Elementi di Teoria del Portafoglio

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1 Elementi di Teoria del Portafoglio Francesco Rania Department of Law, Economics and Sociology Magna Graecia University of Catanzaro November 21st 2018 Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

2 Sommario 1 Preliminari 2 3 Problemi del portafoglio Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

3 Preliminari Valore atteso, varianza, scarto quadratico medio Sia X = {(x i, p i ) : i I} una variabile aleatoria (v.a.) discreta di valori x i con probabilitá p i = P r(x = x i ). Si denisce valore atteso di X il seguente E[X] := i x i p i Si denisce varianza di X il seguente Var(X) := i (x i E[X]) 2 p i = E[X E[X]] 2 Si denisce scarto quadratico medio di X il seguente SQM(X) := Var(X) Theorem Var(X) = E[X 2 ] E[X] 2. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

4 Preliminari Esempio di valore atteso, varianza, scarto quadratico medio Sia X = {(1; 0.2), (2; 0.3), (3; 0.4); (4; 0.1)} una v.a. E[X] = = 2.4 Var(X) = (1 2.4) (2 2.4) (3 2.4) (4 2.4) = 0.84 oppure Var(X) = = 0.84 SQM(X) = 0.84 = Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

5 Preliminari Rappresentazione graca di una v.a. Una v.a. X = {(x i, p i )} è rappresentata dal punto (SQM(X); E[X]) M 4 Figura: Rappresentazione delle v.a. X (3; 2) e Y (8; 5) Osservazione Per denizione di E e SQM il piano SQM O E è formato da soli 2 quadranti: in alto e destra (+;+); in basso e a destra (+;-). Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

6 Preliminari Criterio media 1 varianza Date due v.a. X = {(x i, p i )} e Y = {(y j, p j )}, X domina Y (X Y ) se vale una delle seguenti relazioni: 1 E[X] E[Y ] e Var(X) = Var(Y ); 2 E[X] = E[Y ] e Var(X) Var(Y ). Attenzione Non si può dire nulla quando E[X] E[Y ] e Var(X) Var(Y ) 1 Per media qui si intende il valore atteso. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

7 Preliminari Esempio criterio media-varianza X Z Y 0.5 M Figura: Criterio mediavarianza Z Y perchè SQM(Z) = 1 < 2 = SQM(Y ); X Y perché E[X] = 2 > 1 = E[Y ]; tutte le v.a. nella zona grigia dominano X perché hanno media più grande e varianza (o scarto quad. medio) più piccola di X; non vi è alcuna dominanza tra X e Z. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

8 Preliminari Relazioni tra le v.a. Date le v.a. X e Y ed i numeri a e b reali si ha: Regole 1 E[aX + b] = ae[x] + b; 2 E[a] = a; 3 Var(a) = 0; 4 Var(aX + b) = a 2 Var(X); 5 E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]; 6 Var(aX+bY ) = a 2 Var(X)+b 2 Var(Y )+2abr(X, Y )SQM(X)SQM(Y ). Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

9 Preliminari Esempi di relazione tra v.a. Siano X = {(1; 0.3), (2; 0.2), (3; 0.5)}, Y = {(2; 0.4), (3; 0.6)}, a = 3 e b = 5 e r(x, Y ) = E[X] = 2.2; Var(X) = 0.76; E[Y ] = 2.2; Var(Y ) = Allora: 1 E[3X + 5] = = 11.6; 2 E[3] = 3; 3 Var(3) = 0; 4 Var(3X + 5) = = 6.84; 5 E[3X + 5Y ] = = 19.6; 6 Var(3X + 5Y ) = ( 0.74) = 3, 36. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

10 Rendimento di 1 titolo azionario a 1 data Un titolo azionario o titolo rischioso a è uno contratto nanziario che oggi ha un prezzo o quotazione P determinato (o certo) e che, a chi lo detiene, consentirà di ricevere al tempo successivo t un pagamento di ammontare incerto (o aleatorio) A t detto valore o prezzo di vendita del titolo alla data t. Si denisce rendimento del titolo azionario a il seguente [ ] µ (a) At P := E = E[A t] P = E[A t] P P P 1 2 Osservazione Il valore A del titolo azionario A a è una v.a. da cui anche la variazione t P percentuale di valore oggi P si ha il rendimento in percentuale. è una v.a. Da qui titolo rischioso. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

11 Volatilità di 1 titolo azionario a 1 data Si denisce volatilità del titolo azionario a il seguente ( ) ( ) A P A σ (a) := SQM = SQM P P 1 = 1 P SQM(A) 3 Ogni titolo azionario può essere raprresentato come un punto (σ (a), µ (a) ) nel piano cartesiano σ 0 µ di ascissa le volatilità e di ordinate i rendimenti. Dati due titoli azionari a 1 e a 2 diciamo che a 1 domina a 2 se vale almeno una delle regole del criterio media-varianza si ha la volatilità in percentuale. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

12 Esempio di rendimentovolatilità di 1 tit. azionario a 1 data Sia a = BuonThee un titolo azionario che oggi ha il prezzo P = 5.0AC e tra un anno avrà valore A = {(4.95; 0.50), (5.10; 0.30), (5.00; 0.20)}. Si calcolano dapprima il valore atteso e lo scarto quadratico medio di A: E[A] = = SQM(A) = = Il rendimento e la volatilità allora sono: µ (a) = 1 ( ) = ( 100) 0.1% 5 σ (a) = = ( 100) 1.3% 5 Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

13 Esempio di rendimentovolatilità di 1 tit. azionario a 1 data... Il titolo BuonThee è allora rappresentato dal punto (1.3; 0.1) nel piano σ O µ Figura: Titolo BuonThee Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

14 di 1 titolo azionario a n date Per ogni data di tempo t un titolo azionario a in vita avrà un valore A t e quindi rendimento µ (a) t e volatilità σ (a) t. Se il titolo a è osservato negli istanti t 1, t 2,..., t n allora avrà rispettivamente valori A t1, A tn,..., A tn, rendimenti µ (a) t 1, µ (a) t 2 volatilità σ (a) t 1, σ (a) t 2,..., σ (a) t n. Il rendimento di un titolo a in vita per gli istanti t 1, t 2,..., t n è µ (a) := 1 n µ (a) t n i = µ(a) t µ (a) t n 4 n i=1,..., µ (a) t n e La volatilità di un titolo a in vita per gli istanti t 1, t 2,..., t n è σ (a) := 1 n n 1 i=1 (µ (a) t i µ (a) ) 2 = (µ (a) t 1 µ (a) ) (µ (a) t n µ (a) ) 2 n è il rendimento percententuale è la volatilità percentuale Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

15 di 1 titolo azionario n date... Regola pratica In presenza di n date si ha: 1 il rendimento di un titolo azionario è la media aritmetica dei rendimenti ottenuti ad ogni data; 2 la volatilità di un titolo azionario è lo scarto quadratico medio corretto a,b dei rendimenti ottenuti ad ogni data. a Lo scarto quadratico medio corretto dierisce dallo scarto quadratico medio perché anzicché dividere per n si divide per n 1. b Si applica lo scarto quadratico medio corretto anzicché quello quadratico medio perché i dati considerati costituiscono un campione (piccolo) della popolazione. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

16 Esempio di rendimento-volatilità di 1 tit. azionario n date Il titolo azionario a =BuonThee ha i seguenti rendimenti trimestrali (2017) Trimestre Rendimento I -5.03% II +2.71% III +1.03% IV +0.46% Tabella: Rendimenti trimestrali di BuonThee Il rendimento e la volatilità di BuonThee sono allora: µ (a) 5.03% % % % = = % 4 ( 5.03% %)2 + (2.71% ) 2 + (1.03% ) 2 + σ (a) = +(0.46% ) % 3 BuonThee è allora il punto (3.354; ) del sistema σ O µ. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

17 Titoli non rischiosi Un bond o titolo privo di rischio 6 è un titolo che al tempo successivo t consentirà a chi lo detiene un valore o prezzo certo A t = N t. Osservazione 1 Un bond ha rendimento certo e volatilità nulla a. 2 Il rendimento di un bond è il tasso di interesse pattuito oggi per il periodo no alla data t µ (b) = N t P 1 = i(0; t) a Vedi Regola 2 e Regola 3 Preliminari. 6 In inglese è detto risk free. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

18 Esempio titolo non rischioso Sia b = Secure di quotazione 100AC e valore tra un anno di 105.5AC. Allora il rendimento e la volatilità sono: µ (EC) = = % σ(ec) = 0 0.0% Figura: Titolo Secure Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

19 Titoli rischiosi Vs Titoli non rischiosi Attenzione I titoli rischiosi si trovano dovunque nel piano σ O µ tranne che sull'asse verticale; I titoli non rischiosi si trovano esclusivamente sull'asse delle ordinate s -2-4 Figura: Titoli azionari Vs Titoli bond Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

20 Portafoglio Siano: n, m, T N; i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m, t = 1, 2,..., T ; a i il titolo azionario i-esimo di prezzo P (a) i e valore A it alla data t; b j il titolo bond j-esimo di prezzo P (b) j e valore N jt alla data t; Si denisce portafoglio π degli n + m titoli la seguente n + m-upla delle quantità π = (λ 1, λ 2,..., λ n, δ 1,..., δ 2, δ m ) R n+m dove λ i R è il numero di unità (o quote) del titolo azionario a i e δ j R è il numero di unità (o quote) del del titolo bond b j presenti nel portafoglio, Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

21 Portafoglio... Con riferimento ai soli titoli azionari per qualsiasi λ i si ha; λ i > 0 implica posizione long su a i ovvero acquisto e quindi entra nel portafoglio; λ i < 0 implica posizione short su a i ovvero vendita e quindi esce dal portafoglio; λ i = 0 implica l'assenza di a i nel portafoglio Theorem (Linearità del prezzo) Il valore A π e il prezzo P π del portafoglio π sono rispettivamente la somma dei valori e dei prezzi dei titoli azionari e dei titoli bond presenti secondo le quantità indicate, ovvero E[A π ] = n m λ i E[A i ] + δ j N j P π = i=1 j=1 n i=1 λ i P (a) i + m j=1 δ j P (b) j Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

22 Portafoglio... Se il prezzo del portafoglio P π è non nullo (cioè 0) il portafoglio può essere indicato come dove = P (a) i λ i π = (w (a) 1,..., w(a), w (b),..., w(b) n 1 m ) w (a) i è la quota percentuale di composizione o peso P π normalizzato del titolo azionario a i ; = P (b) i δ j w (b) j è la quota percentuale di composizione o peso P π normalizzato del titolo bond b j ; Osservazione E' evidente che n i=1 w (a) i + m j=1 w (b) j = 1. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

23 Esempio portafoglio con 2 tit. azion. e 1 tit. bond a 1 data Sia π il portafoglio con le seguenti caratteristiche: azione/bond label P A/N λ/µ BuonThee BT 5.00 (4.95;.50) (5.10;.30) (5.00;.20) 3 ExtChoc EC 3,70 (3.45;.30) (3.75;.70) 2 Secure S (105.5;1.00) 1 Tabella: Portafoglio π = (3, 2, 1) di BT, EC, S Il prezzo del portafoglio è P π = 5, , = 122.4AC Il valore (atteso) del portafoglio è E[A π] = E[A (BT) ] 3+E[A (EC) ] 2+N 1 1 = = AC I pesi normalizzati o quote percentuali di composizione sono: w (BT) = = w (EC) = = w (S) = = Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

24 Rendimento di un portafoglio a 1 data Sia π = (λ 1, λ 2,..., λ n, δ 1,..., δ 2, δ m ) un portafoglio con P π 0 per una sola data t. Si denisce rendimento del portafoglio la quantità µ π := E[A π] P π 1 Theorem Il rendimento del portafoglio è la media pesata dei rendimenti dei titoli in esso presenti, ovvero µ π = n i=1 w (a) i µ (a) i + m j=1 w (b) j µ (b) j Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

25 Esempio di rendimento di un portafoglio a 1 data Si consideri il portafoglio π = (3, 2) di BT e EC per una sola data t. Rendimento: Si procede con uno dei seguenti metodi. 1 Si calcolano dapprima il prezzo ed il valore del portafoglio P π = , 70 2 = 22.40AC Il rendimento è allora: µ π = 22, E[A π] = = AC 1 = % 2 Dopo aver ottenuto il prezzo del portafoglio (vedi sopra), si calcolano dapprima i pesi normalizzati e i rendimenti dei singoli titoli w (BT) = = 0.67; µ (BT) = = w (EC) = , 40 = 0.33; µ(ec) = = Il rendimento è allora: µ π = ( 0.011) 0.33 = % Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

26 Volatilità di un portafoglio con 2 tit. azionari ad 1 data Sia π = (λ 1, λ 2 ) un portafoglio con P π 0 per una sola data t. Si denisce volatilità del portafoglio π la seguente quantità σ π = (σ 1 w 1 ) 2 + (σ 2 w 2 ) 2 + 2w 1 w 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 7 dove ρ 1,2 := r(a 1, a 2 ) è la correlazione lineare tra i due titoli azionari a 1 e a 2. Caso generale Per la volatilità di un portafoglio a più titoli occorre conoscere tutte le correlazioni tra i titoli presi a due a due. Si ricorda che non vi è alcuna correlazione tra un titolo azionario e un titolo bond, ovvero r(a i, N j ) = 0 per ogni i = 1, 2,..., n e ogni j = 1,..., m. 7 E' la formula 6 delle relazioni tra le v.a. qui riscritta per a = w 1, b = w 2, X = a 1 e Y = a 2. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

27 Esempio di rendimento, volatilità di un portafoglio a 1 data Si consideri il portafoglio π = (3, 2) di BT e EC con r(bt, EC) = 0, 3 per una sola data t. Volatilità: Si calcolano dapprima le volatilità dei singoli titoli: σ (BT) = , = σ (EC) = = Successivamente dopo aver trovato i pesi normalizzati (vedi sopra), si calcola la varianza dei rendimenti del portafoglio σ 2 π = ( ) 2 + ( ) ( 0.34) = La volatilità del portafoglio è allora: σ π = = % Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

28 Rendimento, volatitlità di un portafoglio con 2 tit. azionari a T date Sia π = (λ 1, λ 2 ) un portafoglio con P π 0 perle T date. Siano {(σ 1t, µ 1t, ) : t = 1, 2,..., T } e {(σ 2t, µ 2t ) : t = 1, 2,..., T } rispettivamente la successione dei rendimenti e delle volatilità del titolo azionario a 1 e di a 2. Sotto l'assunzione che w 1 e w 2 siano costanti per le T date si hanno: Si denisce rendimento del portafoglio π la quantità µ = 1 T T (w 1 µ 1t + w 2 µ 2t ) t=1 Si denisce volatilità del portafoglio π la quantità σ π = 1 T (µ πt µ π ) 2 T 1 t=1 Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

29 Esempio di rendimento, volatilità di un portafoglio a T date e 2 titoli azionari Sia π = (0.30, 0.70) un portafoglio pesato di BT e EC costruito il 01 gennaio 2017 e in vita per i trimestri del Trimestre BT EC rendimento trimestrale I -5.03% II +2.71% III +1.03% IV +0.46% Tabella: Rendimenti trimestrali di BuonThee e ExtChoc Calcoliamo dapprima il rendimento mensile facendo uso dei pesi (vedi colonna nale della Tabella). Il rendimento del portafoglio π è µ π = = Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

30 Esempio di rendimento, volatilità di un portafoglio a T date e 2 titoli azionari... La volatilità del portafoglio è 1 σ π = 3 [( )2 + ( ) 2 + +( ) 2 + ( ) 2 ] = Osservazione Al medesimo risultato si perviene se si applica la seguente formula σ π = (σ 1 w 1 ) 2 + (σ 2 w 2 ) 2 + 2w 1 w 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 8, 9 8 La correlazione ρ1,2 è riferita ai dati trimestrali. 9 La covarianza σ1,2 = ρ 1,2σ 1σ 2 è corretta ovvero si divide per n 1. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

31 Problemi del portafoglio Scelta dei pesi di un portafoglio con 2 tit. azionari Problema Scelti due titoli azionari a 1 = (σ 1, µ 1 ) e a 2 = (σ 2, µ 2 ) con correlazione lineare ρ 1,2 trovare il portafoglio π di minima volatilità che li contenga. Soluzione Si tratta di trovare i pesi normalizzati w 1 e w 2 con w 1 + w 2 = 1 tale che la funzione variabilità σ 2 π = (xσ 1 ) 2 + ((1 x)σ 2 ) 2 2x(1 x)ρσ 1 σ 2 ammetta minimo per qualche x avendo posto w 1 = x. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

32 Problemi del portafoglio Scelta del portafoglio eciente Un portafoglio π = (σ π, µ π ) è detto eciente se non esiste altro portafoglio φ = (σ φ, µ φ ) che lo domini secondo il criterio mediavarianza. Esistono più portafogli ecienti 10 e l'insieme di essi è detto frontiera eciente. Problema Data una funzione di utilità u che ordini i portafogli secondo una preferenza soggettiva, trovare il portafoglio π eciente che procuri la massima soddisfazione. 10 Ricorda che il criterio media-varianza non è sempre applicabile. Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33

33 Problemi del portafoglio Scelta del portafoglio eciente... Soluzione Il processo scelta del portafoglio ottimo avviene attraverso due fasi: 1 determinare la frontiera eciente F; 2 risolvere il problema di ottimizzazione vincolata dove la funzione di utilità assume valore massimo per qualche portafoglio della frontiera eciente, ovvero u(π ) = max π F u(π) Francesco Rania (DLES) Elementi di Teoria del Portafoglio November 21st / 33