LENTI E SISTEMI DI LENTI

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1 LENTI E SISTEMI DI LENTI DESCRIZIONE DELLA POSIZIONE DI UN OGGETTO Una grandezza che interviene nello studio di numerosissimi fenomeni fisici e' la POSIZIONE di un sistema di cui si vuole studiare il comportamento. Tale posizione puo' essere costante nel tempo oppure variare, ma, in ogni caso, si deve affrontare il problema di come descriverla qualitativamente e, soprattutto, di come MISURARLA quantitativamente. La posizione di un generico corpo viene definita misurando le sue COORDINATE SPAZIALI rispetto ad un PUNTO FISSO, scelto come ORIGINE delle COORDINATE, secondo direzioni ben precise, quelle degli ASSI COORDINATI. L'origine, insieme agli assi coordinati, costituisce un SISTEMA di RIFERIMENTO, rispetto al quale il corpo possiede le coordinate misurate. Esempio: su un piano, cioe' in uno spazio a 2 dimensioni, si fissi un punto O come origine e le direzioni orientate, cioe' con verso fissato, di due assi tra di loro perpendicolari, x e y, come indicato nella figura di sinistra. La posizione di un punto qualunque P del piano resta definita quando si diano le sue coordinate rispetto agli assi, A e B, ottenute proiettando perpendicolarmente sugli assi stessi il punto P. Le coordinate A e B del punto P cosi' definite, vengono dette COORDINATE CARTESIANE di P ed il sistema di riferimento, costituito dall'origine O e dagli assi x e y, viene detto SISTEMA di RIFERIMENTO CARTESIANO a 2 DIMENSIONI. Se si vuole, invece, definire la posizione di un punto P nello spazio a 3 dimensioni, sara' necessario misurare 3 coordinate, una per dimensione, e definire un sistema di riferimento con tre assi, come indicato nella figura di destra, dove e' riportato un SISTEMA di RIFERIMENTO CARTESIANO nello SPAZIO; esso e' costituito da un origine e 3 assi mutuamente ortogonali: x, y, z. Il punto P' e' la proiezione ortogonale di P sul piano

2 individuato dagli assi x e y. Nello studio dei sistemi ottici (lenti e sistemi di lenti) si e' interessati a sistemi che possono essere descritti in uno spazio unidimensionale. Per definire la posizione dei vari componenti sara', pertanto, sufficiente misurare una sola coordinata, rispetto ad un ounto di origine O, secondo la direzione di un unico asse, che chiameremo asse x. Nella figura x e' la coordinata per la lente L, x 2 per la lente L2, x 3 per lo schermo S. L L2 S O X X2 X3 Generalmente si considerano delle LENTI SOTTILI e si opera con dispositivi che permettono di misurare la coordinata del loro punto centrale, come indicato in figura. Nelle leggi che descrivono il comportamento dei sistemi ottici non intervengono, pero', direttamente le posizioni dei componenti, bensi' le loro distanze, ad esempio, la distanza d tra la lente L e lo schermo S in figura. Tale distanza e' definita, semplicemente da: d=x 3 x La sua misura non sara' pertanto diretta, ma indiretta in quanto essa prevede la misura delle coordinate x e x 3 dei due oggetti e poi l'applicazione della legge che definisce la grandezza distanza d. Di conseguenza, per esprimere l'errore sulla misura di d si dovra' tenere conto degli errori sulle misure delle posizioni x e x 3, cioe' x e x 3 ed utilizzare la formula per il calcolo dell'errore nella misura indiretta di una differenza: d= x x 3 Il valore di x e x 3 sara' la sensibilita' dello strumento di misura utilizzato, dato che si faranno per lo piu' misure singole, e, in genere, sara' x = x 3.

3 RICHIAMI TEORICI MISURE CON LENTI SOTTILI Equazione della lente sottile in approssimazione parassiale: dove: P = distanza oggetto-lente Q = distanza immagine-lente F = distanza focale P Q = F Potere diottrico di una lente: PD= F Se la distanza focale e' espressa in m il potere diottrico e' espresso in diottrie D. Dalla definizione si vede che minore la distanza focale, maggiore il potere diottrico. La relazione che lega il potere diottrico alla distanza focale e' di proporzionalita' inversa. Ingrandimento lineare trasversale: G = M I /M O = - Q/P dove M O è la dimensione trasversale dell oggetto, M I quella dell immagine. Immagine reale e immagine virtuale: quando i raggi luminosi emessi da un punto oggetto A, emergendo da un sistema ottico passano tutti effettivamente per il punto immagine A', questo e' una immagine reale di A; se si pone uno schermo in A', su questo si forma una immagine luminosa (come nel caso di una lente convergente). Se, invece, i raggi emergenti divergono ma i loro prolungamenti passano tutti per il punto A', si ha una immagine virtuale (come nel caso di una lente divergente). In questo caso, ponendo uno schermo in A', su di esso NON si formera' una immagine luminosa. Convenzione per i segni: P + (oggetto reale) per oggetti davanti alla prima superficie della lente (spazio di incidenza) - (oggetto virtuale) per oggetti dietro la prima superficie della lente (spazio di trasmissione) Q + (immagine reale) per immagini dietro la seconda superficie della

4 F G lente (spazio di trasmissione) - (immagine virtuale) per immagini davanti alla seconda superficie della lente (spazio di incidenza) + se il centro di curvatura della prima superficie della lente è nello spazio di trasmissione - se il centro di curvatura della prima superficie della lente è nello spazio di incidenza + se l immagine non è invertita rispetto all oggetto - se l immagine è invertita rispetto all oggetto Costruzione grafica delle immagini :. tracciare il raggio incidente parallelo all asse, che emerge passando per il secondo fuoco F della lente (se la lente è convergente), oppure diverge dalla lente come se provenisse dal secondo fuoco F (se la lente è divergente, cioè per F passa il prolungamento del raggio, mostrato tratteggiato in figura); 2. tracciare il raggio incidente che passa per il primo fuoco F della lente (se la lente è convergente), oppure ha il prolungamento che passa per il primo fuoco F della lente (se la lente è divergente), e che continua, oltre la lente, in direzione parallela all asse; 3. tracciare il raggio incidente che passa per il centro della lente e continua nella stessa direzione oltre la lente. Basta tracciare due qualunque dei tre raggi: all incrocio si trova l immagine. Per la lente divergente l immagine è virtuale: lo si vede perché si trova nello spazio di incidenza o anche perché si trova all incrocio dei prolungamenti dei raggi (mostrati tratteggiati) anziché all incrocio dei raggi stessi (mostrati come linee continue). P Q M O ḟ F 3 f 2 M I spazio di incidenza spazio di trasmissione ` Costruzione grafica dell immagine formata da una lente convergente

5 P M O spazio di incidenza. f M I f. 2 3 spazio di trasmissione Q F Costruzione grafica dell immagine formata da una lente divergente Sistema di due lenti addossate: P Q = F = F F dove F indica la distanza focale del sistema di due lenti, F e F 2 le distanze focali delle lenti singole. Sistema di due lenti non addossate: Per ricavare l'immagine fornita da un sistema di due lenti sottili separate si considerano le due lenti separatamente. P Q Q 2 M O M I M IF D P 2 Si scrive dapprima l'equazione per la prima lente e si determina la posizione dell'immagine fornita da essa, Q : P Q = F Questa immagine non si forma perche' i raggi raggiungono la seconda lente prima di convergere nel punto a distanza Q. L'ingrandimento lineare trasversale dovuto alla prima

6 lente sara': G = M I /M O = - Q /P. Si scrive poi l'equazione per la seconda lente, considerando come oggetto (virtuale) della seconda lente l'immagine della prima lente: in questo caso la distanza oggetto-seconda lente sara': P 2 = D - Q. P 2 Q 2 = F 2 L'ingrandimento lineare trasverso dovuto alla seconda lente e': G 2 = M I F /M I = - Q 2 /P 2 e l'ingrandimento lineare trasverso totale risulta: G = G G 2. E' fondamentale ricordare la convenzione per i segni: nel caso riportato in figura, per esempio, P, Q ed F sono positivi; P 2, invece, e' negativo perche' l'oggetto virtuale si trova nello spazio di trasmissione rispetto alla seconda lente, Q 2 e' positivo, F 2 e' negativo perche' la lente e' divergente.

7 MISURE Distanza focale di una lente convergente Cercate anzitutto di valutare la distanza focale della lente convergente puntando il fascio della lampada contro il muro opposto e cercando con la lente di focalizzare sul muro l immagine del filamento: la distanza lente-muro è circa uguale alla distanza focale. Ponete poi davanti alla sorgente la mascherina traslucida che fungerà da oggetto, disponete la lente convergente sul banco ottico e, dalla parte opposta rispetto alla lente, disponete lo schermo in modo che la sua distanza dall oggetto sia di almeno 60 cm (posizione ). Fissate lo schermo e poi muovete la lente fino a mettere a fuoco l immagine dell oggetto sullo schermo. Misurate la distanza s fra oggetto e lente e la distanza s fra lente e schermo. Calcolate la distanza focale F. Tracciate sul foglio quadrettato la costruzione grafica dell immagine. Ripetete la misura nella posizione simmetrica (scambiando P e Q). Spostate poi lo schermo di una decina di cm (posizione 2) e ripetete la misura, anche nella posizione simmetrica. Spostate poi lo schermo di altri 0 cm (posizione 3) e ripetete la misura, anche nella posizione simmetrica. Spostate infine lo schermo di altri 5 cm (posizione 4) e ripetete la misura, anche nella posizione simmetrica. Riportate tutte le misure nella tabella. Sul muro Posizione Posizione simmetrico Posizione 2 Posizione 2 simmetrico Posizione 3 Posizione 3 simmetrico Posizione 4 Posizione 4 simmetrico Misura P± P Q± Q F

8 Calcolate la media di tutte i valori di F che avete ottenuto e calcolate il suo errore come errore massimo; riportate i valori nella tabella operando gli arrotondamenti opportuni. F = F = Q ual' e' la sensibilita' dello strumento utilizzato per misurare le distanze P e Q? Come e' stato calcolato l'errore sulle misure di P e Q? Perché? Misura dell ingrandimento di una lente convergente Procedete in modo simile all esperimento precedente, ma ora oltre alle distanze P e Q misurate anche le dimensioni trasversali dell immagine,m I, e dell oggetto, M O. Eseguite la misura per le quattro posizioni della lente per le quali l immagine è a fuoco sullo schermo, riportando i dati nella tabella seguente. Pos. Misura P±?P Q±?Q M O ±?M O M M O ±?M O ±D M I Pos. simmetrico Pos. 2 Pos. 2 simmetrico Pos. 3 Pos. 3 simmetrico Pos. 4 Pos. 4 simmetrico Calcolate, per ogni posizione, il valore dell'ingrandimento trasversale G dalle misure di P e Q e dalle misure di M O e M I, riportando i dati nella tabella. Misura G(P, Q) G(M O, M I ) Pos. Pos. simmetrico Pos. 2 Pos. 2 simmetrico Pos. 3 Pos. 3 simmetrico

9 Pos. 4 Pos. 4 simmetrico Calcolate il valore medio di G(P, Q) e l'errore come errore massimo, di G(M O, M I) e l'errore come errore massimo e riportateli nella tabella, operando gli arrotondamenti opportuni: G(P,Q)= G(P,Q)= G(M O, M I)= GM O, M )= I I due valori ottenuti sono compatiili? Come lo si puo' stabilire? Qual' e' la sensibilita' dello strumento utilizzato per misurare le distanze, M O e M I? Sistema di due lenti Disponete la lente convergente come negli esercizi precedenti, con lo schermo posto alla distanza massima, nella posizione in cui Q>P. Allontanate poi la lente dall oggetto (di qualche cm): l immagine sullo schermo apparirà sfocata, perché la posizione a cui si formerebbe l immagine nitida è più vicina alla lente. Inserite allora la lente divergente fra la lente convergente e lo schermo, in modo da riportare in fuoco l immagine sullo schermo. Misurate, con errore, le posizioni: -- dell oggetto: A ± DA = -- della lente convergente: B ± DB = -- della lente divergente: C ± DC = -- dello schermo: E±DE = Ricavate dalle misure precedenti : P = B A = DP = D = C B = DD = Q 2 = E C = DQ 2= Scrivete l' equazione della prima lente: P Q = F che fornisce il valore della posizione Q a cui si è formata l immagine della prima lente:

10 Q = P F P F Sostituite i valori di P e F (misurato prima) e ricavate Q = Scrivete, poi, l'equazione della seconda lente: P 2 Q 2 = F 2 che fornisce il valore della posizione Q 2 a cui si è formata l immagine della seconda lente (si ricordi che ora P 2 = D - Q ) : Q 2 = P 2 F 2 P 2 F 2 Sostituite i valori di P 2 e F 2 (letto sulla lente) e ricavate Q 2 = Confrontate il valore di Q 2 ora calcolato con quello ricavato dalle misure. I due valori sono compatibili? Perche'? Fate la costruzione grafica dei raggi principali.

11 Candidato: Torino, 2-9 dicembre 2003 DOMANDE RIASSUNTIVE In un piano si consideri un sistema di coordinate cartesiane con origine O ed assi x, y, come quello indicato in figura. Indicare le coordinate del punto P: x= y=. Si vuole utilizzare un righello millimetrato per misurare la lunghezza del lato corto di una busta rettangolare, come indicato in figura. indicare le coordinate dei punti estremi del lato corto della busta 2. indicare l'errore che si commette nel misurare tali coordinate 3. ricavare la lunghezza voluta ed indicare il valore dell'errore della misura

12 4. dire di che tipo di misura si tratta 5. indicare il valore dell'errore sulla misura della lunghezza che si sarebbe compiuto effettuando la misura con un righello graduato a 0.5 mm. Un oggetto luminoso viene posto davanti ad una lente convergente, ad una distanza P=0 cm da essa. Sapendo che la lente ha distanza focale pari a F = 5 cm, calcolare la distanza Q dalla lente a cui si forma l'immagine dell'oggetto. Se, effettuando piu' volte la misura di tale distanza, si ottiene come risultato il valore medio: Q = (0.± 0.2) cm, si puo' dire che tale valore sia in accordo con il calcolo? Perche'? Effettuare la costruzione grafica dell'immagine dell'oggetto in figura (la freccia), fornita dalla lente convergente di distanza focale F (suggerimento: tracciare i raggi principali e 3) F F P qual e' il segno di Q? l'immagine e' reale o virtuale? l'immagine risulta ingrandita o rimpicciolita?

13 Dire qual e' il potere diottrico di una lente convergente con distanza focale F = 0 cm. Esprimere il risultato in diottrie. Con tale lente, a che distanza dietro di essa si puo' far convergere un fascio di raggi luminosi paralleli? Una lente con potere diottrico 5 D fa convergere il fascio ad una distanza maggiore o minore rispetto alla prima lente?