Una selezione di esercizi proposti nei compiti degli anni passati

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1 Una selezione di esercizi proposti nei compiti degli anni passati ESERCIZIO n 1 Una lente sottile di lunghezza focale f 1 = 25 cm è posta a diretto contatto con un altra il cui potere diottrico vale D 2 = 6 diottrie. A quale distanza dalle lenti si formerà l immagine di una sorgente luminosa posta a 10 cm da esse? SOLUZIONE: Il potere diottrico del sistema costituito da due lenti a contatto è uguale alla somma dei poteri diottrici delle due lenti. Tale somma vale 10 diottrie (4+6) che corrisponde ad una focale di 0.1 m. Ma allora la sorgente luminosa sta esattamente nel fuoco del sistema ottico: la sua immagine si forma all'infinito. ESERCIZIO n 2 Per determinare il potere diottrico di una lente divergente, (indice di rifrazione del mezzo = 1.5) si dispone di un banco ottico e di una sorgente luminosa costituita da una lastrina di alluminio forata. Si osserva che ponendo la lente davanti alla lastrina ad una distanza di 20 cm, sulla lastrina stessa si forma (per riflessione) una immagine del foro. Se si gira la lente, in modo di rivolgere verso la sorgente l altra faccia della lente, si ha ancora una immagine identica a quella di prima ad una distanza (invariata) di 20 cm. Quanto vale la lunghezza focale della lente? SOLUZIONE: considerato che l'immagine si forma per riflessione, usiamo allora la legge dello specchio sferico 1/p + 1/q = 2/R ; Con p = q = 20 cm si ottiene R = 20 cm (per entrambe le facce). Dall'equazione dei fabbricanti di lenti si ottiene allora: 1/f = (n-1)(-2/r) da cui infine f = -R= -20 cm (focale della lente). ESERCIZIO n 3 a) Ad una estremità di un banco ottico lungo d = 1 m è stato montato uno schermo, mentre all altra estremità è fissata una sorgente luminosa di piccole dimensioni. Sono disponibili anche sei lenti convergenti le cui lunghezze focali valgono rispettivamente 40, 33, 27, 21,16 e 9 cm. Se si vuole avere sullo schermo una immagine della sorgente, quali lenti si possono montare sul banco ottico? SOLUZIONE: valgono le relazioni p + q = 100 e 1/p +1/q = 1/f ; se si ricava q dalla prima e si sostituisce nella seconda, si arriva all'equazione di secondo grado in p p 2 100p+100f=0 che ha soluzioni se il discriminante è positivo, cioè se f > 0 da cui f < 25 le focali possibili sono allora 21, 16 e 9 cm. b) Prendete ora una qualunque delle lenti che soddisfano la richiesta: a quale distanza dalla sorgente va posta la lente scelta, se si vuole sullo schermo una immagine ingrandita? SOLUZIONE: Risolvendo l equazione di secondo grado del quesito precedente, si ottiene P = 50 ± ( f) 1/2 Inoltre se vogliamo l'immagine ingrandita dovrà anche essere q/p > 1 cioè p < 50 cm, dato che q + p vale 100 cm; nei tre casi possibili si ottiene f = 21 cm p = 30 cm f = 16 cm p = 20 cm f = 9 cm p = 10 cm c) A questo punto, sull asse ottico, viene piazzata una lente divergente, alla distanza di 10 cm dallo schermo. Per avere ancora l immagine a fuoco occorre spostare lo schermo fino a 1.1 m dalla sorgente. Quanto vale la distanza focale della lente divergente? SOLUZIONE: Considerando l immagine prodotta dalla prima lente come sorgente per la seconda lente, l equazione delle lenti sottili dà (p è negativo perché la sorgente sta nello spazio delle immagini reali) 1/(-10) + 1/20 = 1/f da cui il risultato: f = -20 cm ESERCIZIO n 4 Tutti sappiamo che il fuoco f di uno specchio sferico concavo è quel punto per il quale passano (dopo la riflessione) tutti i raggi di luce provenienti dall infinito e paralleli all asse ottico principale (vedi figura a). Dove si trova, invece, il punto F' in cui lo specchio fa convergere un fascio di raggi paralleli tra loro ma non paralleli all asse

2 ottico.(risolvere graficamente). SOLUZIONE: Nel fascio considerato ci sono due raggi luminosi per i quali è facile disegnare il raggio riflesso (vedi figura b): uno è il raggio che passa per il centro di curvatura dello specchio, che verrà riflesso su se stesso, mentre l altro è il raggio che passa per il fuoco f, il cui raggio riflesso è parallelo all asse ottico principale. Il punto in cui si intersecano i raggi riflessi è il punto richiesto. ESERCIZIO n 5 Su un banco ottico una lente convergente viene piazzata a 15 cm da una sorgente luminosa. Si nota che l immagine della sorgente si forma sulla parete del laboratorio che dista una decina di metri dal banco ottico. Se si potesse riempire di acqua il laboratorio, dove verrebbe a trovarsi la nuova immagine? (indice di rifrazione del vetro = 3/2 ; indice di rifrazione dell acqua = 4/3 ) SOLUZIONE: Il fatto che l immagine è a fuoco sulla parete, a 10 metri dal banco ottico, sta a significare che la distanza lente-sorgente è molto vicina alla distanza focale: poniamo allora f = 15 cm (in aria). In aria sarà (equazione dei fabbricanti di lenti) 1/f = (n-n aria)/n aria (1/r 1-1/r 2) dove n è l indice di rifrazione del vetro e r 1,2 i raggi di curvatura della lente. In acqua invece è 1/f' = (n-n acqua)/n acqua (1/r 1-1/r 2) Con semplici calcoli si ottiene f /f = (n-n aria)n acqua/n aria(n-n acqua) Sostituendo i valori numerici, si ottiene f /f = 4 f = 60 cm con p=15 cm e f=60 cm l'immagine risulta virtuale ( q = - 20 cm ) ESERCIZIO n 6 Due lenti convergenti di focali f 1 = 40 cm ed f 2 = 10 cm sono a contatto tra loro. Una comune lampadina ad incandescenza è posta davanti alle due lenti in modo che il filamento disti dalle lenti 16 cm. A quale distanza dalle lenti si deve porre uno schermo per avere a fuoco su di esso l'immagine del filamento? SOLUZIONE: Il potere diottrico di un sistema costituito da due lenti poste a contatto è uguale alla somma dei due poteri diottrici delle lenti 1/f = 1/f 1 + 1/f 2 = 1/40 + 1/10 = 1/8 cm-1 la focale vale allora f = 8 cm. Applicando poi la relazione 1/16+ 1/q = 1/8 si trova q = 16 cm ESERCIZIO n 7 Come si potrebbe stimare la lunghezza focale di uno specchio sferico concavo, nel nostro laboratorio di ottica, con una sola misura?(spiegare) SOLUZIONE: Si pone lo specchio davanti alla sorgente (si tratta della solita lastrina di alluminio sulla quale è stato praticato un piccolo foro di forma triangolare: dietro, naturalmente, c'è la lampada) e lo si avvicina alla sorgente finché non si vede, a fuoco sulla lastrina, l immagine del forellino, rovesciata e della stessa grandezza del foro. E chiaro che in questa situazione risulta q = p. Allora dalla legge degli specchi sferici si ha 1/p +1/q = 1/f cioè 2/p = 1/f e f = p/2 basta allora misurare la distanza specchio-sorgente (p)

3 ESERCIZIO n 8 a) Il centro ottico di una lente convergente, di potere diottrico 5 diottrie, coincide con l'origine di un sistema di riferimento cartesiano ed il suo asse ottico principale coincide con l'asse delle ascisse; una sorgente puntiforme S è posta nel punto A di coordinate (-40,1), (le distanze sono e saranno sempre espresse in centimetri). Quanto valgono le coordinate del punto A 1, coniugato di A, o, se preferite, dove si trova l'immagine S' della sorgente S? SOLUZIONE: Se il potere diottrico è 5 diottrie la focale è 1/5 di metro, cioè f = 20 cm. Applicando l'equazione delle lenti sottili 1/p + 1/q = 1/f con f=20 cm e p= 40 cm si ottiene q = 40 cm. Si tratta di una immagine reale, capovolta e ad ingrandimento unitario (p=q). Le cordinate di A1 saranno allora (40, -1) (vedi fig1) b) Si pone ora un cubo di plexiglass, indice di rifrazione 1.5, lato 30 cm, in modo che la faccia che presenta alla lente sia normale all'asse ottico della lente stessa e che il centro di tale faccia abbia coordinate (20,0). Quanto valgono le coordinate del punto A2 in cui si forma la nuova immagine della sorgente S? SOLUZIONE: Guardando la figura 2 si nota che il raggio che arriva in A1 viaggiando parallelamente all'asse ottico, entra nel cubo di plexiglass ortogonalmente alla sua faccia, per cui non sarà deviato e possiamo facilmente dedurre che la coordinata y di A2 vale ancora -1. L'altro raggio invece che incide con un angolo viene rifratto con un angolo legato ad legge di Snell: n1 sen = n2 sen Dal momento che si tratta di angoli piccoli (approssimazione parassiale) possiamo sostituire i seni con le tangenti e scrivere n1 tg = n2 tg che facilmente diventa n1 h'/x1 = n2 h'/x2 dove x1 è la distanza di A1 dalla faccia di entrata del blocco di plexiglass e x2 è la distanza dalla stessa faccia di A2. Sostituendo i valori degli indici di rifrazione si ottiene x2 = 1.5 x1 = 30 cm Le coordinate del punto di A2 saranno allora (50,-1)

4 c) Successivamente il cubo di plexiglass è sostituito da una lente divergente posta in modo che il suo centro ottico abbia coordinate (20,0) ed il suo asse ottico principale coincida con l'asse delle ascisse. Si osserva che A 3, nuovo coniugato di A, ha ancora la stessa ascissa di A 2. Quanto vale la lunghezza focale della lente? SOLUZIONE: Osservando la figura 3, si può notare che stavolta il raggio che non subisce alcuna deviazione non è quello che incide ortogonalmente alla lente, ma l'altro che passa esttamente al centro della lente. Possiamo allora calcolare quanto vale la focale della lente divergente che ha sostituito il cubo di plexiglass applicando la legge 1/p + 1/q = 1/fdiv Con q = = 30 cm e p = - 20 cm, si ha f= - 60 cm d) Quanto vale il potere diottrico del sistema costiutito dalle due lenti? SOLUZIONE: per il sistema di due lenti a distanza d vale 1/f = 1/f 1 + 1/f 2 d/f 1 f 2 sostituite i valori e troverete 1/f = 5 diottrie e) Supponiamo ora di poter variare la focale f 2 della lente divergente da - 5 cm a - 2 metri; per quali valori di f 2 l'immagine risulterà reale e per quali invece risulterà virtuale? SOLUZIONE: Osservando la figura si capisce che il punto critico si ha quando fdiv = - 20 cm (Vedi raggio tratteggiato). In questo caso l'immagine si forma all'infinito: se fdiv è (in modulo) maggiore di 20 il potere diottrico del sistema di lenti è positivo, cioè il sistema è convergente e si hanno allora immagini reali, altrimenti le immagini sono virtuali (sistema divergente). Per risolvere analiticamente il quesito devo per prima cosa ricavare q dalla relazione delle lenti sottili (ricordo che p = - 20 cm): -1/20 + 1/q = 1/ f div cioè 1/q = 1/ fdiv + 1/20 da cui q = (20 f div )/ (f div + 20) q vale infinito quando fdiv = - 20 cm ; q ha segno positivo quando in modulo fdiv > 20 (immagini reali); q ha segno negativo quando in modulo fdiv < 20 (immagini virtuali). f) Come varia il potere diottrico del sistema, al variare di f 2? SOLUZIONE: non è difficile verificare che il potere diottrico del sistema vale sempre 5 diottrie. g) Spiegare l'apparente contraddizione. SOLUZIONE: La contraddizione (apparente) sta nel fatto che al variare di fdiv non varia la focale del sistema equivalente mentre varia la posizione dell'immagine prodotta dal sistema stesso. Il fatto si spiega considerando che variano le posizioni dei piani principali

5 h) Supponiamo, infine, che anche la lente divergente abbia un potere diottrico di - 5 diottrie ; in questo caso, dove si trova il primo piano principale del sistema ottico centrato costituito dalle due lenti? SOLUZIONE: sappiamo che quando fdiv = - 20 cm l'immagine della sorgente, formata dal sistema delle due lenti, va all'infinito: ma allora la sorgente sta esattamente nel fuoco del sistema. Ora noi sappiamo che il sistema in oggetto ha un potere diottrico di 5 diottrie, cioè una distanza focale di 20 cm: il I piano principale starà allora 20 cm davanti alla sorgente. In alternativa si possono applicare le espressioni a suo tempo trovate per la posizione dei piani principali del sistema di due lenti. Detta H1 l'ascissa del I piano principale (se si prende l'origine dell'asse x sulla I lente), vale H1 = (f1 d)/(f1+f2-d)= - 20 cm ; il I piano principale si troverebbe allora 20 cm a sinistra della lente convergente, cioè 20 cm davanti alla sorgente, come già detto. ESERCIZIO n 9 Si vuole proiettare, per mezzo di uno specchio sferico concavo, l'immagine di un oggetto su una parete che dista dall'oggetto 4 metri; si vuole inoltre che l'ingrandimento risulti uguale a 3. Quanto deve valere la distanza p dell'oggetto dal vertice dello specchio? e quanto deve valere il raggio R dello specchio? SOLUZIONE: Con riferimento alla figura, abbiamo: a) 1/p + 1/q = 2/R legge dello specchio sferico b) q/p = 3 ingrandimento q - p =4 distanza fissa dallo schermo Da cui p = 2 m e R = 3 m ESERCIZIO n 10 Due lenti convergenti identiche, di lunghezza focale f, vengono montate su un banco ottico in modo che la distanza che le separa sia il doppio della distanza focale. Un oggetto, la cui dimensione trasversale (rispetto all'asse ottico) sia h e quella longitudinale sia trascurabile, è posto ad una distanza d = f/2 da una delle due lenti (nella regione esterna alle lenti). A quale distanza dalla seconda lente si forma l'immagine dovuta al sistema di lenti (precisando se a sinistra o a destra della lente)? l'immagine è reale o virtuale? quanto vale l'altezza dell'immagine? (Risolvere il problema analiticamente e graficamente). SOLUZIONE: Si scopre facilmente che le due lenti costituiiscono un sistema afocale (potere diottrico nullo, focale equivalente all'infinito). In questi casi i piani principali non sono di alcuna utilità, perché stanno all'infinito. Si consiglia allora di risolvere il problema in due passi successivi : I) costruire l'immagine prodotta dalla lente 1, come se la lente 2 non ci fosse; II) usare questa immagine come se fosse l'oggetto di cui si vuole trovare l'immagine prodotta dalla lente 2 (come se non ci fosse la lente 1). I) trovare dove sta l'immagine prodotta dalla lente 1: Nell'equazione delle lenti sottili, si pone p = f/2, ottenendo 2/f + 1/q = 1/f e poi 1/q = -1/f cioè q = - f ; si tratta di una immagine virtuale perché q è negativa: l'immagine sta dalla stessa parte dell'oggetto e non è raccoglibile su uno schermo. II) II) trovare dove sta l'immagine che la lente 2 produce prendendo come oggetto l'immagine trovata in I): si parte ancora dalla legge delle lenti sottili considerando che stavolta p' = 3f (non va presa negativa perché, rispetto alla lente 2, sta dalla parte opposta rispetto all'immagine); possiamo allora scrivere 1/3f + 1/q' = 1/f da cui 1/q' = 1/f 1/3f ed infine 1/q' = 2/3f cioè q' = 3f/2 =1.5 f

6 Stavolta l'immagine è reale (q' positiva) e si forma alla destra della lente numero 2. L'altezza dell'immagine prodotta dal sistema delle due lenti si trova sapendo che l'ingrandimento finale è il prodotto dei due ingrandimenti (trasversali). Dato che I1 = q/p = 2 e I2 = q'/p' = 0.5 l'altezza dell'immagine prodoptta dal sistema delle due lenti è perfettamente uguale all'altezza dell'oggetto. D'altra parte in un sistema telescopico l'ingrandimento è dato dal rapporto delle focali e se le focali sono uguali vale 1. La soluzione grafica del problema è interessante ed istruttiva: in alto (a) è mostrato come si costruisce l'immagine prodotta dalla sola lente 1; al centro (b) si può vedere la costruzione dell'immagine per la sola lente 2; in basso (c) è mostrato il cammino che effettivamente i fotoni seguono dalla sorgente allo schermo. Lì dove c'è il tratteggio non passano fotoni, mentre le linee continue rappresentano il vero percorso dei fotoni. La figura che rappresenta ciò che effettivamente accade nel sistema delle due lenti è quella in basso: è la somma delle due figure precedenti, ognuna delle quali rappresenta l'effetto prodotto da ogni singola lente. Ancora una volta vale il cosiddetto principio di sovrapposizione degli effetti.

7 ESERCIZIO n 11a Si dispone di una lente A da -10 diottrie ed una lente B da +10 diottrie e di un banco ottico ad una estremità del quale è fissata una sorgente di luce; si consideri questa estremità come l'origine dell'asse x. Si supponga che i centri delle due lenti risultino sempre perfettamente allineati con la sorgente in modo da costituire un ideale asse ottico principale. La lente A é posta in Xa=10 cm e la lente B in Xb=20 cm. Calcolare la focale del sistema ottico costituito dalle due lenti. Calcolare la coordinata Xq dell'immagine formata dal sistema ottico; si tratta di una immagine reale o virtuale? le dimensioni trasversali dell'immagine risultano minori, uguali o maggiori di quelle della sorgente? SOLUZIONE: Il quesito è risolubile, oltre che per via grafica, con entrambe le tecniche che ormai ognuno di voi dovrebbe conoscere. I metodo): come già fatto nel problema precedente, possiamo prima costrure l'immagine prodotta dalla sola lente A e poi usare questa immagine per lente B; II metodo): calcoliamo la focale equivalente del sistema ottico costituito da A e B e troviamo la posizione dei piani principali, poi applichiamo la legge delle lenti sottili 1/p + 1/q = 1/feq ricordando però che p è la distanza dell'oggetto dal I piano principale e q è la distanza dell'immagine dal II piano principale. Vediamo allora entrambe le soluzioni. I metodo): l'equazione delle lenti sottili, applicata alla sola lente A (pa = 10 cm e fa = -10 cm), permette di calcolare la posizione dell'immagine prodotta da A. Si ottiene qa = - 5 cm. Il segno negativo significa, al solito, che l'immagine è virtuale e si trova a 5 cm dalla lente A dalla stessa parte in cui si trova l'oggetto. Se poi applichiamo la solita legge delle lenti sottili alla lente B (pb = 15 cm e fb = 10 cm) possiamo calcolare la posizione dell'immagine qb = 30 cm. L'immagine dovuta al sistema sta allora in Xq = Xb + qb = 50 cm. II metodo): per la focale equivalente si ha 1/feq = 1/ fa +1/fB - d/(fafb) da cui feq = 10 cm (d è la distanza tra le lenti). Calcoliamo ora la distanza XI del I piano principale dalla lente A XI = (fa d)/(fa + fb d) = 10 cm il I piano principale sta 10 cm a destra della lente A ( cioè a 20 cm dall'origine). La coordinata XII del II piano principale è XI I = - (fb d)/(fa + fb d) = 10 cm cioè il II piano principale sta 10 cm a destra della lente B (e cioè a 30 dall'origine). A questo punto basta applicare l'equazione 1/p + 1/q = 1/feq dove p = 20 cm e feq = 10 cm ; si ottiene infine q = 20 cm, cioè l'immagine prodotta dal sistema ottico si forma 20 cm a destra del II piano. Rispetto all'origine fissata l'immagine avrà allora coordinata = 50 cm (come prima!). L'immagine è reale (q positiva) e l'ingrandimento è unitario. Infatti l'ingrandimento vale I = q/p = 20/20 = 1, se calcolato per il II metodo. Se lo calcoliamo invece nel I caso dobbiamo moltiplicare i due ingrandimenti dovu ti alle due lenti indipendentemente. Vale allora Itot = I A I B = (q A /p A )(q B /p B ) = (5/10)(30/15) = 1 (come doveva essere), b) Successivamente la lente A viene tolta dal banco ottico; quanto vale la coordinata X'q della nuova immagine? si tratta di una immagine reale o virtuale? le sue dimensioni sono maggiori, uguali o minori rispetto a quelle dell'immagine precedente? SOLUZIONE: tolta la lente A, dato che la sorgente dista 20 cm dalla lente B, cioè due volte la focale della lente, è facile dedurre che anche l'immagine si formerà a 20 cm da B (ma dall'altra parte) o se preferite a 40 cm dall'origine. L'ingrandimento è ancora unitario. c) Infine la lente A viene nuovamente montata sul banco ottico ma in X''a=30 cm dalla sorgente; quanto vale la coordinata X''q dell'immagine così prodotta? si tratta di una immagine reale o virtuale? le sue dimensioni sono maggiori, uguali o minori rispetto a quelle dell'immagine precedente? SOLUZIONE: l'immagine che la sola lente B formava nel caso precedente è vista come sorgente per la lente A. Per trovare la posizione dell'immagine finale usiamo la solita equazione delle lenti sottili con p = -10 cm (la sorgente si

8 viene a trovare dalla parte dove si formano le immagini reali) e f = - 10 cm. Abbiamo: -1/10 + 1/q = -1/10 dalla quale si conclude che q = Si avrà un'immagine reale notevolmente ingrandita ESERCIZIO n 12 (Risolto come se fosse un semplice diottro) SOLUZIONE B (risolto come se fosse una lente non sottile) In realtà si può anche risolvere il problema applicando le proprietà a suo tempo trovate per le lenti spesse. Il primo piano principale di una lente piano-convessa si trova ai due terzi dello soessore, che nel caso in esame è uguale al raggio, mentre il secondo piano principale è tangente alla superficie sferica (ed ortogonale all'asse ottico). Sappiamo inoltre che il potere diottrico della lente spessa vale 1/f = (n 1)(1/R1 1/R2) da cui, dato che R1 =, R2 = - 5 cm e n = 1.5, si ha 1/f =0.5/5 = 1/10 cioè f = 10 cm misurati a partire dal II piano principale. ESERCIZIO n 13

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