INDICE ALLEGATO 1: analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo generale ALLEGATO 2:

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2 INDICE 1. INTRODUZIONE pag RIFERIMENTI NOMATIVI pag STRUTTURA GEOLOGICA DEL SITO pag PROGETTO DELLE INDAGINI GEOGNOSTICHE pag MODELLO GEOTECNICO DEL SITO pag ANALISI GEOTECNICA GLOBALE AGLI SLU / SLE pag ANALISI GEOTECNICA DELLE FONDAZIONI AGLI SLU pag. 11 ALLEGATO 1: ALLEGATO 2: ALLEGATO 3: ALLEGATO 4: ALLEGATO 5: ALLEGATO 6: analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo generale analisi ad elementi finiti: modalità di calcolo in funzione dei parametri geotecnici dei terreni analisi ad elementi finiti: modalità di calcolo in funzione dei valori caratteristici dei terreni analisi ad elementi finiti: spostamenti nodali in condizioni statice analisi ad elementi finiti: spostamenti nodali in condizioni sismice analisi ad elementi finiti: grafici di analisi * * * * 1

3 1. INTRODUZIONE I fenomeni sismici connessi con l evento del 6 aprile 2009 anno causato il collasso parziale della sede stradale dell unica strada comunale di accesso alla Frazione di Castiglione della Valle del Comune di COLLEDARA (TE), oltre a numerosi danni agli edifici del borgo stesso, tanto da necessitare di un ordinanza sindacale di divieto di transito al traffico sia veicolare e sia pedonale. Figura 1: vista panoramica della sede stradale collassata. Da un sopralluogo effettuato unitamente agli amministratore comunali è emersa la necessità di ripristinare in tempi brevi la suddetta viabilità, stante ance l urgenza di eseguire la messa in sicurezza della frazione di Castiglione della Valle ce riciederà il transito di mezzi meccanici. Nella presente relazione geotecnica vengono quindi illustrate le modalità di calcolo del progetto di consolidamento, ce prevede, oltre alla risagomatura della sede stradale collassata, ance la realizzazione di opere flessibili di sostegno con gabbionate a tre file, come meglio rappresentato negli elaborati grafici in allegato. L intervento è infine completato dalla regimazione delle acque superficiali drenate dalla strada, mediante ripristino della funzionalità dei sistemi di smaltimento pubblico. 2

4 2. RIFERIMENTI NORMATIVI MINISTERO DEI LAVORI PUBBLICI Decreto 14 gennaio 2008 Norme tecnice costruzioni - paragrafo 3.2, azione sismica - paragrafo 6, progettazione geotecnica. 3. STRUTTURA GEOLOGICA DEL SITO Dalla lettura dello studio geologico del sito, ed in particolare dall analisi della sezione stratigrafica, è emersa una conformazione geologica del sito caratterizzata dalla presenza di terreni di copertura (depositi colluviali) di spessore variabile e di natura granulometrica sostanzialmente fine (limi ed argille con sabbia subordinata), in relazione alla tipica morfologia e morfometria di tali depositi; gli stessi risultano poi sovrastare il substrato roccioso, appartenente alla Formazione della Laga, il quale è localmente rappresentato da litotipi marnosi sovrastante quelli arenacei lungo un passaggio stratigrafico ubicato poco a valle della sede stradale. Il modello geomorfologico del sito prevede la presenza di un pendio di acclività variabile, da media ad alta, con una evoluzione topografica corrispondente alla passaggio stratigrafico all interno della formazione di base e in funzione della differente rigidezza manifestata dai litotipi marnosi rispetto a quelli arenacei, così come meglio evidenziato nella figura 2. Per quanto concerne l azione delle acque sotterranee occorre evidenziare ce durante i diversi sopralluogi e rilievi è stata individuata la presenza di una falda persistente ubicata all interno delle colluvioni, per soglia di permeabilità dettata dalla presenza delle argille e limi OC del substrato roccioso tipicamente caratterizzati da una bassissima permeabilità relativa tanto da poter essere assimilati a dei veri e propri acquicludi. Infine, da un punto di vista sismico non sono stati rilevati elementi strutturali di particolare pericolosità, se non limitati agli ed effetti puramente topografici ai quali attribuire possibili fenomeni di focalizzazione delle onde sismice in relazione alla 3

5 variazione topografica corrispondente all incirca alla sede stradale oggetto di consolidamento. Figura 2: sezione stratigrafica con profilo geotecnico (scala 1:200). 4. PROGETTO DELLE INDAGINI GEOGNOSTICHE La definizione di una corretta progettazione delle indagini geognostice è passata attraverso l analisi del modello geologico del sottosuolo, ed in particolare delle informazioni morfologice e morfometrice emerse durante la fase di studio geologico preliminare dell area. 4

6 In questo modo, con particolare riferimento alla descrizione della natura geologica del sito, ce mostra diffusi affioramenti del substrato roccioso nella zona di preminente interesse, è stato possibile evitare, stante ance l urgenza dell intervento, ulteriori indagini geognostice utilizzando: 1) l analisi geomeccanica dell ammasso roccioso limitata ai litotipi arenacei del substrato roccioso, per i cui approfondimenti si rimanda alla relazione geologica allegata al progetto di consolidamento; 2) i risultati di studi scientifici relativi al comportamento meccanico dei litotipi marnosi del substrato roccioso, con particolare riferimento a Il contributo della geotecnica nella comprensione dei dissesti storici dell abitato di Campli (Di Francesco et. ali, XXII Convegno Nazionale di Geotecnica AGI 2004, Palermo); 3) una definizione statistica dei parametri relativi ai depositi colluviali, stante la modesta influenza degli stessi nei confronti del dissesto in atto. In questo modo è stato possibile definire il modello geotecnico illustrato nella figura 2 per i cui approfondimenti si rimanda al paragrafo successivo. 5. MODELLO GEOTECNICO DEL SITO La lettura dei parametri geotecnici espressi nella figura 2 e contenuti nella seguente tabella 1: Tabella 1: parametri geotecnici Terreni γ n E c φ (kn/m 3 ) (kpa) (kpa) ( ) Depositi colluviali fini Substrato arenaceo Substrato marnoso riciede alcune riflessioni relative alla loro determinazione: 1) i valori utilizzati nella caratterizzazione delle arenarie sono inferiori rispetto a quelli derivanti dall analisi geomeccanica dell ammasso roccioso; in questo modo è stato tenuto conto sia della loro possibile variabilità statistica, derivante da differenti stati di fratturazione e/o giaciturali, e sia del loro stato di alterazione superficiale ce raggiunge spessori metrici tipici. 5

7 2) Allo stesso modo i parametri geotecnici delle marne sono inferiori a quelli derivanti dalle prove di laboratorio illustrati nei riferimenti bibliografici indicati, al fine di tenere conto delle medesime condizioni di cui al punto precedente; 3) Infine i parametri di resistenza delle colluvioni anno tenuto conto del loro stato di parziale saturazione, stante la presenza di una falda stagionale con sovrastante frangia capillare e zona di aerazione; tutti elementi ce conducono all esistenza di una coesione intercetta ance per terreni a grana fine NC, in funzione della forza di serraggio interparticellare alla quale attribuire valori non nulli di c. Una volta definito il profilo geotecnico è stato ance possibile individuare i valori caratteristici da applicare nelle analisi agli SLU, così come riciesto dalle nuove NTC al paragrafo 6 (progettazione geotecnica) mediante l utilizzo di un coefficiente riduttore pari a 1.25 (ce si ricorda essere unitario nel caso del peso di volume): Tabella 2: valori caratteristici Terreni γ n E c φ (kn/m 3 ) (kpa) (kpa) ( ) Depositi colluviali fini Substrato arenaceo Substrato marnoso ANALISI GEOTECNICA GLOBALE AGLI SLU / SLE Al fine di poter meglio comprendere il comportamento dell insieme terreno-struttura di progetto è stata eseguita un analisi numerica del problema modellando il complesso con il metodo matematico degli elementi finiti (FEM), il quale permette la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali di secondo grado alle derivate parziali (ved. relazione di calcolo in allegato 1). A tale scopo è stato utilizzato un codice numerico, implementato in un software applicato alla meccanica delle terre e delle rocce ed alla valutazione dell interazione terreno-struttura (versione ottobre 2006), sviluppato dai ricercatori dell Università di Lausanne (Svizzera) con il supporto finanziario della Commissione per le Tecnologie e le Innovazioni (CTI) ed in collaborazione con il Laboratorio di Strutture e Meccanica del Continuo dell Università di Losanna, l Istituto di Tecnologia di Losanna, il Laboratorio di Meccanica delle Rocce ed il Laboratorio di Meccanica delle Terre di Cracovia. 6

8 L impostazione di funzioni di esistenza temporali a permesso la simulazione degli step esecutivi e quindi la ricostruzione della storia tensionale e deformativa; gli step principali di calcolo sono quindi stati: 1. analisi dello stato tensionale geostatico in presenza delle gabbionate e dei carici di progetto; 2. simulazione dell analisi limite globale a rottura sia in condizioni statice e sia sismice; 3. analisi della resistenza a rottura della fondazione nei confronti dei carici verticali (rottura per compressione) ed orizzontali (rottura per scivolamento). Per quanto concerne le analisi sismice è stato introdotto l accelerogramma relativo alla componente Nord (deconvoluta) del terremoto del ore con epicentro Colfiorito, non essendo ancora noto l accelerogramma relativo all evento del 6 aprile 2009 e costituendo entrambi tipici esempi di terremoti appenninici. TERREMOTO DI COLFIORITO: COMPONENTE NS Tempo (sec) Accelerazione (cm/secq) Figura 3. time istory del terremoto di progetto. Da un punto di vista della modellazione matematica, i criteri di snervamento adottati sono stati i seguenti: a) per i terreni colluviali ed il litotipo marnoso della Formazione della Laga è stato utilizzato il modello Drucker-Prager (elastico non lineare perfettamente plastico), la cui superficie di snervamento è rappresentata, nello spazio degli sforzi principali (σ 1 > σ 2 > σ 3 ), da un cono il cui asse è passante per il punto di origine; b) gli elementi strutturali (gabbionate) noncé il terreno costituente il rinfianco ed il corpo stradale sono stati simulati con la teoria dell elasticità non lineare, al fine di 7

9 non obliterare il reale punto di vista relativo alle analisi di cui ai precedenti punti 2 e 3 ; c) le arenarie stratificate e fratturate del substrato sono state modellate come un materiale multisuperficie (Modello Multilaminate), con la matrice assimilata ad un mezzo elastoplastico tipo Hoek-Brown mentre gli strati ed i giunti esibiscono un comportamento attritivo alla Coulomb. Nel modello proposto sono stati introdotti 2 piani di scivolamento variamente orientati (α i inclinazione degli strati e dei giunti), ognuno dei quali rimane fisso nello spazio ed è caratterizzato da una coesione c i un angolo di attrito φ i come da tabella 1 noncè un angolo di dilatanza ψ i = 15 ; d) il calcolo è stato eseguito tenendo conto dell accoppiamento delle tensioni (in condizioni di deformazione piana); inoltre i parametri tensionali sono positivi in trazione e negativi in compressione, mentre i parametri deformativi sono positivi in sollevamento e negativi in cedimento. e) Infine il calcolo è stato impostato in quattro fasi matematice: determinazione dello stato tensionale nei nodi mediante risoluzione delle equazioni statice al contorno di Caucy; imposizione di un legge costitutiva per ognuno dei geomateriali utilizzati; analisi Lagrangiana delle deformazioni; risoluzione delle equazioni di compatibilità o congruenza delle deformazioni (ved. allegato 1). Relativamente al punto 3 occorre ance considerare ce, mentre le superfici di stratificazione anno rispettato la geometria reale mostrata nella sezione stratigrafica allegata alla relazione geologica ed alla figura 2 della presente, le fratture sono state simulate con inclinazione di 30 rispetto all orizzontale e con giacitura a franapoggio, al fine di rispettare eventuali condizioni di massima criticità; ciò a comportato, come visibile nei grafici relativi all analisi limite globale di cui all allegato 6, ce utilizzando i valori caratteristici previsti dalle nuove NTC si manifesta una doppia condizione di rottura inerente sia l insieme gabbionate corpo stradale e sia le sottostanti arenarie con formazione di un cuneo di espulsione. La formulazione della non-linearità del problema meccanico è stata risolta mediante l adozione dello scema iterativo di Newton-Rapson modificato il quale, rispetto allo scema iniziale di Newton-Rapson, consente un onere computazionale minore. Di fatti, l utilizzo nella linearizzazione della funzione della stessa pendenza per ogni 8

10 iterazione permette di evitare di dover ricostruire la matrice dello Jacobiano e di operare la sua fattorizzazione ad ogni passo. La procedura seguita è stata la seguente: 1. inizializzazione vettore soluzione X 2. valutazione dello Jacobiano 3. decomposizione dello Jacobiano 4. ciclo di Newton-Rapson modificato (n volte) 5. convergenza raggiunta entro le iterazioni previste? a. SI termine operazioni b. NO torna al passo 2 Per la valutazione della convergenza del sistema è stato impostato il controllo della norma euclidea, della norma relativa all incremento di energia e della norma relativa all energia totale, secondo il seguente scema: F ext n+ 1 F ext n+ 1 F int( i+ 1) n+ 1 F int n 10 2 Δ Δ S ( i+ 1) S ( i) F ( i+ 1) F ( i) En+ 1 ΔEn ΔEn+ 1 ΔEn S ( i= 2) F ( i= 2) ΔEn+ 1 ΔEn+ 1 S ( i+ 1) S ( i) F ( i+ 1) F ( i) En+ 1 ΔEn ΔEn+ 1 ΔEn S F ΔEn ΔEn dove F è la fase fluida ed S quella solida. Occorre poi precisare ce, com è noto nella meccanica delle terre, a differenza di quanto accade nella maggioranza dei problemi di Ingegneria Strutturale nei quali lo stato tensionale indotto dal peso proprio delle strutture è trascurato (o inglobato nei carici esterni), la non linearità del legame costitutivo dei terreni a imposto di mettere in conto lo stato tensionale dovuto al peso proprio degli stessi, conducendo all introduzione di tutti i calcoli attraverso la determinazione dello stato tensionale geostatico (punto a ad inizio paragrafo). Occorre ance precisare ce, trattandosi di un problema al contorno caratterizzato da condizioni tempo-indipendenti, le scansioni temporali adottate negli step di calcolo sono da considerare puramente fittizi e non necessariamente devono corrispondere alla possibile durata delle varie fasi esecutive. 9

11 Per la determinazione del fattore di sicurezza, rispetto alla rottura globale dell insieme terreno struttura, è stata eseguita un analisi limite adottando un algoritmo di calcolo denominato C-φ REDUCTION ALGORITHM il quale impone le seguenti equazioni: SF ( C + σ ' tanφ) dγ τ dγ = Γ s Γ i i C = C SF i tanφ = (tanφ) s SF i s s valutando quindi costantemente la resistenza al taglio disponibile con quella mobilitata per tutti i nodi costituenti la mes, tenendo conto ance del fenomeno della rottura progressiva. Rimandando al paragrafo successivo per l analisi dei dati relativi al comportamento delle fondazioni, i risultati della verifice di stabilità (punto b ) anno fornito i seguenti coefficienti di sicurezza: - F S = 1.8 in condizioni statice, - F S = 1.36 in condizioni sismice, entrambi svolte utilizzando la combinazione dei coefficienti parziali A 2 + M 2 + R 2 prevista dalle nuove NTC. Quindi, considerato ce valgono: - A 2 = 1.0 per i carici permanente non strutturali, - M 2 = 1.25 per tutti i parametri geotecnici con esclusione del peso di volume, - R 2 = 1.1 per la definizione della resistenza globale del sistema, Si a: Rd Fs - = = E R d 2 ce denota una riserva di resistenza minima del sistema del 24% rispetto alla rottura, ritenuta ampliamente soddisfacente per garantire la vita utile nominale dell intervento. Per quanto concerne il comportamento sotto sisma rispetto agli SLE i risultati della simulazione anno dimostrato spostamenti orizzontali e verticali delle gabbionate prossimi rispettivamente a circa 12 ed 8 millimetri (vedere grafici di cui all allegato 6), ritenuti ance in questo caso perfettamente compatibili con l integrità dell opera di consolidamento. 10

12 7. ANALISI GEOTECNICA DELLE FONDAZIONI AGLI SLU L importanza dell assunzione del metodo agli elementi finiti nell analisi geotecnica dell opera di sostegno deriva dalla possibilità di poter eseguire una verifica a 360, capace cioè di individuare la condizioni e la geometria di collasso di ogni punto della mes costruita consentendo pertanto di analizzare con dettaglio ogni singolo possibile cinematismo; in questo modo, oltre ad in individuare il fattore di sicurezza rispetto alla rottura globale dettagliato nel paragrafo precedente, è stato ance determinato la massima tensione di contatto distribuita dalla gabbionata sui terreni di fondazione: kpa, la quale costituisce pertanto il valore di E d previsto dalle NTC. Nel dettaglio, per quanto concerne la verifica geotecnica della fondazione della gabbionata, secondo le metodologie di analisi agli SLU previste dalle nuove NTC, sono stati applicati l Approccio 1 combinazione 2 e l Approccio 2 combinazione 1, ognuno dei quali con una differente combinazione degli effetti dell azioni di progetto, dei valori caratteristici dei terreni e delle resistenze globali. Nel contempo, al fine di addivenire al carico di collasso per compressione, è stata seguita una filosofia di analisi basata sull applicazione di un carico uniformemente distribuito di 10 kn/m 2 e di una legge di incremento lineare fino al raggiungimento delle condizioni limite ultime. I risultati anno mostrato i seguenti valori del carico di collasso (ved. grafici di analisi in allegato 6): kpa, calcolato secondo l Approccio 1 combinazione 2; kpa applicando l Approccio 2 combinazione 1. In questo modo risultano le seguenti azioni valide per carici permanenti sfavorevoli: - Approccio 1 combinazione 2: A 2 = kpa 1.0 = kpa; - Approccio 2 combinazione 1: A 1 = kpa 1.3 = kpa. Confrontando infine i risultati si ottiene: a) Approccio 2 combinazione 1: R d = kpa > E d = kpa; b) Approccio 2 combinazione 1: R d = kpa > E d = kpa. ovvero entrambi le verifice condotto con metodi semiprobabilistici sono risultate rispettate. 11

13 ALLEGATO 1 : ANALISI AD ELEMENTI FINITI: relazione di calcolo generale

14 Analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo Per l analisi geotecnica è stato utilizzato il metodo di calcolo agli elementi finiti, basato sulla soluzione di sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali. Esso discretezza il mezzo continuo, gli attribuisce un numero finito di gradi di libertà e in un secondo tempo impone le leggi di conservazione (di massa ed energia) e di calcolo. Gli algoritmi gestionali e di calcolo implementati in un software sono suddivisi in tre fasi distinte: 1. preprocessore 2. processore 3. postprocessore Nel preprocessore è stata assemblata la mes (griglia), la cui complessità a dovuto tenere conto della geometria del problema. In esso è stata inserita la stratigrafia, le opere di contenimento (gabbionate), sono state impostate le leggi di variazione dei carici, le condizioni idraulice al contorno, i carici statici derivanti dal traffico veicolare ed i carici sismici. La mes è stata realizzata con elementi quadrati e/o triangolari, uniti tra di loro da nodi e linee; i nodi costituiscono i punti di calcolo, le linee le leggi costitutive impostate ed utilizzate. Inoltre ogni elemento di calcolo contiene ance 4 punti gaussiani, per cui avendo utilizzato elementi quad isoparametrici, per ogni quadrato i punti complessivi di calcolo sono stati 8. Per la simulazione delle varie condizioni pertinenti ai processi fisici osservati o attesi, sono state impostate leggi matematice lineari, quadratice, parametrice o ancora più complesse, le cui variabili anno rappresentato le caratteristice dei geomateriali, l idraulica del sottosuolo, i carici, il tempo ecc. È importante notare ce nel preprocessore sono stati associati i materiali ad ogni elemento noncé tutte le leggi di variazione. Infine la mes è stata completata con l imposizione dei vincoli cinematici. Questo percé altrimenti la mes, sotto l azione della forza di gravità ce simula lo stato tensionale geostatico, autocollasserebbe impedendo quindi ulteriori calcoli, dal momento ce i metodi ad elementi finiti utilizzano il metodo della convergenza ovvero della divergenza. Di fatti, com è noto nella meccanica delle terre, a differenza di quanto accade nella maggioranza dei problemi di Ingegneria Strutturale in cui lo stato tensionale indotto dal peso proprio delle strutture è trascurato (o inglobato nei carici esterni), la non linearità del legame costitutivo dei terreni impone di mettere in conto lo stato tensionale dovuto al peso del terreno. Sui limiti laterali verticali della mes sono stati imposti vincoli a cerniera mobile, poicé sono impediti gli spostamenti orizzontali, ma non quelli verticali e le rotazioni. Di conseguenza le condizioni cinematice sono: n 1 vincolo (traslazione X) e n 2 gradi di libertà (traslazione Y e rotazione). Sul limite inferiore orizzontale sono stati imposti vincoli a cerniera, consentendo quindi la sola rotazione delle linee costituenti la mes. Le relative condizioni cinematice sono: n 2 vincoli (traslazione X e Y) e n 1 grado di libertà (rotazione). Tutti gli altri nodi della mes sono soggetti a 3 gradi di libertà (traslazione X, traslazione Y e rotazione). Gli elementi utilizzati nel preprocessore sono: 1. quadrati per la mes relativa al terreno; 2. elementi strutturali (beam) ai quali associare carrelli o cerniere o incastri e soggetti a sforzi M, N e T; 3. filtri direzionali per la simulazione delle fasi di drenaggio della falda. 1

15 Analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo Nel seguito, in relazione all estrema complessità dei sistemi di equazione utilizzati ce non consente una completa trattazione matematica del problema, vengono introdotte solo alcune delle equazioni utilizzate, relative alla legge di Darcy sulla quale si fonda l analisi dell idrodinamica di falda per condizioni di flusso laminare, in condizioni di falda in quiete, in regime di filtrazione stazionaria o transitoria: * * * * Mezzi bi-fase saturi Viene applicato il seguente set di equazioni: legge di equilibrio in termini di tensioni totali: tot σ ij, j + b i = 0 dove tot σ ij è la componente dello sforzo totale e b i è la componente vettoriale delle forze di massa legge di equilibrio in termini di tensioni efficaci secondo il concetto di Terzagi (gli sforzi di trazione sono positivi): tot ij σ = σ + δ p ij ij dove σ ij è la componente del tensore di sforzo efficace, p è la pressioni interstiziale, δ ij è il delta di Kronecker; I1 = σ kk, J 1 2 = ij 2 s ij s, con σ kk sij = σ ij δij, sono gli invarianti associati alle condizioni di 3 sforzo efficace. Si omette lo sviluppo dei singoli invarianti. la legge di continuità è garantita da: F n F &ε kk + div ( v ) p& = Q F K dove F ε& denota la velocità di deformazione volumetrica dello sceletro solido, ( v ) kk div il divergente F della velocità del fluido, n la porosità e K il modulo di bulk del flusso. una legge costitutiva elasto-plastica per la fase solida, espressa in termini di velocità è la seguente e p 1 & σ ij = Dijkl (& ε kl & ε kl ) con ε ij = ( u i, j + u j, i ) 2 da cui la legge di Darcy : v F i p = k ij F γ + z, j le condizioni limite al contorno sono: trazione su Γ t : σ spostamenti si Γ u : ij n j = t u = u, and Γ = Γ t + Γ u flusso su Γ q : F vi ni = q pressione interstiziale su Γ p : le condizioni iniziali sono: u = 0) = i ( t t ui0 p = p, and Γ = Γ q + Γ p 2

16 Analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo 3 0 0) ( p t t p = = Dipendendo dal tipo di analisi, possono essere risolte con continuità solo le condizioni di equilibrio o di equilibrio accoppiato o disaccoppiato. Formulazione di Galerkin (GLS) per mezzi bifase Una formulazione discreta può essere ottenuta usando l applicazione del calcolo differenziale. [ ] ( ) ( ) 0 ) ( ),, ( 1 = Γ Ω Ω + = Ω Γ Ω d d d p R T e u T e u e p T T T e f t w N f w N p 1N B σ B w w u dove B definisce la relazione deformazioni-spostamenti nella forma usuale di: ( ) e Bu u ε = La forma discretizzata dell equazione di continuità del flusso della fase fluida può essere scritta nel seguente modo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ),, ( 2 = Ω Γ + Ω Ω Ω = Ω Γ Ω Ω Ω d Q qd d K n d d q p R F T e p T e p T e p F T e p F T e p T T e p f q q N q N p N q N v q N u ε 1 q N u & & Tali equazioni possono essere scritte ance in una forma combinata tipo: 0,, 2 1 = Δ = ) q,p ( R t ),p ( R ),q,p, ( R f f f u w u w u θ dove f R 2 è stato premoltiplicato per un fattore t Δ θ, dove θ è un coefficiente di integrazione algoritmica e t Δ il tempo incrementale. Tecnice di stabilizzazione La formulazione della discretizzazione variazionale modificata appare quindi nella forma: 0,,, 2 1 = + Δ = ),q,p, ( R ) q,p ( R t ),p ( R ),q,p, ( R GLS f f f f w u u w u w u θ la quale deve essere soddisfatta per ogni step di calcolo. A questo punto può essere introdotto il seguente termine basato solo sul residuo dell equazione dei continuità del flusso della fase fluida:

17 Analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo R Nel f, GLS & ε e= 1 e Ω & ε kk kk ( u, w,p,q ) = ( w ) T 1 F e ( u ) + k p k z cp& Q dω γ F 1 + F γ T * k q cq& τ Nella parte ponderale il termine T k z è omesso poicé l elevazione z per problemi geometricamente lineari rimane invariata. Il fattore scalare * τ a il significato di un fattore di stabilizzazione. L equazione matriciale ce deriva dalle precedenti equazioni sfocia in una formulazione mista la quale comporta gli spostamenti e la pressione interstiziale quali variabili principali. * * * * Nel caso specifico del diaframma progettato, le impostazioni nel preprocessing sono state le seguenti: 1. analisi 2D in condizione di deformazione piana 2. numero di nodi utilizzati: numero di elementi quad: numero di elementi beam: numero di vincoli cinematici totali del sistema: numero di cerniere mobili: numero di cerniere fisse: numero di gradi di libertà del sistema: 3187 Nel processore sono stati eseguiti i calcoli, avendo avuto l accortezza di impostare preliminarmente i dati di analisi. Per prima cosa è stato necessario stabilire le procedure di calcolo per un sistema bifase (terreno + acqua), quindi è stata impostata la procedura di analisi dello stato tensionale geostatico ed infine le varie tipologie di calcolo. Ogni calcolo è stato svolto secondo la seguente procedura matematica: 1. calcolo dello stato tensionale geostatico mediante risoluzione delle equazioni statice al contorno o equazioni di Caucy, ovvero equazioni indefinite di equilibrio alla traslazione, alle quali vanno inoltre aggiunte le equazioni di equilibrio alla rotazione; in tal modo risulta definita in modo univoco l analisi dello stato di sforzo: di nuovo per i terreni, a causa della marcata non-linearità del comportamento tensodeformativo, è stato necessario dapprima determinare le tensioni verticali, orizzontali e di taglio, il livello di sforzo e le pressioni interstiziale. Ciò è avvenuto tramite il calcolo tensoriale determinando gli invarianti dei tensori di tensione di 1, 2 e 3 (I 1, I 2 e I 3 ) suddivisi nella componente volumetrica e deviatorica. Tale stato è risultato quindi indeformato e di riferimento per tutte le procedure successive. In particolare le equazioni di Caucy sono equazioni derivate dalla meccanica del continuo e comunemente utilizzate in ingegneria strutturale. Esse prendono origine dall analisi dello stato di sforzo puntuale ce, nello spazio 3D, comportano 6 componenti di sforzo assiale e 3 componenti di sforzo tagliante, arrangiate in notazione matriciale. Ne risulta infine un sistema di 6 equazioni di cui quelle per l equilibrio alla traslazione sono le seguenti: 4

18 Analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo σ x x τ yx + y τ + z zx + ω = 0 x τ yx x σ y + y τ yx + z + ω = 0 y τ x zx τ xy + y σ z + z + ω = 0 z 2. Imposizione delle leggi costitutive (leggi di comportamento tensodeformativo) in relazione del tipo e complessità del terreno, al percorso di carico, della storia geologica e tensionale precedente ecc. Le leggi utilizzate sono state: la legge elastica di Hooke in campo non lineare, per la simulazione del comportamento della massicciata stradale, delle gabbionate e del materiali di riempimento; teoria elasto-plastica non lineare di Drucker-Prager per i terreni colluviali ed i litotipi marnosi della Formazione della Laga; Multi-Laminate per i litotipi arenacei della Formazione della Laga. Nei casi di formulazioni elasto-plastice la prima componente è stata ottenuta a partire dalla legge di Hooke per mezzi trasversalmente isotropi (es. un deposito orizzontale infinitamente esteso lateralmente con piano ed asse di simmetria come nel caso di accumuli marini) associando uno scema iterativo definito di Newton-Rampson modificato; la relazione tra lo sforzo e la deformazione, ottenuta tramite le costanti E, G e K (elastica, tangenziale, volumetrica) connesse mediante il coefficiente di Poisson, sono servite per assemblare la matrice di rigidezza, ce viene quindi ad essere associata ad ogni nodo della mes. La deformazione plastica è funzione della teoria di calcolo la quale considera, nel piano deviatorico (q p ), un limite di snervamento rappresentato da una curva ce intercetta l asse delle ordinate a seconda del valore della coesione intercetta. Poicé tale teoria riguarda la plasticità perfetta, nel momento in cui lo stato tensionale raggiunge la curva limite, il punto deve muoversi su tale limite, determinando quindi un aumento delle deformazioni plastice. Ovviamente al di fuori di tale curva non esistono punti fisici possibili, poicé si violerebbe la condizione di rottura e si genererebbero aumenti di energia (condizione termodinamicamente impossibile). Viceversa ogni calcolo deve tenere simultaneamente conto del bilancio di massa e di energia per non diventare termodinamicamente inaccettabili 3. Analisi Lagrangiana delle deformazioni (mediante equazione caratteristica del tensore di deformazione o equazione secolare di Lagrange), ance se tale calcolo avviene simultaneamente a quello precedente essendo tensodeformativo. Le equazioni sono in pratica le stesse solo ce risultano basate sugli invarianti dei tensori di deformazione di 1, 2 e 3 ordine (J 1, J 2, J 3 ), sempre suddivisi nella componente volumetrica e deviatorica. 4. Infine, dal momento ce le incognite superano il numero di equazioni disponibili, è stato necessario impostare e risolvere le cosiddette equazioni di compatibilità o congruenza delle deformazioni, ce permettono di trasformare le deformazioni in spostamento (x,y,z e rotazione): 2 ε x 2 y 2 ε y 2 z 2 ε y 2 + x 2 ε z 2 + y 2 γ xy = x y 2 γ yz = y z 5

19 Analisi ad elementi finiti: relazione di calcolo 2 ε z 2 x 2 ε x 2 + z 2 γ xz = x z * * * * La procedura è valida sia per i terreni ce per tutti gli altri elementi utilizzati. Una volta impostati i dati relativi ai geomateriali, sono state impostate le funzioni di esistenza e di carico al fine di simulare le sollecitazioni derivanti dal traffico veicolare e da quelle sismice. * * * * Terminata la fase preliminare è stata attivata la modalità di calcolo mediante il processore. Esso quindi per ogni calcolo (iterativo) a verificato l andamento delle matrici di rigidezza per la fase solida e quella fluida, noncé per il bilancio di massa e di energia. Nel caso di divergenza di calcolo la procedura si arresta. Questo può avvenire qualora ad esempio il carico trasmesso da una fondazione è superiore alla resistenza ultima del terreno. L ultima fase a riguardato il postprocessore, laddove tutti i risultati vengono graficizzati per essere utilizzati nel modo più conveniente, ad esempio: visualizzare il campo di deformazione, sotto forma di mes deformata o di vettori spostamento; valutare il campo di sforzo, con vettori proporzionati allo stato tensionale per direzione, verso e modulo; visualizzare a colori tutti gli stati tensionali, deformativi, di spostamento, relativo alle pressioni interstiziali, alle sovrappressioni interstiziali, ai bulbi di pressione e di deformazione, alla velocità del fluido, ecc.; verificare i valori ed i grafici relativi agli stati di M, N e T per gli elementi strutturali; graficizzare i risultati per i nodi monitorati (es. grafico carico-cedimento per una fondazione; grafico tempo-pressioni interstiziali per un processo di consolidazione, ecc). * * * * 6

20 ALLEGATO 2 : ANALISI AD ELEMENTI FINITI: modalità di calcolo in funzione dei parametri geotecnici dei terreni