Franco Zappa Elettronica

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3 Franco Zappa Elettronica per la progettazione di circuiti con diodi, transistori MOSFET, amplificatori operazionali, campionatori S&H, convertitori DAC e ADC, integrati digitali CMOS, reti combinatorie e sequenziali

4 Franco Zappa Elettronica per la progettazione di circuiti con diodi, transistori MOSFET, amplificatori operazionali, campionatori S&H, convertitori DAC e ADC, integrati digitali CMOS, reti combinatorie e sequenziali Copyright 014, EdiSES S.r.l. Napoli Le cifre sulla destra indicano il numero e l anno dell ultima ristampa effettuata Prof. Franco Zappa Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioingegneria Politecnico di Milano Fotocomposizione: EdiSES srl Napoli Stampato presso la: Print Sprint srl - Napoli Per conto della: EdiSES srl Piazza Dante, Napoli Tel. 081/ Fax. 081/ info@edises.it ISBN

5 F. Zappa Elettronica Indice 1 Segnali e Sistemi elettronici Nascita dell Elettronica Segnali e Sistemi Circuiti Analogici e Digitali Componenti... 8 Semiconduttori Corrente Elettrica Semiconduttori Puri Semiconduttori Drogati Correnti di Deriva e di Diffusione Giunzione P-N Polarizzazioni Inversa e Diretta Esercizi Diodo Invenzione dei primi diodi Caratteristica V-I dei diodi a giunzione Punto di lavoro del diodo Modellizzazione del diodo Analisi di piccolo segnale del diodo Linearizzazione della caratteristica Circuiti di taglio e vincolo Circuiti con diodi e condensatori Trasformatori ed Alimentatori Raddrizzamento a singola semionda Raddrizzamento a doppia semionda Stabilizzazione con Zener Esercizi Transistore MOSFET Struttura del Transistore MOS Principio di Funzionamento Curve Caratteristiche Transistori NMOS e PMOS Transistori ad arricchimento e svuotamento Simboli Circuitali Processo di Fabbricazione Analisi Linearizzata Transconduttanza Resistenza di Drain Capacità parassite Comportamento sul Segnale Frequenza di Transizione Il Transistore come Amplificatore Lineare Stadio Differenziale Il Transistore come Interruttore Esercizi Analisi in frequenza Transitori RC Tempo di acquisizione

6 Indice 5. Risposta in Frequenza Trasformata di Laplace Definizione Regione di convergenza Inverso della trasformata di Laplace Trasformata di Laplace bilaterale Applicazioni della trasformata di Laplace Proprietà della Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace di alcune funzioni comuni Circuiti Elettronici Condizioni Iniziali non nulle Diagrammi di Bode Costante Polo reale Zero reale Polo nell origine Zero nell origine Poli complessi coniugati Zeri complessi coniugati Considerazioni Pratiche Poli e Zeri di un Circuito Metodo delle Costanti di Tempo Metodo semplificato Filtro passa-banda Da Bode a Laplace Amplificatori Stadi Amplificanti Amplificatori Differenziali Retroazione Invenzione della Retroazione Proprietà dei Circuiti Reazionati Ideali Reazioni Negativa e Positiva Effetto della Reazione sulla Banda Amplificatore Operazionale (OpAmp) Parametri dell OpAmp ideale Parametri dell OpAmp Reale Architettura Interna dell OpAmp Caratteristiche in Frequenza ad Anello Aperto dell OpAmp Stabilità degli OpAmp non compensati e decompensati Conclusioni Circuiti lineari con OpAmp Configurazioni di Base Configurazioni invertente Configurazioni non invertente Sommatore Invertente Sottrattore (amplificatore delle differenze) Amplificatore per Strumentazione Integratori e Derivatori Integratore ideale Integratore reale Derivatore ideale Derivatore reale Convertitori di Tensione e di Corrente Convertitore Corrente-Tensione Convertitore Tensione-Corrente Riferimenti di Tensione Classificazione dei FILTRI... 06

7 F. Zappa Elettronica 7.6 Filtri Attivi del Primo Ordine Filtro passa-basso con guadagno infinito (Integratore invertente) Filtro passa-basso con guadagno finito Filtro passa-alto con guadagno finito Filtro passa-banda Phase Shifter Filtri Butterworth Filtro passa-basso Butterworth del primo ordine Filtro passa-basso Butterworth del secondo ordine Filtri passa basso Butterworth di ordine qualsiasi Filtri di Butterworth passa alto, passa banda e notch Filtri Chebyschev Filtri Bessel Filtri Ellittici (Cauer) Esercizi Circuiti nonlineari con OpAmp Raddrizzatori di Precisione Diodo di precisione Raddrizzatori a semionda Raddrizzatore ad onda intera Comparatori Rivelatore di zero Rivelatore di livello Comparatore a finestra (window comparator) Comparatore con isteresi (Trigger di Schmitt) Trigger di Schmitt invertente Trigger di Schmitt non invertente Confronto tra Comparatore e Trigger Generatori di Forme d Onda Oscillatori sinusoidali Oscillatore a sfasamento Oscillatore a ponte di Wien Oscillatori a tre punti Generatore di onda rettangolare (multivibratore astabile) Generatore di impulsi rettangolari (multivibratore monostabile) Generatore di segnale triangolare Esercizi Caratteristiche degli OpAmp Caratteristiche Elettriche Compensazione della Corrente di Bias Compensazione dell Offset di Tensione VOS Alimentazioni Correnti di Uscita Risposta al Grande Segnale Risposta al Piccolo Segnale Settling-Time Risposta in Frequenza al Piccolo Segnale Compensazione a Polo Dominante (Diretta ed alla Miller) Compensazione Polo-Zero Esercizi Stabilità e compensazione Risposta in Frequenza Compensazione interna degli OpAmp Compensazione a polo dominante (diretta e alla Miller) Compensazione Polo-Zero Compensazione a due poli Compensazione Feedforward... 89

8 Indice 10.3 Compensazione Esterna degli OpAmp Configurazione Non Invertente Criteri di stabilità Condizione limite di MF= Configurazione Invertente Effetto della Capacità in Retroazione Configurazione Non Invertente Configurazione Invertente Integratore Derivatore Effetto della Capacità in Ingresso Compensazione di un amplificatore per fotodiodo Resistenza in Uscita e Capacità di Carico Compensazione con Feedback Negativo Compensazione con Feedback Positivo Compensazione con Anticipo di Reazione Campionamento e S&H Teorema del Campionamento Accorgimenti nel Campionamento Aliasing Filtraggio antialiasing Sample & Hold Non idealità dei S&H Charge-injection induced error Signal feed-through Droop Buffer-induced non-linearity Aperture delay time Aperture time jitter Acquisition time Esempi di Simulazione Strutture Migliorate Compensazione dell iniezione di carica Strutture Retroazionate Multiplexer Analogici Filtri Attivi Universali Esercizi Convertitori DAC Generalità Fattori di qualità Architetture DAC a R pesate DAC voltage scaling DAC seriale Errori Statici e non Linearità Errori di Offset e di Gain Non linearità Integrale INL e Differenziale DNL Monotonicità Drift termici Impedenza di uscita Rapporto Segnale/Rumore Errore di quantizzazione Rapporto Segnale/Rumore teorico, SNR Rapporto Segnale/Rumore&Distorsione, SiNAD Distorsione armonica Parametri Dinamici Tempo di assestamento

9 F. Zappa Elettronica 1.6. Glitch Esempio Esercizi Convertitori ADC Generalità Caratteristiche Statiche Errore di quantizzazione Quantizzazione non lineare Errori di Offset e Gain Errori di non linearità Classificazione degli ADC Architetture ADC Flash ADC Tracking a gradinata ADC Single-slope, a singola rampa ADC a doppia rampa ADC ad approssimazioni successive (SAR) Temporizzazioni Caratteristiche Dinamiche Dinamica Signal to Noise Ratio Bit efficaci ed ENOB Prestazioni spettrali SFDR e SiNAD THD e IMD Requisiti di Pilotaggio degli ADC ADC Commerciali Esempi Applicativi Scelta A Scelta B Scelta C Scelta D Esercizi Logica CMOS Classificazione in base alla Tecnologia Caratteristiche Statiche delle Porte Caratteristiche Dinamiche delle Porte Logiche CMOS Inverter CMOS Caratteristica di Trasferimento Noise Margin Dissipazione di Potenza Potenza Dinamica Cross-conduzione Dissipazione totale di un sistema Prestazioni Dinamiche Tempi di propagazione Fan-in e Fan-out Prodotto ritardo-consumo Confronto fra Famiglie CMOS e TTL Interfacciamento tra Famiglie CMOS e TTL High-Speed CMOS (HC) Caratteristiche di ingresso Caratteristiche di uscita Calcolo del carico capacitivo Consumo di potenza Esercizi

10 Indice 15 Reti digitali Sistemi di Numerazione Digitali Classificazioni Famiglie Logiche Digitali Scala di integrazione Sistemi Combinatori, Sequenziali e di Memoria Porte Logiche Gate Logici Teorema di De Morgan Implementazione circuitale in CMOS Porte di tipo tri-state Reti Combinatorie SoP PoS Minimizzazione mediante Mappe di Karnaugh Realizzazione mediante Multiplexer e Decoder Reti Sequenziali Macchine di Mealy e di Moore Macchine sincrone ed asincrone Latch e Registri Latch Esercizi Componenti digitali Logiche ASIC LOGICHE FULL CUSTOM LOGICHE SEMI CUSTOM LOGICHE PROGRAMMABILI Nomenclatura dei Circuiti Integrati Componenti Combinatori CODIFICATORI Data-Sheet: 453B, 8-input priority-encoder DECODIFICATORI Data-Sheet: 4543B, BCD-to-7-segment decoder/driver Comparatori Data-Sheet: 4585B, 4-bit magnitude comparator Generatori e Rivelatori di Parità Data-Sheet: 4531B, 13-input parity checher/generator Sommatori Data-Sheet: 4008B, 4-bit binary full-adder ALU Data-Sheet: MM54HC181, ALU Multiplexers e Demultiplexers MULTIPLEXERS Data-Sheet: 451B, 8-input MUX with tri-state output DEMULTIPLEXERS Data-Sheet: 4514B, 1-of-16 decoder/demux with latches Implementare Funzioni con Mux e Decoder MEDIANTE MULTIPLEXER MEDIANTE DECODIFICATORE Componenti Sequenziali Latch e Flip-Flop Data-Sheet: HEF4013B Shift Registers Data-Sheet: HEF40195B CONTATORI Data-Sheet: HEF Esercizi... 55

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12 F. Zappa Elettronica Fig. 5.14: Modellizzazione di un condensatore avente tensione iniziale non nulla (sinistra) e di un induttore avente corrente iniziale non nulla CONDIZIONI INIZIALI NON NULLE La trasformata di Laplace può essere usata per analizzare i circuiti elettronici se le variabili elettriche della rete sono nulle per t<0 ovvero se tutti gli elementi reattivi (condensatori e induttori) sono inizialmente scarichi. Per analizzare reti con elementi reattivi inizialmente carichi, si può ricorrere ad uno stratagemma: si considerano scarichi per t<0 e successivamente caricati istantaneamente nell istante t=0 con dei generatori forzanti degli impulsi a delta di Dirac, come mostrato in Fig Condensatori: per modellizzare la carica iniziale, si mette in parallelo al condensatore un generatore di corrente che inietta una delta di Dirac di area Q=C V 0, dove V 0 è la tensione a cui è inizialmente carico il condensatore. Induttori: per modellizzare un induttore inizialmente carico a I 0, si mette in serie all induttore un generatore di corrente che inietta una delta di Dirac di area L I 0, dove I 0 è la corrente a cui si vuole sia inizialmente carico l induttore. Una volta introdotti i generatori a delta di Dirac, la rete viene risolta utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, in modo da includere l effetto dei generatori deltiformi aggiunti e, in definitiva, considerare la condizione iniziale degli elementi reattivi. 5.5 DIAGRAMMI DI BODE Per analizzare l andamento in frequenza dei circuiti elettronici, si devono quindi rappresentare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. Una volta ricavata la funzione di trasferimento H(s) del circuito è utile trovare un metodo per rappresentare i diagrammi di Bode in modo immediato e più diretto, attraverso delle considerazioni semplici e non utilizzando strumenti di calcolo numerico che risolvano H(s). Servono quindi delle regole per disegnare carta e penna i diagrammi di Bode partendo da H(s). Il primo passo è quello di riscrivere la funzione di trasferimento in modo che i poli e gli zeri siano nella forma (1+s/ 0 ). La ragione sarà chiara in seguito, quando si analizzeranno le regole per tracciare i diagrammi. Supponiamo di riscrivere la seguente funzione di trasferimento (tutte le considerazioni possono essere generalizzate ad una qualunque funzione di trasferimento): s 1 H ( s) 100. ( s 10)( s 100) 1 s /1 Si ha quindi H ( s) 0.1. (1 s /10)(1 s /100) 148

13 Analisi di frequenza Vediamo ora come disegnare facilmente il modulo e la fase di questa funzione per s=j. Notiamo che questa espressione è composta da quattro termini: una costante (0.1), uno zero (in s=-1) e due poli (in s=-10 e s=-100). Possiamo riscrivere la funzione (con s=j) come quattro fasori: 1 j /1 H ( j) 0.1 (1 j /10)(1 j /100) 1 j /1 (1 j /1) [ 0.1 (0.1)] 1 j /10 (1 j /10) 1 j /100 (1 j /100) da cui si ricava che il modulo di H(j) vale: 1 j /1 H ( j) j /10 1 j /100 mentre la fase è: ( H ( j)) (0.1) (1 j /1) (1 j /10) (1 j /100) Si noti che H(j) è il rapporto tra le lunghezze dei vettori del piano complesso che uniscono le singolarità con il punto dell asse immaginario corrispondente alla frequenza 0 in cui si valuta il modulo, mentre la fase è composta dagli angoli rispettivamente formati da ciascun vettore con l asse positivo delle ascisse. Si veda al riguardo la Fig Si osservi inoltre come il modulo si ricavi dal prodotto dei moduli dei quattro componenti. Passando ad una rappresentazione bi-logaritmica, ovvero usando i db, si ottiene: ( ) 0 log ( ) 0 log j /1 H j H j db 1 j /10 1 j /100 0log 0.1 0log 1 j /1 0log 1 j /10 0log 1 j /100 Ragionando in db (in pratica con l operazione logaritmica) si trasformano le moltiplicazioni in somme e si semplifica molto il processo di costruzione del diagramma di Bode del modulo: è sufficiente sommare i singoli contributi. Inoltre tutti i termini sono o costanti o termini nella forma 0 log( 1+j/ 0 ). Nel caso di termini del tipo ( 1+j/ 0 ) n, per i decibel si avrebbero termini del tipo n 0 log( 1+j/ 0 ), mentre per le fasi i termini sarebbero del tipo n(1 j / 0). Quindi si giunge a disegnare i singoli termini 0 log( 1+j/ 0 ) per il modulo e (1 j / 0) per le fasi, per poi sommarli tra loro. Im(s)=j Re(s)= Fig. 5.15: Metodo grafico per calcolare modulo e fase di una funzione di trasferimento. 149

14 F. Zappa Elettronica COSTANTE Un termine costante H(j)=K dà un contributo pari a H(j) =K per il modulo (linea costante nel grafico). Per la fase il contributo vale H ( j) 0 (linea costante a 0 nel grafico) se K>0, H( j) (linea costante a - nel grafico) se K<0. Per la ciclicità delle fasi, si ricorda che in generale a tutte le fasi si può sommare POLO REALE Consideriamo un polo reale: 1 1 H ( s) H ( j) 1 s / 0 1 j / 0 Modulo: Il modulo in db vale: Eq H ( j) 0log 0log 1 db Eq j / 0 0 Distinguiamo tre regioni distinte, come chiaramente visibile in Fig. 5.16: 1. << 0 (bassa frequenza): H(j) db tende a 0dB, quindi una retta orizzontale a 0dB.. >> 0 (alta frequenza): si ha H ( j) 0log 1 0 log db 0 0 Può quindi essere approssimato da una retta con pendenza di -0 db/decade che parte da 0dB in corrispondenza della frequenza 0 : per ogni incremento di un fattore 10 della frequenza, l ampiezza diminuisce di 0dB. 3. = 0 : a questa frequenza H ( j) 0log 3dB. db Usando le approssimazioni per bassa ed alta frequenza si può disegnare il diagramma di Bode asintotico: il diagramma di Bode reale si discosta da quello asintotico maggiormente proprio in = 0, essendo la differenza pari a 3dB. La regola per disegnare un diagramma asintotico nel caso di un polo reale può essere così scritta: per un polo reale l approssimazione asintotica del diagramma del modulo di Bode è 0dB fino alla frequenza = 0 e quindi diminuisce con pendenza di -0dB/decade. Fase: La fase di un polo reale è data da: ( H ( j )) 1 j arctan Eq Consideriamo anche in questo caso tre zone sull asse delle frequenze, visibili in Fig. 5.17: 1. << 0 (bassa frequenza): in questo caso H ( j) tende a 0 e quindi può essere approssimata da una retta a 0.. >> 0 (alta frequenza): si approssima H( j) arctan rad e quindi può essere considerato uno sfasamento costante di /rad ossia = 0 : a questa frequenza H ( j) arctan(1) rad ossia Per tracciare un diagramma asintotico, si ricorre alla seguente approssimazione: seguire l asintoto a bassa frequenza fino alla frequenza corrispondente a un decimo di 0 (0.1 0 ), quindi scendere linearmente fino ad incontrare l asintoto ad alta frequenza alla frequenza pari a dieci volte 0 (10 0 ). Il contributo complessivo di un polo è quindi

15 Analisi di frequenza H(j) db Asintoto ad alta frequenza 3dB Asintoto a bassa frequenza Funzione esatta Approssimazione asintotica -0dB/decade Fig. 5.16: Effetto di un polo sul diagramma di Bode del modulo. 0 H(j) 0 /10 0 Asintoto a bassa frequenza /4 Asintoto ad alta frequenza Funzione esatta Approssimazione a spezzata -/ Fig. 5.17: Effetto di un polo sul diagramma di Bode della fase. L approssimazione proposta non introduce errori in = 0, mentre l errore in (una decade prima 0 ) e 10 0 (una decade dopo 0 ) vale circa 5.7. Si noti che nei circuiti elettronici non è possibile anche avere poli con parte reale positiva, che farebbe modificare l andamento del diagramma delle fasi ZERO REALE Consideriamo uno zero reale: H ( s) 1 s / H ( j) 1 j / 0 Gli andamenti sono molto simili a quelli di un polo reale. Modulo: Il modulo in db vale: j db 0 0 H ( j) 0 log 1 / 0 log Eq. 5.3 Eq. 5.4 Consideriamo tre casi: 1. << 0 (bassa frequenza): in questo caso H(j) db tende a 0dB e quindi può essere approssimato da una retta a 0dB.. >> 0 (alta frequenza): in questo caso si approssima

16 F. Zappa Elettronica H(j) db Asintoto a bassa frequenza 3dB Funzione esatta +0dB/decade Approssimazione asintotica Asintoto ad alta frequenza Fig. 5.18: Effetto di uno zero sul diagramma di Bode del modulo. / /4 H(j) Asintoto ad alta frequenza 0 /10 Funzione esatta Approssimazione a spezzata 10 0 Asintoto a bassa frequenza Fig. 5.19: Effetto di uno zero sul diagramma di Bode della fase. 0 H ( j) 0log 1 0 log db 0 0 e quindi il modulo può essere approssimato da una retta con pendenza di +0dB/dec che parte da 0dB in corrispondenza della frequenza 0 : per ogni incremento di un fattore 10 della frequenza, l ampiezza aumenta di 0dB. 3. = 0 : a questa frequenza H( j) 0log 3dB. db Usando le approssimazioni per bassa e alta frequenza si può disegnare il diagramma di Bode asintotico: il diagramma di Bode reale si discosta maggiormente da quello asintotico proprio in = 0, essendo la differenza pari a 3dB. La regola per disegnare un diagramma asintotico per uno zero reale può essere così scritta: per uno zero reale l approssimazione asintotica del diagramma del modulo di Bode è 0dB fino alla frequenza = 0 e quindi aumenta con pendenza di +0dB/decade. Fase: La fase di uno zero reale è data da: ( H ( j )) 1 j arctan Eq

17 153 Analisi di frequenza Consideriamo tre casi: 1. << 0 (bassa frequenza): in questo caso H ( j) tende a 0 e quindi può essere approssimata da una retta a 0 rad.. >> 0 (alta frequenza): in questo caso si ha H ( j) arctan rad e quindi può essere approssimata da uno sfasamento costante di /rad ossia = 0 : a questa frequenza H( j) arctan(1) rad ossia Per tracciare un diagramma asintotico, si ricorre alla seguente approssimazione: seguire l asintoto a bassa frequenza fino alla frequenza corrispondente a un decimo di 0 (0.1 0 ), quindi salire linearmente fino ad incontrare l asintoto ad alta frequenza alla frequenza pari a dieci volte 0 (10 0 ). Il contributo complessivo di uno zero è quindi / rad. L approssimazione proposta non introduce errori in = 0, mentre l errore in (una decade prima 0 ) e 10 0 (una decade dopo 0 ) vale circa 5.7. Si noti che è possibile anche avere zeri con parte reale positiva. In questo caso il contributo al diagramma di Bode del modulo non cambia (incremento di +0dB/decade) mentre il contributo nel diagramma di Bode della fase ha segno opposto ovvero / (e quindi per le fasi si comporta come se fosse un polo a parte reale negativa). Si vedano anche gli esempi più avanti POLO NELL ORIGINE Consideriamo un polo nell origine: Modulo: E dato dalla seguente espressione: 1 1 H ( s) H ( j) Eq. 5.6 s j H ( j) 1 Eq. 5.7 Ossia una linea retta con pendenza di -0dB/dec che passa per 0dB in =1rad/s. Fase: E data da: 1 1 ( H ( j)) j Eq. 5.8 j Quindi un polo nell origine introduce uno sfasamento di /rad=-90 costante, partendo dall origine delle frequenze, ossia dalla continua ZERO NELL ORIGINE Consideriamo uno zero nell origine: Modulo: E dato dalla seguente espressione: ( ) H j H ( s) s H ( j) j Eq. 5.9 Eq E una linea retta con pendenza di 0dB/decade che passa per 0dB in =1 rad/s. Fase: E data da: ( H( j)) j Eq Quindi uno zero nell origine introduce uno sfasamento di +/rad=+90 costante, partendo dall origine delle frequenze, ossia dalla continua.

18 F. Zappa Elettronica POLI COMPLESSI CONIUGATI Consideriamo la seguente funzione di trasferimento con 0<<1.: 0 1 H ( s) s 0 s 0 s s Eq Modulo: Dall Eq. 5.3 si ricava: H j 0log 1 db 0 Eq Consideriamo tre casi: 1. << 0 (bassa frequenza): in questo caso H(j) db tende a 0dB e quindi può essere approssimato da una retta a 0dB.. >> 0 (alta frequenza): in questo caso si ha: H ( j) 0log 1 40 log db e quindi il modulo può essere approssimato da una retta con pendenza di -40dB/dec che tende a 0dB in corrispondenza della frequenza 0 : per ogni incremento di un fattore 10 della frequenza, l ampiezza diminuisce di 40dB : si può dimostrare che si verifica un picco nel modulo vicino alla frequenza 0. La posizione esatta (solitamente non importante quando si disegna a mano) e l ampiezza possono essere calcolate analiticamente ponendo la derivata della funzione di trasferimento uguale a zero. Risulta che il picco si trova in 0 1 (detta pulsazione di risonanza) e che l ampiezza del picco vale H ( jr ) 0 log 1 r. Il picco esiste solo per 0 1/ (solo per le per cui r è reale). Inoltre, H( j ) 0 log. Attenzione a distinguere r da 0. l ampiezza per 0 vale 0 0 Si osserva che Re( 0 ) cos ed è definito come fattore di forma della coppia di poli complessi coniugati ed è pari al coseno dell angolo che sottende il polo all origine. Quindi H ( j ) 0 log 6dB. se = 1, i poli diventano reali e coincidenti e Possiamo allora affermare quanto segue: se 0 1/ 0.707, la funzione H(j) db presenta un andamento reale diverso (anche notevolmente, se è molto piccolo) da quello asintotico, quindi quest ultimo va corretto, utilizzando il picco e la pulsazione di risonanza. Se invece risulta 1/, allora la funzione H(j) db non presenta un massimo e il diagramma asintotico è accettabile (in quanto H(j) db presenta un andamento monotono decrescente), con un errore compreso tra 3 e 6 db. Spesso, nel trattare i filtri, per indicare quanto stretto è il picco si introduce la quantità Q=1/() detta fattore di qualità: più Q è alta, più il picco è stretto e più il filtro è selettivo

19 Analisi di frequenza H(j) db Asintoto a bassa frequenza Asintoto ad alta frequenza Picco di risonanza Approssimazione asintotica Funzione esatta -40dB/decade Fig. 5.0: Effetto di una coppia di poli, complessi e coniugati sul diagramma di Bode del modulo. 0 H(j) 0 /10 0 Asintoto a bassa frequenza 10 0 Funzione esatta -/ Asintoto ad alta frequenza Approssimazione a spezzata - Fig. 5.1: Effetto di una coppia di poli, complessi e coniugati sul diagramma di Bode della fase. La regola per disegnare un diagramma asintotico per una coppia di poli complessi coniugati può essere così riassunta: per una coppia di poli complessi coniugati l approssimazione asintotica del diagramma del modulo di Bode è 0 db fino alla frequenza = 0 e quindi diminuisce con pendenza di -40dB/dec. In r 0 1 c è un picco di se 0 1/ ampiezza H( jr ) 0 log 1 Fase: La fase di una coppia di poli complessi coniugati è data da: 0 H ( j) arctan 1 0 Consideriamo tre casi: 155 Eq. 5.34

20 F. Zappa Elettronica 1. << 0 (bassa frequenza): in questo caso ( H ( j)) arctan(0) 0rad e quindi può essere approssimato con uno sfasamento costante di 0rad=0.. >> 0 (alta frequenza): in questo caso ( H ( j)) rad e quindi può essere approssimato con uno sfasamento costante di rad ossia : a questa frequenza H ( j0 ) rad ossia -90 Per disegnare il diagramma asintotico, è importante considerare : più è piccolo, più la transizione da 0 rad a rad è verticale. Una regola di massima per tracciare i diagrammi della fase di una coppia di poli complessi coniugati è quella di tracciare una retta che unisca i due punti alle frequenze 0 / log(/) e 0 /log(/) ZERI COMPLESSI CONIUGATI Per tracciare l andamento degli zeri complessi coniugati si devono fare delle considerazioni molto simili a quelle fatte per i poli complessi coniugati. Le uniche differenze sono nei segni: per il modulo, l asintoto ad alta frequenza sale con +40dB/dec e il picco in r è negativo; per la fase, ad alta frequenza l asintoto è a +rad= CONSIDERAZIONI PRATICHE Sia dato il diagramma di Bode del modulo mostrato in Fig. 5.. Per tracciarne correttamente le linee e per calcolare le ampiezze e le frequenze dei punti di intersezione, spesso sono utili alcune considerazioni sui legami tra ampiezze e frequenze imposti dalle curve con pendenze multiple di 0dB/dec. In generale, lungo le curve con pendenza n0db/dec, con n intero positivo o negativo si ha che: 0 log( A1 ) n 0dB 0 log( A ) f 10 f1 A db + 0 db/dec A 1-0 db/dec A + 40 db/dec - 40 db/dec f 1 f Fig. 5.: Esempio di diagramma di Bode del modulo di una funzione di trasferimento. f 156

21 Analisi di frequenza... -0dB/decade d d f -40dB/decade Fig. 5.3: Tracciamento di una curva a -40dB/dec, partendo da una di pendenza - 0dB/dec, mediante semplici considerazioni geometriche. da cui 1 n 1 n 1 1 f A f A anche per n < 0. Eq Vediamo alcuni casi particolari, utili per calcolare un incognita conoscendo le altre tre grandezze (ad esempio per calcolare l ampiezza A note A 1, f 1 e f ). Pendenza -0dB/dec: f 1 A 1 =f A ovvero il prodotto GuadagnoBanda è costante. Si noti che 0dB/dec vuol dire pendenza della curva a 45 (in un grafico bilogaritmico), ossia aumentando la frequenza di un fattore x, l ampiezza diminuisce di un identico fattore x. Inoltre in ambito musicale, la pendenza di 0dB/dec è descritta anche come 6dB/ottava, dove un ottava corrisponde al raddoppio della frequenza. Pendenza +0dB/dec: f1 f A1 A Se la frequenza aumenta di un fattore x anche l ampiezza cresce di un fattore x. Pendenza -40dB/dec: A1 f1 A f Se la frequenza aumenta di un fattore x allora l ampiezza diminuisce di un fattore (x). Pendenza +40dB/dec: f1 f A A Se la frequenza aumenta di un fattore x, l ampiezza aumenta di un fattore (x). Sempre nel tracciare le curve a -40dB/dec (o +40dB/dec), è utile notare che su un grafico bi-logaritmico, quale i diagrammi di Bode, la retta con pendenza -40dB/dec (o +40dB/dec) ha pendenza esattamente doppia di una retta con pendenza -0dB/dec (o +0dB/dec). Questo può essere utile per tracciare la curva a -40dB/dec (ovvero +40dB/dec) dopo un polo (o uno zero) intervenuto su una curva a -0dB/dec (o +0dB/dec). Si veda per esempio la Fig

22 F. Zappa Elettronica Fig. 5.4: Diagrammi di Bode del modulo e della fase in cui gli zeri possono essere ricavati facilmente sfruttando le pendenze delle curve. Es.5.1: Ricavare graficamente la frequenza di poli e zeri Dato il diagramma di Bode riportato in Fig. 5.4, in cui si conoscono i guadagni a bassa, media ed alta frequenza ed i poli, si ricavino graficamente gli zeri. Per trovare la posizione degli zeri mancanti (in corrispondenza dei? nella figura), sono utili le relazioni tra frequenze e ampiezze lungo le curve a pendenza costante. Dal primo zero al polo in 0.4Hz c è una curva a +0dB/decade che quindi impone f 1 /A 1 =f /A, cioè f Z /38.3 = 0.4/76.7, da cui lo zero in f Z =0.Hz. Dal polo a 100kHz al secondo zero c è una curva a -0dB/decade e quindi f 1 A 1 =f A, da cui 100kHz76.7=0.755f Z e quindi f Z =10.6MHz. C R eq Rete vista ai terminali di C Fig. 5.5: Modellizzazione per calcolare il polo introdotto da un condensatore, tramite il calcolo della resistenza equivalente vista da esso. 5.7 POLI E ZERI DI UN CIRCUITO Spesso nell analisi dei circuiti elettronici non si ricava analiticamente la funzione di trasferimento completa H(s), ma si cerca di disegnarne l andamento (usando i diagrammi di Bode) attraverso considerazioni pratiche derivate dall ispezione del circuito. Alcune di queste considerazioni sono riportate qui di seguito, per i condensatori. La costante di tempo associata ad un condensatore è C =R eq C, dove R eq è la resistenza equivalente vista ai terminali del condensatore, come mostrato in Fig

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