) n n 2 sin(2nt). Si dica se (1 p. a risposta) 1 + n4 3. Si consideri la funzione f : R 2 R definita da f(x, y) := x 2 xy + 3y 2. Allora (0, 0) è punto di minimo, massimo, né massimo né minimo (2p.). 4. Si trovi un potenziale per il campo f : R 2 \{(0, 0)} R 2 definito da f(x, y) := è conservativo (2p.) x y (x 2 + y 2 ) 2 i+ (x 2 + y 2 ) 2 j

2 5. Si risponda ai seguenti quesiti barrando la casella corretta (1 punto ciascuno) (a) Se G : R 3 R è una funzione di classe C 1 e se Ω := {(x, y, z) : G(x, y, z) < 0}, allora Ω = {(x, y, z) : G(x, y, z) = 0}. VERO FALSO (b) Se f : R N R è differenziabile in R N, allora f è continua in R N VERO FALSO (c) Se γ : [a, b] R 3 è continua, allora γ ha lunghezza finita. VERO FALSO (d) Se f : R 3 [, ] è integrabile, allora f è integrabile. VERO FALSO

3 Ingegneria Aerospaziale, Compito del 8 giugno PARTE B Cognome/Nome: 1. Si considerino f : R 2 R definita da f(x, y) := xy(x 2 y 2 ) e M := {(x, y) : x 1, y 1, xy 2}. Si trovino il massimo e il minimo di f su M (6p.) min f(x) =, max f(x) = x M x M Svolgimento

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5 2. Sia D := {(x, y, z) R 3 : 4 x 2 + y z 2 }. D è un dominio regolare a tratti ed è rappresentato di sotto: = + In particolare le figure a destra rappresentano la frontiera D scomposta nelle due superfici regolari S ed L. Sia inolte f : D R 3 il campo definito da: f(x, y, z) := z(y i x j + x 2 k) Rispettando la nomenclatura così introdotta si risponda ai seguenti quesiti. (a) Si scrivano analiticamente S ed L (0,5 p. a domanda) { } S = { } L = (b) Si scrivano le normali unitarie uscenti da D nei punti P 0 = ( 2, 2, 0) e P 1 = (1, 1, 1) (0,5+0,5p.): ˆν(P 0 ) = i + j + k ˆν(P1 ) = i + j + k (c) Si indichi quale delle seguenti figure rappresenta la corretta orientazione di Σ(S) quando su L si considera la normale uscente da D (0,5p.): (d) Si calcolino, facendo vedere i passaggi principali, i seguenti flussi: D f ˆν dσ = (3 p.) f ˆν dσ = S Svolgimento delle parte (d) (1,5 p.)

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7 3. Si consideri la seguente equazione differenziale lineare: x(4 x)y + 4(x 1)y 4y = 0 Si cerchino le soluzioni tra le serie di potenze centrate in zero, cioè y(x) = a n x n. In particolare: (a) Si trovi una relazione ricorsiva per gli a n (2p.): n=0 oppure (R) (b) Si dica, giustificando, se esiste una soluzione dell equazione tale che y(0) = 1 e se è unica (2p.). esiste unica esiste non unica non esiste (c) Si mostri che esiste un unica soluzione y tale che y (0) = y (0) = 48 e la si calcoli esplicitamente (2p.). X Svolgimento y(x) =

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9 4. al posto di questo esercizio svolgo quello alternativo essendo iscritto prima dell a.a Si consideri il sistema di equazioni differenziali: x = 3x 4y + 4z y = 2x 4y + 5z z = x 3y + 4z Chiamiamo A la matrice associata al sistema. (a) Diamo per buono che A ha un solo autovalore λ e siano m A ed m G le molteplicità algebrica e geometrica di λ. Allora (1p.): λ =, m A =, m G =. (b) Si trovi una base di autovettori generalizzati per Ae la relativa forma di Jordan(3p.): e 1 =, e 2 =, e 3 =, J = (c) Si scriva la soluzione del sistema con dato iniziale x(0) = 1, y(0) = 0 e z(0) = 0. (2p.) x(t) = y(t) = z(t) = Svolgimento

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11 Variante esercizio 3 della seconda parte: solo gli iscritti precedentemente al possono scegliere tra questo e il precedente. Si consideri l equazione differenziale y = x(x4 y 2 ) y(x 2 y 4 ) 1. Si dica per quali (x 0, y 0 ) vale il teorema di esistenza e unicità di Cauchy. Si trovino le eventuali soluzioni costanti e le zone dei punti (x 0, y 0 ) dai quali la soluzione parte con derivata positiva o negativa. Si riportino queste informazioni nel diagramma sottostante (1p.). 2. Si trovi un integrale primo per l equazione Φ (3p.). Φ(x, y) = 3. Si disegni nel diagramma della pagina precedente la soluzione y(x) tale che y( 3/2) = 3/2 (1p.); detto ]x, x[ l intervallo massimale su cui tale y è definita si ha (1p.): x = x = Svolgimento