Il modello di struttura per scadenza della Banca Centrale Europea

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1 Il modello di struttura per scadenza della Banca Centrale Europea Claudio Pacati 10 novembre 2008 La Banca Centrale Europea (bce) pubblica 1 strutture per scadenza dei tassi di interesse dell euro con cadenza giornaliera, usando l estensione di Svensson [3] del modello di Nelson-Siegel [2]. La prima struttura per scadenza pubblicata è quella del 29 dicembre 2006, l ultimo giorno di borsa aperta di quell anno; da allora vengono pubblicate strutture per scadenza per ogni giorno del calendario target 2, calcolate a partire delle quotazioni sull EuroMTS dei titoli di Stato dell area euro. Giornalmente vengono calcolate e pubblicate due strutture per scadenza. Quella pricipale è stimata sui prezzi dei titoli di Stato con rating (Fitch) aaa, che assume il significato di struttura per scadenza risk-free dell area euro. Una seconda è calcolata a partire dai prezzi di tutti i titoli di Stato dell area euro. In entrambi i casi vengono considerati solo titoli denominati in euro, con poste deterministiche (titoli a cedola nulla e titoli a cedola fissa), vita a scadenza da 3 mesi a 30 anni, nominale emesso di almeno 5 miliardi di euro ed effettivamente scambiati quel giorno, con spread bid-ask non superiore ai 3 punti base. I prezzi considerati sono quelli di fine giornata (chiusura). 1. Il modello di Nelson-Siegel-Svensson Nel modello di Nelson-Siegel-Svensson (nss) la struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse al tempo t è modellata con la funzione δ(t, s) = β 0 + β 1 e s t s t 1 + β 2 e s t s t 1 + β 3 e s t 2, (1) 1 2 definita per s t e dove β k (k = 0,...,3) e k (k = 1, 2) sono parametri reali che soddisfano i vincoli di significatività β 0 > 0, β 1 > β 0, 1 > 0, 2 > 0. (2) Anche se, dati i parametri, la funzione δ(t, s) non dipende separatamente da t e da s ma solo dalla differenza s t, i parametri dipendono dalla data t di contrattazione e la struttura per scadenza risultante non è uniforme nel tempo. Il modello non fa però nessuna ipotesi sulla dipendenza da t dei parametri, cioè sulla loro dinamica temporale. In questo senso il modello di nss è un modello statico: descrive solamente la struttura per scadenza al tempo t e, a quella data, non fornisce informazioni su δ(t, s) per t > t. Dipartimento di Economia Politica, Università degli studi di Siena, pacati@unisi.it 1 Su 2 Vedi 1

2 2. Analisi della forma funzionale dell intensità istantanea di interesse Fissando una data di riferimento t e indicando con = s t, la (1) può essere scritta nella forma dove δ(t, t + ) = δ 0 (t, t + ) + δ 1 (t, t + ) + δ 2 (t, t + ) + δ 3 (t, t + ), (3) δ 0 (t, t + ) = β 0, δ 1 (t, t + ) = β 1 e 1, δ 2 (t, t + ) = β 2 e 1, δ 3 (t, t + ) = β 3 e 1 2 Questa scomposizione mostra come il grafico della funzione δ(t, t + ) sia la composizione (per somma) dei grafici delle quattro funzioni δ k (t, t + ) (k = 0,...,3), definite per [0, + ). Un semplice studio delle quattro componenti come funzioni della variabile mostra che 0) La funzione δ 0 (t, t + ) è costante al livello di β 0. 1) Ai bordi del dominio la funzione δ 1 (t, t+) vale δ 1 (t, t) = β 1 e lim + δ 1 (t, t+) = 0. Per β 1 < 0 è negativa, crescente e concava. Per β 1 > 0 è positiva, decrescente e convessa. Per β 1 = 0 è costante nulla. 2) La funzione δ 2 (t, t + ) si azzera agli estremi = 0 e +. Se β 2 > 0 è positiva per > 0, è crescente e concava per [0, 1 ), assume il suo massimo in = 1 dove vale β 2 /e, è decrescente e concava per ( 1, 2 1 ), ha un flesso in = 2 1, è decrescente e convessa per (2 1, + ). Se β 2 < 0 è negativa per > 0, è decrescente e convessa per [0, 1 ), assume il suo minimo in = 1 dove vale β 2 /e, è crescente e convessa per ( 1, 2 1 ), ha un flesso in = 2 1, è crescente e concava per (2 1, + ). Se β 2 = 0 la funzione è costante nulla. 3) L andamento della funzione δ 3 (t, t + ) è analogo a quello della funzione δ 2 (t, t + ), scambiando β 2 con β 3 e 1 con 2. L analisi delle componenti mostra l significato dei parametri ed il motivo dei vincoli. Poiché β 0 = lim δ(t, t + ), + il parametro β 0 è livello asintotico dell intensità istantanea di interesse. Poiché β 1 = δ(t, t) β 0 = δ(t, t) lim + δ(t, t + ), il parametro β 1 è lo spread tra il livello iniziale, che è lo spot rate, e il livello asintotico. I parametri 1 e 2 sono vita a scadenza critiche, in corrispondenza delle quali le componenti δ 2 (t, t + ) e δ 3 (t, t + ), rispettivamente, hanno i loro massimi o minimi assoluti, determinando dei possibili massimi o minimi locali ( gobbe ) nel grafico di δ(t, t+). Il parametro 1 assume anche il significato di reciproco della velocità di convergenza asintotica a zero della componente δ 1 (t, t + ): la funzione log δ 1 (t, t + ) è infatti per + un infinito negativo di ordine 1/ 1 ; poich e le componenti δ 2 (t, t + ) e δ 3 (t, t + ) sono infinitesime per +, 1/ 1 è anche l ordine di convergenza a log β 0 della funzione log δ(t, t + ). I parametri β 2 e β 3 determinano (insieme agli altri parametri) l altezza e il verso delle gobbe. 3 3 Si noti che le gobbe presenti nelle ultime due componenti componenti potrebbero non dare luogo a gobbe nella somma, come mostra il caso (estremo) in cui β 2 = β 3, 1 = 2, dove le gobbe presenti nei grafici di δ 2(t, t + ) e δ 3(t, t + ) si semplificano nella somma. 2. 2

3 La figura 1 riporta il grafico della funzione δ(t, t + ) e delle sue componenti, per i seguenti valori dei parametri: β 0 = , β 1 = , β 2 = , β 3 = , 1 = , 2 = , che corrispondono alla struttura per scadenza risk-free del 31/12/2007 pubblicata dalla bce. δ 0 (t, t+) δ 1 (t, t+) δ 2 (t, t+) 0.50 δ 3 (t, t+) δ(t, t+) Figura 1: Struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse e sue componenti (tempo in anni, intensità in base annua e in %) 3

4 3. Intensità di rendimento a scadenza e tassi di interesse La struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza a pronti nel modello di nss è data da h(t, t + ) = 1 0 δ(t, t + u)du = β β 1 1 e 1 ( 1 e + β e 1 ) La struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti è quindi Si osservi che i(t, t + ) = e h(t,t+) 1 1 e 1 β β 1 +β 2 = e ( 1 1 e 1 e 1 h(t, t) = δ(t, t) = β 0 + β 1, )+β 3 ( i(t, t) = e δ(t,t) 1 = e β 0+β 1 1, lim h(t, t + ) = lim δ(t, t + ) = β 0, + + ( 1 e + β e 2 e 2 lim i(t, t + ) = + elim + h(t,t+) 1 = e β ) e 2 ). (4) 1. (5) Nella figura 2 sono riportati i grafici delle intensità e dei tassi a pronti al 31/12/2007 (strutture risk-free) h(t, t + ) i(t, t + ) δ(t, t + ) Figura 2: Strutture per scadenza delle intensità istantanee di interesse, delle intensità di rendimento a scadenza e dei tassi di interesse a pronti (tempo in anni, intensità e tassi in base annua e in %) 4

5 4. Stima dei parametri Si assuma che, alla data t di riferimento, siano quotati gli n titoli x 1, x 2,..., x n, con prezzi P 1, P 2,..., P n. Se si indica con s = {s 1, s 2,...,s m } lo scadenzario comune, il vettore dei pagamenti contrattualmente previsti dal k-esimo titolo, ridefinito sullo scadenzario comune, è del tipo x k = {x k1, x k2,...,x km }. Nel modello di nss il fattore di sconto al tempo t per la scadenza s l è v(t, s l ) = e h(t,s l)(s l t) = e 1 e β s l t 1 1 e β 1 +β s l t 2 s l t 1 1 e s l t 1 1 e +β s l t 3 s l t 2 2 e s l t 2 (s s l t l t) ed è quindi funzione, oltre che della vita a scadenza s l t, dei parametri del modello. Si indichi con θ = {β 0, β 1, β 2, β 3, 1, 2 } il vettore dei parametri; per evidenziare la dipendenza dai parametri si indicherà il fattore di sconto v(t, s l ) con v l (θ). La metodologia di stima dei parametri del modello di nss è descritta in [1] e prevede che il vettore dei parametri stimati dai prezzi degli n titoli sia la soluzione del problema di ottimizzazione vincolata 1 min θ Θ n [ n P k k=1 2 m x kl v l (θ)], dove Θ è l insieme dei vettori di parametri che soddisfano i vincoli (2). Nella funzione obiettivo del problema la grandezza m l=1 x klv l (θ) rappresenta il valore al tempo t che assume il titolo k-esimo nel modello di nss con parametri θ. La differenza p k m l=1 x klv l (θ) è quindi la differenza fra il valore di mercato e il valore di modello, calcolato con i parametri θ. La funzione obiettivo è pertanto l errore quadratico medio mercato-modello. Si tratta quindi di una stima secondo il metodo dei minimi quadrati; poiché la dipendenza funzionale del fattore di sconto v l (θ) dai parametri θ non è lineare, si tratta di minimi quadrati non lineari. La tabella 1 riporta alcune statistiche descrittive dei parametri stimati dalla bce sui titoli di Stato aaa nel periodo 29/12/ /10/2008. Le figure 3 e 4 illustrano l evoluzione delle corrispondenti strutture per scadenza delle intensità istantanee di interesse e delle intensità di rendimento a scadenza, rispettivamente. l=1 Tabella 1: Parametri bce risk-free del modello di nss per il periodo 29/12/ /10/2008 min max mediana media dev. std. β β β β

6 6 Figura 3: Evoluzione della struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse risk-free 29/12/ /10/2008

7 7 Figura 4: Evoluzione della struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza risk-free 29/12/ /10/2008

8 Riferimenti bibliografici [1] bce, Technical Notes, [2] Nelson, C.R., Siegel, A.F., Parsimonious Modeling of Yield Curves, The Journal of Business, Vol. 60, No. 4 (1987), [3] Svensson, L.E., Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden , Centre for Economic Policy Research, Discussion Paper No (1994). 8